\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphics}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-node}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Polynésie septembre 2007},
allbordercolors = white}   
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2007~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire A sous forme d'une fraction irréductible : A $= \dfrac{\dfrac{4}{3} - 1}{\dfrac{7}{6} - 2}$.
\item On donne : B $= \dfrac{4 \times 10^{-2} \times 9 \times 10^6}{6 \times 10 ^7 \times 10^2 \times \left(10^3\right)^2}$.

Donner l'écriture scientifique de B.
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{6}$ o\`u $a$ est un nombre entier relatif : C $ = \sqrt{96} + 5 \sqrt{6} - 3 \sqrt{150}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On donne l'expression $D = (2 - 5x) (4x +3) + (2 - 5x)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer, réduire et ordonner $D$. 
\item  Factoriser $D$. 
\item  Résoudre l'équation $(2 - 5x) (- x +5) =  0$. 
\item  Calculer $D$ pour $x = -1$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de maths pour les 26 éléves d'une classe de 3\up{e} :
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Notes 		& 3	&5	&7	&8	&10	&11	&13	&14	&17\\ \hline
 Effectifs	&1	&2	&1	&5	&4	&1	&7	&3	&2\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la note moyenne arrondie à l'unité.
\item Déterminer la note médiane.
\item Calculer le pourcentage d'élèves ayant une note inférieure ou égale à $8$. On arrondira le résultat au dixième prés.
\end{enumerate}

 \medskip
 
 \textbf{Exercice 4}
 
Dans une pépinière, Moetia a acheté trois orangers et deux citronniers pour \np{14000}~F et Orai a payé \np{13500}~F pour deux orangers et trois citronniers.

À l'aide d'un système de deux équations à deux inconnues déterminer le prix d'un oranger et d'un citronnier.
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill  12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
L'unité de longueur est le mètre. On donne un triangle ABC tel que AB = 7,8 ; 

AC =  7,2 et BC =  3.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(11,5)
\pspolygon(0,0)(10.75,2.3)(1.2,4.7)%BAC
\psline(0.3,1.25)(8.1,3)%NM
\uput[dl](0,0){B} \uput[dr](10.75,2.3){A} \uput[u](1.2,4.7){C} 
\uput[ul](0.3,1.25){N} \uput[ur](8.1,3){M} \uput[u](8,5){La figure n'est pas en vraie grandeur.} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{CAB}$. On donnera le résultat au millième près. 
		\item  En déduire une valeur approchée de l'angle $\widehat{CAB}$ au degré près.
	\end{enumerate}
\item  On place sur le segment [BC] un point N tel que CN= 2,25 et sur le segment [AC] un point M tel que CM =  5,4.

Les droites (AB) et (MN) sont-elles paralléles ? Justifier votre réponse.
\item  Calculer MN.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
L'unité est le centimètre.
\begin{enumerate}
\item Tracer un triangle OBC rectangle en O tel que OB =  3 et OC = 6.
\item Calculer la valeur exacte de la longueur BC. En donner la valeur arrondie au millimètre.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D symétrique de B par rapport à O.
		\item Construire le point A image de D par la translation de vecteur $\vect{\text{CB}}$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que O est le milieu de [AC].
\item Démontrer que ABCD est un losange.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{PROBLÈME \hfill (12 points)}

\bigskip
 
Une société de films DVD propose les tarifs suivants :

\begin{itemize}
\item  Tarif A : \np{1000}~F le film DVD loué ;
\item  Tarif B : paiement d'une carte mensuelle de \np{2000}~F auquel s'ajoute 750~F par film DVD loué ;
\item  Tarif C : \np{9500}~F par mois quel que soit le nombre de films DVD loués.
\end{itemize}  

\medskip

\textbf{Partie I}
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}\textbf{(On considère qu'un mois est constitué de 4 semaines)}\end{center}


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de films DVD loués \textbf{par mois}&1&4&8&10&12&16&20\\  \hline
Tarif A&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
Tarif B&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
Tarif C&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  En vous aidant du tableau que vous venez de complèter,  répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item  Herenui loue un film DVD une fois par semaine.

Quel est le tarif mensuel le plus avantageux pour elle ?
		\item 	Toanui loue un film DVD le lundi soir, un le mardi soir, un le jeudi soir et deux le samedi soir.

Quel est le tarif mensuel le plus avantageux pour lui ?
	\end{enumerate}
\item  On appelle $x$ le nombre de films DVD loués par mois. Exprimer en fonction de $x$, le prix $\text{P}_{\text{A}}(x)$ à payer avec le tarif A et le prix $\text{P}_{\text{B}}(x)$ à payer avec le tarif B.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Les constructions seront réalisées sur une feuille de papier millimétré avec le plus grand soin. 
	\begin{enumerate}
		\item  Sur la feuille de papier millimétré, placer l'origine O en bas et à gauche.

On prendra les unités suivantes :
\begin{itemize}
\item  1 cm en abscisse pour 1 film DVD,
\item 1 cm en ordonnée pour \np{1000}~F.
 \end{itemize}
		\item  Dans le repère précédent, construire les représentations graphiques des fonctions $f,~ g$ définies par : 	
		
\[f(x) = \np{1000}x, \quad  g(x) = 750x + \np{2000}.\]

	\end{enumerate}
\item  Dans ces questions, on fera apparaître les traits de construction permettant d'y répondre. 
	\begin{enumerate}
		\item Jusqu'à combien de films DVD, le tarif A est-il le plus intéressant ? 
		\item Avec \np{6500}~F, combien de films DVD peut-on louer avec le tarif B ?
	\end{enumerate} 
\item  Vous disposez d'une somme de \np{10500}~F. Quel tarif choisir entre les tarifs A et B, pour louer le maximum de films DVD ?
\end{enumerate}
\end{document}