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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2012}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2012~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Activités numériques \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip 

On donne le programme de calcul suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|@{~$\bullet~~$}l l|}\hline
&Choisir un nombre.\\ 
&Lui ajouter 1.\\ 
&Calculer le carré de cette somme.\\ 
&Enlever 16 au résultat obtenu.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 4,  on obtient comme résultat $9$. 
		\item Lorsque le nombre de départ est $(- 3)$ quel résultat obtient-on ? 
		\item Le nombre de  départ étant $x$, exprimer le résultat final en fonction de $x$. 
		
On appelle $P$ cette expression.
 
		\item Vérifier que $P = x^2 + 2x - 15$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $(x - 3)(x + 5) = P$. 
		\item Quels nombres peut-on choisir au départ pour que le résultat final soit $0$ ?
		
Justifier votre réponse. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip 

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
 
Pour chaque question quatre réponses sont proposées mais \textbf{une seule est exacte}.
 
Pour chacune des questions, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre A,  B,  C ou D correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Question &Réponse A &Réponse B &Réponse C &Réponse D\\ \hline 
\textbf{1.} L'écriture sous forme scientifique de  $10^2 \times 21 \times  10^{- 7}$ est :&
$21 \times 10^{-3}$& $2,1 \times 10^{9}$& $2,1 \times 10^{- 4}$& \small $0,21 \times 10^{- 3}$\\ \hline 
\textbf{2.} Le premier quartile Q$_{1}$ de la série de valeurs : 58 ; 55 ; 61 ; 70 ; 
61 ; 65 ; 58 ; 55 ; 72 est :& 61&58&55&2\\ \hline 
\textbf{3.} $\sqrt{500}$ est égale à :& 
$10\sqrt{5}$&$100\sqrt{5}$&$22,36$& $50$\\ \hline 
\textbf{4.} Les solutions de l'inéquation 
$- 2x + 5 \geqslant  7$ sont les nombres $x$ tels que : &$x \geqslant 1$&$x \leqslant 1$&$x \geqslant - 1$&$x \leqslant - 1$\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\textbf{Exercice 3 :}

\medskip 

Une usine de Moorea fabrique du jus de fruits.
 
Soit $C$ une fonction qui, à une quantité de jus fabriquée en litre(s) associe le coût de fabrication en F.
 
On a représenté ci-dessous la fonction $C$ pour une quantité de jus comprise entre $0$ et 130 litres. 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.085cm,yunit=0.0085cm}
\begin{pspicture}(-5,-50)(135,800)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(135,800)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=100](0,0)(135,800)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{130}{x 3 exp 3 div x dup mul 67.5 mul sub x 2525 mul add 0.019017 neg mul 600 add}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,600)(10,660)(20,678)(30,680)(40,662)(50,628)(60,575)(70,525)(80,470)(90,430)(100,400)(110,395)(120,410)(130,455)
\uput[u](118,0){Quantité en litre(s)}
\uput[r](0,780){Coût de fabrication en F}
\end{pspicture}
\end{center}

À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le coût de fabrication de 100 litres de jus. 
		\item Pour quelle(s) quantité(s) de jus, le coût de fabrication est-il  supérieur à 550~F ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'image de 85 par la fonction $C$.
		\item Lire $C(75)$. 
		\item Donner le(s) antécédent(s) de $600$ par la fonction $C$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Activités géométriques \hfill 12 points}

\medskip 

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip
  
Un sculpteur fabrique un \og umete \fg{} en bois (récipient) ayant la forme d'une demi-sphère de rayon 15~cm (\emph{l'épaisseur du umete est supposée négligeable}).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la valeur exacte du volume du umete est égale à \np{2250}$\pi$~ cm$^3$. 
\item Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
 
Pourra-t-on verser dans ce umete 7 litres de lait de coco sans déborder ? Justifier.
 
\begin{tabular}{l l l}
\textbf{Rappels}&$\bullet~~$&Le volume d'une boule de rayon $r$ est : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.\\  
&$\bullet~~$&1 litre = 1 dm$^3$\\
\end{tabular} 
\end{enumerate}
 
\medskip 

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

\textbf{Dans tout cet exercice,  les figures ne  sont pas à l'échelle.}
 
Moana décide de participer à un  triathlon. Il prend connaissance des parcours des. trois épreuves : natation, cyclisme et course à pied.

\medskip
\begin{enumerate}
\item 1\up{re} épreuve :  la natation
 
Le départ se fait sur la plage au point D, Les triathlètes doivent  contourner une bouée située au point B, puis rejoindre la plage au point  A.
 
On donne AB = 800~m et AD = \np{2341}~m et (AB) $\perp$ (BD). 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\def\vague{\pscurve(0,0)(0.5,0.2)(1,-0.2)(1.5,0.2)}
\psline[linestyle=dashed](1,1)(5,3.5)(6.5,1)%DBA
\psline(1,1)(6.5,1)
\uput[d](1,1){D} \uput[ur](5,3.5){B} \uput[d](6.5,1){A}
\rput(3.75,0.5){Plage}
\rput(7,1.8){\vague} 
\rput(1,2){\vague} \rput(1.8,3.5){\vague} \rput(1.8,1.3){\vague} \rput(3.7,2){\vague}\rput(6.5,3){\vague} \rput(7,4){\vague}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur du parcours \og natation \fg{} représenté par DB + BA. Donner la réponse arrondie au mètre. 
		\item Calculer $\sin \widehat{\text{ADB}}$ ; en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{ADB}}$ arrondie au degré.
	\end{enumerate}
	 
\item 2\up{e} épreuve : 

\parbox{0.55\linewidth}{Le circuit \og vélo \fg{} est un arc de cercle de centre O.\\
Le  départ a lieu au point M et l'arrivée au point N.\\ 
Un spectateur situé en O voit le premier tronçon $\widearc{\text{MC}}$ 
parcouru par le cycliste sous un angle de $81,5~\degres$).\\
 On souhaite déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{MNC}}$.}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\SpecialCoor
\psarc(0,0){2}{-180}{55}
\psline[linestyle=dashed](0;0)(2;180)(2;55)(2;-95)(0;0)
\SpecialCoor
\uput[u](2;180){M}\uput[ur](2;55){N}\uput[dl](2;-95){C}\uput[ur](0;0){O}
\psarc(2;55){0.3}{-155}{-105}\psarc(0;0){0.3}{-180}{-101}
\rput(0.7;-134){81,5~\degres}
\end{pspicture}
} 

	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Dans cet exercice}, pour déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{MNC}}$,  laquelle des quatre propriétés suivantes faut-il utiliser ? Choisir et \textbf{recopier la propriété sur votre copie}. 

\medskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc,  alors ils ont la même mesure, 
\item[$\bullet~~$] Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors c'est un triangle rectangle. 
\item[$\bullet~~$] Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle inscrit est la moitié de la mesure de l'angle au centre, 
\item[$\bullet~~$] Dans un triangle isocèle,  les angles à la base ont la même mesure.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		\item Donner alors la mesure de l'angle $\widehat{\text{MNC}}$. 
	\end{enumerate}

\item 3\up{e} épreuve : la course à pied

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(8.5,2)
\psline{->}(0,1)(4,1)\psline{->}(4,1)(8,1)
\psline{->}(8,0)(4,0)\psline{->}(4,0)(0,0)
\psarc(8,0.5){0.25}{-90}{90}
\uput[u](4,1){10~km}\uput[d](4,0){10~km}
\end{pspicture}
\end{center}
 
Le circuit \og course à pied \fg{)} est un aller-retour de 20~km (10 km à l'aller et 10 km au retour).
 
Pour le trajet aller, qui s'effectue dans le sens du vent,  Moana estime que sa vitesse moyenne sera de 16 km/h.
 
Pour le trajet retour,à cause du vent de face et de la fatigue Moana pense courir à la vitesse moyenne de 10 km/h.
 
Peut-on affirmer que sa vitesse moyenne sera de 13 km/h sur l'ensemble du circuit \og course à pied \fg ? Justifier votre réponse.

\medskip
 
\emph{L'évaluation de cette question  tiendra compte des observations et étapes de recherche, même incomplètes ;  les faire apparaître sur votre copie.} 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Problème \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

Un bijoutier achète un lot de 220 perles de Tahiti.
 
Un contrôleur qualité s'intéresse à leurs formes (ronde ou baroque) et à leurs couleurs (grise ou verte).

\medskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 35\,\% des perles sont de couleur verte, et parmi celles~ci $13$ sont de forme ronde. 
\item[$\bullet~~$] Il y a 176 perles de forme baroque,
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Il  note les résultats dans la feuille de calcul ci-dessous 

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 			&B 			&C 			&D\\ \hline 
1	&			&Rondes 	&Baroques	&Total\\ \hline 
2 	&Grises		&			&			&\\ \hline
3 	&Vertes		&			&			&\\ \hline
4 	&Total		&			&			& 220\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Pour obtenir le nombre de perles vertes à partir des informations données dans l'énoncé, quelle formule doit-il saisir en D3 ? Parmi les quatre formules proposées, recopier sur votre copie la bonne formule : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\fbox{=D4*1,35}&\fbox{220*35 / 100}&\fbox{=D4 * 0,35}&\fbox{=B3 + C3}\\
\end{tabularx}

\item Compléter le tableau ci-dessus. 
\item On choisit au hasard une perle de ce lot. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour que cette perle soit de forme baroque ? 
		\item Quelle est la probabilité de tirer une perle baroque verte ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

Ce bijoutier se fournit chez un perliculteur de l'archipel des Gambier.
 
L'acheminement vers Tahiti des lots de perles, s'effectue selon deux tarifs :

\medskip
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Tarif \og  Ho' \fg{} : \np{2300}~F par lot. 
\item[$\bullet~~$] Tarif \og Piti \fg{} : \np{7000}~F fixe et $900$~F par lot
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chaque tarif, le montant de l'acheminement de 4 lots. 
\item On note $x$ le nombre de lots de perles expédié(s). 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le montant de l'acheminement avec le tarif Ho'e. 
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le montant de l'acheminement avec le tarif  Piti.
	\end{enumerate}

\newpage 
\begin{center}\textbf{Cette page  est à rendre avec la copie}
\end{center} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ et $g$ les deux fonctions définies par :
		 
\[f : x \longmapsto  \np{2300}x \quad \text{et}\quad  g \longmapsto 900x + \np{7000}.\]
 
\textbf{Dans le repère ci-dessous} (à rendre avec la copie), construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$. 
		\item Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de lots expédiés, le tarif Piti est plus avantageux pour le bijoutier que le tarif  Ho'.
		
		\medskip
		
\emph{Vous ferez apparaître, sur le dessin, les tracés nécessaires pour justifier votre réponse.} 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.00085cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.67,-500)(9,14000)
\multido{\r=0.000+0.333}{28}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\r,0)(\r,14000)}
\multido{\n=0+500}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=15000]{->}(0,0)(9,14000)
\multido{\n=0+1000}{14}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\uput[d](8,-400){Nombre de lots}\uput[r](0,13800){Frais d'envoi (en F)}
\uput[d](9,0){$x$}\uput[l](0,14000){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}