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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
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\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges septembre 2009~\decofourright\\
Métropole La Réunion Mayotte}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Simplifier par 3 la fraction $\dfrac{\nombre{1404}}{\nombre{3465}}$. La fraction obtenue est-elle irréductible ? Justifier.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

Pour un tirage au hasard, on a placé dans une urne 25 boules de même taille, les unes blanches, les autres noires. La probabilité de tirer une boule blanche est 0,32. Quelles sont les boules les plus nombreuses dans l'urne : les blanches ou les noires ? Expliquer.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

La recette pour fabriquer une boisson sucrée, demande de mélanger 3 doses de sirop avec 5 doses d'eau.

Quelle quantité de sirop, exprimée en litre, faut-il utiliser pour obtenir 6 litres de cette boisson ?

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

On propose deux programmes de calcul :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\multicolumn{1}{c}{Programme A}&\multicolumn{1}{c}{Programme B}\\
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre
\item Multiplier ce nombre par 3
\item Ajouter 7
\end{itemize}&\begin{itemize}
\item Choisir un nombre
\item Multiplier ce nombre par 5
\item Retrancher 4
\item Multiplier par 2
\end{itemize}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On choisit 3 comme nombre de départ.
Montrer que le résultat du programme B est $22$.
\item On choisit $(-2)$ comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit $(-2)$ ?
		\item Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit $0$ ?
	\end{enumerate} 
\item Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?
	
Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.
	
\emph{Même si cette démarche est incomplète il en sera tenu compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} 

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(9,4.5)
\psline(0,0)(1.8,3.8)(9,0.5)%xCy
\psline(1.3,2.75)(4.1,2.75)%AB
\psline(0.35,0.75)(8.45,0.75)%DE
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1.3,2.75)(4.1,2.75)(1.8,3.8)(0.35,0.75)(8.45,0.75)(1.55,3.275)(2.7,2.75)(3.85,2.225)%ABCDEFOG
\uput[l](1.3,2.75){A} \uput[r](4.1,2.75){B} \uput[ur](1.8,3.8){C} \uput[l](0.35,0.75){D} 
\uput[ur](8.45,0.75){E} \uput[l](1.55,3.275){F} \uput[d](3.85,2.225){G} \uput[d](2.7,2.75){O}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\textbf{Données de la figure ci-contre :}

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] CDE est un triangle rectangle en C
\item[$\bullet~$] A appartient au segment [CD], B appartient au segment [CE] et la droite (AB) est parallèle à la droite (DE).
\item[$\bullet~$] Le point F est le milieu du segment [AC] 
et le point  O est le milieu de [AB].
\item[$\bullet~$] Le point G est le symétrique de F par
rapport à O.
\item[$\bullet~$] DE = 12~cm ; AB = 4,5~cm et AC = 1,8~cm
\end{itemize}}

\medskip

Parmi les quatre questions suivantes en choisir deux et rédiger avec soin leur solution. Les deux questions non choisies n'ont pas à être traitées.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature du quadrilatère AFBG ?
\item Montrer que la droite (FO) est parallèle à la droite (CB).
\item Calculer la longueur CD.
\item Calculer une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5.5,6)
\psellipse(2.6,5)(2.55,0.85)
\psline(0.1,4.85)(2.6,0.6)(5.1,4.85)
\psline(2.6,5)(5.15,5)
\psline[linestyle=dashed](2.6,5)(2.6,0.6)
\uput[u](2.6,5){H} \uput[r](5.15,5){M} \uput[d](2.6,0.6){O}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{La figure ci-contre représente un cône de
révolution d'axe (OH).

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] OH = 5~cm
\item[$\bullet~$] l'angle $\widehat{\text{HOM}}$ mesure 30\degres.
\end{itemize}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dessiner le triangle HOM en vraie grandeur.
\item Dessiner la base du cône en vraie grandeur.
\item Calculer la longueur HM. Donner le résultat arrondi au mm.
\item On verse de l'eau dans le cône jusqu'au quart de sa hauteur. Quel pourcentage du volume total du cône est occupé par l'eau ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} 

\medskip

\textbf{Partie I : Format d'un rectangle}

Sur la feuille annexe 1, cinq rectangles sont dessinés. Pour chacun, la longueur et la largeur sont indiquées. L'unité est le mm.

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau de la feuille annexe 2. (Dans la dernière ligne du tableau, toutes les fractions devront être irréductibles).
\item Cette écriture irréductible de la fraction $\dfrac{L}{\ell}$ obtenue pour chaque rectangle est appelée format du rectangle.
	\begin{enumerate}
		\item  Quels sont les rectangles du tableau qui ont le même format que le rectangle 1 ?
		\item Quels sont les rectangles du tableau qui ont le même format que le rectangle 2 ?
 	\end{enumerate}
\item Un rectangle est au format $\dfrac{16}{9}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Sachant que la largeur de ce rectangle est 54~mm, calculer sa longueur.
		\item Dessiner ce rectangle en bas de la feuille annexe 1.
		\item Si on ne connaît ni la longueur $L$ ni la largeur $\ell$, exprimer $L$ en fonction de $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie II : Étude graphique}
 
\medskip
 
À chaque rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$, on associe sur le graphique de la feuille annexe 2, le point de coordonnées $(\ell~;~L)$.
 
Les points $P_{1}$ et $P_{2}$  correspondant aux deux premiers rectangles sont déjà placés.
 
\begin{enumerate}
\item  Placer les trois autres points.
\item  Quelle conjecture peut-on faire sur la position des points correspondant aux rectangles
dont le format est $\dfrac{16}{9}$ ?
\item  On considère un rectangle de largeur $\ell$ et de longueur $L$ dont le format est $\dfrac{16}{9}$.

On appelle M le point du graphique correspondant à ce rectangle. Expliquer pourquoi M appartient à la droite O$P_{1}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie III : Étude graphique : diagonale des rectangles}
 
\medskip

Les écrans de télévision sont des rectangles qui sont en général au format $\dfrac{16}{9}$ ou $\dfrac{4}{3}$. Les fabricants
indiquent souvent, comme caractéristique de la taille de l'écran, la longueur de sa diagonale.

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de la diagonale du rectangle 1.
\item Pour les écrans de télévision au format $\dfrac{16}{9}$, les fabricants considèrent que la longueur de la diagonale vaut approximativement le double de la largeur. Justifier cette approximation.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(16,18)
\psframe(1.9,0)(15,7.3)\uput[u](8.45,7.3){$L = 128$}\uput[r](15,3.65){$l = 72$}\rput(8.45,3.65){Rectangle 5}
\psframe(0,8.9)(6,13.5)\uput[u](3.4,13.5){$L = 60$} \uput[r](6,11.2){$\ell = 45$}\rput(3,11.2){Rectangle 3}
\psframe(8.3,8.7)(16.7,13.4)\uput[u](12.5,13.4){$L = 80$} \uput[r](16.7,11.05){$\ell = 45$}\rput(12.5,11.05){Rectangle 4}
\psframe(1,14.7)(4.3,16.6)\uput[u](2.65,16.6){$L = 32$} \uput[r](4.3,15.65){$\ell = 18$}\rput(2.65,15.65){Rectangle 1}
\psframe(10.6,14.5)(14.2,17.5)\uput[u](12.4,17.5){$L = 36$} \uput[r](14.2,16){$\ell = 27$}\rput(12.4,16){Rectangle 2}
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{Annexe 2}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Rectangle 1& Rectangle 2& Rectangle 3& Rectangle 4& Rectangle 5\\ \hline
Longueur $L$&32&36&&&\\ \hline
Largeur $\ell$&18&27&&&\\ \hline
$\dfrac{L}{\ell}$ sous forme irréductible&$\dfrac{16}{9}$&$\dfrac{4}{3}$&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.134cm,yunit=0.07cm}
\begin{pspicture}(-6,-12)(84,146)

\multido{\n=0+2}{43}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,146)}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=1pt](\n,0)(\n,146)}
\multido{\n=0+4}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(84,\n)}
\multido{\n=0+20}{8}{\psline[linewidth=1pt](0,\n)(84,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(81,144)
\rput{90}(-8,70){Longueur $L$} \uput[d](40,-12){largeur $\ell$}
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.5](18,32)(27,36)
\uput[dr](18,32){$P_{1}$}\uput[dr](27,36){$P_{2}$}
\uput[dr](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=20](0,0)(-6,-12)(84,146)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}