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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Métropole  Antilles-Guyane~\decofourright\\septembre 2011}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,5cm}


\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\large Activités numériques \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

Dans une salle de cinéma les enfants paient demi-tarif et les adultes paient plein tarif. Deux adultes et cinq enfants ont payé au total 31,50~\euro.

\begin{enumerate}
\item Combien paiera un groupe composé de quatre adultes et de dix enfants ? 
\item Quel est le prix payé par un adulte ?
 
\textbf{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
Dans cet exercice, tous les dés sont équilibrés.
 
\begin{enumerate}
\item Aline possède deux dés très particuliers. Un patron de chacun de ces deux dés est donné ci-dessous : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{Dé \no 1}&\textbf{Dé \no 2}\\
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4.8,3.6)
%\psgrid
\multido{\n=0+1.2,\na=1.2+1.2}{4}{\psframe(\n,1.2)(\na,2.4)}
\multido{\n=1+1,\na=0.6+1.2}{4}{\rput(\na,1.8){\n}}
\psline(1.2,2.4)(1.2,3.6)(2.4,3.6)(2.4,2.4)
\psline(1.2,1.2)(1.2,0)(2.4,0)(2.4,1.2)
\rput(1.8,3){2}\rput(1.8,0.6){3}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4.8,3.6)
\multido{\n=0+1.2,\na=1.2+1.2}{4}{\psframe(\n,1.2)(\na,2.4)}
\rput(0.6,1.8){1} \rput(1.8,1.8){4} \rput(3,1.8){6} \rput(4.2,1.8){8}
\psline(1.2,2.4)(1.2,3.6)(2.4,3.6)(2.4,2.4)
\psline(1.2,1.2)(1.2,0)(2.4,0)(2.4,1.2)
\rput(1.8,3){3}\rput(1.8,0.6){5}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\medskip

Elle lance ses deux dés puis elle note le nombre obtenu avec le premier dé et celui obtenu avec le second dé. Elle calcule ensuite la somme de ces deux nombres. Par exemple, si elle obtient un \og 4 \fg{} avec le dé \no 1 et un \og 5 \fg{} avec le dé \no 2, la somme est égale à 9. 

Aline a obtenu une somme égale à 8. Écrire toutes les possibilités de lancers qui correspondent à ce résultat.
 
\item Aline se demande quelle est la probabilité d'obtenir les différentes sommes. Pour se faire une idée elle décide d'effectuer \np{5000} lancers. Voici ses résultats.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Sommes& 2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline 
Effectifs avec les dés d'Aline&122 &264 &418 &592 &677 &848 &724 &529 &398 &301 &127\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
Avec quelle fréquence Aline a-t-elle obtenu une somme égale à 6 ? 
\item Bertrand possède deux dés classiques. Sur chaque dé, les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6 de telle façon que la somme des nombres inscrits sur deux faces opposées soit égale à 7. 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter sur l'ANNEXE 2, le patron qui correspond à un dé classique de telle sorte que cette consigne soit respectée. 
		\item Bertrand voudrait obtenir une somme égale à 2 avec deux dés. A-t-il plus de chances d'obtenir ce résultat en lançant les deux dés d'Aline ou en lançant ses deux dés?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,4)
\psframe(1,0.5)(4,3.5)\uput[ul](1,3.5){A}\uput[ur](4,3.5){B}\uput[dr](4,0.5){C}
\uput[dl](1,0.5){D}
\psline[linewidth=0.4pt,arrowsize=3pt 5]{<->}(1,0.25)(2,0.25)
\rput(1.5,0){1}
\psline[linewidth=0.4pt,arrowsize=3pt 5]{<->}(2,0.25)(4,0.25)
\rput[d](3,0){$\sqrt{3}$}
\uput[dl](6,1){E} \uput[ul](6,2){F} \uput[ur](11,2){G} \uput[dr](11,1){H} 
\uput[l](6,1.5){1} 
\psframe(6,1)(11,2)
\end{pspicture}

\medskip

Les figures ci-dessus représentent un carré de côté $1 + \sqrt{3}$ et un rectangle de largeur 1 et de longueur indéterminée. Les longueurs sont données en centimètres, mais les dessins ne sont pas en vraie grandeur.

\medskip
 
\textbf{Les deux questions sont indépendantes}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on veut que le périmètre du rectangle EFGH soit égal à celui du carré ABCD.
 
Déterminer dans ce cas la valeur exacte de FG. 
\item Dans cette question, on veut que les aires des deux quadrilatères ABCD et EFGH soient égales.
 
Justifier que la valeur exacte de FG est alors $4 + 2\sqrt{3}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Activités géométriques \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

\parbox{0.46\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Le dessin ci~contre est une représentation en perspective cavalière d'un prisme droit à base triangulaire. 

Les faces BAC et DEF de ce solide sont des triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit mesurent 2~cm et 4~cm. 

La hauteur de ce prisme est 7~cm.
 
Construire en vraie grandeur la face ACFD. 
\item Calculer le volume de ce prisme.
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.46\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(7,3)
\pspolygon(0.5,0)(2.3,0)(0.5,1)
\psline(2.3,0)(5.9,1)(4.1,1.85)(0.5,1)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(4.1,1)(5.9,1)
\psline[linestyle=dashed](4.1,1)(4.1,1.85)
\psframe(0.5,0)(0.7,0.2)
\rput(3.5,-1.2){Le dessin n'est pas à l'échelle}
\uput[ul](0.5,1){A}  \uput[dl](0.5,0){B}  \uput[d](2.3,0){C}  
\uput[u](4.1,1.85){D}  \uput[ul](4.1,1){E}  \uput[r](5.9,1){F}  
\uput[l](0.5,0.5){2}  \uput[d](1.4,0){4}  \uput[dr](4.1,0.5){7}  
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

On a dessiné et codé quatre figures géométriques. Dans chaque cas, préciser si le triangle ABC est rectangle ou non. 

Une démonstration rédigée n'est pas attendue. Pour justifier, on se contentera de citer une propriété ou d'effectuer un calcul. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(6.5,7)
\pscircle(3.3,3.8){2.95}\pspolygon(0.35,3.5)(6.2,3.5)(4.6,6.4)
\psline[linestyle=dashed](0.35,3.5)(3.3,3.8)(6.2,3.5)
\psline[linestyle=dashed](3.3,3.8)(4.6,6.4)
\uput[l](0.35,3.5){A}\uput[r](6.2,3.5){B}\uput[u](4.6,6.4){C}\uput[ul](3.3,3.8){O}
\rput(1.8,3.7){//}\rput(4.8,3.7){//}\rput{80}(4,5.1){//}
\rput(3.25,0.2){Figure 1 }
\end{pspicture}&\begin{pspicture}(6.5,7)
\pspolygon(0.5,3)(4.9,3)(4.9,5.5)
\uput[l](0.5,3){A}\uput[r](4.9,3){B}\uput[u](4.9,5.5){C}
\uput[ul](2.7,4.5){4,25 cm}\uput[d](2.7,3){3,75 cm}\uput[r](4.9,4.25){2 cm}
\rput(2.75,0.2){Figure 2 }
\end{pspicture}  \\ \hline
\begin{pspicture}(6.5,7)
\pspolygon(0.2,2.2)(5.3,2.2)(1.9,4.7)
\psline(1.9,4.7)(2.75,2.2)
\uput[l](0.2,2.2){A} \uput[r](5.3,2.2){B} \uput[u](1.9,4.7){C}
\rput(1.5,2.2){//} \rput(4,2.2){//}\rput{80}(2.35,3.4){//}
\uput[d](2.75,2.2){D}
\rput(2.75,1){Les points A, B et D sont alignés.}
\rput(2.75,0.2){Figure 3 }
\end{pspicture}&\begin{pspicture}(6.5,7)
\pspolygon(0.2,2.1)(5.8,2.1)(2.3,4.7)
\uput[l](0.2,2.1){A} \uput[dl](5.8,2.1){B} \uput[u](2.3,4.7){C}
\rput(1.1,2.55){49 \degres}\rput(4.7,2.55){36 \degres}
\pswedge*(0.2,2.1){0.7}{0}{54} \pswedge*(5.8,2.1){0.7}{144}{180}
\rput(2.75,0.2){Figure 4 } 
\end{pspicture}  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip 

\parbox{0.55\linewidth}{Le dessin donné ci-contre n'est pas en vraie grandeur.
 
Il représente une figure géométrique pour laquelle on sait que :
 
$\bullet~~$ ABC est un triangle rectangle en B,
 
$\bullet~~$ E est sur le segment [AB] et D sur le segment [AC], 

$\bullet~~$ AE = 2,4 cm,
 
$\bullet~~$ AB = 3 cm,
 
$\bullet~~$ AC = 8 cm,
 
$\bullet~~$ AD = 6,4 cm.} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(6,3.5)
\pspolygon(0,0)(6,0)(1.5,2.6)
\psline(4.4,0)(1.1,1.9) \rput{-30}(1.5,2.6){\psframe(0,0)(0.2,-0.2)}
\uput[dl](0,0){A} \uput[u](1.5,2.6){B} \uput[d](6,0){C} 
\uput[d](4.4,0){D} \uput[ul](1.15,1.85){E} 
\end{pspicture}}
 
\begin{enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur. 
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ à un degré près. 
\item Démontrer que AED est un triangle rectangle. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Problème \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les trois parties sont indépendantes} \end{center}
 
Jérémy visite Londres avec ses parents. Ils décident d'aller au \og London Eye \fg, la grande roue panoramique de Londres. 

\begin{center}\textbf{1\up{re} partie}

\smallskip 
 
Utiliser les documents 1 et 2 de l'ANNEXE 1, pour répondre aux questions de cette partie.
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Est-il vrai que le \og London Eye \fg{} est plus de deux fois plus haut que la grande roue installée à Paris en août 2010 ? Aucune justification n'est attendue. 
\item Quelle est la différence de hauteur entre le \og London Eye \fg{} et la grande roue de Pékin? 
\item Combien de temps dure un tour complet de la roue dans le \og London Eye \fg{} ? 
\item Combien de personnes au maximum peuvent se trouver ensemble dans le \og London Eye \fg{} ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Dans toute la suite du problème on considère que :}
 
\qquad \textbf{la roue est un cercle dont le diamètre est égal à 134~m.}

\qquad \textbf{la cabine est un point sur ce cercle ; on notera ce point C.}

\bigskip
 
\begin{center}\textbf{2\up{e} partie - Le tour de roue d'une cabine du \og London Eye \fg }\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une cabine du \og London Eye \fg{} quitte le sol à 14 h 40. À quelle heure y reviendra-t-elle après avoir fait un tour ? 
\item Pour cette question, on utilisera le graphique donné dans le document 3 de l'ANNEXE 1. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée de la hauteur à laquelle se trouve la cabine cinq minutes après son départ du sol. \emph{Aucune justification n'est attendue.} 
		\item Donner une valeur approchée de la hauteur à laquelle se trouve la cabine dix minutes après son départ du sol. \emph{Aucune justification n'est attendue.}  
		\item Au cours des quinze premières minutes de la montée, la hauteur à laquelle se trouve la cabine est-elle proportionnelle au temps écoulé depuis son départ du sol ? 
		\item Donner une estimation de la durée pendant laquelle la cabine sera à plus de 100m de hauteur par rapport au sol pendant un tour. \emph{Aucune justification n'est attendue.} 
	\end{enumerate} 
\item Calculer le périmètre de la roue. Donner le résultat arrondi au mètre près. 
\item La roue tourne à une vitesse constante. Est-il exact que la cabine se déplace à moins de 1 km/h ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\begin{center}\textbf{3\up{e} partie - Calcul de la hauteur de la cabine par rapport au sol} \end{center}

\parbox{0.65\linewidth}{La roue ne s'arrête pas pour laisser monter et descendre ses passagers. Elle tourne à une vitesse très faible et constante. Sur le schéma, le point C représente la cabine. Quand la cabine se trouve en bas, le point C est confondu avec le point D.

Pendant que la roue tourne, on admet que l'angle $\widehat{\text{COD}}$ est proportionnel au temps écoulé depuis que la cabine a quitté le sol.}\hfill
\parbox{0.3\linewidth}{ \psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(5.5,5.2)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}\psarc{->}(2.5,2.5){2.8}{40}{60}
\psline(2.5,0)(2.5,2.5)(4,0.55)
\psline(1,0)(4,0)
\uput[ul](2.5,2.5){O}\uput[d](2.5,0){D}\uput[dr](4,0.55){C}
\end{pspicture}}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Compléter les schémas de l'ANNEXE 2, en plaçant le point C où se trouve la cabine à l'instant précisé. On considère qu'au départ, la cabine est en bas. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{COD}}$ cinq minutes après le départ ? 
		\item Quelle est alors la nature du triangle COD ? 
		\item Retrouver par le calcul la hauteur à laquelle se trouve la cabine cinq minutes après qu'elle a quitté le sol.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
 
\newpage

\begin{center}\textbf{\large Annexe 1}\end{center}

\textbf{Document 1 :} Informations sur cinq grandes roues touristiques du monde 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nom&Hauteur &Année de construction&Pays &Ville\\ \hline 
 La grande roue de Pékin (Beijing Great Wheel)& 208 m &2009 &Chine &Beijing\\ \hline 
Singapore Flyer &165 m &2008 &Singapour &Singapour\\ \hline 
London Eye &135 m &1999 &Royaume-Uni &Londres\\ \hline 
Tempozan Harbor Village Ferris Wheel &112,5 m &1997 &Japon &Osaka\\ \hline 
Grande Roue de Paris &60 m &2010 &France &Paris\\ \hline 
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Document 2 :} Extrait du dépliant touristique du \og London Eye \fg

\medskip
 
Le \og London Eye \fg{} accueille une moyenne de 3,5 millions de visiteurs chaque année.

Horaires d'ouverture: 10 h - 21 h 30.
 
Fermé du 3 au 8 janvier et le 25 décembre.
 
La grande roue, véritable triomphe de la technologie, haute de 135 m pour une masse totale de \np{2100}~tonnes, constitue un nouveau point de repère spectaculaire au bord de la Tamise.
 
Pendant un tour complet d'une durée de 30 minutes, les visiteurs sont installés dans 32 cabines fermées qui peuvent contenir chacune 25 personnes au maximum ; ils découvrent une vue exceptionnelle s'étendant sur 20 km à la ronde !

\bigskip
 
\textbf{Document 3 :} Le tour de roue d'une cabine du London Eye

\medskip
 
Le graphique ci-dessous représente la hauteur, par rapport au sol, à laquelle se trouve une cabine du London Eye en fonction du temps écoulé depuis que cette cabine a quitté le sol.
 
La hauteur est mesurée en mètres et le temps est mesuré en minutes.

\medskip

\psset{xunit=0.333cm,yunit=0.0417cm}
\begin{pspicture}(-4,-25)(32,155) 
\multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,150)}
\multido{\n=0+5}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(30,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(30,150)
\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,0)(2,5)(5,35)(8,75)(10,102.5)(13,130)(15,135)(17,130)(20,102.5)(22,75)(25,35)(28,5)(30,0)
\rput(15,-25){Temps écoulé depuis le départ du sol (en minutes)} 
\rput{90}(-3.2,75){Hauteur en mètres}
\end{pspicture}

\newpage
\begin{center}
\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 2	 3. a.}\end{flushleft}

\medskip
 
Dé classique

\medskip
 
\psset{unit=1cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(4.8,3.6)
\multido{\n=0+1.2,\na=1.2+1.2}{4}{\psframe(\n,1.2)(\na,2.4)}
\multido{\na=0.6+1.2}{3}{\rput(\na,1.8){\ldots}}\rput(4.2,1.8){2}
\psframe(1.2,2.4)(2.4,3.6)\psframe(1.2,0)(2.4,1.2)
\rput(1.8,3){\ldots}\rput(1.8,0.6){\ldots}
\end{pspicture}\end{center}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Problème} \emph{Aucune justification n'est attendue}\end{flushleft} 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(0,-0.8)(5.5,5.5)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}\psarc{->}(2.5,2.5){2.8}{40}{60}
\psline(2.5,0)(2.5,2.5)
\psline(1,0)(4,0)
\uput[ul](2.5,2.5){O}\uput[d](2.5,0){D}\rput(2.75,-0.7){Au départ}
\end{pspicture}&\begin{pspicture}(0,-0.8)(5.5,5.5)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}\psarc{->}(2.5,2.5){2.8}{40}{60}
\psline(2.5,0)(2.5,2.5)(4.665,1.25)\uput[dr](4.665,1.25){C}
\psline(1,0)(4,0)
\uput[ul](2.5,2.5){O}\uput[d](2.5,0){D}\rput(2.75,-0.7){5 min après le départ }
\end{pspicture}\\
\begin{pspicture}(0,-0.8)(5.5,5.5)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}\psarc{->}(2.5,2.5){2.8}{40}{60}
\psline(2.5,0)(2.5,2.5)(2.5,5)\uput[u](2.5,5){C}
\psline(1,0)(4,0)
\uput[ul](2.5,2.5){O}\uput[d](2.5,0){D}\rput(2.75,-0.7){15 min après le départ}
\end{pspicture}&\begin{pspicture}(0,-0.8)(5.5,5.5)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}\psarc{->}(2.5,2.5){2.8}{40}{60}
\psline(2.5,0)(2.5,2.5)
\psline(1,0)(4,0)
\uput[ul](2.5,2.5){O}\uput[d](2.5,0){D = C}\rput(2.75,-0.7){30 min après le départ}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}