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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'intégrale 2005}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges 2005~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril à décembre 2005}}

\vspace{0,5cm}

Pour un accès direct cliquez sur les \textcolor{blue}{ liens bleus.}

\end{center}

{\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril  2005}  \dotfill 3 \medskip

\hyperlink{Aix-Marseille}{Groupement Sud  juin 2005}  \dotfill 6 \medskip

\hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord juin 2005} \dotfill 10 \medskip

\hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin  2005} \dotfill 13  \medskip

\hyperlink{Asie}{Afrique de l'Ouest, Asie juin  2005} \dotfill 15  \medskip

\hyperlink{Madagascar}{Madagascar juin  2005} \dotfill 19  \medskip

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie  juin  2005}  \dotfill 22 \medskip

\hyperlink{Bordeaux}{Groupement Ouest juin  2005}  \dotfill 25 \medskip

\hyperlink{Nancy}{Groupement Est juin 2005} \dotfill 28 \medskip

\hyperlink{Paris}{Groupement Nord juin 2005} \dotfill 32 \medskip

\hyperlink{Moyen-Orient}{Moyen-Orient juin 2005}\dotfill 36 \medskip

\hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane septembre  2005} \dotfill 41  \medskip  

\hyperlink{Amienssep}{Groupement Nord septembre  2005} \dotfill 44  \medskip

\hyperlink{Besanconsep}{Groupement Est  septembre  2005}  \dotfill 47 \medskip

\hyperlink{Bordeauxsep}{Groupement Sud  septembre  2005}  \dotfill 50 \medskip  

\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie septembre 2005} \dotfill  53\medskip

\hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2005} \dotfill   55 \medskip

\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie décembre   2005}  \dotfill 59 \medskip}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Pondichéry avril 2005   
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry avril 2005~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose A $= \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{3} \times \dfrac{1}{15}$  et B $ = \left(1 - \dfrac{1}{7}\right) + \dfrac{12}{5}$.

Calculer A et B en détaillant les étapes des calculs. Donner les résultats
sous forme de fractions irréductibles.
\item On pose C $= \dfrac{5 \times 10^4 \times 42 \times 10^2}{6 \times 10^{-4}}$.\\
Donner l'écriture scientifique de C en détaillant les étapes des calculs. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose D $= 5\sqrt{3} - \sqrt{75} + 2\sqrt{27}$.\\
Écrire D sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
\item On pose E $= \left(\sqrt{7} + \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{7} - \sqrt{2}\right)$.

Montrer que E est un entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On pose F $= 49 - (3x + 2)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser F.
\item Développer $(3x + 2)^2$, puis F.
\item Calculer F pour $x = \dfrac{5}{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de 388 et 129 en expliquant la méthode choisie.
\item Peut-on simplifier la fraction $\dfrac{388}{129}$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y & = & 104\\
x - y&=&8\\
\end{array}\right.\]
\item Matéo et Simon, qui ont 8 ans d'écart, additionnent leurs âges et trouvent 104 ans.

Sachant que Matéo est le plus jeune, calculer l'âge de chacune de ces deux personnes
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Les questions sont indépendantes les unes des autres.}

MNP est un triangle rectangle en P tel que :
\begin{center}
MP = 5 cm et MN = 7 cm. 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{MNP}}$.
\item Calculer la valeur exacte de NP ; donner son arrondi au mm.
\item Soit I le point du segment [MP] tel que PI =  2 cm. La parallèle à
(MN) passant par I coupe [PN] en J.

Calculer IJ.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un segment [EF] de 8 cm puis le cercle de diamètre
[EF]. G est un point de ce cercle tel que EG~=~6~cm.

Quelle est la nature du triangle EFG ? Justifier la réponse.
\item Construire le point K symétrique de E par rapport au point G.
\item Construire 1e point L symétrique de F par rapport au point G.
\item Quelle est la nature du quadrilatère EKFL ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit (O ; I, J) un repère orthonormé tel que OI = OJ = 1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points suivants :
\begin{center}A(3 ; 3) ; B(4 ; 2) C(2 ; 2) et D(1 ; 1). \end{center}
\item Monter que C est le milieu du segment [AD]. Tracer les segments
[AD], [AB] et [BC]. On obtient un dessin appelé T.
\item Construire en bleu l'image de T par la translation de vecteur $\vect{\text{DA}}$.
\item Construire en vert l'image de T par la rotation de centre O, d'angle
90~\degres, le sens étant celui des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Pour aller en train voir sa fille, Paul prévoit de faire plusieurs allers-retours entre Valy et Suret. 

Deux solutions lui sont proposées.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Formule A : voyager à plein tarif ; un billet aller-retour s'élève à 170 euros.
\item[$\bullet~$]  Formule B : acheter une carte \og Escapade \fg{} coûtant 100 euros et bénéficier alors d'une réduction de 25\:\%
 pour chaque billet aller-retour.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'avec la formule B un aller-retour est facturé 127,50 euros.
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant sur votre copie.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4,5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'allers-retours & 1&2&3\\ \hline
Prix de revient avec la formule A (en euros) & & & \\ \hline
Prix de revient avec la formule B (en euros) & & & \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $x$ le nombre de voyages aller-retours.

Exprimer, en fonction de $x$, le prix de revient de $x$ voyages :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] par la formule A
\item[$\bullet~$] par la formule B.
\end{itemize}


\item 
	 \begin{enumerate}
		\item Construire un repère orthogonal en prenant l'origine en bas à gauche de la feuille de papier millimétré et comme unités graphiques :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  en abscisses, 2 cm pour une unité ;
\item[$\bullet~$]  en ordonnées, 2 cm pour 100 euros.
\end{itemize}
		\item  Dans le repère précédent, construire la représentation graphique de
deux fonctions $A$ et $B$ définies par :

\[A(x) = 170x \quad \text{et} \quad  B(x) = 127,50x+ 100.\]

	\end{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide du graphique, à partir de quel nombre de voyages allers-retours Paul a intérêt à acheter la carte \og Escapade \fg.

Faire apparaître les tracés utiles.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'inéquation $127,50x + 100 < \nombre{1000}$.
		\item  Paul a un budget de \nombre{1000} euros.
		
Combien peut-il faire au maximum d'allers-retours avec sa carte
\og Escapade \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Pondichéry avril 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Groupement Sud juin 2005
\hypertarget{Aix-Marseille}{} 

\lfoot{\small{Aix--Marseille}}
\rfoot{\small juin 2005}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet groupement Sud\footnote{Aix--Marseille, Corse, Montpellier,Nice, Toulouse} 28 juin 2005 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans cet exercice, tous les calculs devront être détaillés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression : A $= \dfrac{13}{3} - \dfrac{4}{3}\times \dfrac{5}{2}$ (donner le résultat sous sa forme la plus simple).
\item Donner l'écriture scientifique du nombre B tel que : 

B $= \dfrac{7 \times 10^{15} \times 8  \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-4}}$.
\item Écrire sous la forme $a\sqrt{7}$ (où $a$ est un entier) le nombre C tel que : 

C $= 4\sqrt{7} - 8\sqrt{28}+ \sqrt{700}$.
\item Développer et simplifier : $\left(4\sqrt{5} + 2\right)^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 (3 points)}

\medskip

Voici l'histogramme des notes d'un contrôle noté sur 5 pour une classe de 25 élèves.

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(7,12.5)
\psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=15,Dy=2]{->}(0,0)(7,12)
\multido{\n=0+2}{6}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(7,\n)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0,1)(1,1)(1,2)(2,2)(2,4)(3,4)(3,3)(4,3)(4,7)(5,7)(5,8)(6,8)(6,0)(0,0)
\psline(1,0)(1,1) \psline(2,0)(2,2) \psline(3,0)(3,3) \psline(4,0)(4,3) \psline(5,0)(5,7) 
\uput[r](7,0.1){Note} \uput[u](0,12){Effectif}
\uput[d](0.5,0){0/5}  \uput[d](1.5,0){1/5}  \uput[d](2.5,0){2/5}  
\uput[d](3.5,0){3/5}  \uput[d](4.5,0){4/5}  \uput[d](5.5,0){5/5} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et remplir le tableau des notes suivant.
\item Calculer la moyenne des notes de la classe.
\item Quelle est la médiane des notes de la classe ?
\item Calculer la fréquence des notes inférieures ou égales à 3 points sur 5.
\end{enumerate}

\medskip

Tableau à reproduire et compléter :

\vspace{0,3cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note					&0	&1	&2	&3	&4	&5\\\hline
Effectif					& 	& 	& 	& 	& 	&\\\hline 
Effectif cumulé croissant	& 	& 	& 	& 	& 	& \\\hline
\end{tabularx}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3 (2 points)}

\medskip

Répondre aux questions suivantes. (Les calculs pourront être totalement faits à la calculatrice : on ne demande pas d'étapes intermédiaires ni de justification).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner un arrondi au centième du nombre A tel que : A $= \dfrac{831 - 532}{84}$.
\item Convertir $3,7$ heures en heures et minutes.
\item Donner un arrondi au millième du nombre B tel que : B $= \dfrac{\dfrac{53}{51} - \dfrac{32}{85}}{\dfrac{63}{34}}$.
\item Calculer à 0,01 près C $= \sqrt{\dfrac{83 + 167}{158}}$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 4 (3 points)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver le PGDC de \np{6209} et \np{4435} en détaillant la méthode.
\item En utilisant le résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la fraction $\dfrac{\np{4435}}{\np{6209}}$ n'est pas irréductible.
\item Donner la fraction irréductible égale à $\dfrac{\np{4435}}{\np{6209}}$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,4)
\psframe(0,0)(5.6,2.7)%DABC
\psline(0,2.7)(1.9,3.7)(7.5,3.7)(5.6,2.7)%AEFB
\psline(7.5,3.7)(7.5,0.9)(5.6,0)%FGC
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.9,0.9)(1.9,3.7)%DHE
\psline[linestyle=dashed](1.9,0.9)(7.5,0.9)
\uput[ul](0,2.7){A} \uput[ul](5.6,2.7){B} \uput[dr](5.6,0){C} \uput[dl](0,0){D} 
\uput[ul](1.9,3.7){E} \uput[ur](7.5,3.7){F} \uput[dr](7.5,0.9){G} \uput[ul](1.9,0.9){H} 
\end{pspicture} \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Que peut-on dire des droites (AE) et (AB) ? Le justifier.
		\item Les droites (EH) et (AB) sont-elles sécantes ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer EG. On donnera la valeur exacte.
		\item En considérant le triangle EGC rectangle en G, calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale [EC] de ce parallélépipède rectangle.
	\end{enumerate}
\item Montrer que le volume de ABCDEFGH est égal à 72~m$^3$.
\item Montrer que l'aire totale de ABCDEFGH est égale à 108~m$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

\parbox[l]{0.65\textwidth}{Sur le dessin ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont parallèles, les points A, C, O, E sont alignés ainsi que les points B, D, O et F. (On ne demande pas de faire le dessin).

De plus, on donne les longueurs suivantes :

CO = 3 cm, AO = 3,5 cm, OB = 4,9 cm, CD = 1,8 cm,

 OF = 2,8 cm et OE = 2 cm.
 
\begin{enumerate}\item Calculer (en justifiant) OD et AB.

\item Prouver que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

\end{enumerate}}\hfill
\parbox[l]{0.3\textwidth}{\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(3.6,8)
\psline(1.2,6)(2.4,7.5)(2.4,0.6)(3,1.5)(1.2,6)(1.35,5.6)(2.4,6.9)%ABFEACD
\uput[l](1.2,6){A} \uput[r](2.4,7.5){B} \uput[l](1.35,5.6){C} \uput[r](2.4,6.9){D} 
\uput[r](3,1.5){E} \uput[l](2.4,0.6){F} \uput[dl](2.4,3.1){O} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

Soit ABC un triangle tel que AB = 4,2 cm, BC = 5,6 cm, AC = 7 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en vraie grandeur.
\item Prouver que ABC est rectangle en B.
\item Calculer le périmètre et l'aire de ABC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

On dispose d'un séjour rectangulaire dans lequel on veut réaliser un petit cagibi triangulaire. Pour cela, on veut installer une cloison.

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,4)
\psframe(0,0)(12,4)
\psline[linestyle=dashed](12,4)(8,0)
\uput[ul](0,4){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](12,0){C} \uput[ur](12,4){D} \uput[d](8,0){H}
\psarc(12,4){12pt}{225}{270} \psarc(8,0){12pt}{45}{180}  \psarc(8,0){10pt}{45}{180} 
\rput(4,2){\ding{202}}  \rput(10.8,2){\ding{203}}
\psline[arrowsize=3pt 5]{<->}(0,4.2)(12,4.2)
\rput(6,4.4){12 m}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

Voici ci-dessus, une représentation de la pièce.

La partie \ding{203} est le cagibi et la partie \ding{202} représente le séjour après la création du cagibi. La cloison a été dessinée en pointillés.

Dans l'exercice, on considérera que la cloison a une épaisseur nulle.

Les trois parties sont indépendantes.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 1 \hfill 3 points}

\medskip

On considère que $x = 3$ m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la longueur de la cloison (en pointillé) ?
\item Calculer la valeur (à $1~\degres$ près) de l'angle $\widehat{\text{HDC}}$ ? 
\item Calculer la valeur (à $1~\degres$ près) de l'angle $\widehat{\text{DHB}}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 (6 points)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la surface au sol du cagibi \ding{203} en fonction de $x$, sous la forme $f(x) = \ldots$
		\item Exprimer la surface au sol du séjour \ding{202} en fonction de $x$, sous la forme $g(x) = \ldots$
	\end{enumerate}

\item On admet que $f(x) = 2x$  et que $g(x) = 48 - 2x.$
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la fonction $f$ ? Quelle est la nature de la fonction $g$ ?
		\item Tracer dans un repère (abscisse : 1 cm pour 0,5 unités et en ordonnées, 1 cm pour 5 unités) les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ pour $x$ compris entre 0 et 10.
	\end{enumerate}

\item On veut que le séjour \ding{202} ait une surface minimale de 35 m$^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Lire sur le graphique la valeur maximale de $x$ pour que cette condition soit respectée.
		\item Écrire une inéquation qui traduise que la surface du séjour doit être supérieure ou égale à 35 m$^2$.
		\item Résoudre cette inéquation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3 \hfill 3 Points}

\medskip

On réalise une maquette de cette pièce, avant la création du cagibi, à l'échelle 1/200.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Rappeler ce que signifie \og échelle 1/200 \fg{} ?
\item Quelle sera, sur la maquette, la longueur du mur de 12 m ?
\item La surface réelle du séjour est de $48$ m$^2$. Quelle est la surface du sol du séjour dans la maquette (en cm$^2$) ?
\item Le volume du séjour de la maquette est de $13,125$ cm$^3$. Quel est le volume réel du séjour (en cm$^3$ puis en m$^3$) ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Groupement Sudjuin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord juin 2005
\hypertarget{AmeriqueduNord}{} 

\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord~\decofourright\\[5pt]juin 2005}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne : A $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{4}{3} \times \dfrac{7}{11}$ et B $= \dfrac{210 \times  10^{-6} \times  5 \times 10^5}{35 \times 10^4}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le résultat de A sous la forme d'une fraction irréductible en précisant toutes les étapes.
\item Déterminer l'écriture scientifique de B en précisant toutes les étapes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Madame A et Monsieur B sont tous les deux professeurs de mathématiques et ont tous les deux une classe de Troisième ayant 20 élèves.

Ils comparent les notes obtenues par leurs élèves au dernier devoir commun :
 
\medskip
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
{\small Notes attribuées par Madame A}& 	{\small Notes attribuées par Monsieur B}\\ \hline
 7 -- 8 -- 12 -- 12 -- 18 -- 5 -- 11--&  8 -- 8 -- 9 -- 12 -- 11 -- 8 -- 13 -- \\
 6 -- 3 -- 8 -- 5 -- 18 -- 9 -- 20 --& 15 -- 7 -- 9 -- 10 -- 10 -- 12 -- 8 -- \\
 6 -- 16 -- 6 -- 18 -- 7 -- 15&10 -- 14 -- 12 -- 11 -- 14 -- 9 \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire, sur la copie et sur un même dessin, les diagrammes en bâtons représentant les deux séries de notes. (Utiliser deux couleurs.)
\item Calculer la moyenne de chaque série.
\item Déterminer une médiane de chaque série.
\item Comparer ces deux classes.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c r}
x - 3y& =& 35\\
5x-4y &=& - 20\\
\end{array} \right.$
\item  Montrer que les valeurs trouvées pour $x$ et $y$ vérifient la condition
suivante :
\[8\left(\dfrac{x - 5}{y - 5}\right) = 3\left(\dfrac{x + 20}{y + 20}\right).\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure grise est obtenue après avoir appliqué une transformation du plan  à la figure blanche. Dans chaque cas :

$\bullet~$ Préciser le type de transformation (symétrie axiale centrale, translation, rotation).

$\bullet~$ Faire apparaître et préciser le(s) élément(s) caractéristique(s) de cette transformation (axe, centre, vecteur, angle, sens de rotation).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(12,9)
\def\cocottea{\pspolygon(0,0)(0.5,0)(0.75,0.25)(1,0)(1,0.5)(0.75,0.75)(1,1)(0.5,1)(0.5,0.5)}
\def\cocotteb{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.5,0)(0.75,0.25)(1,0)(1,0.5)(0.75,0.75)(1,1)(0.5,1)(0.5,0.5)}
\def\cocottec{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(-0.5,0)(-0.75,0.25)(-1,0)(-1,0.5)(-0.75,.75)(-1,1)(-0.5,1)(-0.5,0.5)}
\psframe(0,0)(6,3) \psframe(6,0)(12,3) 
\psframe(0,3)(6,6) \psframe(6,3)(12,6) 
\psframe(0,6)(6,9) \psframe(6,6)(12,9) 
\rput(1.5,7.5){\cocottea} \rput(4.5,7.5){\cocottec}
\rput(7.5,7.75){\cocotteb}  \rput{180}(10.5,7.25){\cocottea} 
\rput(1.5,4.75){\cocottea} \rput(4.5,3.75){\cocotteb}
\rput{90}(9,4.5){\cocotteb} \rput(9,4.5){\cocottea} \uput[d](9,4.5){A} 
\rput(1.25,1.75){\cocotteb} \rput(4.5,0.75){\cocottea}
\rput{-30}(7,0.75){\cocottea} \rput{80}(11,2.25){\cocottec}
\rput(0.5,8.5){a.} 	\rput(6.5,8.5){b.}
\rput(0.5,5.5){c.} 	\rput(6.5,5.5){d.}
\rput(0.5,2.5){e.}	 	\rput(6.5,2.5){f.}
\end{pspicture}
\end{center}

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.}  Transformation : \ldots \ldots &\textbf{b.}  Transformation : \ldots \ldots\\
 Éléments caractéristiques : \ldots \ldots &  Éléments caractéristiques : \ldots \ldots\\
\textbf{c.}  Transformation : \ldots \ldots &\textbf{d.}  Transformation : \ldots \ldots \\
Éléments caractéristiques :  \ldots \ldots &  Éléments caractéristiques : \ldots \ldots\\
\textbf{e.}  Transformation : \ldots \ldots &\textbf{c.}  Transformation : \ldots \ldots \\
Éléments caractéristiques \ldots \ldots &  Éléments caractéristiques : \ldots \ldots\\
\end{tabularx}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Une boîte parallélépipédique de dimensions 4 cm, 4 cm et 8 cm contient deux boules de rayon 2 cm. Calculer le volume de l'espace laissé libre par les deux boules (arrondir au cm$^3$).

\emph{Rappel} :
Le volume d'une boule de rayon R est $\dfrac{4}{3}\pi\text{R}^3$.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé (O ; I, J), placer les points :

\begin{center} A(6~;~0), L(0~;~8) et K(4~;~10). \end{center}

\item Calculer la longueur AL.
\item On donne : AK $= \sqrt{104}$ et LK $= \sqrt{20}$.

Démontrer que le triangle AKL n'est pas rectangle en L.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point L$'$, symétrique de L par rapport à la hauteur issue de A du triangle AKL.
		\item En déduire la longueur AL$'$.
		\item Déterminer approximativement (par lecture graphique) les coordonnées de L$'$.
	\end{enumerate}
\item On admet que, si $x$ est l'abscisse d'un point $M$ de la droite (LK), alors l'ordonnée de $M$ est $\dfrac{1}{2}x + 8$ et :
	\[\text{A}M^2 = \dfrac{5}{4}x^2 - 4x + 100.\]
	\begin{enumerate}
		\item En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles on a A$M = 10$.
		\item Quelles sont alors les coordonnées exactes de L ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\parbox{0.45\textwidth}{ABC est un triangle rectangle en A avec :

AB = 4 cm et AC = 3 cm.

$M$ est un point de [BC], $P$ est un point de [AB] et $Q$ un point de [AC] tels que le quadrilatère A$PMQ$ soit un rectangle.

Notons $x$ la longueur B$P$ en cm.}\hfill
 \parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=1.4cm}\begin{pspicture}(4,3.5)\pspolygon(0,0)(4,0)(0,3)
 \psline(3,0)(3,0.75)(0,0.75) \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](4,0){B} \uput[ul](0,3){C} \uput[l](0,0.75){$Q$} \uput[ur](3,0.75){$M$} \uput[d](3,0){$P$} \uput[d](3.5,0){$x$} 
\end{pspicture}}
 
\bigskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $PM = \dfrac{3}{4}x$.
\item Montrer que le périmètre du rectangle A$PMQ$ est égal à $8 - \dfrac{x}{2}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi on a : $0  \leqslant x \leqslant 4$.
		\item Est-il possible de placer $M$ sur [BC] pour que le périmètre du rectangle A$PMQ$ soit égal à :
		
 7~cm ? 4~cm ? 10~cm ?
	\end{enumerate}
\item Faire la figure dans le cas où le périmètre est 7 cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur BC.
		\item Montrer que B$M = \dfrac{5x}{4}$.
	\end{enumerate}
\item En déduire, en fonction de $x$, le périmètre du triangle B$PM$.
\item Construire dans un repère orthonormé les représentations graphiques des fonctions:

\[x  \longmapsto 3x\quad  \text{et} \quad  x \longmapsto 8 - \dfrac{x}{2}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement une valeur approchée de $x$ pour laquelle B$PM$ et A$PMQ$ ont le même périmètre.
		\item Trouver par un calcul la valeur exacte de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Nord juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 2005
\hypertarget{Antilles}{} 

\rfoot{juin 2005}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles--Guyane juin 2005 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On fera apparaître les étapes de chaque calcul.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire A $= \dfrac{\dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{10}}{\dfrac{5}{2} - \dfrac{2}{5}}$ sous la forme d'une fraction irréductible.	
\item Calculer B $= 5^3 - \left(2^4 + 7,5\right)^2$.
\item Montrer que C $= \left(3 - 4\sqrt{5}\right)\left(3 + 4\sqrt{5}\right)$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 	
\begin{enumerate}
\item Les nombres \nombre{1540} et 693 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
\item Donner la fraction irréductible égale à $\dfrac{\nombre{1540}}{693}$.
							
On fera apparaître la méthode utilisée.
\end{enumerate}							
							
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
	
Les notes de mathématiques obtenues par les 150 élèves d'un collège lors d'un brevet blanc sont réparties dans le tableau ci-dessous :
							
\medskip
{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline				Note $n$		&$0 \leqslant n < 8$&$8 \leqslant n < 16$&$16\leqslant n < 24$&$24 \leqslant n < 32$&$32 \leqslant n \leqslant 40$\\\hline
Nombre d'élèves	&	14	&	$N$	&	55	&	20	&	9\\\hline
\end{tabularx}}
\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre $N$.							
\item Combien d'élèves ont obtenu moins de 24 ?							
\item Quel est le pourcentage d'élèves ayant obtenu au moins 24 ?							
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}
							
\bigskip

\textbf{Exercice 1}	

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un cercle de centre O et de diamètre AB~=~11~cm.

Soit C un point de ce cercle tel que BC = 6,6 cm.
\item Montrer que ABC est un triangle rectangle en C.
\item Calculer la distance AC.
\item Déterminer la mesure arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur et il n'est pas demandé de la reproduire.}

ABC est un triangle tel AB = 6 cm, AC = 7,2 cm et BC~=~10~cm. Les points R et E appartiennent à la droite (AB), le point T appartient à la droite (AC). Les droites (BC) et (RT) sont parallèles. On donne AR = 4,5~cm et BE = 2~cm.

\medskip

\begin{pspicture}(12,7.5)
\pspolygon(4.7,6.9)(1.7,2.5)(8.7,5)%ATR
\psline(0,0)(0.7,1)(10,4.3)(12,3.3)%xCBE
\psline(0.7,1)(1.7,2.5)%CT
\psline(8.7,5)(10,4.3)%RB
\uput[u](4.7,6.9){A} \uput[ul](1.7,2.5){T} \uput[ur](8.7,5){R}
\uput[ul](0.7,1){C} \uput[ur](10,4.3){B}
\uput[ur](11.8,3.4){E} \rput(11.8,3.4){$\times$}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AT, TR et AE.
\item Les droites (BT) et (EC) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}	

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. On considère les points A(3~;~1), B$(2~;~ -2)$ et C$(-6~;~ 4)$.

\bigskip

\textbf{Partie I} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C dans le repère.
\item On considère la fonction affine $f~:~ x \longmapsto  mx+p$ dont la représentation graphique est la droite (AB).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les images de 2 et de 3 par la fonction $f$. 
		\item Déterminer les valeurs de $m$ et $p$ de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que AC $= 3\sqrt{10}$.
\item On donne AB $= \sqrt{10}$ et BC = 10.

Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.	
\item Construire le point D image de C dans la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
	
Déterminer graphiquement les coordonnées du point D.	
\item Montrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.	
\item On considère le cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au rectangle ABDC.
	
Déterminer les coordonnées de son centre puis construire $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Afrique de l'Ouest, Asie juin 2005
\hypertarget{Asie}{} 

\lfoot{\small{Afrique de l'Ouest, Asie}} 
\rfoot{\small{Diplôme national du brevet juin 2005}}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2005~\decofourright\\[5pt] 
Centres étrangers Émirats arabes unis}} \end{center} 

\vspace{0,25cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\begin{center} 

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en centimètre. Répondre aux questions en détaillant les calculs.}

La relation entre la longueur $c$ du côté d'un carré et la longueur $d$ de sa diagonale est donnée par la formule : $d = c\sqrt{2}$.

\begin{enumerate}
\item La longueur du côté d'un carré est $\sqrt{8} + \sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la longueur de sa diagonale est un nombre entier.
		\item Montrer que l'aire en cm$^2$ de ce carré est un nombre entier.
	\end{enumerate}
\item La longueur de la diagonale d'un autre carré est $\sqrt{40}$.

Calculer la longueur de son côté et exprimer cette longueur sous la forme $a\sqrt{5}$, o\`u $a$ est un nombre entier naturel.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

La masse d'un atome de carbone est égale à $1,99 \times  10^{-26}$. Les chimistes considèrent des paquets contenant $6,022 \times  10^{23}$ atomes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la masse en gramme d'un tel paquet d'atomes de carbone. 
\item Donner une valeur arrondie de cette masse à un gramme près.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte.

\textbf{Répondre â cet exercice en utilisant le tableau figurant sur la feuille annexe : pour chaque ligne, indiquer la lettre correspondant à la réponse cholsie.}

\textbf{Aucune justification n'est demandée.}

Le barème de cet exercice est le suivant : pour chaque ligne, 1 point pour une réponse correcte, $- 0,5$ point pour une réponse fausse, $0$ point s'il n'y a pas de réponse.

 Si le total des points pour l'exercice est négatif, l'exercice est noté 0 point.

\vspace{0,4cm}

{\footnotesize\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{}&Réponse A&	Réponse B&	Réponse C\\\hline
\No 1&$	(3x-2)^2$ est égale à&	$9x^2 -4$&	$9x^2 -6x + 4$& 	$9x^2 -12x + 4$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\\hline
&Une expression factorisée de& & & \\
\No 2&	$(5x-1)^2 -9$ est&	$(5x+2)(5x-4)$&	$(5x - 10)^2$&	$(5x - 10)(5x+8)$\\\hline
&Les solutions de l'équation & & & \\
\No 3&$-2x(3x+4) = 0$ sont &$2$ et 	$-\dfrac{4}{3}$&$-\dfrac{1}{2}$  et	$\dfrac{4}{3}$&$0$ et   $-\dfrac{4}{3}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\\hline
&La partie en gras non & & & \\
&hachurée représente les & & & \\
\No 4&solutions de l'inéquation &\psset{unit=0.15cm}\begin{pspicture}(-5,0)(10,0.2)\psline(-5,0)(10,0)
\multips(-5,0)(0.5,0){20}{\psline(0.4,0.4)(-0.4,-0.4)}\psline[linewidth=1.5pt](5.4,0.4)(5,0.4)(5,-0.4)(5.4,-0.4) \uput[u](5,0){5}\uput[u](0,0){0}\psline(0,0.4)(0,-0.4) \end{pspicture}  & \psset{unit=0.15cm}\begin{pspicture}(-5,0)(10,0.2)\psline(-5,0)(10,0)
\multips(5,0)(0.5,0){11}{\psline(0.4,0.4)(-0.4,-0.4)}\psline[linewidth=1.5pt](4.6,0.4)(5,0.4)(5,-0.4)(4.6,-0.4) \uput[u](5,0){5}\uput[u](0,0){0}\psline(0,0.4)(0,-0.4) \end{pspicture}  &\psset{unit=0.15cm}\begin{pspicture}(-10,0)(0,0.2)\psline(-10,0)(0,0)
\multips(-10,0)(0.5,0){11}{\psline(0.4,0.4)(-0.4,-0.4)}\psline[linewidth=1.5pt](-4.6,0.4)(-5,0.4)(-5,-0.4)(-4.6,-0.4) \uput[u](-5,0){$-5$}\uput[u](0,0){0}\psline(0,0.4)(0,-0.4) \end{pspicture}   \\
&	$5x - 10 \geqslant 2x + 5$ & & & \\ \hline
 & Le système 	$\left\{\begin{array}{l c l}
 2x -y&=& 2\\
 x + y & = & 5\\
 \end{array}\right.$&$(1~;~-4)$ & $(-1~;~-4)$ & $(-1~;~4)$\\
\No 5&	a pour solution& & & \\ \hline
 \end{tabularx}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\textbf{Pour cet exercice, compléter la figure donnée sur la feuille annexe.}

On a placé trois points A, B et C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point E tel que ABEC est un parallélogramme.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point F tel que $\vect{\text{BF}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCF ? On ne demande pas de justification.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que $\vect{\text{FC}} = \vect{\text{CE}}$. Que peut-on en déduire pour le point C ?
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox[l]{0.5\textwidth}{ \textbf{La figure n'est pas faite en vraie grandeur.\\
Elle n'est pas à reproduire.}

ABC est un triangle tel que :

AB = 8 cm, AC = 6,4cm et BC = 4,9 cm.

Le point E appartient à la demi-droite [AB) et AE = 12 cm.

Le point F appartient à la demi-droite [AC) et AF = 9,6 cm.

\begin{enumerate}
\item Le triangle ABC est-ii un triangle rectangle Justifier la réponse.
\item Les droites (BC) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox[l]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(9,5.5)
\psline(6.7,0)(0.2,3.9)(8.7,4.9)
\psline(3,0)(6,5)
\psline(5.65,0)(8.8,5.3)
\uput[ul](0.2,3.9){A} \uput[ul](5.8,4.6){B} 
\uput[l](4,1.6){C}\uput[ul](8.6,4.9){E}
\uput[l](5.95,0.4){F} 
\end{pspicture}}

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\textbf{La figure n'est pas faite en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.}

ABC est un triangle rectangle en R. La droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AC) coupe la droite (HC) en B.

On sait que : AH = 4,8 cm et HC = 6,4cm.

\medskip
 
\parbox[l]{0.5\textwidth}{\begin{enumerate}\item
\begin{enumerate}\item Justifier l'égalité :	

$\widehat{\text{ACH}} =  90\textsuperscript{o}  -  \widehat{\text{HAC}}$.
\item Justifier l'égalité :

$\widehat{\text{BAH}} =  90\textsuperscript{o}  -  \widehat{\text{HAC}}$.
\item Que peut-on en déduire pour les angles $\widehat{\text{ACH}}$ et $\widehat{\text{BAH}}$ ?
\end{enumerate} 
\item \begin{enumerate}\item Montrer que $\tan \widehat{\text{ACH}} = \dfrac{3}{4}$.
\item En utilisant le triangle BAH, exprimer  $\tan \widehat{\text{BAH}}$	en fonction de BH.
\end{enumerate}
\item Déduire des \textbf{questions 1.} et \textbf{2.} que BH = 3,6 cm.
\item Calculer la mesure en degré arrondie au degré de l'angle  $\widehat{\text{ACH}}$.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox[l]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(9,5)
\psline(0,1)(9,1)
\psline(0.2,0.3)(3.45,4.6)(8.2,1)
\psline(3.45,4.6)(3.45,1)
\psframe(3.45,1)(3.7,1.25)
\psline(3.25,4.34)(3.5,4.15)(3.7,4.45)
\uput[ul](3.45,4.6){A} \uput[dr](0.8,1){B} \uput[dr](8.3,1){C} \uput[d](3.45,1){H} 
\end{pspicture}}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} 

\vspace{1cm}

\textbf{Partie 1}

\medskip

\parbox[l]{0.7\textwidth}{\textbf{ La figure construite ci-contre n'est pas en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.}

RAB est un triangle rectangle en A tel que AE = 48 cm et AB =  16 cm.

Le point D appartient au segment [AE] et AD = 12 cm.

La parallèle a la droite (AB) passant par D est sécante à la droite (BE) au point C.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur du segment [BE].
		\item Écrire cette longueur sous la forme $a\sqrt{10}$, où $a$ est un nombre entier naturel.
	\end{enumerate}
\item Calculer ED puis monter que DC = 12 cm.
\item Calculer les aires des triangles EDC et EAB,
\item En déduire que l'aire du quadrilatère ABCD est égale à 168 cm$^2$.
\item Le quadrilatère ABCD est la hase d'un prisme droit de hauteur CH égale â 5 cm. Ce prisme est représenté ci-contre. Calculer son volume.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox[l]{0.25\textwidth}{\begin{pspicture}(3,10.5)
\pspolygon(0,0)(2.6,0)(2,1.95)(0,1.95)%ABCD
\psline(2,1.95)(2.3,2.6)(0.4,2.6)(0,1.95)%CH?D
\psline(2.6,0)(3,0.6)(2.3,2.6)%B?H
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.4,0.6)(0.4,2.6)
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.6)(3,0.6)
\pspolygon(0.4,10.3)(0.4,3.7)(2.6,3.7)%EAB
\psline(0.4,5.4)(2,5.4)%DC
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2.6,0){B} \uput[dl](2,1.95){C} \uput[dl](0,1.95){D} 
\uput[ur](2.3,2.6){H} \uput[dl](0.4,3.7){A} \uput[dr](2.6,3.7){B} \uput[ur](2,5.4){C} 
\uput[ul](0.4,5.4){D} \uput[r](0.4,10.3){E} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 2}

\medskip

Monsieur Brico veut paver une allée de jardin avec des dalles ayant la forme du prisme défini dans la \textbf{question 5.} de la \textbf{partie 1}.

\begin{enumerate}\item Calculer le nombre minimum de dalles nécessaires pour recouvrir l'allée dont l'aire est 10 m$^2$.
 
\item Monsieur Brico prévoit 15\,\% de dalles de plus que ce nombre minimum pour tenir compte des pertes dues aux découpes. Combien prévoit-il de dalles ?
 
\item Les dalles sont vendues par lot de 60. Combien de lots monsieur Brico a-t-il achetés ?
 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 3}

\medskip

\textbf{ Dans cette partie, aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\parbox[l]{0.5\textwidth}{ La figure ci-contre montre une vue de dessus du début du pavage.\\
Les dalles sont posées sur la face ABCD.

Recopier et compléter les phrases ci-dessous en utilisant
une des trois transformations suivantes :
symétrie axiale d'axe \ldots \ldots, translation	de vecteur \ldots \ldots ou
symétrie centrale de centre \ldots ,
et en précisant l'axe, le vecteur et le centre.

\begin{enumerate}
\item Le quadrilatère \ding{188} est l'image du quadrilatère \ding{191} par la \ldots \ldots 
\item Le quadrilatère \ding{190} est l'image du quadrilatère \ding{182} par la \ldots \ldots.
\item Le quadrilatère \ding{185} est l'image du quadrilatère \ding{182} par la \ldots \ldots.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox[r]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(6.5,6)%\psgrid[subgriddiv=10]
\psframe(0,0)(6.5,6)
\psline(0,1.5)(6.5,1.5)
\psline(0,3)(6.5,3)
\psline(0,4.5)(6.5,4.5)
\psline(3.25,0)(3.25,6)
\psline(1.4,0)(1.85,1.5)(1.4,3)(1.85,4.5)(1.4,6)%?QLBC
\psline(5.1,0)(4.65,1.5)(5.1,3)(4.65,4.5)(5.1,6)%?SHIF
\rput(0.7,5.1){\ding{182}} \rput(2.3,5.1){\ding{183}}  \rput(3.7,5.1){\ding{184}} \rput(5.6,5.1){\ding{185}}   
\rput(0.7,3.6){\ding{186}}  \rput(2.3,3.6){\ding{187}} \rput(3.7,3.6){\ding{188}} \rput(5.6,3.6){\ding{189}} 
\rput(0.7,2.2){\ding{190}} \rput(2.3,2.2){\ding{191}} 
\uput[l](0,4.5){A} \uput[dr](1.9,4.5){B} \uput[u](1.4,6){C} \uput[ul](0,6){D} 
\uput[u](3.25,6){E} \uput[u](5.1,6){F} \uput[ur](6.5,6){G} \uput[ul](3.25,4.5){H} 
\uput[ul](4.65,4.5){I} \uput[r](6.5,4.5){J} \uput[l](0,3){K} \uput[ul](1.4,3){L} 
\uput[ul](3.25,3){M} \uput[ur](5.1,3){N} \uput[r](6.5,3){O} \uput[l](0,1.5){P} 
\uput[dr](1.9,1.5){Q} \uput[ul](3.25,1.5){R} \uput[ul](4.65,1.5){S} \uput[r](6.5,1.5){T} \end{pspicture}}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE ( à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\end{center}

\noindent\textbf{Activités numériques}

\vspace{0,5cm}

\noindent\textbf{Exercice 3}

Dans la colonne de droite, indiquer pour chaque ligne la réponse choisie : A, B ou C.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}

\begin{tabular}{|l|l|}\cline{2-2}
\multicolumn{1}{c|}{}& ~~Réponse choisie~~\\\hline
~~\No~ $1$~~ & \\\hline
~~\No~ $2$ & \\\hline
~~\No~ $3$ & \\\hline
~~\No~ $4$ & \\\hline
~~\No~ $5$ & \\\hline
\end{tabular}

\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent\textbf{Activités géométriques}

\vspace{0,5cm}

\noindent\textbf{Exercice 1}

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(20,12)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(20,12)
\def\croix{\psline(-0.2,0.2)(0.2,-0.2) \psline(-0.2,-0.2)(0.2,0.2)}
\rput(6,5){\croix} \rput(10,7){\croix} \rput(13,4){\croix} 
\uput[ul](6,5){A} \uput[ur](10,7){B} \uput[dr](13,4){C} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Afrique de l'Ouest, Asie juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Madagascar juin 2005
\hypertarget{Madagascar}{}

\lfoot{\small{juin 2005}}
\lfoot{\small{Madagascar}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{Brevet des collèges Madagascar Océan Indien\\[5pt] juin 2005}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Les questions $1$, $2$ et $3$ sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne A $= \dfrac{\dfrac{3}{4} - 3}{\dfrac{1}{2} +2}$. 

Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible ; on fera apparaître les étapes du calcul.

\medskip

\item On donne B $= \dfrac{1,5 \times 10^{-3}}{3\times10^2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture décimale de B.
		\item Exprimer B en écriture scientifique.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On donne C $= \sqrt{180} - 2\sqrt{80}$.
		
Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers et $b$ le plus petit possible.
		\item Soit D $= \dfrac{5\sqrt{12}}{2\sqrt{3}}$.
		
 Montrer que D est un nombre entier, en faisant apparaître les étapes du calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression :

\[M  = (3x + 5)^2 - (3x + 5)(2x + 7).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $M$.
\item Factoriser $M$.
\item Calculer $M$ pour $x = 2$, puis pour $x = 0$.
\item Résoudre l'équation $M = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une course a été organisée pour les élèves de Troisième (40 garçons et 50 filles) d'un collège. Les résultats sont donnés dans les tableaux suivants.

Résultats des garçons

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps de parcours &de 10 à  15 min&de 15 à 20 min& de 20 à 25 min&de 25 à 30 min& de 30 à 35 min\\ \hline
Effectifs 	&8		&14		&9		&6		&3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Résultats des filles

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps de parcours &\small	de 10 à  15 min&\small	de 15 à 20 min&	\small de 20 à 25 min&\small de 25 à 30 min&\small de 30 à 35 min\\ \hline
Effectifs	&7	&8	&12	&11	& 12\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le temps de parcours moyen des garçons est 20,25 minutes (c'est-à-dire 20 minutes 15 secondes).
		\item Calculer celui des filles.
	\end{enumerate}
\item Construire un diagramme en barres qui représente les résultats contenus dans les deux tableaux précédents.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pourcentage de garçons ayant effectué un temps compris entre 15 et 30 minutes pour cette course. 
		\item Calculer le pourcentage de filles ayant effectué un temps compris entre 15 et 30 minutes pour cette course. 
		\item Calculer le pourcentage d'élèves ayant effectué un temps compris entre 15 et 30 minutes pour cette course (arrondir au dixième).
	\end{enumerate}
\item Entre le groupe des garçons et celui des filles, lequel vous paraît le plus homogène ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; I, J), on considère les points A$(- 2~;~- 1)$ et B(4~;~3). On note $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre [AB] et M le centre de $\mathcal{C}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner la figure.
\item Calculer les coordonnées de M. 
\item Calculer le rayon du cercle $\mathcal{C}$ (on donnera la valeur exacte).
\item Soit F le point de coordonnées (3 ; 4). Démontrer que F est un point du cercle $\mathcal{C}$.
\item Que peut-on dire du triangle AFB ?
\item On précise que FA $= \sqrt{50}$ et FB $= \sqrt{2}$.

Calculer l'arrondi au degré de l'angle $\widehat{\text{FAB}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur la figure suivante, SABCD est une pyramide à base rectangulaire, de hauteur [SH], où H est le centre du rectangle ABCD.

On donne : AB = 8 cm, BC = 6 cm et SH = 12 cm.
 
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(8,6)
\psline(0.2,1.3)(5,0.5)(7.1,1.3)(2.35,2.1)(0.2,1.3)(3.8,5.7)(7.1,1.3)(0.2,1.3)%ABCDASCA
\psline(3.8,5.7)(2.6,4.2)(4.2,4)(4.9,4.3)(3.3,4.5)(3.8,5.7)%SA'B'C'D'S
\psline(4.2,4)(3.8,5.7)
\psline(3.3,4.5)(2.35,2.1)%D'D
\psline(3.8,5.7)(5,0.5)%SB
\psline(5,0.5)(2.35,2.1)%BD
\psline(3.8,5.7)(3.7,1.3)%SH
\psline(3.3,4.5)(2.6,4.2)%D'A'
\uput[u](3.8,5.7){S} \uput[l](0.2,1.3){A} \uput[dr](5,0.5){B} \uput[r](7.1,1.3){C} \uput[ul](2.4,2.1){D}
\uput[d](3.6,1.4){H}
\uput[l](2.6,4.2){A$'$} \uput[dr](4.2,4){B$'$} \uput[r](4.9,4.3){C$'$} \uput[ul](3.45,4.5){D$'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer AC ; en déduire AH.
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\item Démontrer que SA = 13 cm. On note A$'$ le point de [SA] tel que SA$'$ = 3,25 cm. On coupe la pyramide par le plan parallèle à la base et passant par A$'$. On obtient une petite pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Calculer le coefficient de réduction de SA$'$B$'$C$'$D$'$ par rapport à SABCD. 
		\item En déduire les longueurs A$'$B$'$ et B$'$C$'$ puis le volume de SA$'$B$'$C$'$D$'$.
	\end{enumerate}
\item Où aurait-il fallu placer A$'$ pour obtenir une pyramide dont le volume est huit fois plus petit que celui de la pyramide SABCD ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Un vidéo-club propose différents tarifs pour l'emprunt de DVD.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Tarif A : 4 euros par DVD emprunté.
\item[$\bullet~$]  Tarif B : 2,50 euros par DVD emprunté, après avoir payé un abonnement de 18 euros.
\item[$\bullet~$]  Tarif C : abonnement de 70 euros pour un nombre illimité de DVD.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant indiquant le prix à payer pour 5 ou 15 ou 25 OVO, aux tarifs  A, B ou C.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{l|}{}&	5 DVD&	15 DVD&	25 DVD\\ \hline
Coût au  tarif A& & &\\ \hline
Coût au tarif B& & &\\ \hline
Coût au tarif C& & &\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On note $x$ le nombre de DVD empruntés.

\medskip

\item On admet que les trois tarifs peuvent être exprimés à l'aide des fonctions suivantes : 

$f : x \longmapsto 2,5x+ 18$

$g : x \longmapsto 70$
 
$h : x \longmapsto 4x$.
 
\begin{enumerate}
\item Associer à chaque tarif la fonction qui lui correspond. 
\item Tracer dans un même repère les représentations graphiques de ces trois fonctions. On prendra en abscisse 1 cm pour 2 DVD et en ordonnée 1 cm pour 5 euros.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation : $4x = 2,5x + 18$. 
		\item Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Résoudre graphiquement l'inéquation : 
		
		$70 \leqslant 2,5x + 18$. 
		\item Retrouver ensuite le résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\item Synthèse

 Donner le tarif le plus intéressant selon le nombre de DVD empruntés.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Madagascar juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2005
\hypertarget{Polynesie}{} 

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie juin 2005~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIOUES } \hfill 12 points}

\bigskip
 
Le détail des calculs devra apparaître sur la copie.

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer A et B en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

\[\text{A} = \dfrac{\frac{9}{2}}{3}\qquad 	\text{B}  = \dfrac{4}{5} - \dfrac{8}{3} \times \dfrac{2}{5}\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer C puis donner le résultat sous forme scientifique.

\[\text{C} = \dfrac{4 \times10^{-2}  \times 30 \times 10^5}{6 \times 10^{-1}}\]

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression D $= 7\sqrt{3}- 3\sqrt{48}$.\\
Écrire D sous la forme $a\sqrt{3}$  où $a$ est un nombre entier relatif.

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On considère l'expression $E =(x -2)^2 +(x-2)(3x- 1).$
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(x-2)(4x-1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système ci-dessous :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
		x+3y& = &\np{2250}\\
		2x+y &=& \np{2750}\\
		\end{array}\right.\]

\item Pour l'achat d'un tee-shirt et de trois casquettes, André a payé \np{2250}~F. 

Pour l'achat de deux tee-shirts et d'une casquette, Maeva a payé \np{2750}~F.

Déterminer le prix d'un tee-shirt et d'une casquette.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES } \hfill 12 points } 

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre}

$\mathcal{C}$	est un cercle de 2,6 cm de rayon. Le segment [MN] est un diamètre de ce cercle. P est un point du cercle tel que MP = 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure.
\item Démontrer que le triangle MNP est rectangle en P.
\item Calculer la longueur PN.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{NMP}}$. Arrondir le résultat au millième.
		\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{NMP}}$ arrondie au degré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre}

ABC est triangle tel que AB = 4,5 et AC = 6 et BC = 7,5.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
\item Construire le triangle et placer lepoint D sur [AC] tel que AD = 2.

Tracer la droite passant par D et parallèle à (AB). Elle coupe (BC) en E.

Placer le point E.
\item Démontrer que CDE est un triangle rectangle en D.
\item Calculer DE.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{PROBLÈME } \hfill 12 points } 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant représente la hauteur des précipitations relevées mensuellement sur un atoll des Tuamotu en 2004.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.1cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
mois&	jan.&	fév.&	mars& 	avril& 	mai& 	juin\\ \hline
précipita\-tions en mm& 200&175& 120&	0&95&110\\ \hline\hline 
mois& juil.&	aôut& 	sept.& 	oct.& 	nov.& 	déc.\\ \hline
précipita\-tions en mm&110& 90&	85&100& 140&155\\  \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le mois le plus sec ?
\item Calculer la hauteur d'eau tombée sur l'atoll en 2004.
\item Calculer la hauteur d'eau moyenne tombée en un mois.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un habitant de cet atoll utilise la toiture de sa maison pour recueillir l'eau de pluie et la stocker dans un réservoir. Vue du ciel, cette toiture a la forme d'un rectangle de 6 m par 10 m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Calculer l'aire de ce rectangle en m$^2$.

On admet que le volume d'eau recueilli sur cette toiture est obtenu à l'aide de la formule suivante : 

V~=~ A~$\times~$~h où A est l'aire de la base (en m$^2$) et $h$ est la hauteur d'eau tombée (en m).

Calculer le volume d'eau (en m$^3$) tombé sur cette toiture pendant le mois de mars.
\item Cette eau est stockée dans une cuve pouvant contenir toute l'eau des précipitations.

On rappelle que 1 m$^3 = \np{1000}$ litres.

La consommation de cet habitant est de 300 litres d'eau par jour.

Calculer sa consommation pour le mois de mars (en m$^3$).
\item À la fin du mois de février, il restait 6,9 m$^3$ d'eau dans la cuve.

Quel volume d'eau reste-t-il à la fin du mois de mars ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le mois d'avril 2004.

Soit $x$ le nombre de jours écoulés depuis le début du mois. On admet que le volume d'eau restant dans la cuve pour $x$ jours écoulés est donné par 

$y = 4,8 - 0,3x$.

 Calculer le volume restant dans la cuve à la fin du $7\up{e}$ jour.
\item Soit $g$ la fonction affine définie par $g(x)= 4,8 - 0,3x$.

Construire la représentation graphique de la fonction $g$ sur la feuille de papier millimétré mise à votre disposition (prendre 1~cm pour 2 jours en abscisse et 1~cm pour 0,4 m$^3$ en ordonnée).
\item Cet habitant a continué à consommer 300 litres d'eau par jour en avril.

Déterminer par lecture graphique le volume d'eau (en m$^3$) qui reste dans la cuve au bout du
 $10\up{e}$ jour. (Faire apparaître la réponse sur le graphique.)
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2005 
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Groupement Sud juin 2005
\hypertarget{Bordeaux}{} 

\lfoot{\small{Groupement Ouest}}
\rfoot{\small juin 2005}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Ouest\footnote{Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers et Rennes}  28 juin 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A $= 2 - \dfrac{5}{2} \div \dfrac{15}{4}$.

On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

Toutes les étapes du calcul seront détaillées sur la copie.
\item On considère B $= \dfrac{2,5 \times 10^{-3} \times 9 \times10^5}{15 \times 10^{-4}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer B ; le résultat sera donné en écriture décimale.
		\item Écrire B en écriture scientifique.
	\end{enumerate}
		\item Calculer l'expression C $= 2\sqrt{45} + 3\sqrt{20} - 10\sqrt{5}$.

On donnera le résultat sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier relatif.
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}


\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD des nombres 675 et 375.

\medskip

\item  Écrire la fraction $\dfrac{675}{375}$ sous forme irréductible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression suivante : 

\[E = (x - 3)^2 + (x - 3)(x + 3).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer $E$ pour $x = 5$.
\item Résoudre l'équation $x(x - 3) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Aujourd'hui, Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans.

Dans combien d'années l'âge de Pierre sera-t-il le double de celui de Marc ?

La démarche suivie sera détaillée sur la copie.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités géométriques \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Dans tout cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.}

On considère la figure ci-dessous. Ses dimensions ne sont pas respectées et on ne demande pas de la représenter.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Les points O, B, D sont alignés, ainsi que les points O, A, C.

On donne les mesures suivantes : OA = 8 ; OB = 6 ; OC = 10.

\medskip

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,3)
\psline(0,0)(8,0) \psline(0,0)(6,2.5)
\psline(1.4,1.7)(6,-0.6) \psline(3.2,2.2)(8,-0.2)
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](2.6,1.1){B} \uput[u](4.2,1.7){D}
\uput[dl](4.8,0){A} \uput[dl](7.5,0){C}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur BD.

La démarche suivie sera expliquée sur la copie.
\item Dans les questions qui suivent, on suppose que $\widehat{\text{OBA}}$ est droit.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\cos \widehat{\text{AOB}}$ puis en déduire une valeur approchée arrondie au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$.
		\item Justifier que le triangle ODC est rectangle.
		\item En utilisant le théorème de Pythagore, donner une valeur approchée, en cm, arrondie au dixième de la longueur CD (On pourra admettre que OD = 7,5).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère un repère orthonormal (O, I, J) (unité : le centimètre).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-2~ ;~ 3)$ et C(3 ; 2) dans le repère précédent.
\item Calculer les distances OA, OC et AC. On donnera les valeurs exactes de ces distances.
\item Montrer que le triangle OAC est un triangle rectangle isocèle en O.
\item Construire le point B tel que $\vect{\text{OB}} = \vect{\text{OA}} + \vect{\text{OC}}$.
\item En déduire la nature du quadrilatère OABC.
\item Déterminer les coordonnées du point $M$, centre de symétrie du quadrilatère OABC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans une bibliothèque ouverte du mardi au samedi inclus, on a comptabilisé, jour par jour, le nombre de livres prêtés au cours d'une semaine et on a obtenu les résultats consignés dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.1cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{}	&mardi	&mercredi	&jeudi	&vendredi	&samedi\\\hline
nombre de livres prêtés	&61		&121		&42		&59			&82\\\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre total de livres prêtés sur la semaine entière.
		\item Calculer le nombre moyen de livres prêtés, par jour, durant cette semaine de cinq jours.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pourcentage de livres prêtés le mercredi par rapport à la semaine entière.
		
Arrondir le résultat à l'unité.
		\item Le bibliothécaire dit : \og le mercredi, nous prêtons le quart des livres de la semaine \fg.
		
A-t-il raison ? Expliquer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur une année, on propose au public deux types de tarifs pour l'emprunt de livres dans une bibliothèque :

le tarif plein : 0,90~euro par livre emprunté.

le tarif \og abonné \fg : cotisation annuelle de 10 euros à laquelle s'ajoute 0,50~euro par livre emprunté.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
nombre de livres empruntés pendant l'année&10&20&50&100\\\hline
prix payé au plein tarif (en~euro) & &18 & & \\\hline
prix payé au tarif \og~abonné~\fg (en euro)&15& & & \\\hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Quel est le prix payé, en euros, pour l'emprunt de 35 livres :
	\begin{enumerate}
		\item Avec le tarif plein ? Justifier.
		\item Avec le tarif \og abonné \fg ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On note :

$x$ le nombre de livres empruntés sur l'année ;

$P(x)$ le prix payé pour l'emprunt de $x$ livres au tarif plein ;

$A(x)$ le prix payé pour l'emprunt de $x$ livres au tarif « abonné ».

Exprimer $P(x)$ et $A(x)$ en fonction de $x$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation : $0,9x = 0,5x + 10$.
		\item Que représente la solution trouvée pour une personne empruntant des livres à la bibliothèque ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Groupement Ouest juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Groupement Est juin 2005
\hypertarget{Nancy}{} 

\lfoot{\small{Groupement Est}}
\rfoot{\small{28 juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Est\footnote{Besançon, Dijon, Grenoble,Lyon, Nancy-Metz, Reims et Strasbourg} 28 juin 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés d'explications, le barème en tiendra compte.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Alain, Bernard et Charlotte décident de faire chacun une question de l'exercice suivant :

\[\text{A} = \dfrac{5}{4} - \dfrac{2}{3} \times\dfrac{9}{16} \quad 
\text{B} = \dfrac{16 \times 10^{-5} \times 3 \times10^4}{24 \times 10^{-3}} \quad 
\text{C} = \sqrt{63} + 2\sqrt{7} - 5\sqrt{28}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
\item Calculer B et donner le résultat sous forme d'un nombre entier.
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{7},~ a$ étant un nombre entier relatif.

Alain calcule A et propose A $= \dfrac{21}{64}$ ; Bernard calcule B et propose B $= 2 \times 10^2$ ; Charlotte calcule C et propose C $= -5\sqrt{7}$.

Ces réponses vous semblent-elles satisfaisantes ? Justifier vos affirmations.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression :

\[E = 4x^2 - 9 + (2x + 3)(x - 2).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $E$.
\item Factoriser. En déduire la factorisation de l'expression $E$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation 
		\item Cette équation a-t-elle une solution entière ?
		\item Cette équation a-t-elle une solution décimale ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
\item Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur.
		\item Combien faudra-t-il alors de carreaux ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Démontrer, pour chacune des trois figures ci-dessous, que le triangle ABC est une triangle rectangle en utilisant les informations fournies.

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}\begin{pspicture}(10.5,8)
\pspolygon(0,5.4)(3.9,5.4)(1.05,7)
\uput[dl](0,5.4){B} \uput[dr](3.9,5.4){C} \uput[ur](1.05,7){A} 
\rput(1.8,5){50} \rput(0.3,6.4){30} \rput(2.4,6.5){40}
\rput(1.5,4){Figure 1}
\pspolygon(0.4,2)(5.1,2)(4.5,2.6)(1.3,0.9)
\uput[ul](0.4,2){C} \uput[r](5.1,2){E} \uput[u](4.5,2.6){D} \uput[d](1.3,0.9){A} 
\uput[ul](3.5,2){B}
\psline(4.3,2.5)(4.5,2.3)(4.7,2.4)
\rput(4,1.4){(DE) // (AC)} 
\rput(2.8,0.5){Figure 3}
\pscircle(8,4.1){2.25}
\pspolygon(7,2.1)(10.15,3.57)(6.6,5.8)(7,2.1)(5.85,4.7)(10.13,3.57)
\uput[dl](7,2.1){A} \uput[dr](10.15,3.57){C} \uput[ul](6.6,5.8){E} \uput[ul](5.8,4.7){B} 
\psarc(10.2,3.57){10pt}{169}{205} \psarc(10.2,3.57){12pt}{169}{205}
\psarc(6.6,5.8){10pt}{278}{331}
\rput(9.4,3.55){$40\up{o}$}  \rput(7,5.2){$50\up{o}$}
\rput(8,1.4){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un segment [EF] de 10 cm de longueur puis un demi-cercle de diamètre [EF].
 
Placer le point G sur ce demi-cercle, tel que EG = 9 cm. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle EFG est rectangle. 
		\item Calculer la longueur GF arrondie au mm.
	\end{enumerate}
\item Placer le point M sur le segment [EG] tel que EM = 5,4 cm et le point P sur le segment [EF] tel que EP = 6 cm. 

Démontrer que les droites (FG) et (MP) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On s'intéresse dans cet exercice au réservoir de la fusée XYZ2005, nouveau prototype de fusée interplanétaire.

Ce réservoir est constitué d'un cône surmonté d'un cylindre, comme le montre le dessin ci-dessous. 

Le diamètre du réservoir est de 6 m, le cylindre mesure 35 m de hauteur et le cône 4 m de hauteur.

\medskip

\parbox[l]{0.65\textwidth}{\begin{enumerate}
\item Calculer le volume total du réservoir ; on donnera d'abord la valeur exacte en m$^3$, puis la valeur en dm$^3$, arrondie au dm$^3$.
\item Le volume de ce réservoir est-il suffisant pour que les moteurs de la fusée fonctionnent pendant 10 minutes, sachant que ces moteurs consomment \nombre{1500} litres de carburant par seconde ?
\end{enumerate}
} \hfill
\parbox[l]{0.32\textwidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(-1,0)(4,7.5)
\psline(0,2)(1.5,0)(3,2)
\psline[arrowsize=3pt 5]{<->}(-0.2,0)(-0.2,2) \psline[arrowsize=3pt 5]{<->}(-0.2,2)(-0.2,7)
\psline[arrowsize=3pt 5]{<->}(0,7.25)(3,7.25)
\psellipse(1.5,7)(1.5,0.18)
\psellipse[linestyle=dashed](1.5,2)(1.5,0.18) 
\pscurve(0,2)(0.5,1.88)(0.75,1.85)(1.5,1.825)(2.25,1.85)(2.5,1.88)(3,2)
\psline(0,2)(0,7) \psline(3,2)(3,7)
\uput[u](1.5,7.2){6 m}
\rput{90}(-0.4,1){4 m} 
\rput{90}(-0.4,4.5){35 m} 
\end{pspicture}}

\medskip

Rappels : 

Volume d'un cône de hauteur $h$ et de rayon de base $R$ :

$V = \dfrac{1}{3}\times\pi \times R^2 \times h$.

Volume d'un cylindre de hauteur $h$ et de rayon de base $R$ :  $V = \pi \times R^2 \times h$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Un théâtre propose deux tarifs pour la saison 2004-2005 :

$\bullet~$Tarif S : 8 \euro~ par spectacle.

$\bullet~$Tarif P : achat d'une carte de 20 \euro~ donnant droit à un tarif préférentiel de 4~\euro~ par spectacle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant, sachant que Monsieur Scapin a choisi le tarif S et Monsieur Purgon le tarif P.

\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de spectacles			&4   	&9   	&15\\ \hline   
\hspace{-0.3cm}Dépense de M. Scapin en \euro{}	& 		& 		& \\ \hline
Dépense de M. Purgon en \euro{}	& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
On suppose maintenant que Monsieur Scapin et Monsieur Purgon ont chacun assisté à $x$ spectacles.

\item Exprimer en fonction de $x$ le prix $s(x)$ payé par M. Scapin puis le prix $p(x)$ payé par M. Purgon.
\item Résoudre l'équation $8x = 4x + 20$. 

À quoi correspond la solution de cette équation ?

Sur une feuille de papier millimétré, mettre en place un repère orthogonal (placer l'origine O en bas à gauche, prendre 1 cm pour un spectacle sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 5 \euro~ sur l'axe des ordonnées).
\item Représenter graphiquement les fonctions $s$ et $p$ définies respectivement par $s(x) = 8x$ et $p(x) = 4x + 20$.
\item Déterminer par lecture graphique, en faisant apparaître sur le dessin les tracés nécessaires :
	\begin{enumerate}
		\item Le résultat de la \textbf{question 3}.
		\item Le tarif le plus avantageux pour un spectateur qui assisterait à 8 spectacles durant la saison.
		\item Le tarif le plus avantageux pour M. Harpagon qui ne souhaite pas dépenser plus de 50~\euro{} pour toute la saison. 
		
À combien de spectacles pourra-t-il assister ? Retrouver ce dernier résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%    fin Groupement Est juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Groupement Nord juin 2005
\hypertarget{Paris}{} 

\lfoot{\small{Groupement Nord}}
\rfoot{\small juin 2005}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Nord \footnote{Amiens, Créteil, Lille, Paris, Rouen et Versailles} 28 juin 2005~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit A $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{7}{3}\times \dfrac{9}{4}$  et B $= \sqrt{45} - 12\sqrt{5}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Écrire B sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression  $A = (2x - 3)^2 - (4x + 7)(2x - 3)$.

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 3)(-2x - 10) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de tartelettes.
\item Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Une élève de CP fait des courses pour elle et ses camarades :

La première fois elle achète 5 crayons et 2 gommes pour 10,90 \euro.

La seconde fois elle achète 8 crayons et 3 gommes pour 17,20 \euro.

En utilisant un système d'équations, aider l'élève de CP à retrouver le prix de chaque article.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que BC = 7 cm, 

$\widehat{\text{BCA}} = 37\degres$ et $\widehat{\text{CBA}} = 53\degres$.
\item Prouver que ce triangle est un triangle rectangle.
\item Calculer la longueur CA puis en donner la valeur arrondie au mm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la page annexe, dans un repère orthonormé 

(O, I, J) tel que OI = OJ = 1 cm, placer les points A(0~;~4) B(3~;~2) C$(-1~;~-4)$.
\item Calculer la longueur BC, donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.
\item En admettant que AB $ = \sqrt{13}$ cm et AC $ = \sqrt{65}$ cm, démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
\item Placer dans le repère le point E image du point C dans la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Démontrer que le quadrilatère ABCE est un rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sur la figure ci-dessous on a un cône de révolution tel que SA = 12 cm.

Un plan parallèle à la base coupe ce cône tel que SA$'$ = 3 cm.

(la figure ci-dessous n'est pas à l'échelle).

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,6)
\psellipse[linestyle=dashed](3,1.2)(3,1.2)
\psellipse[linestyle=dashed](3,4)(1.,0.5)
\pscurve(0,1.2)(0.2,0.8)(1,0.32)(2,0.09)(3,0)(4,0.09)(5,0.32)(5.8,0.8)(6,1.2)
\pscurve(2,4)(2.1,3.79)(2.25,3.68)(2.5,3.58)(3,3.52)(3.5,3.58)(3.75,3.68)(3.9,3.79)(4,4)
\psline(0.1,1.5)(3,5.4)(5.9,1.5)
\psline[linestyle=dashed](3,1.2)(3,5.4)
\uput[dl](3,1.2){A}  \uput[dl](3,4){A$'$}  \uput[ul](3,5.4){S}   
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le rayon du disque de base du grand cône est de 7 cm. Calculer la valeur exacte du volume du grand cône.
\item Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit cône ?
\item Calculer la valeur exacte du volume de ce petit cône, puis en donner la valeur arrondie au cm$^3$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-8,-10)(8,14)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-8,-10)(8,14)
\end{pspicture}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Monsieur Martin habite Petitville. Monsieur Gaspard habite à une distance de 900 km de Petitville.

À huit heures du matin les deux personnes commencent à rouler l'un vers l'autre :

$\bullet~$ Monsieur Martin quitte Petitville et roule à 60 km/h.

$\bullet~$ Monsieur Gaspard se dirige vers Petitville et roule à 90 km/h.

On note $x$ le temps écoulé depuis huit heures du matin ($x$ est exprimé en heures). Ainsi, quand il est huit heures du matin, $x = 0$.

Après avoir roulé une heure, c'est-à-dire quand $x = 1$, Monsieur Martin est à 60 km de Petitville et Monsieur Gaspard est lui à 810 km de Petitville.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À quelle distance de Petitville Monsieur Martin se situe-t-il quand $x = 4$ ? Quand $x = 10$ ?
\item A quelle distance de Petitville Monsieur Gaspard se situe-t-il quand $x = 4$ ? Quand $x = 10$ ?
\item Exprimer en fonction de $x$ la distance qui sépare Monsieur Martin de Petitville.

Exprimer en fonction de $x$ la distance qui sépare Monsieur Gaspard de Petitville.
\item On donne les fonctions suivantes $f~:~x \longmapsto 60x$ et  $g~:~x \longmapsto 900 - 90x$.

Recopier sur la copie les tableaux suivants et les compléter :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$  	&0 	&1 &4 	&10\\\hline
$f(x)$	& 	& 	& 	& \\\hline
\end{tabularx}\]

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$  	&0	&1 	&4 	&10\\\hline
$g(x)$	& 	& 	& 	& \\\hline
\end{tabularx}\]

\item Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ sur une feuille de papier millimétré en prenant :

$\bullet~$ en abscisse : 1 cm pour une durée d'une heure.

$\bullet~$ en ordonnée : 1 cm pour une distance de 100 km.

\item À l'aide d'une lecture graphique, déterminer : 
	\begin{enumerate}
		\item La durée au bout de laquelle les deux personnes se croisent.
		\item À quelle distance de Petitville se croisent-ils ? Faire apparaître les pointillés nécessaires.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Retrouver le résultat de la question \textbf{6. a.} en résolvant une équation.
		\item Retrouver le résultat de la question \textbf{6. b.} par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%   fin Groupement Nord juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Moyen-Orient juin 2005
\hypertarget{Moyen-Orient}{} 

\lfoot{\small{Émirats arabes unis}} 
\lfoot{\small{Moyen-Orient}} 
\rfoot{\small{juin 2005}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2005 \decofourright\\[5pt] 
Moyen--Orient}} \end{center} 

\vspace{0,8cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,5cm} 

\begin{center} 

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1}

\textbf{Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en centimètre. Répondre aux questions en détaillant les calculs.}

La relation entre la longueur $c$ du côté d'un carré et la longueur $d$ de sa diagonale est donnée par la formule : 

$d = c\sqrt{2}$.

\begin{enumerate}
\item La longueur du côté d'un carré est $\sqrt{8} + \sqrt{2}$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la longueur de sa diagonale est un nombre entier.

		\item Montrer que l'aire en cm$^2$ de ce carré est un nombre entier.

	\end{enumerate}

\item La longueur de la diagonale d'un autre carré est $\sqrt{40}$.

Calculer la longueur de son côté et exprimer cette longueur sous la forme $a\sqrt{5}$, où $a$ est un nombre entier naturel.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2}

La masse d'un atome de carbone est égale à $1,99 \times  10^{-26}$ kg. Les chimistes considèrent des paquets contenant $6,022~\times~10^{23}$ atomes.

\begin{enumerate}
\item Calculer la masse en gramme d'un tel paquet d'atomes de carbone. 

\item Donner une valeur arrondie de cette masse à un gramme près.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 3}

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte.

\textbf{Répondre à cet exercice en utilisant le tableau figurant sur la feuille annexe : pour chaque ligne, indiquer la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\textbf{Aucune justification n'est demandée.}

Le barème de cet exercice est le suivant : pour chaque ligne, 1 point pour une réponse correcte, $- 0,5$ point pour une réponse fausse, $0$ point s'il n'y a pas de réponse.

Si le total des points pour l'exercice est négatif, l'exercice est noté 0 point.

\vspace{0,4cm}

\hspace*{-1.1cm}{\footnotesize\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{}&Réponse A&	Réponse B&	Réponse C\\\hline
\No  1&$	(3x-2)^2$ est égale à&	$9x^2 -4$&	$9x^2 -6x + 4$& 	$9x^2 -12x + 4$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\\hline
&Une expression factorisée de& & & \\
\No  2&	$(5x-1)^2 -9$ est&	$(5x+2)(5x-4)$&	$(5x - 10)^2$&	$(5x - 10)(5x+8)$\\\hline
&Les solutions de l'équation & & & \\
\No  3&$-2x(3x+4) = 0$ sont &$2$ et 	$-\dfrac{4}{3}$&$-\dfrac{1}{2}$  et	$\dfrac{4}{3}$&$0$ et   $-\dfrac{4}{3}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\\hline
&La partie en gras non & & & \\
&	hachurée représente les & & & \\
\No  4& 		solutions de l'inéquation &\psset{unit=0.2cm}\begin{pspicture}(-5,0)(10,0.2)\psline(-5,0)(10,0)
\multips(-5,0)(0.5,0){20}{\psline(0.4,0.4)(-0.4,-0.4)}\psline[linewidth=1.5pt](5.4,0.4)(5,0.4)(5,-0.4)(5.4,-0.4) \uput[u](5,0){5}\uput[u](0,0){0}\psline(0,0.4)(0,-0.4) \end{pspicture}  & \psset{unit=0.2cm}\begin{pspicture}(-5,0)(10,0.2)\psline(-5,0)(10,0)
\multips(5,0)(0.5,0){11}{\psline(0.4,0.4)(-0.4,-0.4)}\psline[linewidth=1.5pt](4.6,0.4)(5,0.4)(5,-0.4)(4.6,-0.4) \uput[u](5,0){5}\uput[u](0,0){0}\psline(0,0.4)(0,-0.4) \end{pspicture}  &\psset{unit=0.2cm}\begin{pspicture}(-10,0)(0,0.2)\psline(-10,0)(0,0)
\multips(-10,0)(0.5,0){11}{\psline(0.4,0.4)(-0.4,-0.4)}\psline[linewidth=1.5pt](-4.6,0.4)(-5,0.4)(-5,-0.4)(-4.6,-0.4) \uput[u](-5,0){$-5$}\uput[u](0,0){0}\psline(0,0.4)(0,-0.4) \end{pspicture}   \\
&	$5x - 10 \geqslant 2x + 5$ & & & \\ \hline
 & Le système 	$\left\{\begin{array}{l c l}
 2x -y&=& 2\\
 x + y & = & 5\\
 \end{array}\right.$&$(1~ ;~ -4)$ & $(-1~;~ -4)$ & $(-1 ; 4)$\\
\No 5&	a pour solution& & & \\ \hline
 \end{tabular}}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1} 

\textbf{Pour cet exercice, compléter la figure donnée sur la feuille annexe.}

On a placé trois points A, B et C.

\begin{enumerate}
\item Construire le point E tel que ABEC est un parallélogramme.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point F tel que $\vect{\text{BF}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}$.

		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCF ? On ne demande pas de justification.

	\end{enumerate}

\item Démontrer que $\vect{\text{FC}} = \vect{\text{CE}}$. Que peut-on en déduire pour le point C ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2}

\vspace{0,25cm}

\parbox[l]{0.5\textwidth}{ \textbf{La figure n'est pas faite en vraie grandeur.\\
Elle n'est pas à reproduire.}\\
ABC est un triangle tel que :\\
AB = 8 cm, AC = 6,4cm et \\BC = 4,9 cm.\\
 Le point E appartient à la demi-droite [AB) et AE = 12 cm.\\
  Le point F appartient à la demi-droite [AC) et AF = 9,6 cm.\\
\begin{enumerate}\item Le triangle ABC est-il un triangle rectangle Justifier la réponse.

\item Les droites (BC) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.

\end{enumerate} }\hfill
\parbox[l]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(9,5.5)
\psline(6.7,0)(0.2,3.9)(8.7,4.9)
\psline(3,0)(6,5)
\psline(5.65,0)(8.8,5.3)
\uput[ul](0.2,3.9){A} \uput[ul](5.8,4.6){B} \uput[l](4,1.6){C}
 \uput[ul](8.6,4.9){E} \uput[l](5.95,0.4){F} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 3}

\textbf{La figure n'est pas faite en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.}

ABC est un triangle rectangle en R. La droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AC) coupe la droite (HC) en B.

On sait que : AH = 4,8 cm et HC = 6,4cm.

\parbox[l]{0.5\textwidth}{\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}\item Justifier l'égalité :	\\$\widehat{\text{ACH}} =  90\up{o}  -  \widehat{\text{HAC}}$.
\item Justifier l'égalité : \\$\widehat{\text{BAH}} =  90\up{o}  -  \widehat{\text{HAC}}$.
\item Que peut-on en déduire pour les angles $\widehat{\text{ACH}}$ et $\widehat{\text{BAH}}$ ?
\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\tan \widehat{\text{ACH}} = \dfrac{3}{4}$.
		\item En utilisant le triangle BAH, exprimer  $\tan \widehat{\text{BAH}}$	en fonction de BH.
	\end{enumerate}
\item Déduire des \textbf{questions 1} et \textbf{2} que BH = 3,6 cm.
\item Calculer la mesure en degré arrondie au degré de l'angle  $\widehat{\text{ACH}}$.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox[l]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(9,5)
\psline(0,1)(9,1)
\psline(0.2,0.3)(3.45,4.6)(8.2,1)
\psline(3.45,4.6)(3.45,1)
\psframe(3.45,1)(3.7,1.25)
\psline(3.25,4.34)(3.5,4.15)(3.7,4.45)
\uput[ul](3.45,4.6){A} \uput[dr](0.8,1){B} \uput[dr](8.3,1){C} \uput[d](3.45,1){H} 
\end{pspicture}}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie 1}

\vspace{0,25cm}
\parbox[l]{0.7\textwidth}{\textbf{ La figure construite ci-contre n'est pas en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.}

RAB est un triangle rectangle en A tel que AE = 48 cm et AB =  16 cm.

Le point D appartient su segment [AE] et AD = 12 cm.

 La parallèle a la droite (AB) passant par D est sécante à la droite (BE) au point C.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur du segment [BE].
		 
		\item Écrire cette longueur sous la forme $a\sqrt{10}$, où $a$ est un nombre entier naturel.
	\end{enumerate}
\item Calculer ED puis monter que DC = 12 cm.\\
\item Calculer les aires des triangles EDC et EAB,
\item En déduire que l'aire du quadrilatère ABCD est égale à 168 cm$^2$.
\item Le quadrilatère ABCD est la hase d'un prisme droit de hauteur CH égale à 5 cm. Ce prisme est représenté ci-contre. Calculer son volume.\end{enumerate}}\hfill
\parbox[l]{0.25\textwidth}{\begin{pspicture}(3,10.5)
\pspolygon(0,0)(2.6,0)(2,1.95)(0,1.95)%ABCD
\psline(2,1.95)(2.3,2.6)(0.4,2.6)(0,1.95)%CH?D
\psline(2.6,0)(3,0.6)(2.3,2.6)%B?H
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.4,0.6)(0.4,2.6)
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.6)(3,0.6)
\pspolygon(0.4,10.3)(0.4,3.7)(2.6,3.7)%EAB
\psline(0.4,5.4)(2,5.4)%DC
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2.6,0){B} \uput[dl](2,1.95){C} \uput[dl](0,1.95){D} 
\uput[ur](2.3,2.6){H} \uput[dl](0.4,3.7){A} \uput[dr](2.6,3.7){B} \uput[ur](2,5.4){C} 
\uput[ul](0.4,5.4){D} \uput[r](0.4,10.3){E} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie 2}

Monsieur Brico veut paver une allée de jardin avec des dalles ayant la forme du prisme défini dans la \textbf{question 5} de la \textbf{partie 1}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre minimum de dalles nécessaires pour recouvrir l'allée dont l'aire est 10 m$^2$.
 
\item Monsieur Brico prévoit 15\:\% de dalles de plus que ce nombre minimum pour tenir compte des pertes dues aux découpes. Combien prévoit-il de dalles ?
 
\item Les dalles sont vendues par lot de 60. Combien de lots monsieur Brico a-t-il achetés ?
 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie 3}

\textbf{ Dans cette partie, aucune justification n'est demandée.}

\parbox[l]{0.5\textwidth}{ La figure ci-contre montre une vue de dessus du début du pavage.

Les dalles sont posées sur la face ABCD.

Recopier et compléter les phrases ci-dessous en utilisant
une des trois transformations suivantes :
symétrie axiale d'axe \ldots \ldots, translation	de vecteur \ldots \ldots ou
symétrie centrale de centre \ldots ,
et en précisant l'axe, le vecteur et le centre.

 \begin{enumerate}
 \item Le quadrilatère \ding{188} est l'image du quadrilatère \ding{191} par la \ldots \ldots 
 \item Le quadrilatère \ding{190} est l'image du quadrilatère \ding{182} par la \ldots \ldots.
 \item Le quadrilatère \ding{185} est l'image du quadrilatère \ding{182} par la \ldots \ldots.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox[r]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(6.5,6)%\psgrid[subgriddiv=10]
\psframe(0,0)(6.5,6)
\psline(0,1.5)(6.5,1.5)
\psline(0,3)(6.5,3)
\psline(0,4.5)(6.5,4.5)
\psline(3.25,0)(3.25,6)
\psline(1.4,0)(1.85,1.5)(1.4,3)(1.85,4.5)(1.4,6)%?QLBC
\psline(5.1,0)(4.65,1.5)(5.1,3)(4.65,4.5)(5.1,6)%?SHIF
\rput(0.7,5.1){\ding{182}} \rput(2.3,5.1){\ding{183}}  \rput(3.7,5.1){\ding{184}} \rput(5.6,5.1){\ding{185}}   
\rput(0.7,3.6){\ding{186}}  \rput(2.3,3.6){\ding{187}} \rput(3.7,3.6){\ding{188}} \rput(5.6,3.6){\ding{189}} 
\rput(0.7,2.2){\ding{190}} \rput(2.3,2.2){\ding{191}} 
\uput[l](0,4.5){A} \uput[dr](1.9,4.5){B} \uput[u](1.4,6){C} \uput[ul](0,6){D} 
\uput[u](3.25,6){E} \uput[u](5.1,6){F} \uput[ur](6.5,6){G} \uput[ul](3.25,4.5){H} 
\uput[ul](4.65,4.5){I} \uput[r](6.5,4.5){J} \uput[l](0,3){K} \uput[ul](1.4,3){L} 
\uput[ul](3.25,3){M} \uput[ur](5.1,3){N} \uput[r](6.5,3){O} \uput[l](0,1.5){P} 
\uput[dr](1.9,1.5){Q} \uput[ul](3.25,1.5){R} \uput[ul](4.65,1.5){S} \uput[r](6.5,1.5){T} \end{pspicture}}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE ( à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\end{center}

\textbf{Activités numériques}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

Dans la colonne de droite, indiquer pour chaque ligne la réponse choisie : A, B ou C.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}

\begin{tabular}{|>{\centering}p{1.5cm}| p{2.5cm}|}\cline{2-2}
\multicolumn{1}{c|}{}& Réponse choisie\\\hline
\No 1 & \\\hline
\No 2 & \\\hline
\No 3 & \\\hline
\No 4 & \\\hline
\No 5 & \\\hline
\end{tabular}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Activités géométriques}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\begin{center}\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(20,12)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(20,12)
\def\croix{\psline(-0.2,0.2)(0.2,-0.2) \psline(-0.2,-0.2)(0.2,0.2)}
\rput(6,5){\croix} \rput(10,7){\croix} \rput(13,4){\croix} 
\uput[ul](6,5){A} \uput[ur](10,7){B} \uput[dr](13,4){C} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Moyen-Orient juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane septembre 2005
\hypertarget{Antillessep}{}
 
\lhead{\small Brevet septembre 2005}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{Brevet des collèges}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles-Guyane  septembre 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5 cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les expressions suivantes :

\[\text{A}  = \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} \times\dfrac{4}{21}\quad \text{B}  = \dfrac{12 \times 10^2 \times \left(10^{-2}\right)^3}{8 \times  10^{-3}}\quad
\text{C}  = 7\sqrt{32} - 6\sqrt{2} - 3\sqrt{56}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et écrire le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
\item  Donner l'écriture scientifique de B.
\item  Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : $D = (2x + 3)^2 + (x - 8) (2x + 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $D$.
\item  Factoriser $D$.
\item  Résoudre l'équation $(2x + 3)(3x- 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x+ 2y& =& 50,30\\
x + 3y &=& 32,75\\
\end{array}\right.\]

\item  À la pépinière \og Fruifleur \fg, un client achète 3 orangers et 2 citronniers pour 50,30~euros. Un autre client paye 32,75 euros pour 1 oranger et 3 citronniers. On désigne par $x$ le prix d'un oranger et $y$ celui d'un citronnier.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire un système de deux équations qui traduit le problème. 
		\item Calculer le prix d'un oranger et le prix d'un citronnier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5 cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textsl{Le dessin sera fait sur une feuille de papier millimétré (l'unité étant le centimetre).}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal (O,  I, J), placer les points suivants :

\[\text{A}(-2~:~-1)\qquad	\text{B}(2~;~-3) \qquad \text{C}(3~;~4).\]
	
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$.
\item Construire le point D, image du point B dans la translation de vecteur
$\vect{\text{AC}}$. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? On justifiera la réponse.
 \end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textsl{La figure suivante n'est pas à reproduire. Elle n'est pas conforme aux mesures données.}

\medskip

\parbox{0.45\textwidth}{ On donne : AB = 18cm ; BC = 12 cm ; BE = 7,5 cm ; BF = 5 cm ; AE = 19,5 cm. Les droites (FC) et (AE) sont parallèles.} \hfill
\parbox{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(4,3)%\psgrid[subgriddiv=10]
\psline(0,0)(4,3) \psline(4,0)(2,3)
\psline(0,0.5)(4,0.5) \psline(0,2.5)(4,2.5)
\uput[dr](0.7,0.5){A}  \uput[dl](3.65,0.5){E}  \uput[d](2.65,2){B}  \uput[dr](3.35,2.5){C}  \uput[dl](2.3,2.5){F}  
\end{pspicture}}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Calculer FC,
\item Montrer que ABE est un triangle rectangle. 
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{BAE}}$. 
\item En déduire la valeur arrondie au degré de l'angle $\widehat{\text{BAE}}$.
\item Une pyramide SABE a pour base le triangle ABE. Sa hauteur [SB] vaut 21 cm. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer son volume V. 
		\item Une réduction S$'$A$'$B$'$E$'$ de cette pyramide est telle que sa hauteur [SB$'$] mesure 7 cm, Quel est le coefficient de réduction ? En déduire le volume V de S$'$A$'$B$'$E$'$

\textsl{Rappel :} Volume d'une pyramide = $\dfrac{1}{3} \times$ aire de Ia hase $\times$ hauteur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\bigskip
 
Un théâtre propose deux prix de places :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] plein tarif: 20 euros
\item[$\bullet~$] tarif adhérent : réduction de 30\,\% du plein tarif.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le prix d'une entrée au tarif adhérent ? 
		\item  Pour avoir droit À la réduction de 30\,\%
 pour chaque entrée, l'adhérent doit acheter en début de saison une carte d'abonnement. Sachant qu'un adhérent a dépensé au total (y compris le prix de la carte) 148 euros pour 7 entrées, montrer, À l'aide d'une équation, que le prix de la carte d'abonnement est de 50 euros. \item Recopier et compléter le tableau suivant :
 
 \begin{center}\begin{tabular}{l |*{3}{c|}c}\hline
Nombre $x$ d'entrées &$\quad 0 \quad$&$\quad 1 \quad$&$\quad 10 \quad$&$\quad 15 \quad$\\ \hline
Prix $p_{1}$ (en euros)&&&&\\ \hline
Prix $p_{2}$ (en euros)&&&&\\ \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $x$ le nombre d'entrées et on note :
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $p_{1}$ la dépense totale d'un spectateur qui n'est pas adhérent ;
\item[$\bullet~$] $p_{2}$ la dépense totale d'un adhérent.
\end{itemize}

Exprimer $p_{1}$ et $p_{2}$ en fonction de $x$.
\item  On considère les fonctions :

 \[p_{1}(x) = 20x \quad \text{et} \quad p_{2}(x) =  14x+50,\]
 
  comme des fonctions définies pout tout nombre positif $x$.
  
Représenter ces fonctions dans un même repère orthogonal. On choisira pour unités :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses : 1 cm pout une entrée 
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 20 euros.
\end{itemize}

À partir de la lecture du graphique, indiquer : 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  le tarif le plus avantageux pour 6 entrées ; 
		\item  le nombre minimal d'entrées pour	que l'abonnement soit avantageux.
		\item  Un adhérent constate que, sans abonnement, il aurait dépensé 46 euros de plus. Combien d'entrées cet adhérent totalise-t-il ?
	\end{enumerate}
\item  Retrouver le résultat de la question 4. c. à l'aide d'une équation.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%  Fin Antilles-Guyane septembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%  Groupement Nord septembre 2005
\hypertarget{Amienssep}{}
 
\lfoot{\small{Groupement Nord}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Nord \footnote{Amiens, Créteil, Lille, Paris, Rouen et Versailles} septembre 2005 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles pour A et B et en notation scientifique pour C.

A $= \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \times\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \qquad 		\text{B} = \dfrac{2 - \dfrac{1}{3}}{3 + \dfrac{1}{4}}\qquad \text{C} = \dfrac{3 \times 10^4 \times 10^{-2}\times 5}{10^{-1}}$

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire D sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers.

D$ = 3\sqrt{12} + \sqrt{27} - 5\sqrt{3}$.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\[E =  (2x - 3)^2 - 3(2x - 3).\]

\begin{enumerate}
\item Développer $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 3x)(2x - 6) = 0$.
\item Calculer $E$ pour $x= \sqrt{2}$.

(on écrira le résultat sous la forme $a -b\sqrt{2}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers).
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de 696 et 406.
	
\item Rendre la fraction $\dfrac{406}{696}$ irréductible.
	
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1} (La figure ci-contre nest pas en vraie grandeur)

\parbox{0.45\linewidth}{On donne AB =  4 cm,  OB = 3 cm,  OC = 6 cm.

Les droites (BC) et (AF) se coupent en O.
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi (AB) et (CF) sont parallèles.
\item Montrer que OA = 5 cm.
\item Calculer OF et CF.
 \end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{
\begin{pspicture}(0,-1.2)(5.5,5.3) 
\pspolygon(0,0)(5.4,0)(5.4,-1.2)(0,4.3)%CBAF
\psframe(0,0)(0.2,0.2) \psframe(5.4,0)(5.2,-0.2)
\uput[dl](0,0){C} \uput[u](5.4,0){B} \uput[dr](5.4,-1.2){A} 
\uput[ur](0,4.3){F} \uput[ur](4,0){O} 
\uput[d](2,0){6} \uput[u](4.65,0){3} \uput[r](5.4,-0.6){4} \uput[dl](4.6,-0.7){5} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre O et de rayon 4 cm.

[AB] est un diamètre du cercle $\mathcal{C}$ et $M$ est un point de ce cercle tel que A$M  = 5$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en respectant les dimensions données et la compléter au fur et à mesure.
\item Démontrer que A$M$B est un triangle rectangle.
\item Calculer $\sin \widehat{M\text{BA}}$ . En déduire une mesure de $\widehat{M\text{BA}}$ arrondie au degré.
\item Placer le point R milieu du segment [OH]. Tracer le symétrique de $M$ par rapport à R, on l'appelle $P$.

Quelle est la nature du quadrilatère $M$B$P$O ? (Justifier)
\item En déduire que $\vect{M\text{O}} =  \vect{\text{B}P}$.
\item Construire le point $N$ tel que 	$\vect{MN} = \vect{M\text{O}} + \vect{\text{B}P}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Première  partie}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Un réservoir est constitué d'une pyramide régulière à base carrée surmontée d'un parallélépipède rectangle
(Voir figure).

AB = BC = 2 m.

AE =  5 m, 	OI = 1,5 m

(OI est la hauteur de la pyramide)} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\begin{pspicture}(0,-1.5)(4.5,4)
\pspolygon(0,0)(2.9,-0.3)(4.2,0.3)(4.2,3.4)(1.3,3.6)(0,3.1)%EHGCBA
\psline(0,3.1)(2.8,2.9)(4.2,3.4)%ADC
\psline(2.8,2.9)(2.9,-0.3)%DH
\psline(0,0)(2.2,-1.4)(4.2,0.3)%BAS
\psline(2.2,-1.4)(2.9,-0.3)%BAS
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](2.2,0.2)(2.2,-1.4)(1.3,0.5)(1.3,3.6)%OSFB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](0,0)(1.3,0.5)(4.2,0.3)%EFG
\uput[ul](0,3.1){A} \uput[ul](1.3,3.6){B} \uput[ur](4.2,3.4){C} 
\uput[u](2.8,2.9){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[ul](1.3,0.5){F} 
\uput[ur](4.2,0.3){G} \uput[dr](2.8,-0.2){H} \uput[l](2.2,0.2){O} 
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide en m$^3$.
\item Calculer le volume du parallélépipède rectangle en m$^3$.
\item En déduire le volume du réservoir lorsqu'il est plein ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{On remplit d'eau ce réservoir. La partie pyramidale étant entièrement pleine, on appelle $x$ la hauteur d'eau dans le parallélépipède rectangle.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs de $x$ possibles.
Donner la réponse sous forme d'un encadrement de $x$.
\item Exprimer en fonction de $x$ le volume d'eau dans le parallélépipède.
\item Montrer que le volume d'eau dans le réservoir est donné
par la fonction affine $V$ définie par 

$V(x) =  4x + 2$.
\item Représenter graphiquement cette fonction affine $V$ en prenant 1 cm pour 0,5 m en abscisse et 1 cm pour 2 m$^3$ en ordonnée.
\item Lire sur le graphique une valeur de $x$ telle que le volume d'eau égale 12 m$^3$.
\item Trouver par le calcul le volume d'eau dans le réservoir lorsque $x$ vaut 1,8 m.

Quel est alors le pourcentage de remplissage du réservoir ?
(arrondir à l'unité).
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.37\linewidth}{\begin{pspicture}(-0.4,-1.5)(4.5,4)
\pspolygon(0,0)(2.9,-0.3)(4.2,0.3)(4.2,3.4)(1.3,3.6)(0,3.1)%EHGCBA
\psline(0,3.1)(2.8,2.9)(4.2,3.4)%ADC
\psline(2.8,2.9)(2.9,-0.3)%DH
\psline(0,0)(2.2,-1.4)(4.2,0.3)%BAS
\psline(2.2,-1.4)(2.9,-0.3)%BAS
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.8)(2.9,0.5)(4.2,1.1)(1.3,1.3)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](2.2,0.2)(2.2,-1.4)(1.3,0.5)(1.3,3.6)%OSFB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](0,0)(1.3,0.5)(4.2,0.3)%EFG
\uput[ul](0,3.1){A} \uput[ul](1.3,3.6){B} \uput[ur](4.2,3.4){C} 
\uput[u](2.8,2.9){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[ul](1.3,0.5){F} 
\uput[ur](4.2,0.3){G} \uput[dr](2.8,-0.2){H} \uput[l](2.2,0.2){O}
\psline{<->}(4.6,0.3)(4.6,1.1) \uput[r](4.6,0.7){$x$} 
\end{pspicture}}
%%%%%%%%%%%   Fin Groupement Nord septembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%  Groupement Est septembre 2005
\hypertarget{Besanconsep}{}

\lfoot{\small{Groupement Est}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Est\footnote{Besançon, Dijon, Grenoble,Lyon, Nancy-Metz, Reims et Strasbourg} septembre 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\[\text{A} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}}{2 - \dfrac{1}{2}}
2\quad ; \quad  \text{B} = \dfrac{35 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^5}{21 \times 10^{-1}}
\quad ; \quad  \text{C} = 3 \sqrt{5} - 2\sqrt{80} + \sqrt{20}.\]

\begin{enumerate}
\item Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Écrire B sous la forme $a \times 10^n$ où $a$ est un entier et $n$ un entier relatif.
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier positif le plus petit possible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression $D = (3x -1)(2x + 5) - (3x -1)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $D$.
\item Factoriser l'expression $D$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre les deux équations suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $(x + 2)(3x - 5) = 0$ ;
\item $x + 2(3x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD des nombres 462 et 546.
\item En déduire la fraction irréductible égale à $\dfrac{462}{546}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Voici les notes obtenues par 13 élèves à un devoir de mathématiques:
\[6 ~;~ 8~ ;~ 8 ~;~ 9~ ; ~9 ; ~10~ ;~ 11~ ;~ 12~ ;~ 14~ ;~ 17 ~; ~18 ;~ 18~ ;~ 19.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne arrondie au centième de cette série de notes.
\item Déterminer la médiane de cette série de notes.
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le schéma donné ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.

On donne AM = 5 cm ; AB = 15 cm ; AN = 4 cm ; AC = 12 cm et AH = 7,5 cm.

Les droites (AH) et (MN) sont perpendiculaires en D.

\begin{center}\begin{pspicture}(7,4.5)
\pspolygon(0,0)(6.8,0)(4.6,4)
\psline(0.5,2.5)(7,2.5)
\psline(4.6,0)(4.6,4)
\uput[ul](4.6,4){A} \uput[l](0,0){B}
\uput[l](6.8,0){C}  \uput[d](4.6,0){H}
\uput[ul](3,2.5){M} \uput[ur](5.6,2.5){N} \uput[ul](4.6,2.5){D} 
\psframe(4.6,2.5)(4.8,2.7) 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
\item Calculer AD. Justifier.
\item Pourquoi peut-on dire que les angles $\widehat{\text{AMN}}$ et $\widehat{\text{ABC}}$ sont égaux ?
\item Montrer que le triangle AHB est rectangle en H.
\item Montrer que l'aire du triangle ABC est égale à 9 fois l'aire du triangle AMN.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire :
	\begin{enumerate}
		\item Un carré ABCD de centre O et de côté 3cm.
		\item Le point E tel que $\vect{\text{OE}} = \vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}}$.
		\item Le point F, symétrique de O par rapport à C.
		\item Le point G tel que $\vect{\text{CG}} = \vect{\text{BO}}$.
	 \end{enumerate}
\item Démontrer que :
	\begin{enumerate}
		\item Les points O, F et G sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
		\item Le triangle OFG est rectangle en G.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}
 
\bigskip

Sur la figure ci-dessous, qui n'est pas dessinée en vraie grandeur, ABCD est un trapèze rectangle.

On donne AB = 6 cm ; AD = 8 cm et DC = 10 cm.

(HB) et (RS) sont perpendiculaires à (DC) et $R$ est un point du segment [AB] tel que AR = $x$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8,6)
\pspolygon(0,0)(7.6,0)(4.7,5.7)(0,5.7)%DCBA
\psline(1.4,0)(1.4,5.7)%SR
\psline(4.7,0)(4.7,5.7) %HB
\uput[l](0,0){D} \uput[r](7.6,0){C} \uput[ur](4.7,5.7){B} \uput[ul](0,5.7){A} 
\uput[d](1.4,0){S} \uput[d](4.7,0){H} \uput[u](1.4,5.7){R}
\psframe(1.4,0)(1.6,0.2) \psframe(4.7,0)(4.9,0.2)
\psframe(0,0)(0.2,0.2) \psframe(0,5.7)(0.2,5.5)
\end{pspicture}
\end{center}

Rappel : L'aire du trapèze est donnée par la formule

\[\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}.\]

$B,~b$ et $h$ désignent respectivement les longueurs de la grande base, de la petite base et de la hauteur du trapèze.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du trapèze ABCD.
\item Calcul de BC.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que ADHB est un rectangle. En déduire HC.
		\item Calculer BC.
(On donnera le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible).
	\end{enumerate}
\item Calculer la mesure de l?angle $\widehat{\text{BCD}}$, arrondie au dixième de degré.
\item Calculs d'aires.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire $f(x)$ du rectangle ARSD.
		\item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire $g(x)$ du trapèze RBCS.
		\item Calculer $x$ pour que ces deux aires soient égales ; donner alors la valeur commune
de chacune de ces deux aires.
	\end{enumerate}
\item $x$ est un nombre compris entre 0 et 6.
Sur la feuille de papier millimétré, construire une représentation graphique des
fonctions $f$ et de $g$ dans un repère orthonormal. Une unité en abscisse représente 1cm
et une unité en ordonnée représente 4cm$^2$.
\item Retrouver sur le graphique le résultat de la question 5.

On fera apparaître les pointillés nécessaires.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   Fin Besançon septembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%   Groupement Sud septembre 2005
\hypertarget{Bordeauxsep}{}

\lfoot{\small{septembre 2005}}
\rfoot{\small{Groupement Ouest}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupement Ouest septembre 2005~\decofourright\\[5pt]~}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres suivants : 

\begin{center}
\begin{tabular}{l p{1,5cm} l}
A $= - \dfrac{13}{7} + \dfrac{3}{7}\div \dfrac{5}{3}$&&B $= \sqrt{8} \times 5\sqrt{18}$\\ 
C $= \sqrt{8} + 5\sqrt{18}$ &&D $= \dfrac{45 \times  10^{-6} \times  10^8 \times 4}{3 \times  10^{-3} }$\\
\end{tabular}
\end{center}
 
En faisant apparaître toutes les étapes de calculs sur la copie : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible . 
\item Écrire B sous la forme d'un nombre entier. 
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{2}$, où $a$ est un nombre entier.
\item Écrire D en écriture scientifique.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2} 

\medskip

On considère l'expression $F = (5x + 4)^2 - 49$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, puis réduire $F$. 
\item Factoriser $F$. 
\item Résoudre l'équation $(5x -3)(5x + 11) = 0$. 
\item Calculer $F$ pour $x = -2$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système :
\[\left\{\begin{array}{l c l} 
6x+ 5y 	&=	& 25\\
2x+3y		&=	& 11\\
\end{array}\right.\] 

\item  Pierre et Jules achètent des poissons rouges et des poissons jaunes dans le même magasin spécialisé. 

Pour l'achat de 6 poissons rouges et de 5 poissons jaunes, Pierre dépense 25 euros. 

Pour l'achat de 2 poissons rouges et de 3 poissons jaunes, Jules dépense 11 euros. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le prix d'un poisson rouge ?
		\item Quel est prix d'un poisson jaune ? 
		
\emph{La démarche suivie sera expliquée sur la copie.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; I, J) d'unité 1~cm sur chaque axe. 

On considère les points A(1~;~ 2), B$(- 2~;~ 1)$ et C$(- 3~;~ - 2)$. 

\begin{enumerate}
\item  Placer les points A, B et C dans le repère (O ; I, J). 
\item  Calculer les distances AB et BC. 
\item  Construire le point D image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$. 
\item  Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier . 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
IJK est un triangle tel que :
\begin{center} 
IJ = 9,6~ cm,~JK = 10,4~cm et IK = 4~cm. 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Tracer le triangle IJK en vraie grandeur.
\item  Démontrer que le triangle IJK est reccangle en I.
\item  Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{IJK}}$ ; en déduire la valeur arrondie au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{IKJ}}$.
\item  M est le point du segment  tel que :
 
\begin{center}IM = 7,2~cm ; \end{center}

 N est le point du segment [IK] tel que : 
\begin{center}IN = 3 cm. \end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (MN) et (JK) sont parallèles.
		\item Calculer la distance MN. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Un parc d'attractions pratique les tarifs suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Tarif 1 : par jour de présence dans le parc, le prix à payer est de 12~euros pour un enfant et de 18~euros pour un adulte . 
\item[$\bullet~$] Tarif 2 : quel que soit le nombre de jours de présence dans le parc et le nombre de membres de la famille, le prix pour la famille est constitué d'un forfait de 100~euros auquel s'ajoute une participation de 10~euros par jour.
\end{itemize}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous pour une famille constituée d'un adulte et d'un enfant. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Nombre de jours passés dans le parc}& 1 &4 &14 \\ \hline
\textbf{Prix payé avec le tarif 1}&30&&  \\ \hline 
\textbf{Prix payé avec le tarif 2} &&140&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Dans toute la suite du problème, on considère une famille constituée d'un adulte et d'un enfant. 

\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction du nombre $x$ de jours de présence dans le parc, le prix payé par la famille avec le tarif 1. On note $p_{1}(x)$ ce prix.
		\item Exprimer, en fonction du nombre $x$ de jours de présence dans le parc le prix payé par la famille avec le tarif 2. On note $p_{2}(x)$ ce prix . 
 	\end{enumerate}
\item Tracer sur votre copie les représentations graphiques des fonctions $p_{1}$ et $p_{2}$ définies par : 

\[p_{1}~~: x~~ \longmapsto  30x \quad \text{et} \quad p_{2}~~:~~ x \longmapsto  10x+ 100.\]
 
Sur l'axe des abscisses, 1 cm représente un jour. 

Sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 20 euros.

\emph{Placer l'origine des axes en bas et à gauche de votre feuille.}

 \item  Répondre aux questions en utilisant le travail graphique ci-dessus : 
	\begin{enumerate}
		\item  Si la famille souhaite rester 8 jours dans le parc, quel est le tarif le plus avantageux ? Justifier. 
		\item  Si la famille dispose d'un budget de 120~euros pour l'entrée au parc,  quel tarif lui permet d'y passer le plus grand nombre de jours ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%  Fin Groupement Ouest septembre 2005 
\newpage
%%%%%%%%%  Polynésie  septembre 2005
\hypertarget{Polynesiesep}{}

\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2005~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1  On donnera le détail des calculs}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :

\[\text{A} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} \times\left(\dfrac{2}{3} - 1 \right).\]

\item Calculer et donner le résultat en écriture scientifique :
	
\[\text{B} = \dfrac{5 \times 10^{-3} \times 12 \times 10^6}{15 \times 10^2 \times 8 \times 10^{-5}}\]

\item Calculer et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{7}$ où $a$ est un entier relatif :
\[\text{C} = 2\sqrt{63} - \sqrt{112} + 3\sqrt{28}.\]
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\[E = (3x - 2)^2 + (7x +5) (3x - 2)\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$ 
\item Factoriser $E$. 
\item Résoudre l'équation $(3x - 2) (10x +3) = 0$. 
\item Calculer $E$ pour $x = -1$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'inéquation : $2x - 5 \leqslant \dfrac{3}{2} - 11x$.
\begin{enumerate}
\item Le nombre $0$ est-il solution de cette inéquation ? Justifier la réponse. 
\item Le nombre $1$ est-il solution de cette inéquation ? Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'inéquation : $2x - 5 \leqslant \dfrac{3}{2} - 11x$.
		\item Représenter les solutions sur une droite graduée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\pscircle(0,0){3.2}
\scalebox{.99}[0.17]{ \psarc[linewidth=2pt](0,0){3.2}{180}{0}}%
\scalebox{.99}[0.17]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){3.2}{0}{180}}%
\scalebox{.99}[0.17]{ \psarc[linewidth=2pt](0,6.8){3}{180}{0}}%
\scalebox{.99}[0.17]{\psarc[linestyle=dashed](0,6.8){3}{0}{180}}%
\pscurve(-1,-0.5)(-0.95,0.7)(-0.7,2)(-0.45,2.7)(0,3.2)
\qdisk(0,0){1.5pt} \uput[dr](0,0){O}
\qdisk(-1,-0.5){1.5pt} \uput[dl](-1,-0.5){M}
\qdisk(-0.94,0.7){1.5pt} \uput[ul](-0.94,0.7){L}
\qdisk(0,1.63){1.5pt} \uput[ur](0,1.63){S}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(-1,-0.5)
\pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(0,1.63)(-0.94,0.7)
\psline[linestyle=dashed](-3,1.2)(3,1.2)
\pscurve(-0.3,0.2)(-0.2,0.3)(0,0.36)
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.5\textwidth}{Le dessin ci-contre représente la Terre qui est assimilée à une sphère de \np{6370}~km de rayon. Le cercle de centre O passant par M représente l'équateur. Le point L représente la ville de Londres. L est situé sur la sphère et sur le cercle de centre S (voir figure). On admettra que l'angle $\widehat{\text{LSO}}$ est un angle droit. On donne OS = \np{4880}~km.
\begin{enumerate}
\item Calculer SL au km près.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{SOL}}$ et arrondir au degré prés. 
\item En déduire au degré près la latitude Nord de Londres par rapport à l'équateur, c'est à dire l'angle $\widehat{\text{LOM}}$.
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\SpecialCoor
\psarc(0,0){4mm}{0}{45} \rput(0.8;22.5){45 \degre}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\qdisk(1,0){1.5pt} \uput[d](1,0){I}
\uput[dl](0,0){O} 
\qdisk(0,1){1.5pt} \uput[l](0,1){J}
\psline(2.4;0)(2.4;45)(2.4;90)(2.4;135)(2.4;180)(2.4;225)(2.4;270)(2.4;315)(2.4;0)
\uput[ur](2.4;0){A} \uput[ur](2.4;45){T} \uput[ul](2.4;90){Y} \uput[ul](2.4;135){U} 
\uput[ul](2.4;180){H} \uput[dl](2.4;225){L} \uput[dr](2.4;270){G} \uput[dr](2.4;315){N} 
\psline(2.4;0)(2.4;180) \psline(2.4;45)(2.4;225) \psline(2.4;135)(2.4;315)
\uput[d](3,0){$x$} \uput[l](0,3){$y$}
\NormalCoor
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.5\textwidth}{Dans le repère (O, I, J) ci-contre, on sait que HUYTANGL est un octogone régulier.
\begin{enumerate}
\item Quel est le symétrique de T par la symétrie centrale de centre O ?
\item Quel est le symétrique de T par rapport à l'axe des ordonnées ?
\item Quelle est l'image de T par la rotation de centre O et d'angle  135 \degres dans le sens des aiguilles d'une montre ?
\item Quelle est l'image de U par la translation de vecteur $\vect{\text{AN}}$ ?
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Tracer un triangle OAI que OA = 5 cm, OI = 7,5 cm et AI = 6 cm.

Sur la demi-droite [OA), placer B tel que OB =  7 cm.
 
Sur la demi-droite [OI), placer J tel que OJ = 10,5 cm.

\medskip

\item Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont parallèles.
\item Calculer la longueur BJ.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} 

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J).

L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction affine $f$ telle que : $f(4) = - 2$ et $f(0) = 6$.
\item En utilisant les points A$(4 ~;~ -2)$ et B(0 ; 6), tracer la représentation graphique de la fonction affine $f$.
\item Soit $g$ la fonction affine définie par $g(x) = \dfrac{1}{2}x + 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite (d) représentant graphiquement la fonction $g$. 
		\item Montrer que C$(- 4~ ;~- 1)$ appartient à (d) et placer le point C.
	\end{enumerate}
\item Résoudre par le calcul le système suivant :	

\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&- 2x + 6\\
y&=&\phantom{-}\dfrac{1}{2}x + 1\\
\end{array}\right.\]

Expliquer comment on peut retrouver graphiquement le résultat.
\item Montrer que le point E(2 ; 2) est le milieu du segment [AB].
\item Calculer les valeurs exactes des longueurs AE, EC et AC.

 Montrer que le triangle AEC est rectangle.
\item Construire le point F symétrique du point C par rapport à E.
 
Montrer que ACBF est un losange.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%  Fin Polynésie septembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud novembre 2005
\hypertarget{AmeriqueSud}{}
 
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{novembre 2005}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Sud  novembre 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Voici quatre calculs

\[\begin{array}{l cl}
\text{A} = \dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7} \times\dfrac{1}{6}&\quad ; \quad &\text{B} = \sqrt{50} + 3\sqrt{2}\\
\text{C} = \left(1 + 2 \sqrt{3}\right)^2&\quad ; \quad &	\text{D} = \sqrt{\np{1681}} - \sqrt{81}\\
\end{array}\]

Les résultats de Chloé sont les suivants :

\[\text{A} = \dfrac{1}{14}\quad ;\quad \text{B} =8\sqrt{2}\quad ;\quad \text{C}
 = 13+4\sqrt{3} \quad ;\quad \text{D} = 40.\]
Les résultats de Chloé sont-ils justes ou faux ?

Justifier les réponses en détaillant les étapes de chaque calcul.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $E = x^2 - 4$ et $F = (x + 2)(3x + 1) - (x + 2)(2x + 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $E$ pour $x = 0$, puis pour $x = 1$ ; calculer $F$ pour $x = 0$, puis pour $x = 1$.
\item  En factorisant $E$ et en factorisant $F$, prouver que $E = F$ quelle que soit la valeur de $x$.
\item  Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $E = 0$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire le tableau ci-dessous et compléter chaque case par oui ou par non.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{2}{c|}c|}\hline
&$\quad 2 \quad$&$\quad 5 \quad$&$ \quad 9 \quad $ \\\hline
\np{1035} est divisible par & & & \\\hline
774 est divisible par & & & \\\hline 
322 est divisible par & & & \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item D'après ce tableau, les fractions	$\dfrac{774}{\np{1035}}$  et  $ \dfrac{322}{774}$ sont-elles irréductibles ?

Pourquoi?
	\end{enumerate}
\item Calculer le PGCD de $322$ et \np{1035} par la méthode de votre choix.

La fraction $\dfrac{322}{\np{1035}}$  est-elle irréductible
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $x+ 15 \geqslant \dfrac{2}{3}(x+27)$.
\item Un bureau de recherche emploie 27 informaticiens et 15 mathématiciens. On envisage d'embaucher le même nombre $x$ d'informaticiens et de mathématiciens.

Combien faut-il embaucher de spécialistes de chaque sorte pour que le nombre de mathématiciens soit au moins égal aux deux tiers du nombre d'informaticiens ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.53\textwidth}{\textsl{On considère la figure ci-contre qui
n'est pas en vraie grandeur}.

Les segments (KL] et DM] se coupent au point I.

IK =  4 cm ; JK = 2,4 cm et LM = 4,2cm.	
Le triangle IJK est rectangle en K.
Le triangle LIM est rectangle en M.}
\hfill
\parbox{0.37\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5.2,3)
\pspolygon(0,0.8)(4.7,3)(5.2,2)(0.2,2.7)%LKJM
\psline(0.2,2.5)(0.38,2.47)(0.42,2.68)
\psline(4.55,2.92)(4.62,2.8)(4.77,2.87)
\uput[d](0,0.8){L} \uput[u](4.7,3){K} \uput[d](5.2,2){J} \uput[u](0.2,2.7){M} \uput[d](3.1,2.3){I} 
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item  Calculer la valeur exacte de la tangente de l'angle $\widehat{\text{KIJ}}$.
\item  Pourquoi les angles $\widehat{\text{KIJ}}$ et $\widehat{\text{LIM}}$ sont-ils égaux ?
\item  Donner l'expression de la tangente de l'angle $\widehat{\text{LIM}}$ en fonction de IM.
\item  En s'aidant des réponses aux questions précédentes, prouver que la longueur IM en centimètres est un nombre entier.
\item  Déterminer l'arrondi su degré de l'angle $\widehat{\text{KIJ}}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.48\textwidth}{Une calotte sphérique est un solide obtenu en sectionnant une sphère par un plan.

Un doseur de lessive liquide, représenté ci-contre, a la forme d'une calotte sphérique de centre O et de rayon R = OA =  4,5 cm.

L'ouverture de ce récipient est délimitée par le cercle de centre H et de rayon HA =  2,7 cm.

La hauteur totale de ce doseur est HK.}\hfill
\parbox{0.48\textwidth}{\psset{unit=1.1cm}\begin{pspicture}(6,5)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}
\pswedge[linecolor=white](2.5,2.5){2.5}{60}{120}
\psline[linestyle=dashed](2.5,2.5)(3.33,4.8)(2.5,4.6)(2.5,0)
\psellipse(2.5,4.6)(1.25,0.35)
\uput[ur](3.33,4.8){A} \uput[u](2.5,4.6){H} \uput[l](2.5,2.5){O} \uput[d](2.5,0){K} \uput[r](5.5,2.5){$h$}
\psline[linewidth=0.5pt](3.33,4.8)(5.5,5.4)
\psline[linewidth=0.5pt](2.5,0)(5.5,0.6)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.5,0.6)(5.5,5.4)
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dessiner en vraie grandeur le triangle AHO.
\item  Calculer OH en justifiant puis en déduire que la hauteur totale HK du doseur mesure exactement 8,1 cm.
\item  Le volume V d'une calotte sphérique de rayon R et de hauteur h est donné par la formule :

\[\text{V} = \dfrac{1}{3}\pi h^2(3R - h).\]

Calculer en fonction de $\pi$ le volume exact du doseur en cm$^3$. En déduire la capacité totale arrondie au millilitre du doseur.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\emph{Le plan est rapporté à un repère orthonormé} (O ; I, J) ; OI = OJ =  1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer les points

\begin{center}	A(3 ; 0) ; 8(4 ; 3) ; 	C$(-4,5~;~0)$ et	D$(-6~;~- 4,5)$.\end{center}

On admet que les points B, O et D sont alignés.
\item  Donner sans justifier les longueurs CA et OC.

Montrer que OB = 5 cm et OD = 7,5 cm.
\item  Prouver que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 
\item  Calculer les coordonnées de M milieu de (AB].

Placer le point M. Tracer la droite (OM) ; elle coupe le segment [CD] en N.
\item  La propriété de Thalès permet d'écrire :

\[	\text{d'une part} \quad \dfrac{\text{OC}}{\text{OA}} = \dfrac{\text{CN}}{\text{AM}}, \quad  \text{et d'autre part}\quad  \dfrac{\text{OC}}{\text{OA}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{AB}}\]

Quels sont les deux triangles considérés dans le premier cas ? dans le deuxième cas ?
\item  En utilisant les deux égalités précédentes et en remplaçant AB par 2AM, prouver que N est le milieu de [CD].
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

$x$ \textsl{est un nombre positif compris entre $0$ et $10$ ; les longueurs sont exprimées en cm et les aires en cm}$^2$.

\medskip

\textsc{Première partie}

\medskip

\textsc{La figure ci-dessous est effectuée à main levée. Il s 'agit de savoir s'il existe une valeur de $x$ pour laquelle ABC est un triangle rectangle.}

\medskip

\parbox{0.6\textwidth}{\begin{enumerate}
\item  Calculer AB et AC lorsque $x = 4$. Lorsque $x = 4$, ABC est-il un triangle rectangle ? Justifier la réponse.
\item  Développer et réduire :
	$(x+7)^2$ et $(x+8)^2$. En déduire :
	AB$^2 - \text{AC}^2 = 2x +15$. Quelle est la valeur de AB$^2 - \text{AC}^2$ lorsque $x = 0$, lorsque $x = 10$ ? La valeur de BC$^2$ dépend-elle du nombre $x$ ?
	\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.33\textwidth}{\begin{pspicture}(4,2.5)
\pspolygon(0,0)(3.6,0)(1.7,1.6)%ABC
\uput[l](0,0){A} \uput[r](3.6,0){B} \uput[u](1.7,1.6){C} \rput{42}(0.85,1.05){$x + 7$} \rput{-35}(2.7,1.15){$5$} \uput[d](1.8,0){$x + 8$} 
\end{pspicture}}	
\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}]  Soit $f$ la fonction constante : $x \longmapsto 25$ et $g$ la fonction affine : $x \longmapsto 2x+ 15$.

La représentation graphique de la fonction $f$est tracée dans le repère ci-après. Construire la représentation graphique de la fonction $g$ dans ce même repère.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.225cm}
\begin{pspicture}(15,40)
\multido{\n=0+0.5}{31}{\psline[linestyle=dotted,dotsep=1pt](\n,0)(\n,40)}
\multido{\n=0+2.5}{17}{\psline[linestyle=dotted,dotsep=1pt](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(15,40)
\psline(0,25)(15,25)
\uput[d](15,0){$x$} \uput[l](0,40){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\item[\textbf{4.}] Nommer R le point d'intersection des représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$. Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles, donner les coordonnées de R. Lorsque $x$ est égal à l'abscisse de R, ABC est un triangle rectangle ; en quel sommet et pourquoi ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsc{Deuxième partie}

\medskip

Dans cette partie, $x = 5$. Le triangle ABC est alors rectangle en C ; il est représenté en réduction sur la figure ci-dessous.

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=0.333cm}\begin{pspicture}(36,12)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white]
\pspolygon[linewidth=1.5pt](13,4)(25,4)(13,9)%CAB
\uput[dl](13,4){C} \uput[dr](25,4){A} \uput[ul](13,9){B} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Placer le milieu O de [AC] puis calculer l'aire de chacun des triangles ABC, BCO et ABO,
\item  Placer le point D tel que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Quel est le rôle du point O pour le segment [BD] ? Pourquoi ? Calculer l'aire du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textsc{Troisième partie}

\medskip

\textsl{Dans cette partie, utiliser la figure précédente.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire les points M et P tels que :
\[\vect{\text{OM}}= \vect{\text{OB}}+ \vect{\text{OC}}\quad \text{et}\quad \vect{\text{BP}} = \vect{\text{BO}} + \vect{\text{BC}}.\]
\item  Citer, sans justifier, les images des points B, O et D par la translation
de vecteur $\vect{\text{OC}}$.

Les points M, C et P sont-ils alignés ? Pourquoi ?
\item  Construire l'image E de C par la translation de vecteur $\vect{\text{OC}}$ et tracer en vert l'image du parallélogramme ABCD par la translation de vecteur $\vect{\text{OC}}$.

Quelle est l'aire du quadrilatère POME ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  Fin Amérique du Sud novembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%  Nouvelle-Calédonie décembre 2005
\hypertarget{Caledonienov}{}

\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet
 Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\[5pt]Décembre 2005}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{$4$ points sur $40$ sont attribués à la rédaction et à la présentation}

\vspace{0,25cm}


\textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Dans cette partie, les calculs devront être détaillés.}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et $B$ et donner les résultats sous forme
  fractionnaire la plus simple possible:

\begin{multicols}{2}    
\[\text{A}=4 - 4\div \dfrac{16}{3}\]
\[\text{B} = \dfrac{14\times 10^5 \times 35 \times 10^{-3}}{21 \times 10^3}\]
  \end{multicols}

\item Écrire $C$ sous la forme $a \sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des
  entiers, $b$ étant le plus petit possible :
  \[
  \text{C} = 2\sqrt{32} - \sqrt{5} \times \sqrt{10}
  \]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Soit $D = (x - 3)(3x - 1) - (3x - 1)^2$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $D$
\item Développer et réduire $D$.
\item Résoudre l'équation $(3x-1)(x+1)=0$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Voici les résultats d'un sondage effectué dans une classe de
troisième concernant les moyens de transport utilisés par ces élèves
pour venir au collège.

Recopier et compléter le tableau suivant puis construire un
diagramme circulaire de $3$\ cm de rayon :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Voiture&Bus&À pied&Booster&total\\
\hline
Fréquence&45\%&25\%&20\%&10\%&\\
\hline
Angle&&&&&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD des nombres \np{1547} et \np{1729}.
\item Écrire sous forme fractionnaire irréductible la fraction
  suivante : $\dfrac{\np{1547}}{\np{1729}}$
\end{enumerate}

\pagebreak

\textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points)}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Le plan est muni d'un repère (O, I, J).

\emph{L'unité de longueur est le centimètre}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un tel repère, placer les points : A$(3~;~- 2)$ ; B(1~;~2)
  ; C$(- 3~;~0)$.
\item Calculer la valeur exacte de AB.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que BC$ =\sqrt{20}$, en déduire que ABC est un  triangle isocèle.
		\item Sachant de plus que AC$=\sqrt{40}$, prouver que ABC est un  triangle rectangle.
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment
  [AC]. Placer M.
\item Construire le point D symétrique du point $B$ par rapport au
  point $M$.
  
Calculer les coordonnées du point D.
\item Prouver que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
\item En déduire la nature exacte du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le millimètre.}

Soit ABCH un trapèze rectangle en A et H.

(HB) et (BC) sont des droites perpendiculaires.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,3.5)
\pspolygon(0,0)(6,0)(4.8,2.4)(0,0)(0,2.4)(4.8,2.4)
\uput[ul](0,2.4){A} \uput[ur](4.8,2.4){B} \uput[dr](6,0){C} \uput[dl](0,0){H}
\uput[l](0,1.2){36} \uput[u](2.4,2.4){48}
\psframe(0,0)(0.2,0.2) \psframe(0,2.4)(0.2,2.2) \psline(4.68,2.35)(4.75,2.22)(4.85,2.27)
\end{pspicture}
\end{center}
(Ce schéma n'est donné qu'à titre indicatif)

\begin{enumerate}
\item Construire la figure sachant que AH = 36 et AB = 48.
\item Calculer HB. 
\item Calculer $\cos \widehat{\text{AHB}}$
\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{AHB}}$, puis de l'angle  $\widehat{\text{BHC}}$ arrondies à 1~\degres{} près.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Un club de sport propose à ses clients trois types de tarif :

\begin{itemize}
\item Tarif 1 : le paiement de \np{1000} F pour chaque séance.
\item Tarif 2 : le paiement d'une carte mensuelle de \np{4000} F auquel  s'ajoute 500 F par séance suivie.
\item Tarif 3 : un abonnement mensuel de \np{11500} F.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Monsieur Bob Iscotto prévoit de participer à $10$ séances par
  mois.
  
Calculer sa dépense avec chacun des tarifs.
\item Monsieur Ray Gimesseq ne sait pas combien de séances il suivra
  dans le mois.
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $x$ le nombre de séances suivies dans le mois.
  
Exprimer en fonction de $x$, les prix $P_1,~ P_2,~ P_3$ à payer dans   chacun des trois cas.
		\item Tracer sur papier millimétré, dans un repère orthogonal, les
  représentations graphiques des fonctions $t_1$ et $t_2$ telles que :
  
\[t_1(x)= \np{1000}x \  ;\  t_2(x) = 500x + \np{4000}.\]

On prendra \textbf{$1$\ cm pour $2$ séances} en abscisse et
  \textbf{$1$\ cm pour \np{1000}} F  en ordonnée.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système : $\left\{ 
      \begin{array}{l}
        y= \np{1000}x\\
        y=500x + \np{4000}
      \end{array}\right.$
		\item Recopier et compléter la phrase suivante : \og Graphiquement, la solution de ce système correspond à l'endroit où \ldots \ldots \fg{}.
		\item À partir de combien de séances, le tarif 2 est-il plus
  avantageux que le tarif 1 ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $500x + \np{4000} \geqslant \np{11500}$
		\item À partir de combien de séances, le tarif 3 est-il plus
  avantageux que le tarif 2 ?
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter les phrases suivantes :

\og De zéro à \ldots séances, M. Ray Gimesseq devrait choisir le tarif
\ldots \fg{}.

\og De \ldots  à \ldots séances, M Ray Gimesseq devrait choisir le
tarif \ldots \fg{}.

\og À partir de \ldots  séances, M. Ray Gimesseq devrait choisir le
tarif \ldots \fg{}.

\medskip

M. Ray Gimesseq vous remercie pour vos conseils !
\end{enumerate}
%%%%%%%%%   Fin Nouvelle-Calédonie décembre 2005

%\textbf{L'équation du second degré}
%
%\medskip
%
%$ a \ne 0$ ; $ax^2 + bx + c = 0$
%
%$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0$ ;
%
%$4a^2x^2 + 4abx + b^2 + 4ac = b^2$ ;
%
%$\left(2ax + b\right)^2 = b^2 - 4ac$ ; 
%
%ensuite discussion classique sur le signe de $\Delta = b^2 - 4ac$ :
%
%$\bullet~~$ si $\Delta > 0$ : $\left(2ax + b\right)^2 - \left(\sqrt{\Delta} \right)^2 = 0$ ;
%
%$\left(2ax + b + \sqrt{\Delta} \right)\left(2ax + b - \sqrt{\Delta} \right) = 0 \ldots $
%
%$x = \dfrac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}\quad \text{ou } \quad x = \dfrac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
\end{document}