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\title{DNB, Métropole, correction, mathématiques}
\date{jeudi 28 juin 2012}
%% Correction proposée par Michel FRECHET
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Corrigé du DNB}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 28 juin 2012}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\maketitle

\section*{Activités numériques,\hfill 12 points}

\begin{center}
     \textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.}
     \end{center}     
\subsection*{Exercice \no 1 }

\begin{enumerate}
\item Alice participe à un jeu télévisé. Elle a devant elle trois portes fermées. Derrière l'une des portes, il y a une voiture ; derrière les autres, il n'y a rien.
 
Alice doit choisir l'une de ces portes. Si elle choisit la porte derrière laquelle il y a la voiture, elle gagne cette voiture.
 
Alice choisit au hasard une porte. La probabilité qu'elle gagne la voiture est de une chance sur trois, donc égale $\dfrac{1}{3}$.

\textcolor{red}{Réponse  \textbf{b.}}
 
\item S'il y a quatre portes au lieu de trois et toujours une seule voiture à gagner,  la probabilité qu'elle gagne la voiture est de une chance sur quatre, donc égale $\dfrac{1}{4}$.

La probabilité qu'a Alice de gagner la voiture diminue donc.

\textcolor{red}{Réponse  \textbf{b.}}
\end{enumerate}
\subsection*{Exercice \no 2}

\begin{enumerate}
\item \'Ecriture décimale du nombre $\dfrac{10^5 + 1}{10^5}$:

\[
\dfrac{10^5 + 1}{10^5}=\frac{100001}{100000}=1,00001
\]
\item Antoine utilise sa calculatrice pour calculer le nombre suivant : $\dfrac{10^5 + 1}{10^5}$. Le résultat affiché est $1$.
 
Antoine pense que ce résultat n'est pas exact. \textcolor{red}{Il a raison}, la calculatrice a arrondi.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice \no 3}

Lors d'un marathon, un coureur utilise sa montre-chronomètre. Après un kilomètre de course, elle lui indique qu'il court depuis quatre minutes et trente secondes. Soit $4\times 60"+30"=270"$.
 
La longueur officielle d'un marathon est de 42,195~km. Soit $270"\times 42,195=11392"65/100$.

\[
\opset{strikedecimalsepsymbol={\rlap{,}}}
%\begin{array}{lll}
\opidiv[shiftdecimalsep=both]{11392.65}{60}\ \text{soit}\ 189'52"65/100\quad
\opidiv{189}{60}\ \text{soit}\ 3^{\text{h}}9'52"65/100
%\end{array}
\]

 \textcolor{red}{Si le coureur garde cette allure tout au long de sa course, il mettra donc moins de 3~h~30 pour effectuer le marathon.}

\subsection*{Exercice \no 4}

On cherche à résoudre l'équation $(4x - 3)^2 - 9 = 0$. 

\begin{enumerate}
\item Le nombre $\dfrac{3}{4}$ n'est pas solution de cette équation:
\[
(4\times \frac{3}{4} - 3)^2 - 9 = (3-3)^2-9=-9\not= 0
\]

Le nombre $0$ est solution de cette équation: 
\[
(4\times 0 - 3)^2 - 9 = (0-3)^2-9=9-9= 0
\]
\item Pour tout nombre $x$:
\[
(4x-3)^2-9=(4x-3)^2-3^2=(4x-3+3)(4x-3-3)=4x(4x-6)
\]
\item Solutions de l'équation $(4x - 3)^2 - 9 = 0$:

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses termes est nul, ainsi:
\[
(4x - 3)^2 - 9 = 4x\times (4x-6)=0\Longleftrightarrow 4x=0\ \text{ou}\ 4x-6=0\Longleftrightarrow x=0\ \text{ou}\ x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}
\]
L'équation admet donc deux solutions: $x=0$ et $x=\dfrac{3}{2}$. 
\end{enumerate}

\section*{Activités géométriques,\hfill 12 points}

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. 

\subsection*{Exercice \no 1}
 
Le dessin ci-dessous représente une figure composée d'un carré $ABCD$ et d'un rectangle $DEFG$. 

$E$ est un point du segment $[AD]$.
 
$C$ est un point du segment $[DG]$.
 
Dans cette figure la longueur $AB$ peut varier mais on a toujours : \textcolor{blue}{$AE = 15$~cm} et \textcolor{blue}{$CG = 25$~cm}. 




\begin{enumerate}
\item Dans cette question on suppose que : \textcolor{blue}{$AB = 40$~cm} 
	\begin{enumerate}
		\item Aire du carré $ABCD$: $\mathcal{A}_{ABCD}=AB^2=40^2=1600$~cm$^2$. 
		\item Aire du rectangle $DEFG$:
		
		$D$, $E$ et $A$ sont alignés dans cet ordre, donc: $DE=DA-AE=AB-AE=40-15=25$~cm.
		
		$D$, $C$ et $G$ sont alignés dans cet ordre, donc: $DG=DC+CG=AB+CG=40+25=65$~cm.
		
		Ainsi: $\mathcal{A}_{DEFG}=DE\times DG=25\times 65=1625$~cm$^2$.
	\end{enumerate} 
	\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{0/0/D,4/0/C,6.5/0/G,6.5/2.4/F,0/2.4/E,0/4/A,4/4/B}
\tkzDrawSegments(D,G G,F F,E E,D)
\tkzDrawSegments[dashed,thick](D,C C,B B,A A,D)
\tkzLabelPoint[left](E){$E$} \tkzLabelPoint[above left](A){$A$} \tkzLabelPoint[below left](D){$D$} 
\tkzLabelPoint[above right](B){$B$} \tkzLabelPoint[above right](F){$F$} 
\tkzLabelPoint[below](C){$C$} \tkzLabelPoint[below right](G){$G$}
\tkzLabelSegment[below,color=red](D,C){$40$} \tkzLabelSegment[above,color=blue](A,B){$40$}
\tkzLabelSegment[below,color=blue](C,G){$25$}
\tkzLabelSegment[sloped,color=blue](E,A){$15$} \tkzLabelSegment[sloped,color=red](D,E){$25$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item En procédant de la même manière que précédemment, on obtient: $DE=x-15$ et $DG=x+25$.

L'aire du rectangle $DEFG$ est égale à: $(x-15)(x+25)=x^2+10x-375$.

Afin que l'aire du carré $ABCD$ soit égale à l'aire du rectangle $DEFG$, il faut et il suffit que:
\[
x^2=x^2+10x-375\Longleftrightarrow 10x-375=0\Longleftrightarrow x=\frac{375}{10}=37,5
\]
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{0/0/D,4/0/C,6.5/0/G,6.5/2.4/F,0/2.4/E,0/4/A,4/4/B}
\tkzDrawSegments(D,G G,F F,E E,D)
\tkzDrawSegments[dashed,thick](D,C C,B B,A A,D)

\tkzLabelPoint[left](E){$E$} \tkzLabelPoint[above left](A){$A$} \tkzLabelPoint[below left](D){$D$} 
\tkzLabelPoint[above right](B){$B$} \tkzLabelPoint[above right](F){$F$} 
\tkzLabelPoint[below](C){$C$} \tkzLabelPoint[below right](G){$G$}
\tkzLabelSegment[below,color=red](D,C){$x$} \tkzLabelSegment[above,color=blue](A,B){$x$}
\tkzLabelSegment[below,color=blue](C,G){$25$}
\tkzLabelSegment[sloped,color=blue](E,A){$15$} \tkzLabelSegment[sloped,color=red](D,E){$x-15$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\subsection*{Exercice \no 2}

\begin{minipage}{0.64\linewidth}
On considère un cône de révolution de hauteur \textcolor{blue}{5~cm} et dont la base a pour rayon \textcolor{blue}{2~cm}. Le point $A$ est le sommet du cône et $O$ le centre de sa base. $B$ est le milieu de $[AO]$, donc $AB=2,5$cm..
  
\begin{enumerate}
\item Volume du cône en cm$^3$:
\[
V=\frac{\pi R^2\times OA}{3}=\frac{\pi 2^2\times 5}{3}=\frac{20\pi}{3}\simeq 21\text{cm}^3
\] 

\item On effectue la section du cône par le plan parallèle à la base qui passe par $B$. On obtient ainsi un petit cône de volume $V'$.

Le théorème de Thalès nous donne:
\[
\frac{AB}{AO}=\frac{1}{2}=\frac{BB'}{R}\Longleftrightarrow BB'=\frac{1}{2}\times 2=1
\]
\[
V'=\frac{\pi\times BB'^2\times AB}{3}=\frac{\pi\times 1^2\times 2,5}{3}=\frac{2,5\pi}{3}=\cfrac{\cfrac{20}{8}\pi}{3}=\frac{1}{8}V
\]

\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.24\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{0/4/A,0/0/O,-1.6/0/C,1.6/0/D,0/2/B,.8/2/B'}
\tkzDrawSegments(O,A A,C A,D O,D B,B')
\tkzDrawPoints(B,B')
\tkzLabelPoint[above](A){$A$} \tkzLabelPoint[below left](O){$O$}
\tkzLabelPoint[left](B){$B$} \tkzLabelPoint[right](B'){$B'$}
\tkzText(1.5,3){\textcolor{blue}{$OA=5$}}
\tkzLabelSegment[above,color=blue](O,D){$2$} \tkzLabelSegment[above,color=red](B,B'){$1$}
\tkzLabelSegment[sloped,color=red](B,A){\scriptsize $2,5$}
\tkzMarkSegments[mark=||](A,B B,O)
\draw[yscale=0.312,dashed] (-1.6,0) arc (180:0:1.6);
\draw[yscale=.312] (-1.6,0) arc (180:360:1.6);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{minipage}

\textcolor{red}{Le volume du petit cône, égal à $\dfrac{1}{8}$ du volume du cône initial, n'est donc pas égal à la moitié du cône initial.}


\subsection*{Exercice \no 3}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Des élèves participent à une course à pied. Avant l'épreuve, un plan leur a été remis. 

Il est représenté par la figure ci-contre.

On convient que :

\begin{itemize}
\item Les droites (AE) et (BD) se coupent en C. 
\item Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. 
\item ABC est un triangle rectangle en A.
\end{itemize}


\end{minipage}\hfill   
\begin{minipage}{0.47\linewidth}
\begin{center}
\tikzset{Arrowtyle/.style = {line width=1.5pt}}
\begin{tikzpicture}[scale=.7,decoration={
markings,mark=at position .5 with {\arrow[Arrowtyle]{>}}}]
\tkzDefPoints{.8/4.2/A,0/3/B,2.4/3/C,8.4/3/D,6.3/.3/E,8.3/.3/F}
\tkzDrawSegments[color=blue,double](A,B D,E)
\tkzDrawSegments[double](B,D E,F)
\tkzDrawSegments[dashed](A,E)
\tkzMarkSegments[->,>=latex,postaction={decorate}](B,C C,D)
\tkzMarkSegments[->,>=latex,postaction={decorate},color=blue](A,B D,E)
\tkzLabelPoint[above right](A){\footnotesize $A$ (départ)}
\tkzLabelPoint[below left](E){\footnotesize (Arrivée) $E$}
\tkzLabelPoint[above right](C){\footnotesize $C$} \tkzLabelPoint[above](D){\footnotesize $D$}
\tkzLabelPoint[below left](B){\footnotesize $B$} 
\tkzLabelSegment[sloped,color=blue](A,B){\scriptsize $300$~m}
\tkzLabelSegment[sloped,color=blue](A,C){\scriptsize $400$~m}
\tkzLabelSegment[sloped,below,color=blue](A,E){\scriptsize $\nombre{1000}$~m}
\tkzLabelSegment[sloped,color=red](B,C){\scriptsize $500$~m}
\tkzLabelSegment[sloped,color=red](C,D){\scriptsize $1250$~m}
\tkzLabelSegment[sloped,color=red](D,E){\scriptsize $750$~m}
\tkzMarkRightAngle[color=blue](B,A,C)
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
Calcul de la longueur réelle du parcours $ABCDE$:
\begin{itemize}
\item Longueur $BC$:

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, le théorème de Pythagore permet d'écrire:
\[
BC^2=AB^2+AC^2\Longleftrightarrow BC^2=300^2+400^2=250000\Longleftrightarrow BC=\sqrt{250000}=500
\]
\item Longueur $CD$:

Les droites $(AE)$ et $(BD)$ se coupent en C et les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles. Le théorème de Thalès permet d'écrire:
\[
\frac{CB}{CD}=\frac{CA}{CE}\Longleftrightarrow \frac{500}{CD}=\frac{400}{1000}\Longleftrightarrow CD=\frac{1000\times 500}{400}=1250
\]
\item Longueur $DE$:

Les droites $(AE)$ et $(BD)$ se coupent en C et les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles. Le théorème de Thalès permet d'écrire:
\[
\frac{CA}{CE}=\frac{BA}{DE}\Longleftrightarrow \frac{400}{1000}=\frac{300}{DE}\Longleftrightarrow DE=\frac{1000\times 300}{400}=750
\]
\item Longueur $ABCDE$:
\[
\ell(ABCDE)=AB+BC+CD+DE=300+500+1250+750=2800
\]
\end{itemize}

\section*{Problème\hfill 12 points}
 
\subsection*{PARTIE 1}
 
\begin{enumerate}
\item L'avion décolle chaque matin à 9~h~35 de Nantes et atterrit à 10~h~30 à Toulouse. 

La durée du vol est: 10h30$-$9h35$=$0h55, soit 55 minutes. 
\item Le tableau suivant donne le nombre de passagers qui ont emprunté ce vol pendant la première semaine de mise en service. L'information concernant le mercredi a été perdue.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Jour &\footnotesize Lundi &\footnotesize Mardi &\footnotesize Mercredi &\footnotesize Jeudi &\footnotesize Vendredi &\footnotesize Samedi &\footnotesize Dimanche &\textbf{Total}\\ \hline 
Nombre de passagers&152 &143 &\textcolor{red}{145}&164 &189 &157 &163 &\nombre{1113}\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item Le nombre de passagers ayant emprunté ce voile mercredi est
\[
1113-152-143-164-189-157-163=145
\] 
\item Il y avait en moyenne \textcolor{red}{$\overline{m}=\dfrac{1113}{7}=159$} passagers par jour dans l'avion cette semaine là.
\end{enumerate} 
\item À partir du mois de Février, on décide d'étudier la fréquentation de ce vol pendant douze semaines. La compagnie utilise une feuille de calcul indiquant le nombre de passagers par jour. Cette feuille de calcul est donnée en \textbf{ANNEXE}. 
\begin{enumerate}
\item Formule saisie dans la cellule \texttt{I2} pour obtenir le nombre total de passagers au cours de la semaine 1: \textcolor{red}{\texttt{=SOMME(B2:H2)}}. 
\item Formule saisie dans la cellule \texttt{J2} pour obtenir le nombre moyen de passagers par jours au cours de la semaine 1 \textcolor{red}{\texttt{=MOYENNE(B2:H2)}}.
	\end{enumerate} 
\item Le nombre moyen de passagers par jour au cours de ces douze semaines est égal à $166$.

Les 80\%{} de la capacité maximale de l'avion (190) correspondent à: $\dfrac{80}{100}\times 190=152$. L'objectif est atteint, puisque on a $166$ ($>152$) passagers en moyenne sur les 12 semaines.
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE 2}
 
Quand l'avion n'est plus très loin de l'aéroport de Toulouse, le radar de la tour de contrôle émet un signal bref en direction de l'avion. Le signal atteint l'avion et revient au radar \nombre{0,0003} secondes après son émission.
 
\begin{enumerate}
\item Le signal est émis à la vitesse de \nombre{300000} kilomètres par seconde.

Le signal met donc $\dfrac{0,0003}{2}=0,00015$s pour aller à l'avion.

On utilise la formule $d=Vt$, où $d$ est la distance parcourue, $t$ le temps mis pour la parcourir et $V$ la vitesse de parcours.
\[
d=Vt=\nombre{300000}\,\text{km/s}\times \nombre{0,00015}\,\text{s}=45\,\text{km}
\]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{11.5/4/A,1.5/.5/R,11.5/.5/I,6/2.8/F1,9/3.8/F2,9/3.4/F3,6/2.4/F4}
\tkzDrawSegments[dashed](R,I I,A A,R)
\tkzMarkRightAngle(A,I,R)
\tkzMarkAngle(I,R,A) \tkzLabelAngle[pos=1.3](I,R,A){$5^{\circ}$}
\tkzLabelSegment[sloped,below](R,I){Horizontale}
\tkzLabelPoint[above](A){$A$ (Avion)}
\tkzLabelPoint[left](R){$R$ (Radar)}
\tkzLabelPoint[below](I){$I$}
\tkzDrawSegments[->,>=latex,dotted](F1,F2 F3,F4)
\tkzLabelSegment[sloped](F1,F2){Signal}
\tkzLabelSegment[sloped,below,color=red](A,R){$45$~km}
\tkzLabelSegment[sloped,color=red](A,I){$3,9$~km}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La direction radar-avion fait un angle de 5° avec l'horizontale.
 
L'altitude de l'avion à cet instant:
\[
\sin\widehat{ARI}=\frac{AI}{AR}\Longleftrightarrow \sin 5^{\circ}=\frac{AI}{45}\Longleftrightarrow AI=45\times\sin 5^{\circ}\simeq 3,9\,\text{km à 100~m près}
\]
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE 3}

 
En phase d'atterrissage, à partir du moment où les roues touchent le sol, l'avion utilise ses freins jusqu'à l'arrêt complet. Le graphique en ANNEXE représente la distance parcourue par l'avion sur la piste (en mètres) en fonction du temps (en secondes) à partir du moment où les roues touchent le sol. En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes:
 
\begin{enumerate}
\item La distance parcourue par l'avion 10~s après avoir touché le sol est de \textcolor{red}{450~m}.
\item Au bout de 22~s et au bout de 26~s la distance parcourue depuis le début de l'atterrissage est la même, car l'avion doit être à l'arrêt. 
\item À partir du moment où les roues touchent le sol, l'avion met \textcolor{red}{20 secondes} pour s'arrêter. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE}}
 
\begin{flushleft}\textbf{Problème Partie 1} \end{flushleft}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{4-11} 
\multicolumn{3}{c|}{}&\multicolumn{8}{l|}{=MOYENNE(J12~J13)}\\ \hline
&A &B &C &D &E&F &G &H &I&J\\ \hline 
1&&\footnotesize lundi &\scriptsize mardi &\scriptsize mercredi &\scriptsize jeudi &\footnotesize vendredi &\scriptsize samedi &\scriptsize dimanche &\scriptsize TOTAL &\scriptsize MOYENNE\\ \hline 
2&Semaine 1 &157 &145 &142 &159 &190 &156 &161 &1110 &159\\ \hline 
3&Semaine 2 &147 &158 &156 &141 &141 &152 &155 &1050 &150 \\ \hline
4&Semaine 3 &153 &148 &162 &149 &160 &146 &163 &1081 &154\\ \hline 
5& Semaine 4 &168 &156 &162 &157 &166 &158 &161 &1128 &161\\ \hline 
6 &Semaine 5 &163 &169 &170 &162 &167 &169 &162 &1162 &166\\ \hline 
7 &Semaine 6 &156 &167 &171 &173 &165 &165 &162 &1159 &166\\ \hline 
8 &Semaine 7 &173 &172 &168 &173 &161 &162 &167 &1176 &168\\ \hline 
9 &Semaine 8 &168 &166 &170 &173 &168 &176 &165 &1186 &169\\ \hline 
10 &Semaine 9 &176 &175 &175 &171 &172 &178 &173 &1220 &174\\ \hline 
11 &Semaine 10 &185 &176 &172 &180 &185 &171 &171 &1240 &177\\ \hline 
12 &Semaine 11 &178 &181 &183 &172 &178 &172 &173 &1237 &177\\ \hline 
13 &Semaine 12 &171 &183 &171 &184 &172 &176 &173 &1230 &176\\ \hline
14&&&&&&&\multicolumn{3}{|c|}{\scriptsize moyenne sur trois mois:}&166\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}  
 
\begin{flushleft}\textbf{Problème Partie 3} \end{flushleft}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.83]
\tkzInit[xmax=32,ymax=625,xstep=2,ystep=50]

\tkzGrid[sub,subxstep=1,subystep=25]
\tkzAxeX[label={}] \tkzAxeY[label={Distance en m}]
\tkzDefSetOfPoints{0/0,2/112.5,4/220,6/302,8/382,10/450,12/504,14/548,16/575,18/590,20/599
,22/600,24/600,26/600,28/600,30/600,32/600}
\tkzJoinSetOfPoints[thick,color=blue]
\tkzText(30,-50){Temps (en s)}
\tkzDefPoints{10/0/A1,10/450/A2,0/450/A3,20/0/B1,20/600/B2,0/600/B3}
\tkzDrawSegments[->,>=latex,dashed,very thick,color=red](A1,A2 A2,A3 B1,B2 B2,B3)
\tkzXH[color=red]{0/F/[/20/F/]}
\tkzText(-3.2,600){\textcolor{red}{Arrêt:}}
\tkzText(-4,0){\textcolor{red}{Touche le sol:}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}
