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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie juin 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\begin{center}
\textbf{Cette feuille est à joindre à la copie}
\end{center}

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.

Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.

\textbf{Pour chacune des questions, entourer la bonne réponse.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1&Le nombre $\sqrt{45} - \sqrt{20}$ est égal aussi 	à :&$\sqrt{25}$&$\sqrt{5}$&$5\sqrt{5}$\\ \hline
2&	L'expression développée de $(5x + 2)^2$ est :&	$25x^2 +4$&	$5x^2 + 20 x + 4$&\small $25x^2 + 20x + 4$\\ \hline
3&L'expression factorisée de A {\footnotesize$= (3x - 5)^2+(2x - 1)(3x - 5)$} est : &	$(3x-5)(5x-6)$&	$(2x-1)(6x-4)$&	\small$15x^2 - 43 x +30$\\ \hline
4&Une solution de l'équation $(3x+2)(4x - 3)$ est :&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{3}{4}$&$0$\\ \hline		
5&Une solution de l'inéquation $3x +4 < 0$ est	&$2$&	$- \dfrac{5}{3}$&$-1$\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Le magasin TAMARIIGAMES loue des jeux vidéo et des DVD.

Moana loue un jeu vidéo et un DVD pour \np{1400}~F{}.
 
Son copain Tihoti loue 3 jeux et 2 DVD pour \np{3600}~F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Moana pense que le prix de la location d'un jeu est de \np{1000}~F et celui d'un DVD est $400$~F{}.
	\begin{enumerate}
		\item  Si tel est le cas, compléter sur cette feuille, les tableaux suivants :
		
		\medskip
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&Prix d'un jeu&Prix d'un DVD&Somme totale\\ \cline{2-4}
Achat de Moana&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				&Prix des 3  jeux	&Prix des 2  DVD&Somme totale\\ \cline{2-4}
Achat de Tihoti	&					&				&\\  \hline
\end{tabularx}

		\item Tihoti n'est pas d'accord avec Moana. Qui a raison ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\item  Résoudre le système suivant : 	$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y &= 	&\np{1400}\\
3x+2y &=	&  \np{3600}\\
\end{array}\right.$

\item En déduire le prix de la location d'un jeu vidéo ainsi que celui d'un DVD.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité est le centimètre.

On considère le cercle $\mathcal{C}_{1}$ et de diamètre [BC] et le cercle $\mathcal{C}_{2}$ de diamètre [BD].

A est un point de $\mathcal{C}_{1}$ et la droite (AB) coupe le cercle $\mathcal{C}_{2}$, au point E.

On donne :

BA = 4 ; BC = 5 et BD = 9.

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur}
\hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(0,-4.5)(9,4.5)
\psline(0,0)(9,0)
\pscircle(2.5,0){2.5} \pscircle(4.5,0){4.5} 
\psline(0,0)(7,5) \psline(5.97,4.23)(9,0)
\psline(3.3,2.38)(5,0)
\uput[ul](3.3,2.38){A} \uput[l](0,0){B} \uput[ur](5,0){C} \uput[r](9,0){D} 
\uput[u](5.97,4.23){E} \uput[dr](4,-2){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[ur](7.8,3){$\mathcal{C}_{2}$} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les triangles ABC et EBD sont rectangles.

Parmi les trois propriétés suivantes, \emph{recopier sur votre copie la propriété} qui permet de démontrer ce résultat, dans cet exercice :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si le carré de la longueur d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
\item[$\bullet~$] Les bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans ce triangle.
\item[$\bullet~$] Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un des ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.
\end{itemize}

\item Dans le triangle ABC rectangle en A, calculer AC.

\item En vous aidant du résultat donné à la question 2., montrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles.

\item Montrer que BE = 7,2.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Voici le pentagone régulier ABCDE. Le point I est le milieu de [AB].

OA =  OB = OC = OD = OE = 5,7~cm.

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
%\psgrid
\SpecialCoor
\pspolygon(2.5;55)(2.5;127)(2.5;199)(2.5;271)(2.5;343)
\uput[dl](0;0){O} \uput[ur](2.5;55){A} \uput[dr](2.5;343){B} 
\uput[d](2.5;271){C} \uput[dl](2.5;199){D} \uput[ul](2.5;127){E}
\psline(0;0)(2.5;55)  \psline(0;0)(2.5;127)  \psline(0;0)(2.5;199)  \psline(0;0)(2.5;271)  \psline(0;0)(2.5;343)\uput[ur](2.0225;19){I}
\rput{109}(1.93,0.66){\psframe(0,0)(0.3,0.3)}
\psline(0;0)(2.0225;19) 
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.0225;19)(2.0225;91)(2.0225;163)(2.0225;235)(2.0225;307)
\psdots[dotstyle=o](1.25;55)(1.25;127)(1.25;199)(1.25;271)(1.25;343)
\psarc(2.5;55){3mm}{232}{286}\psarc(2.5;343){3mm}{113}{166}
\rput(1.4,1.4){54\degres}\rput(1.2,-0.6){5,7 cm}
\psarc(0;0){2mm}{343}{55}\psarc(0;0){3mm}{343}{55}
\end{pspicture}
}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{Cette figure n'est pas en vraie grandeur}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature du triangle AOB ?
		\item  Montrer que la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ est de 72\degres .
	\end{enumerate}
\item  Quelle est l'image du triangle BOC,
	\begin{enumerate}
		\item par la symétrie axiale d'axe (DI) ?
		\item par la rotation de centre O, d'angle 72\degres, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?
	\end{enumerate}
\item  Calculer la longueur AB (arrondie au millimètre).
\end{enumerate}

\begin{center}
(Cette feuille est à joindre à la copie)
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip
 
Il existe trois variétés de thon pêché en Polynésie française :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  le thon Germon (variété de thon blanc)	
\item[$\bullet~$] le thon Jaune (à nageoires jaunes, variété de thon rouge)
\item[$\bullet~$] le thon Obèse (variété de thon rouge)	
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le graphique 1, ci-dessous, représente la taille du thon Germon en fonction de sa masse.
	\begin{enumerate}
		\item Est-ce que la taille du thon germon est proportionnelle à sa masse ? Justifier.
		\item L'équipe de Moana a capturé un thon Germon de 22 kg.
		
Déterminer graphiquement, sa taille.

(On laissera apparents les trails de construction).
		\item L'équipe de Teiki a pris un thon germon de 70~cm.
		
Déterminer graphiquement sa masse.

(On laissera apparents les traits de construction).
	\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.34cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(35,120)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20](0,0)(35,120)
%\psgrid
\multido{\n=0+1}{36}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,120)}
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,120)}
\multido{\n=0+5}{25}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(35,\n)}
\multido{\n=0+20}{7}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(35,\n)}
\rput(17.5,-15){masse de thon en kg}
\rput{90}(-2.5,60){taille du thon en cm}
\rput(17.5,130){Graphique 1 : taille du thon Germon}
\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](2,45)(5,62)(10,78)(15,88)(20,96.5)(25,104)(30,110)(31.3,112)
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{Graphique 2}

\psset{xunit=0.016cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(500,90)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=100,Dy=10](0,0)(500,90)
\multido{\n=0+10}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,90)}
\multido{\n=0+100}{6}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,90)}
\multido{\n=0+1}{91}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(500,\n)}
\multido{\n=0+10}{10}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(500,\n)}
\psline[linecolor=blue](0,0)(500,85)
\rput(250,-8){masse de thon en kg} \rput{90}(-60,70){masse de thon Jaune en kg}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip \medskip

\item La masse du thon Jaune représente en moyenne 17\:\% de la masse totale des trois espèces de thon pêché.

Le graphique 2, ci-dessus, représente la masse de thon Jaune pêché  par rapport à la masse totale de thon pêché.

	\begin{enumerate}
		\item Est-ce que la masse de thon Jaune est proportionnelle à  la masse totale de thon pêché ?
		
Justifier.
		\item L'équipe de Moana a pêché 400~kg de thon.
		
Calculer la masse de thon Jaune pêché.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
(Cette feuille est à  joindre à la copie)
\end{center}

\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

À un concours de pêche au large, les prises sont   constituées de thons, d'espadons, de thazards et de mahi-mahi.

On a réparti les différentes prises des équipes 	de Moana et de Teiki dans les tableaux suivants :  tableau (I) et tableau (II).

\medskip

\textbf{TABLEAU (I) : Équipe de Moana}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Espèce&	thon&	espadon&thazard&	mahi-mahi&	total\\ \hline
Prise en kg&	400&104&56&	240& 	800\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pspicture(-3,0)(3,4)
\SpecialCoor
\psarc(0;0){3cm}{0}{180}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0;0){3}{0}{54}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0;0){3}{54}{66.6}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray](0;0){3}{66.6}{90}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0;0){3}{90}{180}
\uput[ul](3;135){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue]{\textcolor{white}{ Thon 50\:\%}}}
\rput(3.5;85){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray]{\textcolor{white}{ Espadon 13\:\%}}}
\rput(3.5;60){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textcolor{white}{ Thazard 7\:\%}}}
\rput(3.5;15){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{\textcolor{white}{ Mahi-mahi 30\:\%}}}
\rput(0,-0.5){Diagramme semi-circulaire représentant
les prises en pourcentage de l'équipe de Moana}
\endpspicture
\end{center}

\vspace{0,5cm}	

\textbf{TABLEAU (II) Equipe de Teiki}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Espèce}&thon&espadon&thazard&	\small mahi-mahi&	total\\ \hline
Prise en kg		&144&108	&36	&432&720\\ \hline
Fréquence en \%	&	&		&	&	&100\\ \hline
Secteur angulaire en degré	&&	&	&&180\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter sur cette feuille  le tableau (II) précédent.	
\item  Représenter les prises exprimées en fréquence de ce  deuxième tableau, par un diagramme semi-circulaire de rayon 5~cm.
\item  Quel est le poisson principalement capturé par chacune  des équipes ?
\item  Quel pourcentage représente la masse totale de thon 	pêché par les deux équipes par rapport à la masse totale de poissons capturés par les  deux équipes ? (arrondir à l'unité).
\end{enumerate}
\end{document}