\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}%%% Tapuscrit Jean-Paul Goualard
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Nord   juin 2006},
allbordercolors = white}    
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet 27 juin 2006}
\lfoot{\small{Paris, Amiens, Créteil, Lille, Rouen, Versailles}}
\rfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Nord 27 juin 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

A =$\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{6}:\dfrac{3}{2}$\hspace{1cm} B =$ 50\sqrt{45} -3\sqrt{5} + 6\sqrt{125}$\hspace{1cm} C =$\dfrac{5\times 10^{-2}\times 7\times 10^5}{2\times 10^7}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer A en détaillant les étapes du calcul. Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
\item Écrire B sous forme $a\sqrt{5}$ o\`u $a$ est un nombre entier. Détailler les étapes du calcul.
\item Calculer C et donner son écriture scientifique en détaillant les étapes du calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit D = $( 2x + 3)^2 + ( 2x + 3 ) ( 7x - 2 )$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire D.
\item Factoriser D.
\item Calculer D pour $x = - 4$.
\item Résoudre l'équation $( 2x + 3 ) ( 9x + 1 ) =0$.
\end{enumerate} .

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. étant très généreux, et ayant surtout très peur du dentiste, il décide de les partager avec des amis. Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans ces personnes !) ? Expliquer votre raisonnement.
\item Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{lcl}8x+3y &=& 39,5\\7x+9y &=& 50,5\end{array}\right.$
\item Une balade d'une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes.\\
Le premier groupe, composé de 8 adultes et de 3 enfants, paie 39,50 \euro. Le second, composé de 7 adultes et de 9 enfants, paie 50,50 \euro.

Quel est donc le prix d'un ticket pour un adulte ? pour un enfant ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(- 3~;~1)$, B$(- 1,5~;~2,5)$ et C$(3~;~-2)$ dans le repère orthonormal (O ; I ; J) de l'annexe 1 ci-jointe.
\item Montrer que AC = $\sqrt{45}$ .
\item Sachant que AB =$\sqrt{4,5}$ et BC =$\sqrt{40,5}$, démontrer que ABC est un triangle rectangle.
\item Placer le point D image de C par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{BA}}$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit un cercle de centre O et de diamètre [ST] tel que ST = 7 cm. Soit U un point de ce cercle tel que SU=3 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Démontrer que STU est un triangle rectangle en U.
\item Donner la valeur arrondie au dixième de l'angle $\widehat{\text{STU}}$.
\item En déduire une valeur approchée au dixième de $\widehat{\text{SOU}}$. Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}


\parbox{6cm}{Sur la figure ci-contre les mesures ne sont pas respectées.

On a OA = 3$\sqrt{3}$ cm, OD =$\sqrt{3}$ cm, CO = 3 cm, $\widehat{\text{AOB}}$ est un angle droit et $\widehat{\text{OAB}}$ = 60 \degres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que OB = 9 cm.
\item Montrer que les droites (CD) et (AB) sont parallèles.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{6cm}{\psset{xunit=0.4,yunit=0.4}
\begin{pspicture}(-3,-6)(9,4)
\pspolygon(0,4)(4,3)(2.48,1.5)
\pspolygon(2.48,1.5)(-2.06,-3.01)(9.94,-6.01)
\uput[r](2.48,1.5){O}\uput[u](0,4){C}\uput[u](4,3){D}\uput[d](-2.06,-3.01){A}\uput[d](9.94,-6.01){B}
\end{pspicture}}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\parbox{6cm}{Sur la figure ci-contre, SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SA] telle que AB = 9~cm et SA = 12~cm.

Le triangle SAB est rectangle en A.}\hfill
\parbox{6cm}{\psset{xunit=0.4,yunit=0.4}
\begin{pspicture}(-2,0)(12,12)
%polygone de base
\psline(0,0)(9,0)\psline(9,0)(12,2)\psline[linestyle=dashed](12,2)(3,2)\psline[linestyle=dashed](3,2)(0,0)
\uput[d](0,0){A}\uput[d](9,0){B}\uput[r](12,2){C}\uput[dr](3,2){D}
%ar\^etes latérales
\psline(0,12)(0,0)\psline(0,12)(9,0)\psline(0,12)(12,2)\psline[linestyle=dashed](0,12)(3,2)\uput[u](0,12){S}
%section
\psline(0,9)(2.25,9)\psline(2.25,9)(3,9.5)\psline[linestyle=dashed](3,9.5)(0.75,9.5)\psline[linestyle=dashed](0.75,9.5)(0,9)
\uput[l](0,9){E}\uput[d](2.25,9){F}\uput[r](3,9.5){G}\uput[l](1,9.9){H}
\end{pspicture}}

\vspace{2cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan  parall\`ele \`a la base et telle que SE = 3 cm

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer EF.
		\item Calculer SB.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
		\item Donner le coefficient de réduction permettant de passer de la pyramide SABCD \`a la pyramide SEFGH.
		\item En déduire le volume de SEFGH. On donnera une valeur arrondie \`a l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox{6cm}{Soit $M$ un point de [SA] tel que S$M$ = $x$ cm, o\`u $x$ est compris entre 0 et 12.\\
On appelle MNPQ la section de la pyramide SABCD par le plan parall\`ele \`a la base passant par $M$.}\hfill
\parbox{6cm}{\psset{xunit=0.4,yunit=0.4}
\begin{pspicture}(-2,0)(12,12)
%polygone de base
\psline(0,0)(9,0)\psline(9,0)(12,2)
\psline[linestyle=dashed](12,2)(3,2)
\psline[linestyle=dashed](3,2)(0,0)
\uput[d](0,0){A}\uput[d](9,0){B}
\uput[r](12,2){C}\uput[dr](3,2){D}
%arêtes latérales
\psline(0,12)(0,0)\psline(0,12)(9,0)\psline(0,12)(12,2)\psline[linestyle=dashed](0,12)(3,2)
\uput[u](0,12){S}
%section
\psline(0,4)(6,4)\psline(6,4)(8,5.34)\psline[linestyle=dashed](8,5.34)(2,5.34)\psline[linestyle=dashed](2,5.34)(0,4)
\uput[l](0,4){M}\uput[d](6,4){N}\uput[r](8,5.34){P}\uput[l](2,5.34){Q}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $MN = 0,75 x$.
\item Soit A$(x)$ l'aire du carré MNPQ en fonction de $x$.\\
Montrer que A$(x) = 0,5625x^2$.
\item Compléter le tableau de l'annexe 2.
\item Placer dans le repère du papier millimétré de l'annexe 2 les points d'abscisse $x$ et d'ordonnée A$(x)$ données par le tableau.
\item L'aire de MNPQ est-elle proportionnelle \`a la longueur SM? Justifier \`a l'aide du graphique.
\end{enumerate}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ : longueur SM en cm	&0	&2	&4	&6	&8	&10	&12\\\hline
$A(x)$ : aire du carré MNPQ	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabularx}

\newpage

Annexe 1 :\\\\
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-4)(6,6)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-4,-4)(6,6)
\psline[linewidth=1pt](-4,0)(6,0)\psline[linewidth=1pt](0,-4)(0,6)
\psline[linewidth=1.5pt](1,-0.2)(1,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt](-0.2,1)(0.2,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){I}\uput[l](0,1){J}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 2} 
\vspace{1cm}
\psset{xunit=0.8,yunit=0.8}
\begin{pspicture}(-1,-1)(17,18)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-1)(17,18)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-1,0)(17,0)\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-1)(0,18)
\psline[linewidth=1.5pt](1,-0.2)(1,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt](-0.2,1)(0.2,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[l](0,1){10}\uput[l](0,5){50}\uput[l](0,10){100}\uput[l](0,15){150}
\uput[u](0,18){aire (en cm$^2$)}
\uput[d](1,0){1}\multido{\i=5+5}{3}{\uput[d](\i,0){\i}}
\multido{\i=5+5}{3}{\psline(\i,-0.2)(\i,0.2)}
\multido{\i=5+5}{3}{\psline(-0.2,\i)(0.2,\i)}
\uput[d](16.5,0){$x$ (en cm)}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{fin}
\end{document}