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%Tapuscrit Claire Lacaze
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%réglages de pages
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%
\def\({$\displaystyle}
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\newcommand{\entete}[4]{\begin{tabular*}{\linewidth}{%
l@{\extracolsep{\fill}}c@{\extracolsep{\fill}}r}
\textbf{#1}&\textbf{#2}&\textbf{#3}\\
\textbf{Calculatrice #4}
\end{tabular*}
}
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pdfsubject = {Brevet des collèges},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{Brevet des collèges}
\lfoot{Métropole - La Réunion - Mayotte}
\rfoot{juin 2009}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte juin 2009~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace*{0,5cm}


\textbf{\textsc{Activités numériques} 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$

\[A=\dfrac{8+3\times 4}{1+2\times 1,5}\]

\item Pour calculer $A$ un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous :

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{*{15}{|c|c}}
\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}\cline{7-7}\cline{9-9}\cline{11-11}\cline{13-13}
\cline{15-15}\cline{17-17}\cline{19-19}\cline{21-21}\cline{23-23}\cline{25-25}\cline{27-27}
\cline{29-29}
\makebox[3mm]{8}&&\makebox[3mm]{+}&&\makebox[3mm]{3}&&\makebox[3mm]{$\times$}&&\makebox[3mm]{4}&&\makebox[3mm]{$\div$}&&\makebox[3mm]{1}&&\makebox[3mm]{+}&&\makebox[3mm]{2}&&\makebox[3mm]{$\times$}&&\makebox[3mm]{1}&&\makebox[3mm]{.}&&\makebox[3mm]{5}&&\makebox[3mm]{=}\\
\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}\cline{7-7}\cline{9-9}\cline{11-11}\cline{13-13}
\cline{15-15}\cline{17-17}\cline{19-19}\cline{21-21}\cline{23-23}\cline{25-25}\cline{27-27}
\end{tabular}

\medskip

Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2 }

\medskip

Trois personnes, Aline, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes.

Chacune tire au hasard une bille de son sac.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le contenu des sacs est le suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
Sac d'Aline :&Sac de Bernard : &Sac de Claude :\\
\quad\\
\psframebox[fillstyle=none]{\begin{tabular}{c} \quad\\5 billes rouges\\\quad\\ \end{tabular}}&\psframebox[fillstyle=none]{\begin{tabular}{c}10 billes rouges\\et\\30 billes noires  \end{tabular}}&\psframebox[fillstyle=none]{\begin{tabular}{c} 100 billes rouges\\et\\3 billes noires\\ \end{tabular}}\\
\end{tabular}
\end{center}

Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?
\item On souhaite qu'Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.

Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d'Aline ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 3 }

\medskip

On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. Ces représentations sont nommées $C_1$, $C_2$ et $C_3$.

L'une d'entre elles est la représentation graphique d'une fonction linéaire.

Une autre est la représentation graphique de la fonction $f$ telle que $f : x\mapsto -0,4x+3$

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm,dotscale=0.1,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-3)(6,5)
\multido{\n=-5+1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-3)(\n,5)}
\multido{\n=-3+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](-5,\n)(6,\n)}
\multido{\n=-5+.2}{55}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-3)(\n,5)}
\multido{\n=-3+.2}{40}{\psline[linewidth=0.2pt](-5,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-3)(6,5)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.8}{3}{(5/3)*x}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-5}{6}{-0.4*x+3}
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{-2.32}{6}{(1/12)*(x+1)*(x-2)*(x-4)}
\multido{\n=-5+1}{12}{\rput[d](\n,-0.15){\tiny{\n}}}
\multido{\n=-3+1}{9}{\rput[l](-0.15,\n){\tiny{\n}}}
\rput(5.4,3.5){$C_3$}
\rput(-2.5,4.2){$C_2$}
\rput(2.2,4.2){$C_1$}
\pstGeonode[PosAngle=45,PointSymbol=x,dotscale=1](-4,4.6){B}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(6,0)
\psline{->}(0,0)(0,5)
\rput(6,0.12){\textbf{\tiny{$x$}}}
\rput(0.1,4.9){\textbf{\tiny{$y$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement les coordonnées du point $B$.
\item Par lecture graphique, déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_3$ avec l'axe des abscisses.
\item Laquelle de ces représentations est celle de la fonction linéaire ? Justifier.
\item Laquelle de ces représentations est celle de la fonction $f$ ? Justifier.
\item Quel est l'antécédent de $1$ par la fonction $f$ ? Justifier par un calcul.
\item $A$ est le point de coordonnées $(4,6~;~1,2)$. $A$ appartient-il à $C_2$ ? Justifier par un calcul.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques} 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

$ABC$ est un triangle tel que : $AB=16$ cm, $AC=14$ cm et $BC=8$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Tracer en vraie grandeur le triangle $ABC$ sur la copie.
\item Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifier.
\end{enumerate}
\item Le mathématicien Héron d'Alexandrie (1\up{er} siècle), a trouvé une formule permettant de calculer l'aire  d'un triangle : en notant $a$, $b$, $c$ les longueurs des trois côtés et $p$ son périmètre, l'aire $\mathcal{A}$ du triangle est donnée par la formule :
$$\mathcal{A}=\sqrt{\dfrac{p}{2}\left(\dfrac{p}{2}-a\right)\left(\dfrac{p}{2}-b\right)\left(\dfrac{p}{2}-c\right)}.$$
Calculer à l'aide de cette formule l'aire du triangle $ABC$.

Donner le résultat arrondi au cm$^2$ près.
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 }

\medskip

\begin{tabular}{|l|c|}
\hline
\begin{minipage}[c]{0.48\linewidth}
 Dans cet exercice, on étudie la figure ci-contre\\où :\\
\begin{itemize} \item[$\bullet$] $ABC$ est un triangle isocèle tel que \\ $AB=AC=4$ cm\\
\item[$\bullet$] $E$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$.
\end{itemize} \end{minipage}&\begin{minipage}[c]{0.38\linewidth} \psset{unit=1cm,dotscale=0.1}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4.5,3.4)
\pstGeonode[PosAngle=-90,PointSymbol=+](0,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=90,PointSymbol=+](1.7,1.2){A}
\pstGeonode[PosAngle=-90,PointSymbol=+](3.4,0){C}
\pstMarkAngle[MarkAngleRadius=.5]{c}{B}{A}{}

\pstHomO[HomCoef=-1,PosAngle=90,PointSymbol=+]{A}{B}[E]
\pstLineAB{C}{B}
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{A}{E}
\pstLineAB{C}{A}
\psset{linewidth=0.3pt}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHash]{A}{B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHash]{A}{E}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHash]{A}{C}
\end{pspicture}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}\\

\medskip

\textbf{Partie 1 :} On se place dans le cas particulier où la mesure de $\widehat{ABC}$ est 43 \degres.
\begin{enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur.
\item Quelle est la nature du triangle $BCE$ ? Justifier.
\item Prouver que l'angle $\widehat{EAC}$ mesure 86 °.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2 :} Dans cette partie, on se place dans le cas général où la mesure de $\widehat{ABC}$ n'est pas donnée.

Jean affirme que pour n'importe quelle valeur de $\widehat{ABC}$, on a : $\widehat{EAC}=2\widehat{ABC}$.

Jean a-t-il raison ? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.\\

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} 12 points}

\medskip

On considère un triangle $ABC$ tel que  : $AB=17,5$ cm ; $BC=14$ cm ; $AC=10,5$ cm.

\textbf{Partie 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
\item Soit $P$ un point du segment $[BC]$.

La parallèle à la droite $(AC)$ passant par $P$ coupe le segment $[AB]$ en $R$.

La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $R$ coupe le segment $[AC]$ en $S$.

Montrer que le quadrilatère $PRSC$ est un rectangle.

\medskip

\psset{unit=1cm,dotscale=0.1}
\begin{pspicture}(-6,-1)(4.5,5)
\pstGeonode[PosAngle=-180,](0,0){A}
\pstGeonode[PosAngle=-30,](3,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=90](3,4){B}
\pstGeonode[PosAngle=-135,](1.88,0){S}
\pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{C}{B}{S}[r]
\pstInterLL[PosAngle=135]{S}{r}{A}{B}{R}
\pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{A}{C}{R}[p]
\pstInterLL[PosAngle=45]{R}{p}{C}{B}{P}

\pstLineAB{C}{B}
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB[nodesepA=-.6,nodesepB=-.6]{R}{P}
\pstLineAB{C}{A}
\pstLineAB[nodesepA=-.3,nodesepB=-.2]{S}{R}
\rput[d](1.5,-1){\scriptsize{\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur}}}
\end{pspicture}

\medskip

\item Dans cette question, on suppose que le point $P$ est situé à 5~cm du point $B$.
	\begin{enumerate}[a)]
		\item Calculer la longueur $PR$.
		\item Calculer l'aire du rectangle $PRSC$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

On déplace le point $P$ sur le segment $[BC]$ et on souhaite savoir quelle est la position du point $P$ pour laquelle l'aire du rectangle $PRSC$ est maximale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'utilisation d'un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|l|*{8}{c|}}
\hline
Longueur $BP$ en cm&\makebox[10mm]{0}&\makebox[10mm]{1}&\makebox[10mm]{3}&\makebox[10mm]{5}&\makebox[10mm]{8}&\makebox[10mm]{10}&\makebox[10mm]{12}&\makebox[10mm]{14}\\
\hline
Aire de $PRSC$ en cm$^2$&0&9,75&24,75&&36&&18&0\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau.

Justifier par un calcul la valeur trouvée pour $BP=10$ cm.
\newpage
\item Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique suivante :

\begin{center}
\textbf{Aire du rectangle $PRSC$ en fonction de la longueur $BP$}

\medskip

\psframebox[fillstyle=none]{\psset{xunit=0.95cm,yunit=0.21cm,dotscale=0.1,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-4)(15.6,42)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,-.1)(\n,40)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=0.8pt](-.2,\n)(15,\n)}

\multido{\n=0+1}{40}{\psline[linewidth=0.3pt](-0,\n)(15,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{14}{-.75*x*(x-14)}
\multido{\n=0+1}{16}{\rput[d](\n,-2){\n}}
\multido{\n=0+5}{9}{\rput[r](-0.5,\n){\n}}

\end{pspicture}}
\end{center}

À l'aide d'une lecture graphique, donner :
	\begin{enumerate}[a)]
		\item Les valeurs de $BP$ pour lesquelles le rectangle $PRSC$ a une aire de 18~cm$^2$.
		\item La valeur de $BP$ pour laquelle l'aire du rectangle semble maximale.
		\item Un encadrement à 1~cm$^2$ près de l'aire  maximale du rectangle $PRSC$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $PC$ en fonction de $BP$.
\item Démontrer que $PR$ est égale à $0,75\times BP$.
\item Pour quelle valeur de $BP$ le rectangle $PRSC$ est-il un carré ?
\end{enumerate}
\end{document}