\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \usepackage{multirow} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{graphics} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-node,pstricks-add} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet des collèges}, pdftitle = {Polynésie septembre 2011}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet des collèges} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2011~\decofourright}} \vspace{0,25cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\large Activités numériques \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 :} \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, \textbf{une seule est exacte}.} \medskip Pour chacune des cinq questions, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre A ,B, C ou D correspondant à la réponse choisie. \medskip \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3.9cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \no & Question &A &B &C &D\\ \hline 1 &$\dfrac{5}{3} - \dfrac{6}{5}$ est égal à : &$\dfrac{11}{2}$&$\dfrac{7}{15}$&$\dfrac{- 1}{8}$&0,46\\ \hline 2&$\sqrt{25} + \sqrt{169}$ est égal à :& 18 &$\sqrt{5}+ \sqrt{13}$& $\sqrt{194}$&174\\ \hline 3 &$2 \times 10^{-3} \times 10^5$ est égal à :& $2 \times 10^{-15}$& $2 \times 10^2$& 0,2&0,02\\ \hline 4&Les solutions de l'équation $(3x - 4) (x + 5) = 0$ sont :& $-1$ et $6$&$\dfrac{4}{3}$ et 5& 1 et 6 &$\dfrac{4}{3}$ et $- 5$\\ \hline 5& $(x - 1) (x - 2) - x^2$ est égal à : &$x^2$& $- 3x- 2$& $3x + 2$& $- 3x+ 2$ \\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 2 :} \medskip À bord d'un bateau de croisière de passage à Tahiti, il y avait \np{4000}~personnes, dont aucun enfant. \medskip Chaque personne à bord du bateau est : soit un touriste, soit un membre de l'équipage. Voici le tableau qui donne la composition des personnes à bord de ce bateau. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Hommes &Femmes &Total\\ \hline Touristes &\np{1400} &\np{1700} &\\ \hline Membres de l'équipage &440 & &\\ \hline Total & & & \np{4000}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier puis compléter le tableau ci-dessus. \item On choisit à bord du bateau, une personne, au hasard. \begin{enumerate} \item Peut-on dire qu'il y a plus d'une chance sur deux que ce soit un homme ? Justifier. \item Quelle est la probabilité que cette personne fasse partie des touristes ? \item Quelle est la probabilité que cette personne ne soit pas un homme membre de l'équipage ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 :} On propose le programme de calcul suivant : \medskip \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1} \begin{tabular}{|l|} \hline Choisir un nombre.\\ Soustraire 6.\\ Calculer le carré du résultat obtenu.\\ \hline \end{tabular} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit le nombre $- 4$ au départ, montrer que le résultat obtenu est $100$. \item On choisit 15 comme nombre de départ, quel est le résultat obtenu ? \item Quel nombre pourrait-on choisir pour que le résultat du programme soit le nombre $144$ ? Justifier la réponse. \textbf{(Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation).} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Activités géométriques \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip Vous ferez la figure sur votre copie en suivant les indications de l'énoncé. \begin{enumerate} \item Construire un triangle ABC tel que AB = 13~cm ; AC = 12~cm et BC = 5~cm. \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C. \item Compléter la figure de la question 1 : \begin{enumerate} \item Construire le point M du segment [AC] tel que AM = 6~cm. \item Construire le point P du segment [AB] tel que AP = 6,5~cm. \end{enumerate} \item Montrer que les droites (BC) et (PM) sont parallèles. \item Montrer que PM = 2,5cm. \item \textbf{Dans cette question}, parmi les quatre propositions suivantes, recopier sur votre copie celle qui permet de montrer que les droites (PM) et (AC) sont perpendiculaires: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. \item[$\bullet~~$] Si deux droites perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. \item[$\bullet~~$] Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. \item[$\bullet~~$] Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 :} \medskip \parbox{5.75cm}{ Dans cet exercice, la figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur et ne reflète pas la réalité. Soit un cube ABCDEFGH de 6~cm de côté et I le milieu du segment [BF]. On considère la section AIJD du cube par un plan parallèle à l'arête [BC] et passant par les points A et I. Recopier sur votre copie, la (ou les) bonne(s) réponse(s) à la question : La section AIJD du cube est-elle :} \hfill \parbox{5.75cm}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(0,-0.25)(7,7) \psline(0,0.6)(5,0)(6.8,1.2)(6.8,6.2)(1.8,6.8)(0,5.6)(5,5)(6.8,6.2)%ABCGHEFG \pspolygon[linecolor=chamois](0,0.6)(5,2.5)(6.8,3.7)(1.8,1.8)%AIJD \psline[linestyle=dashed](0,0.6)(1.8,1.8)(1.8,6.8)%ADH \psline(5,0)(5,5)%BF \psline(0,0.6)(0,5.6)%AE \psline[linestyle=dashed](1.8,1.8)(6.8,1.2)%DC \uput[dl](0,0.6){A} \uput[dr](5,0){B} \uput[dr](6.8,1.2){C} \uput[ul](1.8,1.8){D} \uput[ul](0,5.6){E} \uput[u](5,5){F} \uput[ur](6.8,6.2){G} \uput[ul](1.8,6.8){H} \uput[dr](5,2.5){I} \uput[r](6.8,3.7){J} \end{pspicture}} $\Box$ un losange ; $\Box$ un rectangle ; $\Box$ un parallélogramme ou $\Box$ un carré ? Justifier votre réponse. \begin{enumerate} \item Dessiner en vraie grandeur le triangle AIB, et la section AIJD. \item Montrer que l'aire du triangle AIB est égale à 9 cm$^2$. \item La partie basse ABIDCJ du cube est un prisme droit. Le volume d'un prisme droit, en cm$^3$, est obtenu par la formule $V = \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base, en cm$^2$, du prisme et $h$ la hauteur du prisme, en cm. Calculer le volume du prisme droit ABIDCJ en cm$^3$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Problème \hfill (12 points)} \begin{center}\textbf{Partie 1} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer PGCD (78~;~130), en précisant la méthode employée et vos calculs. \item Manuarii est un pâtissier confiseur, il veut vendre tous ses chocolats et ses biscuits dans des boîtes identiques. Chaque jour il peut fabriquer $78$ chocolats et $130$ biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes contenant chacune, d'une part le même nombre de chocolats et d'autre part le même nombre de biscuits. \begin{enumerate} \item Justifier que $26$ est le maximum de boîtes qu'il peut obtenir. \item Quel est alors le nombre de chocolats et le nombre de biscuits dans chaque boîte ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie 2} \end{center} On désigne par $x$ le nombre de boîtes produites sur un mois. La fonction définie par $f(x) = \np{180000} + 200x$, donne, en Francs, le coût total de la production de $x$ boîtes sur un mois. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'image de $26$ par la fonction $f$. \item Sur la feuille annexe, on a représenté graphiquement la fonction $f$. Pour toutes les lectures graphiques~ vous ferez apparaître les tracés utiles sur la feuille annexe et vous écrirez la réponse sur votre copie. \begin{enumerate} \item Lire graphiquement l'image de $150$ par la fonction $f$. \item Lire graphiquement l'antécédent de \np{190000} par la fonction $f$. \end{enumerate} \item Justifier l'affirmation suivante: \og $f$ est une fonction affine. \fg \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie 3} \end{center} Manuarii vend chaque boîte \np{2000}~Francs. On désigne par $g(x)$ le montant en Francs perçu par Manuarii pour $x$ boîtes vendues sur un mois. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Recopier} et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0 &120& &150\\ \hline $g(x)$ & 0 & &\np{60000} &\np{300000}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la représentation graphique de la fonction $g$ sur la feuille \textbf{annexe}. \item Combien de boîtes, Manuarii doit-il vendre dans le mois, pour obtenir un montant supérieur ou égal au coût de production ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie} \bigskip \psset{xunit=0.055cm,yunit=0.000047cm} \begin{pspicture}(-10,-10000)(205,310000) \multido{\n=0+5}{41}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,300000)} \multido{\n=0+10000}{31}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](0,\n)(200,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=2000000]{->}(0,0)(205,310000) \multido{\n=0+20000}{16}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,180000)(200,220000) \uput[u](185,0){Nombre de boîtes} \uput[r](0,310000){En Francs} \end{pspicture} \end{center} \end{document}