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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{avril 2009}
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\begin{center}
{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry~\decofourright\\
 avril 2009}}} 

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Activités numériques}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : 

A =$\dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15} \times \dfrac{5}{8}$

\item B $  = 3\sqrt{2} -  \sqrt{98}$

	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur arrondie au centième de B.
		\item Écrire B sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} } 
\begin{enumerate}
\item $-2$ est-il solution de l'inéquation : $3x +12 < 4 -  2x$ ? Justifier. 
\item $-2$ est-il solution de l'équation : $(x - 2)(2x + 1)  = 0$ ? Justifier. 
\item $-2$ est-il solution de l'équation : $x^3 + 8 =  0$ ? Justifier.
\item Le couple $(-2~;~ 1)$ est-il solution du système $\left\{\begin{array}{l c l}
2x + 3y&=&-1\\
x+5y&=&3\\
\end{array}\right.$ ?  Justifier.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} }
\begin{enumerate}
\item  Déterminer le PGCD de 238 et 170 par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires.
\item  En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{170}{238}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} }

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.

Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte.

Chaque réponse exacte rapporte 1 point.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\emph{Pour chacune des trois questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.}

\textbf{Énoncé :}

Un sac contient six boules: quatre blanches et deux noires.

Ces boules sont numérotées :
 
Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,1.8)
\pscircle(0.4,1.5){0.3} \rput(0.4,1.5){1}
\pscircle(1.2,1.6){0.3} \rput(1.2,1.6){2}
\pscircle(1.3,0.5){0.3} \rput(1.3,0.5){1}
\pscircle(2.1,1.2){0.3} \rput(2.1,1.2){ 3}
\pscircle*(2.9,1.5){0.3} \rput(2.9,1.5){\white 1}
\pscircle*(3,0.6){0.3} \rput(3,0.6){\white 2}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|m{4,75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro	& Question	&\footnotesize Réponse A&\footnotesize Réponse B&\footnotesize Réponse C\\ \hline
1		&Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?&
\rule[3pt]{}{5mm}$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{6}{4}$&4\\ \hline
2		&Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ?&\rule[3pt]{}{5mm}
$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{3}$\\ \hline
3		& Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ?&\rule[3pt]{}{5mm}
$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{2}{4}$&$\dfrac{3}{6}$\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités géométriques}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} }

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{On considère une bougie conique représentée ci-contre.

(\emph{la figure n'est pas aux dimensions réelles.})

Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.

La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.} \hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-1)(2,5)
\psellipse(0,0)(1.5,0.5)
\psline(-1.5,0)(0,4.8)(1.5,0)
\psline(-0.7,-0.4)(0,4.8) \psline[linestyle=dashed](-0.7,-0.4)(0,0)(0,4.8)
\uput[r](0,0){O} \uput[dl](-0.7,-0.4){A} \uput[u](0,4.8){S} 
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item  Sans justifier, donner la nature du triangle SAO et le construire en vraie grandeur. 
\item  Montrer que la hauteur SO de la bougie est 6~cm. 
\item  Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm$^3$ ?
\item  Calculer l'angle $\widehat{\text{ASO}}$ ; on donnera la valeur arrondie au degré.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\medskip

On considère un triangle EFG tel que EF  = 6 cm, FG = 7,5 cm et GE = 4,5 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle EFG.
\item Montrer que le triangle EFG est rectangle et préciser en quel point.
\item Construire le point M milieu de [EF] et construire la droite parallèle à [EG] passant par M ;
elle coupe [FG] en N.
\item Montrer que N est le milieu de [FG].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4}\begin{pspicture}(-0.4,-1)(5,4)
\pspolygon(0,3)(0,0)(5,0)(5,4)
\psline(0,3)(1.9,0)(5,4)
\uput[ul](0,3){T} \uput[dl](0,0){P} \uput[dr](5,0){A} \uput[ur](5,4){R} \uput[d](1.9,0){$M$}
\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(0,-0.4)(5,-0.4)
\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(-0.4,0)(-0.4,3)
\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(5.4,0)(5.4,4)
\uput[l](-0.4,1.5){3} \uput[d](2.5,-0.4){5}\uput[r](5.4,2){4}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.47\linewidth}{\textbf{Les longueurs sont exprimées en centimètres.}

TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que : TP = 3 ;  PA = 5 ;  AR =  4.

$M$ est un point variable du segment [PA], et on note $x$ la longueur du segment [P$M$].}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Dans cette question, on se place dans le cas où} \boldmath $x = 1$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure.
		\item Démontrer que, dans ce cas, le triangle ARM est isocèle en A.
		\item Calculer les aires des triangles PTM et ARM.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Dans cette question, on se place dans le cas où} \boldmath $x$ \unboldmath \textbf{est un nombre inconnu.}
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs entre lesquelles $x$ peut varier.
		\item Montrer que l'aire du triangle PTM est $1,5 x$ et l'aire du triangle ARM est $10 -  2x$.
	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{La représentation graphique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, de la fonction représentant l'aire du triangle ARM en fonction de \boldmath $x$ \unboldmath est donnée en annexe.}

\textbf{Répondre aux questions suivantes, 3. et 4., en utilisant ce graphique à rendre avec la copie.}

\textbf{Laisser apparents les traits nécessaires.}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle ARM est égale à 6 cm$^2$  ?
		\item Lorsque $x$ est égal à 4~cm, quelle est l'aire du triangle ARM ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Sur ce graphique donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}, tracer la droite représentant la fonction : $x \longmapsto 1,5x$.
		\item Estimer graphiquement, à un millimètre près, la valeur de $x$ pour laquelle les triangles PTM et ARM ont la même aire. Faire apparaître les traits de construction nécessaires.
		\item Montrer par le calcul que la valeur exacte de $x$ pour laquelle les deux aires sont égales, est $\dfrac{100}{35}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(5.4,11)
\multido{\r=0.0+0.2}{28}{\psline[linestyle=dashed](\r,0)(\r,10)}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(5.4,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=20]{->}(0,0)(5.4,10)
\psline(0,10)(5,0)
\rput(2.7,11){\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}}
\rput(2.6,8.5){aire du triangle R$M$A}
\uput[r](0,10.5){aire en cm$^2$}
\uput[d](5,-0.5){longueur de $x$ en cm}
\multido{\n=0+1}{11}{\uput[l](0,\n){\n~cm$^2$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}