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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet }
\lfoot{\small{Nancy-Metz, Besançon, Dijon, Grenoble,\\ Lyon, Reims, Strasbourg}}
\rfoot{\small{ juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz juin 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne :
 
\[\text{A} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{3}\div \dfrac{8}{7} \qquad  \text{B} =  \sqrt{12} - 7\sqrt{3} - \sqrt{75}\qquad \text{C} = \dfrac{0,3 \times 10^2 \times 5 \times10^{-3}}{4 \times10^{-4}}.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Écrire B sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel le plus petit possible. 
\item Calculer C et donner son écriture scientifique.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : $E = (3 x + 2)^2 - (5 - 2x)(3x + 2)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $E$. 
\item Factoriser $E$. 
\item Calculer la valeur de $E$ pour $x = - 2$. 
\item Résoudre l'équation $(3x + 2)(5 x - 3) = 0$. Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère le système suivant :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + 3y&=&5,5\\
3x + y&=&1,05\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Le couple $(x = 2~ ;~ y = 0,5)$ est-il solution de ce système ? 
\item Résoudre le système d'équations. 
\item \`A la boulangerie, Anatole achète 2 croissants et 3 pains au chocolat : il paie 5,50 \euro. Béatrice achète 3 croissants et 1 pain au chocolat et paie 4,05 \euro.\\
 Quel est le prix d'un croissant ? Quel est le prix d'un pain au chocolat ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\parbox{0.4\textwidth}{On considère la figure ci-contre qui n'est pas réalisée en vraie grandeur.\\ Les points S, P, E et B sont alignés ainsi que les points N, P, C et M.\\
Les droites (MB) et (NS) sont parallèles.\\
On donne : PM = 12 cm, MB = 6,4 cm, PB = 13,6 cm et PN = 9 cm.} \hfill
\parbox{0.55\textwidth}{\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(11,6)
\pspolygon(0,3.2)(1.4,5.7)(8.5,0)(11,3.2)%SNMBS
\uput[dl](0,3.2){S} \uput[u](9.1,3.2){E} \uput[u](1.4,5.7){N} 
\uput[d](4.5,3.2){P} \uput[d](7.45,0.8){C} 
\uput[d](8.5,0){M} \uput[r](11,3.2){B}
\qdisk(9.1,3.2){1.5pt}  \qdisk(7.45,0.8){1.5pt}  
\end{pspicture}}
 
\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle PBM est rectangle. 
\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{MBP}}$ arrondie au degré près. 
\item Calculer la longueur NS.
\item On considère le point E du segment [PB] tel que PE = 3,4 cm et le point C du segment [PM] tel que PC = 3 cm. Les droites (CE) et (MB) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

La figure est à réaliser sur une feuille de papier millimétré.

\medskip 

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. 
\begin{enumerate}
\item Placer les points : A$(- 2~ ;~ 1)$, B(3 ; 2), C$(- 3 ~;~- 2)$ et G (7 ; 0). 
\item \begin{enumerate}
\item Placer le point E tel que $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{CE}}$. En déduire la nature du quadrilatère ABEC. 
\item Donner par lecture graphique les coordonnées du point E. 
\end{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de la longueur AB. 
\item Placer le point F$(- 1~ ;~ 4)$ et démontrer que F est le symétrique de C par rapport à A. 
\item Démontrer que B est le milieu du segment [FG] et en déduire sans autre calcul la longueur CG.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\bigskip

La piscine de Monsieur Dujardin a la forme d'un prisme droit dont la base ABCD est un trapèze rectangle.

\begin{center}
\begin{pspicture}(10.5,6)
\psline(8.7,1.75)(0,0)(0,3.6)(8.7,3.6)%CDAB
\psline(0,3.6)(1.85,5.1)(10.5,5.1)(8.7,3.6)(8.7,3.6)(8.7,1.75)(10.5,3.4)(10.5,5.1)%AEFBCGF
\uput[l](0,3.6){A} \uput[ul](8.7,3.6){B} \uput[ul](10.5,5.1){F} \uput[ul](1.85,5.1){E} 
\uput[dl](0,0){D} \uput[dr](8.7,1.75){C} \uput[dr](10.5,3.4){G} \uput[ul](1.85,1.5){H} 
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.85,1.5)(10.5,3.4)
\psline[linestyle=dashed](1.85,1.5)(1.85,5.1)
\psline(0,3.4)(0.2,3.4)(0.2,3.6)
\psline(8.5,3.6)(8.5,3.4)(8.7,3.4)
\psline[linestyle=dashed](1.85,4.9)(2.05,4.9)(2.05,5.1)
\psline[linestyle=dashed](10.3,5.1)(10.3,4.9)(10.5,4.9)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On donne : AB = 14 m, AE = 5 m AD = 1,80 m, BC = 0,80 m.

Sur le schéma ci-dessus, les dimensions ne sont pas respectées. On rappelle les formules suivantes :

Aire d'un trapèze $= \dfrac{\text{(somme des bases)} \times \text{hauteur}}{2}$ ;

Volume d'un prisme $= \text{(Aire de la base)} \times  \text{hauteur}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume de cette piscine est 91 m$^3$.
\item À la fin de l'été, M. Dujardin vide sa piscine à l'aide d'une pompe dont le débit est 5m$^3$ par heure. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre de m$^3$ d'eau restant dans la piscine au bout de 5 heures. 
		\item On admet que le nombre de m$^3$ d'eau restant dans la piscine au bout de $x$ heures est donné par la fonction affine f définie par : $f(x) = 91 - 5x$.

Sur la feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal tel que : 

\begin{itemize}
\item  en abscisse, 1 cm représente 1 heure,
\item en ordonnée, 1 cm représente 5 m$^3$.
\end{itemize}

Représenter graphiquement la fonction f dans ce repère. 
		\item Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste que 56 m$^3$ d'eau dans cette piscine.
		\item Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine. 
		\item Retrouver ce dernier résultat par le calcul. Donner cette durée en heures et minutes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

M. Dujardin doit clôturer sa piscine, en laissant autour une distance de 1,25 m comme le montre le schéma ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(10,7)
\psframe(10,7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](1.2,1.2)(8.8,5.8)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](3.3,2.6)(6.7,4)
\uput[u](5,2.9){\Large piscine}
\psline{<->}(5,5.8)(5,7)
\psline{<->}(8.8,3.5)(10,3.5)
\uput[dl](0,0){I} \uput[ul](0,7){J} \uput[ur](10,7){K} \uput[dr](10,0){L} 
\uput[dl](1.2,1.6){A} \uput[dr](8.8,1.6){B} \uput[ur](8.8,5.8){F} \uput[ul](1.2,5.8){E} 
\uput[u](9.4,3.5){1,25 m} \rput{90}(4.7,6.4){1,25 m}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Calculer les distances IJ et JK en cm.
\item Pour réaliser la clôture, il souhaite utiliser un nombre entier de panneaux rectangulaires identiques, dont la longueur $a$ est un nombre entier de centimètres, le plus grand possible.\\ Expliquer pourquoi $a$ est le PGCD de $750$ et de \nombre{1650}.
\item Calculer la valeur de $a$, en indiquant la méthode utilisée.
\item Combien faudra-t-il de panneaux pour clôturer la piscine ? 
\end{enumerate}
\end{document}