\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pst-all} %\setlength\paperheight{297mm} %\setlength\paperwidth{210mm} %\setlength{\textheight}{23,5cm} %%% Tapuscrit : Denis Vergès %%% Corrigé : François Hache \usepackage{vmargin} \setmarginsrb{3cm}{2.5cm}{3cm}{2.5cm}{0cm}{1cm}{0cm}{1.5cm} % 1 est la marge gauche % 2 est la marge en haut % 3 est la marge droite % 4 est la marge en bas % 5 fixe la hauteur de l'entéte % 6 fixe la distance entre l'entéte et le texte % 7 fixe la hauteur du pied de page % 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \newcommand{\pg}{\geqslant}% supérieur ou égal à \newcommand{\pp}{\leqslant}% inférieur ou égal à \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet des collèges}, pdftitle = {Polynésie septembre 2009}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small A. P{}. M. E. P{}.} \lhead{\small Brevet des collèges} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2009~\decofourright\\ \red Corrigé}} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \section*{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} %Cette page doit être rendue avec la copie \end{center} \subsection*{Exercice 1 : QCM} %\medskip % %Une seule des trois réponses proposées est correcte. Entourez-la. Aucune justification n'est demandée. %\begin{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C \\ \hline $\dfrac{3}{5} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{3}$ est égal à :&$\dfrac{4}{5}$& $\dfrac{12}{30}$&\fcolorbox{red}{white}{$1$}\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline L'écriture scientifique de \np{65100000} est :& \fcolorbox{red}{white}{$6,51 \times 10^7$} &$651 \times 10^5$ &$6,51 \times 10^{-7}$\\ \hline $(3x - 2)^2$ est égal à : &$9x^2 - 4$ &$3x^2 - 12x + 4$ & \fcolorbox{red}{white}{$9x^2 - 12x + 4$} \rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline Le nombre de diviseurs communs à 40 et 60 est: &4& \fcolorbox{red}{white}{6} & 8 \\ \hline Un véhicule effectue 50~km en 2~h puis 100~km en 3~h. Sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est:& 27 km/h & \fcolorbox{red}{white}{30 km/h} &32 km/h \\ \hline \end{tabularx} \bigskip \begin{list}{\textbullet}{Explications:} \item $\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{5}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{15}+\dfrac{6}{15}=\dfrac{²5}{15}=1$ \item $6,51\times 10^7 = \np{65100000}$ et le nombre devant la puissance de 10 a un seul chiffre non nul à gauche de la virgule. \item $(3x-2)^2 = (3x)^2 -2\times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2-12x+4$ \item $60=40\times 1 + 20$ et $40=20\times 2+0$; le dernier reste non nul est 20 donc 20 est le PGCD de 40 et de 60. Tous les diviseurs communs de 40 et 60 sont les diviseurs de leur PGCD, c'est-à-dire de 20. Le nombre 20 a 6 diviseurs: 1, 2, 4, 5, 10 et 20. \end{list} %\bigskip \subsection*{Exercice 2} \medskip Heimiri et son frère Tehui souhaitent gâter leur maman pour la fête des mères. Ils disposent de \np{18000}~F et profitent des soldes. \begin{enumerate} \item Dans la vitrine d'une bijouterie, ils aperçoivent de superbes boucles d'oreilles à \np{12000}~F. %Calculer le prix des boucles d'oreilles après une remise de 25\:\% ? La remise de 25\,\% sur le prix de \np{12000}~F est de: $\np{12000}\times \dfrac{25}{100}= \np{3000}$. Le prix des boucles d'oreille est donc de $\np{12000} - \np{3000} = \np{9000}$~F. \item Dans la même bijouterie, ils aperçoivent une magnifique bague. Après une remise de 20\:\%, le prix de la bague est de \np{7840}~F. %Quel était son prix initial ? On fait un tableau de proportionnalité: \begin{center} \newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l| *{3}{>{\ca}X|}} \hline Prix avant remise & & 100\\ \hline Remise & & 20\\ \hline Prix après remise & \np{7840} & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} On complète ce tableau: \begin{center} \newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l| *{3}{>{\ca}X|}} \hline Prix avant remise & \textcolor{red}{$\dfrac{\np{7840} \times 100}{80}$}\rule[-9pt]{0pt}{25pt} & 100\\ \hline Remise & & 20\\ \hline Prix après remise & \np{7840} & \textcolor{red}{80} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Donc le prix initial était de $\dfrac{\np{7840} \times 100}{80}=\np{9800}$~F. \item En s'apprêtant à sortir de la bijouterie, Heimiri est sous le charme d'un pendentif en nacre. Voici ce qu'indique l'étiquette: \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-1)(2,1) \psframe(0,-1)(2,1)\rput(1,0.75){Pendentif} \rput(1,0){\np{2800}~F} \rput(1,-0.5){\np{2100}~F} \psline(0.5,-0.1)(1.5,0) \end{pspicture}\end{center} %\vspace{0.75cm} % %Déterminer le pourcentage de remise effectuée sur le prix de ce pendentif. La remise est de $\np{2800}-\np{2100}=700$~F. On fait un tableau de proportionnalité: \begin{center} \newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l| *{3}{>{\ca}X|}} \hline Prix avant remise & \np{2800} & 100\\ \hline Remise & \textcolor{red}{700} & \\ \hline Prix après remise & \np{2100} & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le pourcentage de remise est donc: $\dfrac{700\times 100}{\np{2800}}=25$\,\% \end{enumerate} %\bigskip \subsection*{Exercice 3} %\medskip % %\textbf{Écrire tous les calculs permettant de justifier votre réponse.} % %\emph{Toute trace de recherche même incomplète. sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip La ville A compte \np{60000}~voitures et la ville B compte \np{18000}~voitures. Les diagrammes circulaires ci-dessous représentent la répartition des voitures selon leurs couleurs, dans les villes A et B. %On demande à un élève ce qu'il constate. Voici ce qu'il a répondu : % %\og On peut dire qu'il y a plus de voitures blanches dans la ville B que dans la ville A \fg. % %A t-il raison ? \bigskip \begin{center} \psset{unit=0.95cm} \begin{pspicture}(12,4.5) \pscircle(2,2){2} \pscircle(8.4,2){2} \pswedge[fillstyle=vlines](2,2){2}{0}{90} \pswedge[fillstyle=hlines](2,2){2}{-126}{0} \pswedge[fillstyle=crosshatch](2,2){2}{-180}{-126} \rput(3.7,3.7){25\:\%} \rput(0.3,3.7){25\:\%} \rput(3.7,0.3){35\:\%} \rput(0.3,0.3){15\:\%} \rput(2,4.4){\textbf{Ville A}} \psframe(4.4,0.4)(6,3.6) \psframe(4.6,0.6)(5,1) \rput(5.5,0.8){Autre} \psframe[fillstyle=crosshatch](4.6,1.4)(5,1.8)\rput(5.5,1.6){Bleu} \psframe[fillstyle=hlines](4.6,2.2)(5,2.6)\rput(5.5,2.4){Noir} \psframe[fillstyle=vlines](4.6,3)(5,3.4)\rput(5.5,3.2){Blanc} %%%%%%%%%%%%%%% \pswedge(2,2){2}{90}{108} \pswedge[fillstyle=vlines](8.4,2){2}{-126}{90} \pswedge[fillstyle=hlines](8.4,2){2}{144}{234} \pswedge[fillstyle=crosshatch](8.4,2){2}{108}{144} \rput(10.4,0.7){60\:\%} \rput(8.1,4.1){5\:\%} \rput(7,3.8){10\:\%} \rput(6.6,0.6){25\:\%} \rput(8.4,4.4){\textbf{Ville B}} \psframe(10.8,0.4)(12.4,3.6) \psframe(11,0.6)(11.4,1) \rput(11.9,0.8){Autre} \psframe[fillstyle=crosshatch](11,1.4)(11.4,1.8)\rput(11.9,1.6){Bleu} \psframe[fillstyle=hlines](11,2.2)(11.4,2.6)\rput(11.9,2.4){Noir} \psframe[fillstyle=vlines](11,3)(11.4,3.4)\rput(11.9,3.2){Blanc} \end{pspicture} \end{center} La ville A compte \np{60000} voitures dont 25\,\% de voitures blanches; ce qui fait $\np{60000}\times \dfrac{25}{100}= \np{15000}$ voitures blanches. La ville A compte \np{18000} voitures dont 60\,\% de voitures blanches; ce qui fait $\np{18000}\times \dfrac{60}{100}= \np{10800}$ voitures blanches. Il y a donc plus de voitures blanches dans la ville A que dans la ville B: l'élève interrogé a tort. \vspace{0,5cm} \section*{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} %\bigskip \subsection*{Exercice 1} \medskip \textbf{L'unité de longueur est le centimètre} \medskip On donne : \setlength\parindent{5mm} les points C, D et A sont alignés; les points B, E et A sont alignés; (DE) $\perp$ (AD) AB = 6,25 ; AC = 5 ; BC = 3,75 ; AD = 3,2; M $\in$ [AC] et N $\in$ [AB] tels que AM = 4 et AN = 5. \setlength\parindent{0mm} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(12,5) %%\psgrid %\psline(0,1)(10,1) \psline(0,4.5)(10,0) %\psline(1.5,0)(1.5,5) \psline(3,0)(3,5) %\psframe(3,1)(3.2,1.2) %\uput[u](7.8,1){A} \uput[ur](1.5,3.82){B} \uput[dr](1.5,1){C} \uput[dr](3,1){D} %\uput[ur](3,3.17){E} \uput[dr](2.2,1){M} \uput[ur](2.3,3.45){N} %\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.2,1)(2.3,3.45) %\rput(8,2.5){La figure n'est pas en vraie grandeur} %\end{pspicture} \begin{center} \psset{unit=1cm} \def\xmin {-1} \def\xmax {6} \def\ymin {-1} \def\ymax {5} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=0] \psframe(1.8,0)(2,0.2) \psline(\xmin,0)(\xmax,0) \psline(0,\ymin)(0,\ymax) \psline(1.8,\ymin)(1.8,\ymax) \psplot{\xmin}{\xmax}{-0.75 x mul 3.75 add} \psdots[dotstyle=x,dotscale=1.7](1,0) \psarc(5,0){5}{142}{144} \uput[dl](0,0){C} \uput[d](1,0){M} \uput[dr](1.8,0){D} \uput[ur](5,0){A} \uput[ur](0,3.75){B} \uput[ur](1.8,2.4){E} \uput[ur](1,3){N} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,3) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Montrer que le triangle ABC est rectangle. Vous préciserez en quel point. Dans le triangle ABC: $\text{AB}=6,25$, $\text{BC}= 3,75$ et $\text{AC}=5$; $\text{BC}^2+\text{AC}^2 = \np{14,0625} + 25 = \np{39,0625}= 6,25^2 = \text{AB}^2$ Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. \item% En déduire que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Le triangle ABC est rectangle en C donc (BC) $\perp$ (AC). On sait que (DE) $\perp$ (AD) et comme C, D et A sont alignés, (DE) $\perp$ (AC). Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles: $\left. \begin{array}{c !{\perp} c} \text{(BC)} & \text{(AC)} \\ \text{(DE)} & \text{(AC)} \end{array} \right\rbrace $ donc les droites (BC) et (DE) sont parallèles. \end{enumerate} \item% Calculer DE. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles donc on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles ADE et ACB: $\dfrac{\text{AD}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{DE}}{\text{CB}}$ autrement dit $\dfrac{3,2}{5}=\dfrac{\text{DE}}{3,75}$ et donc $\text{DE} = \dfrac{3,2\times 3,75}{5}$ donc $\text{DE}=2,4$ \item% Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier. On sait que M $\in$ \cd{}AC\cg{} et que AM = 4. On sait également que N $\in$ \cd{}AB\cg{} et que AN = 5. $\dfrac{\text{AM}}{\text{AC}} = \dfrac{4}{5}=0,8$ et $\dfrac{\text{AN}}{\text{AB}} = \dfrac{5}{6,25}=0,8$ D'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut dire que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. \end{enumerate} \bigskip \subsection*{Exercice 2} \medskip On considère les trois solides suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item la boule de centre O et de rayon SO tel que SO = 3~cm \item la pyramide SEFGH de hauteur 3~cm dont la base est le carré EFGH de c\^oté 6~cm \item le cube ABCDEFGH d'arête 6~cm. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Ces trois solides sont placés dans un récipient. Ce récipient est représenté par le pavé droit ABCDIJKl de hauteur 15 cm dont la base est le carré ABCD de côté 6 cm. \begin{enumerate} \item% Calculer le volume du cube ABCDEFGH en cm$^3$. Le cube ABCDEFGH a une arête de longueur 6~cm donc son volume est égal à $6^3 = 216$~cm$^3$. \item% Calculer le volume de la pyramide SEFGH en cm$^3$. La pyramide SEFGH a pour base le carré EFGH d'aire $6^2=36$~cm$^2$. Sa hauteur est de 3~cm donc son volume est égal à $\dfrac{1}{3}\times 3\times 36 = 36$~cm$^3$. \item% Calculer le volume de la boule en cm$^3$.(on arrondira à l'unité près) La boule a unrayon de 3~cm donc son volume est égal à $\dfrac{4}{3}\times \pi\times 3^3 = 36\times\pi \approx 113$~cm$^3$. \item% En déduire le volume occupé par les trois solides à l'intérieur du pavé ABCDIJKl en cm$^3$. Le volume occupé par les trois solides à l'intérieur du pavé ABCDIJKl est donc approximativement de $216+36+113 = 365$~cm$^3$. \item% \textbf{Dans cette question, écrire tous les calculs permettant de justifier votre réponse. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} %Pourra t-on verser dans ce récipient 20~cl d'eau sans qu'elle ne déborde ? On commence par convertir 20~cl en cm$^3$: 1 L = 1 dm$^3$ = \np{1000} cm$^3$ et 1 L = 100 cl Donc 100 cl = \np{1000} cm$^3$ et donc en divisant par 5, 20 cl = 200 cm$^3$ Le volume du pavé droit ABCDIJKL est égal à $6 \times 6 \times 15 = 540$~cm$^3$. Le volume total des 3 solides est approximativement de 365~cm$^3$. $540-365 = 175$ donc on ne pourra pas verser 200~cm$^3$, c'est-à-dire 20~cl d'eau sans qu'elle déborde. \end{enumerate} \medskip \textbf{Schéma :} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{ \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(5.25,8) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.3,5.9){1.3} \psdots(2.3,5.9) \pspolygon(0,0)(2.8,0)(4.7,0.9)(4.7,2.9)(4.7,3.6)(2.8,2.8)(0,2.8)%ABCGFEA \psline(4.7,3.6)(4.7,7.7)(1.9,7.7)(0,6.8)(2.8,6.8)(4.7,7.7)%GKLIJK \psline(2.8,2.8)(2.8,6.8)%FJ \psline(0,2.8)(0,6.8)%EI \psline(2.8,0)(2.8,2.8)%BF \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2.8,0){B} \uput[r](4.7,0.9){C} \uput[ul](1.9,0.9){D} \uput[l](0,2.8){E} \uput[dr](2.8,2.8){F} \uput[r](4.7,3.6){G} \uput[ul](1.9,3.7){H} \uput[ul](0,6.8){I} \uput[u](2.8,6.8){J} \uput[ur](4.7,7.7){K} \uput[ul](1.9,7.7){L} \uput[ur](2.3,5.9){O} \uput[l](2.3,4.6){S} \psline[linestyle=dotted](0,2.8)(2.3,4.6)(4.7,3.6)(2.8,2.8)(2.3,4.6)(1.9,3.7)(0,2.8)%ESGFSHE \psline[linestyle=dotted](4.7,3.6)(1.9,3.7)%GH \psline[linestyle=dotted](0,0)(1.9,0.9)(4.7,0.9)%ADC \psline[linestyle=dotted](1.9,0.9)(1.9,3.7)%DH \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.48\linewidth}{\textbf{La figure n'est pas en vraie grandeur} \medskip \begin{itemize} \item Le volume d'une pyramide se calcule grâce à la formule : $V = \dfrac{1}{3} \times h \times B\rule[-10pt]{0pt}{25pt}$ où $h$ est la hauteur de la pyramide et $B$ l'aire de sa base. \item Le volume d'une boule se calcule grâce à la formule : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3 \rule[-10pt]{0pt}{25pt}$ où $r$ est le rayon de la boule. \item 1~dm$^3$ = 1~L \end{itemize}} \vspace{0,5cm} \section*{PROBLÈME \hfill 12 points} \medskip %Les parties A, B et C sont indépendantes % %\medskip \subsection*{PARTIE A} \medskip La moitié d'un terrain de basket a été partagée en 3 zones de jeu différentes notées R, M et E. Elles sont repérées dans la figure ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,5) %\psgrid \psframe(7.2,5) \psarc[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.7,0){3.2}{0}{180} \psarc[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.7,2){1}{0}{180} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.1,0)(2.7,2)(4.7,2)(5.3,0) \psline[linewidth=2pt,linecolor=lightgray](2.7,2)(4.7,2) \psframe(7.7,1.4)(8.1,1.8)\rput(8.9,1.6){Zone E} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.7,2.2)(8.1,2.6) \rput(8.9,2.4){Zone R} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](7.7,3)(8.1,3.4)\rput(8.9,3.2){Zone M} %\rput(2.2,0){\raquette} \end{pspicture} \end{center} On a relevé ci-dessous, pour chacun des quatre quart temps du match, tous les lancers effectués depuis chaque zone. \medskip \begin{tabular}{p{6cm}p{6cm}} Premier quart temps& Second quart temps\\ \begin{tabular}{|p{2.8cm}|*{3}{c|}}\hline Zone de lancer & R &M &E \\ \hline Nombre de lancers &7 &5 &3\\ \hline \end{tabular}& \begin{tabular}{|p{2.8cm}|*{3}{c|}}\hline Zone de lancer & R &M &E \\ \hline Nombre de lancers &8 &5 &2\\ \hline \end{tabular}\\ ~&~\\ Troisième quart temps& Quatrième quart temps\\ \begin{tabular}{|p{2.8cm}|*{3}{c|}}\hline Zone de lancer & R &M &E \\ \hline Nombre de lancers &9 &5 &2\\ \hline \end{tabular}&\begin{tabular}{|p{2.8cm}|*{3}{c|}}\hline Zone de lancer & R &M &E \\ \hline Nombre de lancers &6 &5 &3\\ \hline \end{tabular}\\ \end{tabular} \medskip \begin{enumerate} \item On compléter le tableau ci-dessous donnant le nombre total de lancers réalisés lors des quatre quart temps du match: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Zone de lancer &R &M &E &Total\\ \hline Nombre de lancers &$7+8+9+6=\newline 30$ &$5+5+5+5=\newline 20$ &$3+2+2+3=\newline 10$ &$30+20+10=\newline 60$ \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Calcul de fréquences \begin{enumerate} \item% Calculer la fréquence des lancers effectués depuis la zone E lors du match et donner le résultat sous forme d'une fraction la plus simplifiée possible. Il y a un total de 10 lancers depuis la zone E sur un total de 60 lancers; la fréquence demandée est donc $\dfrac{10}{60}=\dfrac{1}{6}$. \item% Calculer la fréquence des lancers effectués en dehors de la zone E lors du match. Il y a un total de $20+30=50$ lancers effectués en dehors de la zone E sur un total de 60 lancers; la fréquence demandée est donc $\dfrac{50}{60}=\dfrac{5}{6}$. %Donner le résultat sous forme d'une fraction la plus simplifiée possible. \end{enumerate} \item Pendant le match, sur les 60~lancers effectués, 51 ont été réussis dont 27 depuis la zone R. On sait aussi que $\dfrac{3}{4}$ des lancers effectués dans la zone M ont été réussis. %Calculer le nombre de lancers réussis dans la zone E. Les $\dfrac{3}{4}$ des lancers effectués dans la zone M ont été réussis, ce qui fait $\dfrac{3}{4}\times 20=15$. Il y a 27 lancers réussis depuis la zone R et 15 réussis depuis la zone M pour un total de 51 lancers réussis; le nombre de lancers réussis depuis la zone E est donc $51-27-15=9$. \end{enumerate} \bigskip \subsection*{PARTIE B} \medskip Le graphique ci-dessous représente la hauteur du ballon lors d'un lancer en fonction du temps. \medskip \begin{center} \psset{xunit=6.875,yunit=2cm} \begin{pspicture}(-0.05,-0.2)(1.5,4.6) \multido{\n=0.+0.01}{151}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4.6)} \multido{\n=0+0.05}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4.6)} \multido{\n=0+0.1}{16}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4.6)} \multido{\n=0+0.04}{116}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](0,\n)(1.5,\n)} \multido{\n=0+0.2}{24}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(1.5,\n)} \multido{\n=0+0.4}{5}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](0,\n)(1.5,\n)} \psaxes[comma,linewidth=1.5pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-0.05,-0.2)(1.5,4.6) \uput[u](1.4,0){Temps (en s)}\uput[d](0.1,0){\red 0,1} \uput[l](0,0.2){0,2} \uput[r](0,4.7){Hauteur du ballon (en m)} %\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000]{0}{1}{2.4 x dup mul 7 mul sub 7.6 x mul add} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{1}{x -7 x mul 7.6 add mul 2.4 add} \psline[linewidth=1.5pt](0.92,3)(1.05,3) \rput(1.35,2){panier}\psline{->}(1.275,2)(1,2.9) \psframe*(1.05,2.8)(1.06,3.86) \psline[linewidth=1.8pt](1.055,3.4)(1.058,3.4)(1.21,2.84)(1.21,0) \psset{linecolor=red} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](0,3)(1,3) \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2,arrowsize=2pt 3](0.1,0)(0.1,3.09) \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=1,arrowsize=2pt 3](0.1,3.09)(0,3.09) \uput{15pt}[l](0,3.09){\red 3,1} \uput*{6pt}[l](0,3){\red 3} \psline[linestyle=dashed](0.55,0)(0.55,4.46) \psline[linestyle=dashed](0,4.46)(1,4.46) \uput[-60](0.55,0){\red 0.55} \uput[l](0,4.46){\red 4.5} \end{pspicture} \end{center} On utilise le graphique pour répondre aux questions suivantes. \begin{enumerate} \item% Quelle est la hauteur du panier? La hauteur du panier est de 3~m. \item% À quelle hauteur se trouve le ballon 0,1~s après le lancer? Après 0,1~s le ballon se trouve approximativement à 3,1~m. \item \begin{enumerate} \item% Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ? La hauteur maximale du ballon est approximativement de 4,5 mètres. \item% Au bout de combien de temps le ballon atteint-il cette hauteur maximale? Le ballon atteint cette hauteur maximale en 0,55 seconde. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsection*{PARTIE C} \medskip Le joueur A passe le ballon au joueur B situé à 7,2~m de lui. La passe dure 0,4~s. \begin{enumerate} \item% Calculer la vitesse moyenne du ballon, en m/s, lors de cette passe. $\dfrac{7,2}{0,4}=18$ donc la vitesse moyenne du ballon est de 18 m/s. \item% Convertir en km/h. Il y a \np{3600} secondes dans une heure, donc si on fait 18~m en 1 seconde, on fait $18\times \np{3600} = \np{64800}$ mètres en une heure, autrement dit 64,8 kilomètres. La vitesse moyenne du ballon est donc de 64,8 km/h. \end{enumerate} \end{document}