\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\texteuro{}} \usepackage{color} \usepackage{pstricks,pst-plot} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet des collèges}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie décembre 2006}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet des collèges} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{décembre 2006}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\Décembre 2006}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \begin{enumerate} \item On donne : \[\text{A} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6}~~\text{et}~~\text{B} = \dfrac{7}{5} - \dfrac{9}{5} \times \dfrac{2}{21}.\] Calculer A et B. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible. \item On donne les nombres : \[\text{C} = 5 - 3 \sqrt{2}\quad \text{et} \quad \text{D} = 3 + 2\sqrt{2}.\] Calculer C $+$ D puis C $-$ D ; on donnera les résultats sous la forme $a + b\sqrt{c},\: c$ étant le plus petit possible. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip Cette série statistique représente les pointures des claquettes de 25 personnes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 42& 42& 40& 39& 42\\ \hline 41& 38& 38& 39& 46\\ \hline 44& 41& 38& 38& 39\\ \hline 38& 39& 39& 45& 38\\ \hline 39& 39& 40& 38& 38\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau des effectifs suivant. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Pointure des claquettes&38& 39& 40& 41& 42& 43& 44& 45 & 46\\ \hline Effectifs&&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Déterminer l'étendue, la médiane et calculer la moyenne de cette série statistique. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} On donne l'expression suivante : $E = (3x- 1)^2 + (2x+ 5) x (3x- 1)$. \begin{enumerate} \item Développer puis réduire l'expression $E$. \item Factoriser l'expression $E$. \item Résoudre l'équation: $(3x - 1) x (5x + 4) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}} V représente la vitesse moyenne, $d$ la distance parcourue et $t$ la durée du parcours. Les trois grandeurs vérifient la relation : V $= \dfrac{d}{t}$. Compléter le tableau suivant. Les réponses seront inscrites avec leurs unités. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~}&V & $d$ &$t$\\ \hline $a$ & 70 km/h & &5 h\\ \hline $b$ & 9 m/s &450 m & \\ \hline $c$ & 25 m/s & &2 mm\\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \emph{Dans cet exercice, la figure n'est pas en vraie grandeur.} RST est un triangle rectangle en S tel que $\widehat{\text{RTS}} = 57$\degres{} et RS = 19~cm. Calculer la longueur ST et donner le résultat arrondi au mm près. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,2.5) \pspolygon(1.1,2.2)(5.5,2.2)(5.5,0)%RST \uput[l](1.1,2.2){R} \uput[ur](5.5,2.2){S} \uput[dr](5.5,0){T} \psline(5.5,2)(5.3,2)(5.3,2.2) \pswedge(5.5,0){4mm}{90}{150} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip On considère un repère orthonormé (O ; I, J). L'unité choisie est le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A(0 ; 2); B$(~1 ;~ - 1)$ ; C(6 ; 4). \item Montrer que BC $= \sqrt{50}$. \item On admet que AB$ = \sqrt{10}$ b et AC $= \sqrt{40}$. Montrer que le triangle ABC est rectangle. \item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AB]. \item Sur la figure de la question 1., placer 1e point D, image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{CB}}$. \item Montrer que le quadrilatère ACBD est un parallélogramme. \item Que représente le point M pour le segment [CD] ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{ Exercice 3}} \medskip Soit ACD un triangle, B est un point du segment [AD] et E un point du segment [AC]. On donne : \[\text{AB} = 5~\text{ cm}~ ;~ \text{AE} = 4~\text{cm}~ ;~ \text{AC} = 6,4~\text{cm} ~; ~\text{AD} = 8~\text{cm}~\text{et}~ \text{CD} = 10~\text{cm}.\] \begin{enumerate} \item Construire la figure en vraie grandeur. \item Montrer que les droites (BE) et (CD) sont parallèles. \end{enumerate} \bigskip \textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip On considère le carré ABCD dont la mesure d'un côté (en cm) a pour expression $2x + 1$, et le carré AEFG ayant 4~cm de côté, comme représentés ci-dessous (la figure n'est pas en vraie grandeur). \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,7) \psframe(6,6) \pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(6,0)(6,6)(3.4,6)(3.4,2.6)(0,2.6) \uput[r](6,3){$2x+ 1$} \uput[ul](0,6){A} \uput[ur](6,6){B} \uput[dr](6,0){C} \uput[dl](0,0){D} \uput[u](3.4,6){E} \uput[dr](3.4,2.6){F} \uput[l](0,2.6){G} \rput(1.7,6.6){$4$} \psline{->}(1.9,6.6)(3.4,6.6) \psline{->}(1.5,6.6)(0,6.6) \psline{->}(6.3,3.3)(6.3,6) \psline{->}(6.3,2.7)(6.3,0) \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \emph{Dans cette partie, on considère que $x$ est égal à $3$.} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter, dans ce cas, la figure en vraie grandeur. \item Calculer, dans ce cas, le périmètre du polygone BCDGFE. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Dans cette partie, on considère que $x$ est supérieur à $2$.} On désigne par $\mathcal{P}$ le périmètre du polygone BCDGFE. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{P}= 8x + 4$. \item En utilisant l'expression de la question précédente, calculer $\mathcal{P}$ dans le cas où $x = 3$. \item Pour quelle valeur de $x$, ce périmètre $\mathcal{P}$ est-il le double de celui du carré AEFG ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On considère la fonction $f$ définie par $f : x \longmapsto 8x + 4$. \begin{enumerate} \item Tracer sur papier millimétré, dans un repère orthogonal, la représentation graphique de cette fonction, pour les valeurs de $x$ positives. On prendra 2~cm par unité sur l'axe des abscisses et 2~cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées. On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille. \item Déterminer graphiquement pour quelle valeur de $x,~f(x) = 28$. On laissera apparents les traits de construction. \item Déterminer graphiquement : \begin{enumerate} \item pour quelle valeur de $x$, le périmètre du polygone BCDGFE est égal à 40~cm. \item quel est le périmètre du polygone BCDGFE lorsque $x = 3,5$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}