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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Pondichéry}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry mai 2008~\decofourright}}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées une seule est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la ligne et recopier la réponse exacte. 
 
Aucune justification n'est demandée.
  
\medskip
 
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3.2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{1.1}&$ 28 \times  10^{-3}$ est égal à& 	0,280&	0,028&\np{28000}\\ \hline
\textbf{1.2}&$\sqrt{50}$ est égal à :&	$25\sqrt{2}$&$2\sqrt{5}$&$5\sqrt{2}$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{6mm}\textbf{1.3}&$\left( \dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{4}$ est	égal à :&	2&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{5}{16}$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{6mm}\textbf{1.4}&$\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} + 1$ est égal à :	&$\dfrac{5}{6}$&$- \dfrac{7}{6}$&$0$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{6mm}\textbf{1.5}&L'équation $\dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{5}$ a pour solution&3&	$\dfrac{5}{3}$&$\dfrac{12}{5}$\\ \hline
\end{tabularx}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $A = (x - 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $A$. 
		\item Déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs, $(x - 1),~ x$ et $(x+ 1)$ dont la somme des carrés est  \np{1325}.
	\end{enumerate} 
\item On pose $B = 9x^2 - 64$.
	\begin{enumerate}
		\item  Factoriser B. 
		\item  Déterminer les deux nombres relatifs dont le carré du triple est égal à 64.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :  

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
$\left\{\begin{array}{l c r}
x + y&=&45\\
3x + 5y&=&163\\
\end{array}\right.$
\item Une entreprise artisanale fabrique deux types d'objets en bois, notés A et B.

Un objet de type A nécessite 3 kg de bois et un objet de type B nécessite 5 kg de bois.

Pendant une journée, l'entreprise a utilisé 163 kg de bois pour fabriquer 43~objets.

Déterminer le nombre d'objets réalisés pour chaque type.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

 \emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. II n'est pas demandé de la reproduire.}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,5)
\psline(0,2.5)(12,2.5)
\pscircle(9,2.5){2.25}
\psline(1.5,2.5)(3,0)(9.82,4.58)(11.25,2.5)
\uput[u](1.5,2.5){A} \uput[dr](3,0){B} \uput[ul](6.8,2.5){O} 
\uput[u](9.82,4.58){R} \uput[ur](11.25,2.5){S}
\uput[u](4,2.5){10}  \uput[ul](5.1,1.4){8} \uput[ul](8.3,3.6){5,6}
\uput[d](9,2.5){7}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

$\mathcal{C}$ est un cercle de diamètre [OS] tel que OS = 7~cm.\\
R est un point du cercle tel que OR = 5,6~cm.\\
A est le point de la demi-droite [SO) tel que OA = 10~cm.\\
B est le point de la demi-droite [RO) tel que OB =  8~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les droites (AB) et (RS) sont parallèles.
\item  Déterminer la nature du triangle ORS, puis celle du triangle AOB.
\item  En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$, arrondie au degré.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2} (hors programme en 2009)

\medskip

Soit (O ; I, J) un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur votre copie, construire ce repère et placer les points suivants :

\[\text{A}(4~;~2)\qquad  \text{B}(3~;~- 1)\qquad \text{C}(6~;~- 2)\]

\item  Calculer les distances AC et BC. 

\emph{Pour la suite on admet que } AB = $\sqrt{10}$.
\item  Préciser la nature du triangle ABC.
\item  On appelle E le symétrique de B par rapport à A.

On appelle D l'image de E par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.

Placer E et D dans le repère précédent.
\item  Démontrer que le quadrilatère BCDE est un rectangle.
\item  Déterminer l'aire du rectangle BCDE, puis l'aire du quadrilatère ACDE.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\medskip
 
Noémie confectionne des cadres et des dessous-de-plat en mosaïque, 
qu'elle commercialise vers l'Espagne.

À partir de son stock, elle répartit 376 cadres et 470 dessous-de-plat dans des colis identiques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre maximal de colis réalisables.
\item  Calculer le nombre de cadres et le nombre de dessous de plats contenus dans un colis.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\medskip 
Pour acheminer ses colis vers ses clients espagnols, Noémie doit choisir entre deux trains au départ de Paris et à destination de l'Espagne.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Le train 1, train de marchandises, roule à la vitesse constante de 110 km/h et quitte Paris à minuit (0 h 00).
\item[$\bullet~$] Le train 2, convoi rapide de marchandises, roule à la vitesse constante de 165 km/h et quitte Paris à 4 h 00.
\end{itemize} 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les trois nombres inscrits en italique dans 1e tableau suivant.
		\item Recopier et compléter ce même tableau.
		
\medskip
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Heure							&0~h 00&1~h 00	&4~h 00	&5~h 00&\footnotesize10~h 00&\footnotesize15~h 00\\ \hline
\footnotesize Distance parcourue 
par le train 1 (en km)			&		&		&		&\emph{550}	&					&\\ \hline
\footnotesize Distance parcourue 
par le train 2 (en km)			&		&		&\emph{0}		&\emph{165}	&					&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\end{enumerate}
\item On se place dans un repère orthogonal tel que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] en abscisse, 1~cm représente 1~heure ;
\item[$\bullet~$] en ordonnée, 1~ cm représente 55~kilomètres.
\end{itemize}

Tracer :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le segment de la droite $(d_{1})$ représentant le nombre de kilomètres effectués par le train 1 de 0 h 00 à 15~h 00.
\item[$\bullet~$] le segment de la droite $(d_{2})$ représentant le nombre de kilomètres effectués par le train 2 de 4 h 00 à 15~h 00.
\end{itemize}
\item Par lecture graphique, répondre à la question suivante en faisant
apparaître les tracés nécessaires :	 à quelle heure le train 2 rattrapera-t-il
le train 1 ? à quelle distance de Paris ?
\item	Noémie souhaite que les colis arrivent le plus tôt possible à leurs destinataires.
	\begin{enumerate}
		\item Quel train privilégier si ses clients se trouvent à Barcelone située à \np{1100}~km de Paris ?
		\item Quel train privilégier si ses clients se trouvent à Séville, située à \np{1766}~km de Paris ?
		
Pour \textbf{a.} et \textbf{b.}, expliquer brièvement la démarche utilisée.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}