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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2006~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1   Le détail des calculs devra apparaître sur la copie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :

A $ = \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3} \times \dfrac{8}{21}$.
\item  Écrire B sous la forme $a\sqrt{2}$	où $a$ est un nombre entier relatif :

B $ = \sqrt{50} - 4\sqrt{18}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression $A = (2x + 3)^2 + (2x + 3)(5x - 7)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	Développer et réduire l'expression $A$.
\item 	Factoriser l'expression $A$.
\item 	Résoudre l'équation $(2x + 3) (7x - 4) = 0$.
\end{enumerate}
	
\bigskip
 
\textbf{Exercice  3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de $425$ et $204$ en détaillant les calculs.

\item En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{204}{425}$. 
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 4}

\medskip

Voici les notes de $200$ élèves regroupées dans le tableau reproduit ci-dessous.

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Montrer que le nombre d'élèves $x$ ayant obtenu une note comprise entre $12$ et $16$ ($16$ exclu) est égal à $64$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1,3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Notes $n$& {\footnotesize $	0 \leqslant  n < 4$}&{\footnotesize $4 \leqslant n < 8$}	&{\footnotesize $8 \leqslant  n < 12$}&{\footnotesize 	$12 \leqslant  n <16$}&{\footnotesize 	$16 \leqslant  n \leqslant  20$}\\ \hline
Nombre	d'élèves	&8	&48	&	56	&$x$	&	24\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Combien d'élèves ont obtenu une note strictement inférieure à 8 ?
\item Combien d'élèves ont obtenu au moins 12 ?
\item Calculer le pourcentage des élèves qui ont obtenu une note comprise entre
8 et 12 (12 exclu).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II	ACTIVITES GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textbf{Les figures sont à construire sur l'annexe jointe au sujet}

Sur l'annexe, on donne une droite ($d$) et une figure $\mathcal{F}$ constituée du triangle ABC et du demi-cercle de diamètre AB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire $\mathcal{F}_{1}$ image de la figure $\mathcal{F}$ par la symétrie centrale de centre A.
\item  Construire $\mathcal{F}_{2}$ image de la figure $\mathcal{F}$ par la symétrie orthogonale d'axe $(d)$.
\item  Construire $\mathcal{F}_{3}$ image de la figure $\mathcal{F}$ par la translation qui transforme A en B.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{Dans tout l'exercice, l'unité choisie est le centimètre.}

 \medskip
 
\parbox{0.55\textwidth}{Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en B, on a :
 
AB = 2,7 et BC = 3,6.

\textbf{La figure n'est pas à l'échelle. On ne demande pas de reproduire la figure.} }\hfill 
\parbox{0.35\textwidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(4,3)
\pspolygon(0,0)(0,3)(4,3)
\psline(0,2.8)(0.2,2.8)(0.2,3)
\uput[dl](0,0){A} \uput[l](0,3){B} \uput[ur](4,3){C} 
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item  Montrer par le calcul que AC $= 4,5$.
\item  Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\item  En déduire la mesure arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\textbf{Dans tout l'exercice, l'unité choisie est le centimètre}
\begin{enumerate}
\item  Construire un triangle TRI tel que :

TR $ = 3,6$  ; RI $= 4,8$ et TI $= 7,5$.
\item  Placer le point A sur [TR] tel que TA $ =  1,2$ et le point B sur [TI] tel que TB $= 2,5$.
\item  Montrer que les droites (AB) et (RI) sont parallèles.
\item  Calculer AB.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,  I, J). L'unité choisie est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En utilisant la feuille de papier millimétré jointe, placer les points
A(3~;~4), B$(- 1~;~- 4)$ et C$(-7~;~-1)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montre que AB $= \sqrt{80},~\text{AC} = \sqrt{125}$  et BC $ = \sqrt{45}$.
		\item   En déduire que ABC est un triangle rectangle. Préciser l'angle droit.
	\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D tel que $\vect{\text{CD}} = \vect{\text{BA}}$.
		\item  Donner les coordonnées du point D par lecture graphique.
		\item  Démontrer que ABCD est un rectangle.
		\item  Calculer les coordonnées de $\vect{\text{BA}}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées du point K milieu du segment [AC].
		\item  Que représente le point K pour le quadrilatère ABCD ?
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle ABC en précisant le centre et le rayon.
		\item  Montrer que le point D est sur le cercle $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À COMPLÈTER ET À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : Exercice 1

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(12,8)
\psline(5,8)(11,2)
\rput{26.56}(6,3.5){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1.118}{0}{180}}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,3)(9,2)(7,4)
\uput[dl](5,3){A} \uput[ur](7,4){B} \uput[dr](9,2){C} \uput[dl](11,1.75){$(d)$} \uput[l](4.75,4.25){$\mathcal{F}$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}