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% Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%réglages de pages
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{Brevet des collèges}
\lfoot{Métropole--La Réunion--Antilles-Guyane}
\rfoot{28 juin 2012}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges   28 juin 2012~\decofourright\\
Métropole--La Réunion--Antilles-Guyane}}
    
\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques}\hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}
\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée}     
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip
 
\emph{Pour chacune des deux questions suivantes, plusieurs propositions de réponse sont faites. Une seule des propositions est exacte.\\ 
Aucune justification n'est attendue.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Alice participe à un jeu télévisé. Elle a devant elle trois portes fermées. Derrière l'une des portes, il y a une voiture ; derrière les autres, il n'y a rien.
 
Alice doit choisir l'une de ces portes. Si elle choisit la porte derrière laquelle il y a la voiture, elle gagne cette voiture.
 
Alice choisit au hasard une porte. Quelle est la probabilité qu'elle gagne la voiture ? 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{2}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{3}$  &\textbf{c.~~} $\dfrac{2}{3}$ &\textbf{d.~~} On ne peut pas savoir\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item S'il y a quatre portes au lieu de trois et toujours une seule voiture à gagner, comment évolue la probabilité qu'a Alice de gagner la voiture ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} augmente &\textbf{b.~~} diminue &\textbf{c.~~} reste identique &\textbf{d.~~} on ne peut pas savoir\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'écriture décimale du nombre $\dfrac{10^5 + 1}{10^5}$ ? 
\item Antoine utilise sa calculatrice pour calculer le nombre suivant : $\dfrac{10^{15} + 1}{10^{15}}$. Le résultat affiché est $1$.
 
Antoine pense que ce résultat n'est pas exact. A-t-il raison ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\medskip

Lors d'un marathon, un coureur utilise sa montre-chronomètre. Après un kilomètre de course, elle lui indique qu'il court depuis quatre minutes et trente secondes.
 
La longueur officielle d'un marathon est de 42,195 km. Si le coureur garde cette allure tout au long de sa course, mettra-t-il moins de 3~h~30 pour effectuer le marathon ? 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4}

\medskip

On cherche à résoudre l'équation $(4x - 3)^2 - 9 = 0$. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre $\dfrac{3}{4}$ est-il solution de cette équation ? et le nombre $0$ ? 
\item Prouver que, pour tout nombre $x,\quad  	(4x - 3)^2 - 9 = 4x(4x - 6)$. 
\item Déterminer les solutions de l'équation $(4x - 3)^2 - 9 = 0$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. 

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Le dessin ci-dessous représente une figure composée d'un carré ABCD et d'un rectangle DEFG. 

E est un point du segment [AD].
 
C est un point du segment [DG].
 
Dans cette figure la longueur AB peut varier mais on a toujours : AE = 15~cm et CG = 25~cm. 

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,4.5)
\psframe[linewidth=2pt,linestyle=dashed](4,4)
\psframe(6.5,2.4)
\uput[ul](0,4){A} \uput[ur](4,4){B} \uput[d](4,0){C} \uput[dl](0,0){D} 
\uput[l](0,2.4){E} \uput[ur](6.5,2.4){F} \uput[dr](6.5,0){G}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,4)(4,4)(4,0)(0,0)(0,2.4)(6.5,2.4)(6.5,0) 
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question on suppose que : AB = 40~cm 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du carré ABCD. 
		\item Calculer l'aire du rectangle DEFG.
	\end{enumerate} 
\item Peut-on trouver la longueur AB de sorte que l'aire du carré ABCD soit égale à l'aire du rectangle DEFG ?
 
Si oui, calculer AB. Si non, expliquer pourquoi.
 
\emph{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.} 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.64\linewidth}{On considère un cône de révolution de hauteur 5~cm et dont la base a pour rayon 2~cm. Le point A est le sommet du cône et O le centre de sa base. B est le milieu de [AO].
  
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du cône en cm$^3$. On arrondira à l'unité. 
On rappelle que la formule est : $V = \dfrac{\pi R^2 h}{3}$  où $h$ désigne la hauteur et $R$ le rayon de la base. 
\item On effectue la section du cône par le plan parallèle à la base qui passe par B. On obtient ainsi un petit cône. Est-il vrai que le volume du petit cône obtenu est égal à la moitié du volume du cône initial ?
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.24\linewidth}{\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(-2,-0.5)(2,4.5)
%\psgrid
\scalebox{1}[0.312]{\psarc(0.075,0){1.6}{180}{0}}
\scalebox{1}[0.312]{\psarc[linestyle=dashed](0.,0){1.6}{0}{180}}
\psline(-1.6,0)(0,4)(1.6,0)\psline(1.6,0)(0,0)(0,4)
\uput[u](0,4){A}\uput[l](0,2){B}\uput[ur](0.6,2.8){OA = 5 cm}\uput[d](0.8,0){2 cm}
\uput[l](0,0){O}
\psline(-0.1,3.05)(0.1,2.95)
\psline(-0.1,3.0)(0.1,2.9)
\psline(-0.1,1.05)(0.1,0.95)
\psline(-0.1,1.)(0.1,0.9)
\psline(-0.1,2)(0.1,2)
\end{pspicture}}
 
\newpage

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Des élèves participent à une course à pied. Avant l'épreuve, un plan leur a été remis. 

Il est représenté par la figure ci-contre.

On convient que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Les droites (AE) et (BD) se coupent en C. 
\item[$\bullet~~$]Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. 
\item[$\bullet~~$]ABC est un triangle rectangle en A.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE.}\hfill   
\parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(9,5)
\psline[doubleline=true](0.8,4.2)(0,3)(8.4,3)(6.2,0.3)%(8.3,0.3)
\psline[linestyle=dashed](0.4,4.6)(6.7,0)
\uput[ur](0.8,4.2){A (Départ)}\uput[l](0,3){B}\uput[ur](2.4,3){C}\uput[u](8.4,3){D}
\uput[r](6.2,0.35){E (Arrivée)} \rput{57}(0.,3.9){\footnotesize 300 m}
\psline[doubleline=true,arrowsize=2pt 3]{->}(0.8,4.2)(0.4,3.6)\psline[doubleline=true,arrowsize=2pt 3]{->}(0,3)(1.7,3)\psline[doubleline=true,arrowsize=2pt 3]{->}(1.7,3)(4.9,3)
\psline[doubleline=true,arrowsize=2pt 3]{->}(8.4,3)(7.3,1.6)
\rput{-40}(1.7,4){\footnotesize 400 m}\rput{-40}(3.9,1.7){\footnotesize \np{1000} m}
\end{pspicture}}

\medskip

\emph{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Les trois parties de ce problème sont indépendantes. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 1}

\medskip
 
À partir du 2 Janvier 2012, une compagnie aérienne teste un nouveau vol entre Nantes et Toulouse.

Ce vol s'effectue chaque jour à bord d'un avion qui peut transporter au maximum 190 passagers.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'avion décolle chaque matin à 9~h~35 de Nantes et atterrit à 10~h~30 à Toulouse. 

Calculer la durée du vol. 
\item Le tableau suivant donne le nombre de passagers qui ont emprunté ce vol pendant la première semaine de mise en service. L'information concernant le mercredi a été perdue.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\footnotesize Jour &\footnotesize Lundi &\footnotesize Mardi &\footnotesize Mercredi &\footnotesize Jeudi &\footnotesize Vendredi &\footnotesize Samedi &\footnotesize Dimanche &\textbf{Total}\\ \hline 
\footnotesize Nombre de passagers&152 &143 &&164 &189 &157 &163 &\np{1113}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
	\begin{enumerate}
		\item Combien de passagers ont emprunté ce vol mercredi ? 
		\item En moyenne, combien y avait-il de passagers par jour dans l'avion cette semaine là ?
	\end{enumerate} 
\item À partir du mois de février, on décide d'étudier la fréquentation de ce vol pendant douze semaines. La compagnie utilise une feuille de calcul indiquant le nombre de passagers par jour. Cette feuille de calcul est donnée en \textbf{ANNEXE}. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule 12 pour obtenir le nombre total de passagers au cours de la semaine 1 ? 
		\item Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule J2 pour obtenir le nombre moyen de passagers par jours au cours de la semaine 1 ?
	\end{enumerate} 
\item Le nombre moyen de passagers par jour au cours de ces douze semaines est égal à $166$. La compagnie s'était fixé comme objectif d'avoir un nombre moyen de passagers supérieur aux 80\,\% de la capacité maximale de l'avion.
 
L'objectif est-il atteint? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE 2}

\medskip
 
Quand l'avion n'est plus très loin de l'aéroport de Toulouse, le radar de la tour de contrôle émet un signal bref en direction de l'avion. Le signal atteint l'avion et revient au radar \np{0,0003} seconde après son émission.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sachant que le signal est émis à la vitesse de \np{300000} kilomètres par seconde, vérifier qu'à cet instant, l'avion se trouve à 45 kilomètres du radar de la tour de contrôle. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,5)
\pspolygon[linestyle=dashed](1.5,0.5)(11.5,0.5)(11.5,4)
\psline[linestyle=dotted]{->}(6,2.8)(9,3.8)
\psline[linestyle=dotted]{->}(9,3.4)(6,2.4)
\rput(3,12){Le dessin n'est pas à l'échelle}
\uput[u](11.5,4){A (avion)}\uput[u](7.5,3.3){signal} 
\psarc(1.5,0.5){1.2cm}{0}{20}\uput[l](1.5,0.5){R (radar)}
\psframe(11.5,0.5)(11,1)\rput(3.2,0.8){5~\degres}\uput[d](11.5,0.5){I}
\uput[d](6.5,0.5){Horizontale}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](11.5,4)(11.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\item La direction radar-avion fait un angle de 5\degres avec l'horizontale. 
Calculer alors l'altitude de l'avion à cet instant. On arrondira à la centaine de mètres près. On négligera la hauteur de la tour de contrôle.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{PARTIE 3}

\medskip
 
En phase d'atterrissage, à partir du moment où les roues touchent le sol, l'avion utilise ses freins jusqu'à l'arrêt complet. Le graphique en \textbf{ANNEXE} représente la distance parcourue par l'avion sur la piste (en mètres) en fonction du temps (en secondes) à partir du moment où les roues touchent le sol. En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes:

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle distance l'avion aura-t-il parcourue 10~s après avoir touché le sol? 
\item Expliquer pourquoi au bout de 22~s et au bout de 26~s la distance parcourue depuis le début de l'atterrissage est la même. 
\item À partir du moment où les roues touchent le sol, combien de temps met l'avion pour s'arrêter ? 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE}}

\vspace{0,5cm}
 
\begin{flushleft}\textbf{Problème Partie 1} \end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\scriptsize}c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{4-11} 
\multicolumn{3}{c|}{}&\multicolumn{8}{l|}{=MOYENNE(J12~:~J13)}\\ \hline
	&A &B &C &D &E&F &G &H &I&J\\ \hline 
1	&&\footnotesize lundi &\scriptsize mardi &\scriptsize mercredi &\scriptsize jeudi &\scriptsize vendredi &\scriptsize samedi &\scriptsize dimanche &\scriptsize Total &\scriptsize Moyenne\\ \hline 
2	&Semaine 1 	&157 &145 &142 &159 &190 &156 &161 &\np{1110} &159\\ \hline 
3	&Semaine 2 	&147 &158 &156 &141 &141 &152 &155 &\np{1050} &150 \\ \hline
4	&Semaine 3 	&153 &148 &162 &149 &160 &146 &163 &\np{1081} &154\\ \hline 
5	&Semaine 4 	&168 &156 &162 &157 &166 &158 &161 &\np{1128} &161\\ \hline 
6 	&Semaine 5 	&163 &169 &170 &162 &167 &169 &162 &\np{1162} &166\\ \hline 
7 	&Semaine 6 	&156 &167 &171 &173 &165 &165 &162 &\np{1159} &166\\ \hline 
8 	&Semaine 7 	&173 &172 &168 &173 &161 &162 &167 &\np{1176} &168\\ \hline 
9 	&Semaine 8 	&168 &166 &170 &173 &168 &176 &165 &\np{1186} &169\\ \hline 
10 	&Semaine 9 	&176 &175 &175 &171 &172 &178 &173 &\np{1220} &174\\ \hline 
11 	&Semaine 10 &185 &176 &172 &180 &185 &171 &171 &\np{1240} &177\\ \hline 
12 	&Semaine 11 &178 &181 &183 &172 &178 &172 &173 &\np{1237} &177\\ \hline 
13 	&Semaine 12 &171 &183 &171 &184 &172 &176 &173 &\np{1230} &176\\ \hline
14&&&&&&&\multicolumn{3}{|c|}{\scriptsize moyenne sur trois mois:}&166\\ \hline
\end{tabularx} 

\bigskip

\begin{flushleft}\textbf{Problème Partie 3} \end{flushleft}

\psset{xunit=0.36cm,yunit=0.015cm}
\begin{pspicture}(-1,-20)(32,700)
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,650)}
\multido{\n=0+25}{27}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=50]{->}(0,0)(32,650)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=50](0,0)(32,650)
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.3pt](0,0)(2,112.5)(4,220)(6,302)(8,382)(10,450)(12,504)(14,548)(16,575)(18,590)(20,599)(22,600)(24,600)(26,600)(28,600)(30,600)(32,600) 
\rput(30,15){temps (en s)}\uput[u](0,650){distance (en m)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}