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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Est septembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les trois nombres A, B et C

\[\text{A} = \dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7}\div \dfrac{4}{13}~;~\text{B} = 5\sqrt{3} - \sqrt{48} + 4\sqrt{27}~;~\text{C} = \dfrac{\left(12 \times 10^{11}\right) \times \left(12 \times 10^{-3}\right)}{3 \times 10^3}.\]

En détaillant les calculs,

\medskip

\begin{enumerate}
\item  démontrer que A $= - \dfrac{3}{14}$,
\item  écrire B sous la forme $a\sqrt{3},~ a$ étant un entier relatif,
\item  donner l'écriture scientifique de C.	
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression

\[\text{E} = 16x^2- 25 + (x + 2) (4x + 5).\]

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $E$.
\item  Factoriser $16x^2 - 25$, puis en déduire la factorisation de $E$.	
\item  Résoudre l'équation :
\[(4x + 5) (5x - 3) = 0.\]
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
  
Un zoo  propose deux tarifs d'entrée un tarif pour les adultes et un autre pour les enfants.

Un groupe constitué de quatre enfants et d'un adulte paie 22~euros.

 On peut traduire ces données par l'équation à deux inconnues

\[4x+y = 22~ \text{notée}~ (\text{E}_{1}).\]

\begin{enumerate}
\item  Que représente l'inconnue $x$ et que représente l'inconnue $y$ dans cette équation ?
 
Un  autre groupe constitué de six enfants et de trois adultes paie 42~euros.
\item  Traduire cette information par une seconde équation 
notée (E$_{2}$) dépendant de deux inconnues $x$ et $y$.
\item  Résoudre le système constitué des deux équations (E$_{1}$) et (E$_{2}$) précédentes.
\item  Quel est le d'une entrée pour un enfant   et quel est celui d'une
entrée pour un adulte ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère la figure ci-dessous qui n'est pas dessinée en vraie grandeur.

L'unité de longueur est le centimètre.

Les droites (CD) et (OA) sont perpendiculaires.

On donne : OA = 9, OB = 12, AB = 15, AC = 3.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle AOB est rectangle et en déduire que les droites
(CD) et (OB) sont parallèles. 
\item  Démontrer en justifiant le raisonnement que CD $= 4$. 
\item  Un élève affirme que l'aire du triangle AOB est égale à trois fois l'aire du triangle ACD.

Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifiez votre réponse.	
 \end{enumerate}
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\psline(1.3,0.7)(5.2,4.9)(6.3,0)
\psline(3.2,5.4)(7.1,1.8)
\psline(0.9,5)(6.3,0)
\uput[ur](5.2,4.9){A}\uput[r](6.3,0){B}
\uput[l](4.5,4.2){C}\uput[ur](5.7,3.2){D}
\uput[l](3.25,2.8){O} 
\psline(4.62,4.1)(4.7,4.175)(4.6,4.275) 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\emph{On utilisera une feuille de papier millimétré}

Dans un repère orthonormé (O ; I,  J) tel que OI =  OJ = 1~cm, placer les points :

\[\text{A}(-1~;~7)\quad  \text{B}(1~;~3)\quad  \text{C}(3~;~5)\]

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les longueurs AB et AC.
		\item  En déduire que 1e triangle ABC est isocèle.	
	 \end{enumerate}
\item  Calculer les coordonnées du point R milieu du segment [BC] et placer
ce point sur le dessin. 
\item  Calculer les coordonnées du point E, symétrique de A par rapport à R,
\item  Démontrer que le quadrilatère ABEC est un losange.	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Un confiseur utilise une boîte de forme nouvelle pour emballer des dragées. Cette boîte a la forme dun solide SABCDEFGH  à neuf faces, qui se compose d'un cube  d'arête 4~cm en une pyramide régulière SABCD de sommet S. On note O le centre du carré ABCD et I le milieu du segment [BC]. (La pyramide SABCD étant régulière, on rappelle que SA = SB = SC = SD  et que [SO] est sa hauteur.)

\newpage

\begin{center} \textbf{Partie A}\end{center}

\medskip

\parbox{0.45\textwidth}{Dans cette partie on  pose SO = 2~cm.
\begin{enumerate}
\item  On admet que le triangle SOI est rectangle en O.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la longueur du  segment [OI] ?
		\item  Démontrer  alors que
 
SI$ = 2\sqrt{2}$~cm. 
	\end{enumerate}
\item  Calcul de l'aire de la boîte 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que (SI] est perpendiculaire à [BC].
		\item  En déduire  la valeur exacte de l'aire du triangle SBC, puis la valeur exacte de l' aire des faces latérales de la pyramide SABCD
		\item Calculer la valeur exacte de l'aure totale des faces du solide SABCDEFGH, puis en donner un arrondi au centième.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.95cm} \begin{pspicture}(6,8)
\pspolygon(3.15,3.35)(0,4.4)(0,1)(3.15,0)(5.25,1)(5.25,4.4)(3.15,3.35)(3.15,0)%BAEFGCBF
\psline(0,4.4)(2.7,7.2)(3.15,3.35)%ASB
\psline(5.25,4.4)(2.7,7.2)(4.2,3.9)%CSI
\psline[linestyle=dashed](0,1)(2.1,2)(2.1,5.4)(2.7,7.2)%EHDS
\psline[linestyle=dashed](5.25,1)(2.1,2)%GH
\psline[linestyle=dashed](0,4.4)(2.1,5.4)(5.25,4.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](4.2,3.9)(2.6,4.4)(2.7,7.2)%IOS 
\psline[linestyle=dashed](0,4.4)(5.25,4.4)%AC
\psline[linestyle=dashed](3.15,3.35)(2.1,5.4)%BD
\uput[ul](0,4.4){A}\uput[dr](3.15,3.35){B}
\uput[ur](5.25,4.4){C}\uput[ul](2.1,5.4){D}  
\uput[l](0,1){E}\uput[d](3.15,0){F}
\uput[dr](5.25,1){G}\uput[ul](2.1,2){H}  
\uput[dr](4.2,3.9){I}\uput[dl](2.6,4.4){O}
\uput[ur](2.7,7.2){S}    
\end{pspicture}}
 
\medskip

\begin{center} \textbf{Partie B}\end{center}
 
\medskip
 
\emph{Dans cette partie, on note $x$ la longueur \rm{SO}, exprimée en centimètres.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le volume $\mathcal{V}$ du solide SABCDEFGH vérifie l'égalité

\[\mathcal{V} = \dfrac{16}{3}x  + 64. \]

Rappel :  le volume $\mathcal{V}$ d'une pyramide de hauteur $h$ et d'aire de base $b$ est donné par la formule :

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}b \times h.\]

\item  On note $f$ la fonction affine définie par $f(x) =  \dfrac{16}{3}x  + 64$.

Représenter la fonction $f$ pour $x$ compris entre $0$ et $4,5$~cm dans un repère orthogonal.

On prendra pour unités 4~cm sur l'axe des abscisses et 2~mm sur l'axe des
ordonnées. Prendre l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille de
papier millimétré.
\item  Le confiseur souhaite que le volume de sa boîte soit au moins égal à 80~cm$^3$. \\En utilisant la représentation graphique de la fonction $f$ déterminer à partir
de quelle valeur de $x$ cette condition est remplie.
\item  Retrouver le résultat précédent par le calcul.
\end{enumerate}
\end{document}