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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie juin 2009 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}
 
\medskip
  
\emph{Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, choisir et entourer la bonne réponse parmi les trois proposées.} \textbf{Aucune justification n'est demandée. }

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.25cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{1.~~} $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4} \times \dfrac{1}{2}$ est égal à : &$- \dfrac{2}{4}$&$- \dfrac{2}{8}$&$\dfrac{1}{8}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\textbf{2.~~} Le nombre décimal $0,246$ s'écrit aussi : &$2,46 \times 10^{-1}$& $24,6 \times 10^1$&$2,46 \times 10^1$\\ \hline 
\textbf{3.~~} Quand $x= -2$, l'expression \mbox{$2x^2 - 5x+3$} est égale à :&$-15$& $1$& $21$\\ \hline 
 \textbf{4.~~} L'expression réduite de \mbox{$2x - (5x - 3)$} est : &$-3x-3$ &$-3x+3$ &$7x+3$\\ \hline 
\textbf{5.~~} Un randonneur parcourt 5~km en 1~ h 15~min. Sa vitesse moyenne est : &4~km/h& 
4,3~km/h &5,75~km/h.\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

À un stand du \og Heiva \fg, on fait tourner la roue de loterie ci-dessous.

\parbox{0.6\linewidth}{On admet que chaque secteur a autant de chance d'être désigné. 
 
On regarde la lettre désignée par la flèche : A, T ou M, et on considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] A : \og on gagne un autocollant» ; 
\item[$\bullet~$] T : \og on gagne un tee-shirt » ; 
\item[$\bullet~$] M : \og on gagne un tour de manège ».
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}} \hfill  \parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2.5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0.75,2.3)(0.75,1.3)
\SpecialCoor
\pscircle(0;0){2}
\psline(2;180)(2;0) \psline(2;90)(2;-90) \psline(2;45)(2;-135) \psline(2;135)(2;-45)
\rput(1.25;22.5){M} \rput(1.25;67.5){T}\rput(1.25;112.5){A}\rput(1.25;157.5){T}
\rput(1.25;202.5){M}\rput(1.25;247.5){T}\rput(1.25;292.5){M}\rput(1.25;-22.5){T}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de l'évènement A ? 
\item Quelle est la probabilité de l'évènement T ? 
\item Quelle est la probabilité de l'évènement M ? 
\item Exprimer à l'aide d'une phrase ce qu'est l'évènement non A puis donner sa probabilité. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans cet exercice, écrire toutes les étapes des calculs permettant d'expliquer votre 
démarche. 

\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Pour offrir un cadeau à l'un d'eux, les élèves d'une classe ont collecté 500~F en pièces de 20~F et de 5~F, soit 43~pièces en tout. 

Déterminer le nombre de pièces de chaque sorte. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center} \textbf{Dans toute cette partie, l'unité de longueur est le centimètre.} \end{center} 

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Sur la figure ci-dessous qui \textbf{n'est pas en vraie grandeur},
 
\bigskip

\parbox{0.55\linewidth}{ABCD est un trapèze rectangle, le point H appartient au segment [DC]. 

On donne : AB = 5 ; \quad	AD = 4,8 ; \quad  BC = 6.}\hfill 
\parbox{0.40\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(5,3)
\psframe(0,0)(3,2)\psline(3,0)(4,0)(3,2)
\uput[ul](0,2){A} \uput[ur](3,2){B} \uput[dr](4,0){C} \uput[dl](0,0){D} \uput[d](3,0){H}
\psframe(0,2)(0.3,1.7)\psframe(0,0)(0.3,0.3)\psframe(3,0)(3.3,0.3)
\end{pspicture}}

\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Construire cette figure sur la feuille de papier millimétré, en respectant les mesures données. (On la placera au centre de la feuille). 
\item  Montrer que la longueur HC est égale à 3,6. 
\item  Calculer le périmètre du trapèze ABCD.
\item  Calculer l'aire du trapèze ABCD. 
\item  Compléter la figure de la question 1) pour obtenir le patron du prisme droit ci-contre dont une base est le triangle BHC. 

Le prisme droit ci-contre n'est pas en vraie grandeur.
\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.40\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(0,1)(5.5,10)
 
\psframe(0.8,2)(5,8) \psline(5,8)(2.4,9.6)(0.8,8) \psline[linestyle=dashed](5,2)(2.4,3.6)(0.8,2)
\psline[linestyle=dashed](2.4,3.6)(2.4,9.6)
\uput[ur](5,8){A} \uput[dr](5,2){B} \uput[dl](0.8,2){C} 
\uput[u](2.4,9.6){D} \uput[ul](0.8,8){E} \uput[ur](2.4,3.6){H} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{La figure n'est pas en vraie grandeur et n'est pas à reproduire.}

\medskip
 
Dans un verre à pied ayant la forme d'un cône de révolution dans sa partie supérieure, on verse du sirop de menthe jusqu'à la hauteur IR puis de l'eau jusqu'à la hauteur IF.
 
Ce verre est représenté ci-dessous en coupe. 

Les points I, R et F sont alignés ainsi que les points I, S et G.
 
On donne: RS = 3 ; FG = 7,5 et IF = 8. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,6.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](5.1,0)(6.9,0)(6,0.6)
\psline(6,0.6)(6,1.6) 
\pspolygon(6,1.6)(8.9,5.8)(3.1,5.8)
\psline[linewidth=0.2pt](6,1.6)(6,5.8)
\psline[linestyle=dashed](8.3,4.9)(3.7,4.9)
\psline[linestyle=dashed](7.1,3.2)(4.9,3.2)
\uput[dr](6,1.6){I} \uput[dr](6,3.2){R} \uput[dr](6,4.9){F} \uput[dr](7.1,3.2){S} \uput[dr](8.3,4.9){G} 
\psframe(6,3.2)(5.8,3) \psframe(6,4.9)(5.8,4.7)
\rput(1.5,4.9){Niveau de l'eau} \rput(1.5,3.2){Niveau du sirop de menthe} 
\psline{->}(2.8,4.9)(3.4,4.9) \psline{->}(3.7,3.2)(4.6,3.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Pour démontrer que les droites (RS) et (FG) sont parallèles, laquelle des quatre propriétés suivantes faut-il utiliser ? Choisir et recopier la propriété sur votre copie. 
	\begin{enumerate}
		\item  Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles. 
		\item  Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles. 
		\item  Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. 
		\item  La réciproque du théorème de Thalès.
	\end{enumerate} 
\item Calculer IR. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Pour la fête du cinéma, des prix spéciaux sont proposés au public. 

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne la répartition du nombre de spectateurs à la séance de midi, dans une salle de 325~places pendant la semaine du cinéma.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Jour &\footnotesize lundi &\footnotesize mardi &\footnotesize mercredi &\footnotesize jeudi &\footnotesize vendredi &\footnotesize samedi &\footnotesize dimanche\\ \hline 
\hspace{-0.2cm}\begin{tabular}{l}nombre de\\
spectateurs \\
\end{tabular} &164 &239 &312 &285 &310 &308 &321 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre moyen de spectateurs à la séance de midi pendant la semaine du cinéma. 
\item Quel pourcentage du nombre total de places de la salle représentent les places occupées le mercredi ?
\end{enumerate}

\bigskip 
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
Un billet de cinéma au tarif normal co\^ute 850~F. On propose deux tarifs réduits au public : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Tarif A : On fait une réduction de 8\:\% sur le prix total des billets achetés, 
\item Tarif B : On paie une carte d'abonnement de \np{1000}~F et 600~F un billet. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'un billet vendu au tarif A coûte 782~F. 
\item Compléter le tableau de proportionnalité suivant et expliquer votre démarche. 

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Prix au tarif normal&850  	&\np{2550} 	&  			&\np{4250} 	&  \\ \hline
Prix au tarif A		&782	&			&\np{7038}	&			&\np{9384}\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1.}

\medskip

\item Soit M le montant total à payer au tarif normal par un client pour un certain nombre de billets. Exprimer en fonction de M le prix total payé au tarif A pour le même nombre de billets. 
\item Calculer le prix de 5~billets au tarif B. 
\item Si on dispose de \np{6400}~F, combien de billets peut-on acheter au tarif B ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip
 
Les droites ci--dessous représentent les prix payés en fonction du nombre de billets suivant les deux types de tarifs. 

\medskip

\psset{xunit=1.3cm,yunit=0.001625cm}
\begin{pspicture}(-1,-400)(8,5200)
\multido{\n=0.00+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0)(\n,5200)}
\multido{\n=0+200}{27}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+400}{14}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5000]{->}(0,0)(8,5200)
\psplot{0}{6.5}{782 x mul}\uput[d](3.2,2400){$(d)$}
\psplot{0}{6.75}{1000 x 600 mul  add} \uput[u](3,2800){$(d')$}
\uput[u](7,0){nombre de billets} \uput[r](0,5200){$y$}
\uput[r](0.4,5200){prix}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Laquelle de ces deux droites correspond au tarif A ? Justifier. 
\item Que représente l'abscisse du point de (d$'$) d'ordonnée \np{2800} ? Donner sa valeur.
 
Laisser apparaître les tracés utiles sur le graphique. 
\item Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles. déterminer à partir de combien de billets le tarif B est plus avantageux que le tarif A. 
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Attention : toutes les feuilles du sujet sont à joindre à la copie} \end{center}
\end{document}