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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2008~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\begin{center}

Cette page doit être rendue avec la copie 
\end{center}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte.

Trouver la réponse correcte et écrire le numéro correspondant dans la colonne de droite.

\emph{Les détails des calculs ne sont pas demandés sur la copie.}


\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{2.8cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{1.25cm}|}\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&Réponse Numéro 1&Réponse Numéro 2&	Réponse Numéro 3&\footnotesize	Numéro de la réponse choisie\\ \hline
A&\rule[-3mm]{0mm}{10mm} $\dfrac{3}{2} + \dfrac{11}{5}\times \dfrac{15}{2}$ est égal à &$\dfrac{111}{4}$&$18$&$\dfrac{35}{2}$&	\\ \hline	
B&$\dfrac{14 \times 10^7 \times 27 \times 10^{- 3}}{21 \times 10^2}$  est égal à :&	\np{1800}&\np{18000000}&\np{18000}&  \\ \hline
C&	Le nombre $\left(30\sqrt{2}\right)^2$ est égal à :&	60&	\np{3600}&\np{1800}& \\ \hline	
D&	Pour tout nombre $x,{} (5x - 2)^2$ est égal à :&\vspace{0.2cm}	{\small $5x^2 -20x+4$}&\vspace{0.2cm}$25x^2 - 4$&\vspace{0.2cm}{\small $25x^2 - 20x + 4$}&\\ \hline
E&L'équation $(2x-3) (x +4)=0$ admet pour solutions :&\vspace{0.4cm}	$\dfrac{2}{3}$ et $-4$&\vspace{0.4cm}$\dfrac{3}{2}$ et $-4$&\vspace{0.4cm}$-\dfrac{3}{2}$ et $4$& \\ \hline
F&Un objet coûte \np{12000}~F{}.  Son prix augmente de 5\:\%. Quel sera son nouveau prix ?&\vspace{0.8cm}\np{12600}~F&\vspace{0.8cm}\np{12500}~F&\vspace{0.8cm}\np{11 400}~F& \\ \hline	
G&Une voiture roule à la vitesse de 50 km/h. En combien de temps parcourt-elle 110 kilomètres ?&\vspace{0.8cm}	2~h 20 min&\vspace{0.8cm}	2~h 12 min&\vspace{0.8cm}	60 min&\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un vendeur possède un stock de 276 cartes postales et de 230 porte-clés.

Il veut confectionner des coffrets \og Souvenirs de Tahiti et ses Îles \fg{} de sorte que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le nombre de cartes postales soit le même dans chaque coffret ;
\item[$\bullet~$] le nombre de porte-clés soit le même dans chaque coffret ;
\item[$\bullet~$] toutes les cartes postales et porte-clés soient utilisés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Combien de coffrets contenant chacun 10 porte-clés pourra-t-il confectionner ?

Combien de cartes postales contiendra alors chacun des coffrets ?

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le PGCD de 276 et 230 en détaillant la méthode utilisée.
		\item Quel nombre maximal de coffrets le vendeur peut-il confectionner ?
		
Combien de porte-clés et de cartes postales contiendra alors chaque coffret ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(-3.3,-3)(3,3.5)
\pscircle(-0.3,-0.2){2.7} \pspolygon(-3,0)(2.4,-0.42)(-1.35,2.3)(0.8,-2.65)%ABMN
\psline(-3,0)(-1.35,2.3) \psline(2.4,-0.42)(0.8,-2.7)
\uput[l](-3,0){A} \uput[r](2.4,-0.42){B} \uput[ul](-1.35,2.3){M} 
\uput[dr](0.8,-2.65){N} \uput[dl](-0.3,-0.2){O} \uput[ur](1.3,2){$\mathcal{C}$}
\psarc(-3,0){0.4cm}{-3} {57}\uput[ur](-2.6,0.3){60 \degre}
\end{pspicture}
}\hfill 
\parbox{0.48\textwidth}{On considère la figure ci-contre
dans laquelle :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] AB = 6~cm et $\widehat{\text{BAM}} = 60$ \degre ;
\item[$\bullet~$] $\mathcal{C}$ est le cercle de centre O et de diamètre [AB] ;
\item[$\bullet~$]  AMBN est un rectangle inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$.
\end{itemize}}
\medskip

\textbf{Cette figure n'est pas en vraie grandeur}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que représente le cercle $\mathcal{C}$ pour le triangle AMB ?
\item Quelle est l'image du point A par la symétrie centrale de centre O ?
\item Quelle est l'image du point M par la rotation de centre O, d'angle 120\degres, dans le sens des aiguilles d'une montre ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le cosinus de l'angle  $\widehat{\text{BAM}}$, calculer AM.
\item Combien mesure l'angle  $\widehat{\text{BOM}}$  ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,6)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,5.6)(0.3,1.1)(2.6,0)(3.8,1.1)(3.8,5.65)(2.6,4.6)%BEDFCA
\psline(3.8,5.65)(0.3,5.6) \psline[linestyle=dashed](0.3,1.1)(3.8,1.1)
\psline(2.6,0)(2.6,4.6)
\uput[dr](2.6,4.6){A} \uput[ul](0.3,5.6){B} \uput[ur](3.8,5.65){C} 
\uput[dr](2.6,0){D} \uput[l](0.3,1.1){E} \uput[r](3.8,1.1){F}
\uput[r](3.2,3.4){25} \uput[dl](1.6,5){12} \uput[u](2,5.6){15} \uput[dr](3.2,5.1){9}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.45\textwidth}{\emph{Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.}\\
Un menuisier a fabriqué un objet en bois ayant la forme d'un prisme droit à base triangulaire.\\
Cet objet est représenté par le solide ABCDEF ci-contre tel que :\\
AB  = 12 ; AC  = 9 ; BC = 15 ; CF = 25.\\

\medskip

\fbox{\emph{Cette figure n'est pas en vraie grandeur}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item  Montrer que l'aire $\mathcal{B}$ du triangle ABC est égale à 54cm$^2$.
\item  En déduire le volume $\mathcal{V}$ du prisme droit en cm$^3$.

(On rappelle que : $\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h$  avec $\mathcal{B}$ l'aire de la base en cm$^2$ et $h$ la hauteur du prisme en cm).
\item  Le menuisier souhaite tailler cet objet en le sectionnant par un plan parallèle à la face BCFE. L'intersection entre ce plan et la base ABC est le segment [MN].

\medskip

\parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(6,4.5)
\pspolygon(0,0)(5.5,0)(5.5,4.1)
\psline(1,0)(5.5,3.4)
\uput[dr](5.5,0){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[ur](5.5,4.1){C} \uput[d](1,0){M} \uput[r](5.5,3.4){N} \uput[d](2.75,0){10} 
\end{pspicture}
} \hfill
\parbox{0.45\textwidth}{(MN) // (BC)\\
AM = 10\\
AB = 12\\
AC = 9\\
BC =  15\\
 \emph{La figure ci-contre n'est pas en
vraie grandeur}  
}

Pour faciliter la découpe du bois, le menuisier veut connaître la longueur AN.

	\begin{enumerate}
		\item  Refaire cette figure en vraie grandeur.
		\item  Calculer AN.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\begin{center} 
\textbf{Une feuille de papier millimétré doit être utilisée et être rendue avec la copie}\end{center} 

Dans un cinéma, Manutea a le choix entre deux formules :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 1\up{re} formule : Payer \np{1000}~francs par ticket.

\item[$\bullet~$] 2\up{e} formule : Acheter une carte de fidélité annuelle à \np{2500}~francs, puis payer 700~francs par ticket.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de tickets achetés en un an			&5	&\\ \hline
Prix à payer (en F) avec la 1\up{re} formule&	&\np{14000}\\ \hline
Prix à payer (en F) avec la 2\up{e} formule	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Soit $x$ le nombre de tickets achetés en 1 an.

On note F$_{1}$ le prix à payer (en francs) avec la première formule
et F$_{2}$ le prix à payer (en francs) avec la deuxième formule.

\medskip

Parmi les quatre fonctions suivantes :

\[x \longmapsto x + \np{1000}~~;~~x \longmapsto \np{1000}x~~;~~x \longmapsto 700x + \np{2 500}~~;~~x \longmapsto \np{2500}x + 700\]

laquelle correspond à F$_{1}$ ? Laquelle correspond à F$_{2}$ ?

\item Si l'on dépense \np{16500}~francs avec la deuxième formule, combien de tickets achète-t-on en an ?
\item Pendant ces cinq dernières années, Manutea a relevé le nombre de tickets de cinéma qu'il a achetés. Calculer le nombre moyen de tickets achetés par an.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&2003 	& 2004	&2005	&2006 	&2007\\ \hline
Nombre de tickets achetés	&1		&8		&20		&12		&14\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Manutea compte aller une fois par mois au cinéma cette année.

Quelle sera la formule la plus intéressante pour lui ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthogonal d'origine O, avec O placé en bas à gauche de la feuille de papier millimétré, on prend les unités suivantes

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] en abscisses  : 1 cm pour 1 ticket acheté.
\item[$\bullet~$] en ordonnées : 1 cm pour \np{1000}~francs.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ définies par :\\	$\left\{\begin{array}{l c l}
f(x)& = &\np{1000} x\\
g(x)&=&700x + \np{2500}\\
\end{array}\right.$.

\begin{center} \textbf{On répondra aux questions 2 à 4 en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires à la lecture graphique.}
\end{center}

\item  Pour 15 tickets de cinéma achetés en une année :

Quel est le prix à payer avec la première formule ?

\item  Avec un budget annuel de \np{12000}~F consacré au cinéma :

combien de tickets peut-on acheter au maximum avec la deuxième formule ?


\item  Sur une année, à partir de combien de tickets, la deuxième formule devient plus avantageuse que la première formule pour Manutea ?
\end{enumerate}
\end{document}