\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength\headheight{13.7pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} % Tapuscrit : Denis Vergès \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet des collèges}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie mars 2010}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet des collèges} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nouvelle--Calédonie mars 2010 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Pour chacune des propositions trois réponses sont proposées et une seule est exacte. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\textbf{Réponse A} &\textbf{Réponse B} &\textbf{Réponse C}\\ \hline $5^4$ est égal à : &$5 \times 5 \times 5$ &125 &625\\ \hline La valeur approchée arrondie au centième de $\sqrt{100 - 25}$ est :& $- 15$&8,66&8,67\\ \hline L'expression développée et réduite de $(7 - 3x)(7 + 3x)$ est égale à :&$49 - 9x^2$&$49 - 3x^2$&$14 - 9x^2$\\ \hline Le PGCD de \np{5082} et \np{4641} est : &3 &21 &13\\ \hline L'équation $(2x + 4)((x - 9) = 0$ a pour solutions :&$- 2$ et 9&2 et $- 9$&6 et 9\\ \hline \end{tabularx} \medskip Recopier la réponse sur le tableau ci-après. \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|m{5cm}|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\textbf{Réponse }\\ \hline $5^4$ est égal à :&\\ \hline La valeur approchée arrondie au centième de $\sqrt{100 - 25}$ est :&\\ \hline L'expression développée et réduite de $(7 - 3x)(7 + 3x)$ est égale à :&\\ \hline Le PGCD de \np{5082} et \np{4641} est :&\\ \hline L'équation $(2x + 4)((x - 9) = 0$ a pour solutions :&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip \textbf{Recopier et compléter :} \begin{enumerate} \item Le double de 100 est \ldots \item La moitié de 100 est \ldots \item le carré de 100 est \ldots. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip L'équipe de volley du collège est constituée de 6 joueurs. Parmi ces joueurs, l'un d'eux se prénomme Patrick. Le professeur d'EPS désigne au hasard l'élève qui sera le capitaine de l'équipe. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que Patrick soit le capitaine de cette équipe ? \item Deux tiers des ces joueurs de volley mesurent $1$~m 80 ou plus. Quelle est la probabilité qu'un joueur de l'équipe mesure moins de $1$~m 80 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip \textbf{Dans cette exercice, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Un automobiliste quitte Nouméa pour aller à la foire de Koumac. Le véhicule a parcouru $348$~kilomètres en $240$~minutes. On considère que la vitesse du véhicule est constante. Sachant que la vitesse réglementaire est limitée à $110$~km/h sur les routes de Nouvelle-Calédonie, l'automobiliste a-t-il respecté la réglementation de vitesse ? \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \textsc{Première partie} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un triangle ABC tel que AC $ = 12$~cm, AB $= 13$~cm et BC $ = 5$~cm. \item Placer le point R appartenant à [AC] tel que AR = 9~cm. \item Placer le point T appartenant à [AB] tel que la droite (RT) soit perpendiculaire à la droite (AC). \end{enumerate} \medskip \textsc{Deuxième partie} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. \item Que peut-on dire des droites (RT) et (BC) ? Justifier. \item Calculer la valeur exacte de la longueur du segment [AT]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox{0.65\linewidth}{\emph{La figure n'est là qu'à titre indicatif et elle n'est pas à reproduire} Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD tel que AB = 5~cm et sa hauteur [SH] est de 10~cm. On coupe la pyramide par un plan (P) parallèle à la base passant par les points M, N, O et P tel que SI = 5~cm.} \hfill \parbox{0.32\linewidth}{\psset{unit=1.4cm}\begin{pspicture}(4,4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.23,2)(2.78,2.6)(1.78,2.6)(1.26,2)%NOPM \pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.5,1.7)(2,3.5)%ABCS \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.5,1.7)(2.5,0.5)%ADB \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(3.5,1.7)(1.5,1.7)%ACD \psline[linestyle=dashed](2,3.5)(1.5,1.7)%SD \psline[linestyle=dashed](2,3.5)(2,1.1)%SH \uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[r](3.5,1.7){C} \uput[ur](1.5,1.7){D} \uput[u](2,3.5){S} \uput[ur](2,1.1){H} \uput[dr](2.23,2){N} \uput[ur](2.78,2.6){O} \uput[ul](1.78,2.6){P} \uput[l](1.26,2){M} \uput[l](2.02,2.3){I}\psdots(2.02,2.3) \psline(1.8,1.02)(1.8,1.2)(2,1.28) \psline(2,3.5)(2.5,0.5)%SB \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Le volume d'une pyramide est donné par la formule $v = \dfrac{b \times h}{3}$ avec $b$ l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide. Calculer le volume de la pyramide SABCD au cm$^3$ près. \item Quelle est la nature de la section de de la pyramide par ce plan ? \item La pyramide SMNOP est une réduction de la pyramide SABCD. Calculer le coefficient de cette réduction. \item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ de la section MNOP. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points} \medskip Deux frères, étudiants, Max et Mathieu effectuent de petits boulots pour leur argent de poche. Max travaille à la bibliothèque universitaire. Pour cela il est payé 800~francs de l'heure et reçoit un salaire fixe de \np{4000}~francs par mois. Mathieu fait régulièrement du baby-sitting pour ses voisins et il est rémunéré \np{1000}~francs de l'heure. \medskip \textsc{Première partie : Max et Mathieu} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la somme gagnée par Max lorsqu'il a travaillé 10~heures dans le mois. \item Calculer la somme gagnée par Mathieu lorsqu'il a travaillé 21~heures dans le mois. \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre d'heures de travail faites dans le mois &0&12 &20 &27\\ \hline Somme d'argent reçue par Max & & & &\np{25600}\\ \hline Somme d'argent reçue par Mathieu & &\np{12000}& &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Soit $x$ le nombre d'heures de travail effectuées par chacun des deux frères par mois. On considère les fonctions $f : \quad x \mapsto 800x + \np{4000}$ et $g : \quad x \mapsto \np{1000}x$. \begin{enumerate} \item Que représente la fonction $f$ ? \item Que représente la fonction $g$ ? \end{enumerate} \item Sans effectuer de calculs : \begin{enumerate} \item Quelle est l'image de 27 par la fonction $f$ ? \item Quel est l'antécédent de \np{12000} par la fonction $g$ ? \end{enumerate} \item Construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le repère orthogonal ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{xunit=0.3cm,yunit=0.0004cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3,-3000)(32,24000) \uput[u](30,0){Heures}\uput[r](0,24000){Gains} \multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,24000)} \multido{\n=0+1000}{25}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=28000]{->}(0,0)(32,24000) \multido{\n=0+2000,\na=4000+2000}{13}{\uput[l](0,\n){\np{\na}}} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \medskip \textsc{Deuxième partie : Interprétation graphique} \medskip \emph{Pour les questions suivantes, on ne demande aucun calcul, mais on fera apparaître sur le graphique les traits de construction permettant d'y répondre} \medskip \begin{enumerate} \item Si Max a travaillé 5~heures dans le mois, combien a-t-il gagné ? \item Combien d'heures de baby-sitting Mathieu a-t-il fait dans le mois pour gagner \np{10000}~francs ? \item À partir de combien d'heures de travail effectuées dans le mois Mathieu gagne-t-il plus d'argent que Max ? \item Si Max et Mathieu ont travaillé 10~heures, lequel des deux a gagné le plus d'argent ? \end{enumerate} \end{document}