\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie décembre 2009},
allbordercolors = white}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet
 Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\décembre 2009}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X|}\cline{2-2}
On donne le programme de calcul suivant:&\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Choisir un nombre ; 
\item[$\bullet~$] Lui ajouter 3 ; 
\item[$\bullet~$] Multiplier cette somme par 4 ; 
\item[$\bullet~$] Enlever 12 au résultat obtenu. 
\end{itemize}\\ \cline{2-2}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que si le nombre choisi au départ est 2, on obtient comme résultat 8. 
\item Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Le nombre choisi est $\dfrac{1}{3}$ ; 
\item[$\bullet~$]  Le nombre choisi est $\sqrt{5}$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item
	\begin{enumerate}
		\item À votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au résultat final ? 
		\item Démontrer votre réponse.
		 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip
	 
\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

La roussette rousse est une espèce de chauve souris, endémique au territoire de la Nouvelle-Calédonie. Elle sera la mascotte officielle des XIV\up{es} Jeux du Pacifique de 2011. 

\medskip

Dans une urne, on a dix boules indiscernables au toucher portant les lettres du mot ROUSSETTES

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(11,0.5)
\multirput(0.5,0)(1.1,0){10}{\pscircle(0,0){0.5}}
\rput(0.5,0){R} \rput(1.6,0){O}\rput(2.7,0){U}\rput(3.8,0){S}
\rput(4.9,0){S}\rput(6,0){E}\rput(7.1,0){T}\rput(8.2,0){T}
\rput(9.3,0){E}\rput(10.4,0){S}
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip
 
On tire au hasard une boule dans cette urne et on regarde la lettre inscrite sur la boule.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quels sont les six résultats possibles à l'issue d'un tirage ? 
\item Déterminer les probabilités suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item  la lettre tirée est un R. 
		\item  la lettre tirée est un S. 
		\item  la lettre tirée n'est pas un S.
	\end{enumerate} 
\item Julie affirme qu'elle a plus de chance d'obtenir une voyelle qu'une consonne à l'issue d'un tirage. A-t-elle raison ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip
	 
\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, une seule des réponses proposées est exacte.
 
Vous répondrez sur la feuille donnée en annexe  en entourant distinctement la réponse qui vous paraît la bonne.
 
Aucune justification n'est demandée.
 
Il ne sera enlevé aucun point en cas de mauvaise réponse. 

\bigskip
	 
\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip 

Pour trouver la hauteur d'une éolienne, on a les renseignements suivants :

\medskip

\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(12,6)
%\psgrid
\def\pale{\pscurve(0,0)(0.5,-0.05)(1,-0.035)(1.5,0)(1,0.035)(0.5,0.05)(0,0)}
\uput[r](0,3.5){Les points O,  A et C sont alignés.}
\uput[r](0,3){Les points O, B et D sont alignés.}
\uput[r](0,2.5){Les angles $\widehat{\text{OAB}}$ et $\widehat{\text{ACD}}$ sont droits.}
\uput[r](0,2){OA = 11 m ;  AC  = 594 m ; AB = 1,5 m.}
\pspolygon(5.5,0)(10.5,0)(10.5,2.5)
\psline(7,0)(7,0.77)
\uput[r](6.1,5.5){Le schéma n'est pas représenté en vraie }
\uput[r](6.1,5){grandeur}
\uput[r](6.1,4.5){Le segment [CD] représente l'éolienne.}
\psline(10.3,0)(10.5,2.5)(10.7,0)
\psframe(10.3,0)(10.5,0.2) \psframe(6.8,0)(7,0.2)
\psline[linestyle=dashed](10.5,2.5)(11.7,2.5)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(11.7,2.5)(11.7,0)
\rput{90}(11.9,1.25){\footnotesize hauteur de l'éolienne}
\pscircle(10.5,2.5){1mm}
\rput{-72}(10.5,2.5){\pale}\rput{48}(10.5,2.5){\pale}\rput{168}(10.5,2.5){\pale}
\psline[linestyle=dashed](10.5,0)(11.7,0)
\uput[dl](5.5,0){O} \uput[d](10.5,0){C} \uput[ul](10.5,2.5){D} \uput[d](7,0){A} \uput[u](7,0.77){B} 
\end{pspicture}
  
\medskip
\begin{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 
\item  Calculer la hauteur CD de l'éolienne. Justifier. 
\end{enumerate}
 
\bigskip
	 
\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Un parc de jeu à une forme triangulaire. Il est représenté sur la figure ci-dessous où les dimensions ne sont pas respectées.
 
Les dimensions réelles de ce terrain sont : 

DE = 12~m, EF = 9~m, DF = 15~m.

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,3.5)
\pspolygon(0.5,3)(5.5,3)(5.5,0.5)
\uput[l](0.5,3){D} \uput[ur](5.5,3){E} \uput[dr](5.5,0.5){F} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item On veut construire ce triangle à l'échelle $1/200$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Le tableau ci-dessous est reproduit dans l'annexe. Le compléter. 
		
\medskip
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|p{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&DE 	&EF &DF	 \\ \hline	
Dimensions réelles	&12~m	&9~m&15~m \\ \hline
Dimensions du dessin&6~cm	&	&  \\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}
		\item Construire le triangle DEF.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que ce terrain possède un angle droit.
\item Calculer l'aire réelle de ce parc. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Ce problème est composé de trois parties indépendantes}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip
 
Un chocolatier dispose de \np{1575}~bonbons au chocolat blanc et de \np{4410}~bonbons au chocolat noir.

 Afin de préparer les fêtes de fin d'année, il veut répartir ses chocolats dans des boîtes de la manière suivante  :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] tous les chocolats doivent être utilisés 
\item[$\bullet~$]toutes les boîtes doivent avoir la même composition.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
De plus il veut réaliser le plus grand nombre de boîtes possible.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Combien pourra-t-il faire de boîtes ? Justifier votre réponse. 
\item Dans chaque boîte, combien y aura-t-il de chocolats blancs et de chocolats noirs ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
  
En une semaine, Nicolas le chocolatier, a vendu toutes ses boîtes.

Voici la répartition des ventes pour chaque jour de la semaine. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash\footnotesize}X|}}\hline
Jours de la semaine& lundi &mardi &mercredi &jeudi &vendredi &samedi &dimanche \\ \hline 
Nombre de boî\-tes vendues&13 &32 &60 &54 &61 &63 & 32 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item  Représenter la répartition des ventes pour chaque jour de la semaine à l'aide d'un diagramme en bâtons. 
\item Quel est le nombre total de boîtes vendues durant la semaine ? 
\item Calculer le pourcentage de boîtes vendues durant le week-end (samedi et dimanche). Arrondir le résultat à l'unité.  
\item Calculer le nombre moyen de boîtes vendues par jour.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Troisième partie}

\medskip 
 
Le chocolatier a vendu 315 boîtes dans la semaine. Chaque boîte contient 19 chocolats. Une boîte vide coûte 200~F. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En supposant qu'un chocolat coûte 100~F. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le prix d'une boîte de chocolats ? 
		\item En déduire combien rapporte la vente des 315 boîtes durant la semaine ?
	\end{enumerate} 
\item Quel devrait être le prix d'un chocolat si le chocolatier voulait vendre sa boîte \np{2290}~F ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
\textbf{ANNEXE à rendre avec votre copie}

\begin{flushleft} \textbf{Activités géométriques : exercice 1} 
\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline
&A& B &C  \\ \hline
\textbf{1.} Avec les données de cette figure, l'arrondi au 
mm près de AB est: 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,2.5)
\pspolygon(0.2,0.3)(2.8,2)(0.2,2)
\uput[dl](0.2,0.3){A} \uput[ur](2.8,2){C} \uput[ul](0.2,2){B}
\psframe(0.2,1.8)(0.4,2) \rput(2.3,1.85){23\degres}\uput[u](1.5,2){5,2cm} 
\end{pspicture}&\hspace{2.5cm} 4,8 cm &\hspace{2.5cm}2,2 cm &\hspace{2.5cm}2 cm  \\ \hline
\textbf{2.} Avec les données de cette figure, la longueur 
DE en cm est :

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,2.5)
\rput{15}(0.5,0.3){\pspolygon(0.2,0.3)(2.6,0.3)(0.2,1.7)
\psframe(0.4,0.3)(0.2,0.5)}
\uput[dl](0.6,0.6){E} \uput[ur](2.98,1.2){F} \uput[ul](0.25,2){D} \rput(1.8,0.6){6 cm }\uput[u](1.5,1.6){7,5 cm} 
\end{pspicture}&\hspace{2.5cm} 1,5 cm&\hspace{2.5cm} 9,6 cm&\hspace{2.5cm} 4,5 cm \\ \hline
\textbf{3.} La section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe est un : &\hspace{2.5cm} trapèze &\hspace{2.5cm}rectangle &\hspace{2.5cm}cercle \\ \hline
\textbf{4.} Le point K appartient au cercle de diamètre [IJ] et $\widehat{\text{KIJ}}$ mesure 32\degres alors :

\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3.2,3.2) 
\pscircle(1.7,1.6){1.5}
\pspolygon(0.25,1.9)(3.1,1.18)(2.2,0.2)
\uput[l](0.25,1.9){I} \uput[r](3.1,1.18){J} \uput[dr](2.2,0.27){K}
\rput(1.1,1.5){32\degres} 
\end{pspicture}&\hspace{2.5cm} $\widehat{\text{IJK}}$ mesure 32\degres &\hspace{2.5cm} On ne peut pas calculer la mesure de $\widehat{\text{IJK}}$ &\hspace{2.5cm} $\widehat{\text{IJK}}$ mesure 58\degres \\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}
\begin{flushleft} \textbf{Activités géométriques : exercice 3} 
\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|p{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&DE 	&EF &DF	 \\ \hline	
Dimensions réelles	&12~m	&9~m&15~m \\ \hline
Dimensions du dessin&6~cm	&	&  \\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}