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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'intégrale 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges 2006 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2006  à mars 2007}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large  \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry  avril 2006} \dotfill \pageref{Pondichery}\medskip

\hyperlink{Afrique}{Afrique juin 2006} \dotfill \pageref{Afrique} \medskip

\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2006} \dotfill \pageref{AmeriqueNord}\medskip

\hyperlink{Antilles}{Antilles juin 2006}\dotfill \pageref{Antilles} \medskip

\hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2006}  \dotfill \pageref{Etranger} \medskip

\hyperlink{Nancy}{Groupement Est juin 2006} \dotfill \pageref{Nancy} \medskip

\hyperlink{Paris}{Groupement Nord juin 2006} \dotfill \pageref{Paris} \medskip

\hyperlink{Bordeaux}{Groupement Ouest juin  2006}  \dotfill \pageref{Bordeaux} \medskip

\hyperlink{Aix}{Groupement Sud juin  2006}  \dotfill \pageref{Aix} \medskip

\hyperlink{Guyane}{Guyane juin 2006}\dotfill  \pageref{Guyane}\medskip

\hyperlink{Madagascar}{Madagascar, Asie juin 2006}\dotfill  \pageref{Madagascar}\medskip

\hyperlink{Polynesie} {Polynésie juin 2006} \dotfill  \pageref{Polynesie}\medskip

\hyperlink{Antillessep}{Antilles--Guyane septembre  2006} \dotfill \pageref{Antillessep}  \medskip
  
\hyperlink{Estsep}{Groupement Est septembre  2006}  \dotfill \pageref{Estsep} \medskip

\hyperlink{Nordsep}{Groupement Nord  septembre  2006}  \dotfill \pageref{Nordsep} \medskip  

\hyperlink{Ouestsep}{Groupement Ouest septembre  2006}  \dotfill \pageref{Ouestsep} \medskip

\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie septembre 2006} \dotfill  \pageref{Polynesiesep}\medskip

\hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2006} \dotfill \pageref{AmeriqueSud}  \medskip
 
\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie décembre 2006}  \dotfill \pageref{Caledonienov} \medskip

\hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle--Calédonie mars 2007}  \dotfill \pageref{Caledoniemars}\medskip}

 \newpage
 ~ 
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Pondichéry avril 2006
\hypertarget{Pondichery}{}

\label{Pondichery}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{Brevet des collèges}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{~Brevet Pondichéry avril 2006}}
 \end{center}

\vspace{0,25 cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne : A $=	\dfrac{6}{3} -  \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}$ ~et  B $ = \dfrac{5 \times 10^8\times 4}{0,25 \times 10^{-4}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner A sous la forme d'une fraction irréductible en précisant toutes les étapes des calculs.
\item  Donner l'écriture scientifique de B en précisant toutes les étapes des calculs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans cet exercice, toutes les longueurs sont données en cm.
La mesure du côté du carré est $\sqrt{3}+3$. Les dimensions du rectangle sont $\sqrt{72} + 3\sqrt{6}$ et $\sqrt{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du carré ; réduire l'expression obtenue. 
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}'$ du rectangle.
\item Vérifier que $\mathcal{A} = \mathcal{A}'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2y& =& 66\\
x + 3y &=& 57\\
\end{array}\right.\]
\item  Vérifier que pour la solution $(x~;~y)$ trouvée, on a  $\dfrac{x}{y}=
\dfrac{4}{5}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Voici le diagramme en bâtons des notes obtenues par une classe de Troisième de $25$ élèves au dernier devoir de mathématiques

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,6)
\psaxes[Ox=7]{->}(0,0)(11,6)
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(11,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt](1,0)(1,2)
\psline[linewidth=1.5pt](2,0)(2,3)
\psline[linewidth=1.5pt](3,0)(3,1)
\psline[linewidth=1.5pt](4,0)(4,3)
\psline[linewidth=1.5pt](5,0)(5,5)
\psline[linewidth=1.5pt](6,0)(6,4)
\psline[linewidth=1.5pt](7,0)(7,1)
\psline[linewidth=1.5pt](8,0)(8,3)
\psline[linewidth=1.5pt](9,0)(9,2)
\psline[linewidth=1.5pt](10,0)(10,1)
\uput[d](12,0){Notes}\uput[l](0,6){Effectifs}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la moyenne des notes.
\item  Déterminer la médiane des notes.
\item  Calculer le pourcentage des élèves ayant obtenu une note strictement supérieure à 13.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en A tel que:
AC = 3 et BC = 6.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Faire la figure; la compléter au fur et à mesure.
\item  Calculer la valeur exacte de AB.
\item  Calculer $\cos \widehat{\text{ACB}}$  ; en déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
\item  Tracer la médiatrice du segment [BC] ; elle coupe la droite (AC) en E et la droite (AB) en O. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle BEC est isocèle, puis démontrer qu'il est équilatéral. 
		\item Démontrer que la droite (BA) est la médiatrice du segment [EC]. 
		\item Citer deux transformations du plan par lesquelles le triangle BCO a pour image le triangle BOE ; en préciser les éléments caractéristiques.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.7\textwidth}{Un tronc d'arbre a la forme d'un cylindre de $5$ m de hauteur, dont la base est un disque de centre O et de $20$ cm de rayon.

Dans ce tronc, on veut tailler une poutre parallélépipédique de $5$ m de hauteur dont la base est un carré ABCD, de centre O et de 40 cm de diagonale.} \hfill
\parbox{0.28\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,4)
\pscircle(2,2){2}
\psframe(0.5858,0.5858)(3.41421,3.41421)
\psline[linestyle=dashed](0.5858,0.5858)(3.41421,3.41421)
\psline[linestyle=dashed](0.5858,3.41421)(3.41421,0.5858)
\uput[ul](0.5858,3.41421){A}  \uput[dl](0.5858,0.5858){D}  \uput[dr](3.41421,0.5858){C}  \uput[ur](3.41421,3.41421){B}  \uput[u](2,2){O}  
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item  Calculer le volume exact du tronc d'arbre puis son arrondi au cm$^3$.
\item  Montrer que l'aire du triangle AOB est égale à 200 cm$^2$ ; en déduire l'aire du carré ABCD, puis le volume de la poutre.
\item  Calculer le pourcentage de bois utilisé. Arrondir à l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé, placer les points A(2~;~4), B(8~;~8), C(10~;~5) et D(4~;~1).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et   $\vect{\text{DC}}$.
		\item Calculer les longueurs AC et DB. 
		\item Préciser la nature du quadrilatère ABCD.
	\end{enumerate}
\item On appelle K le point d'intersection des diagonales du quadrilatère ABCD. Déterminer les coordonnées du point K.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

ABC est un triangle tel que :
\[\text{AB = 5 cm, AC = 10 cm et BC = 8 cm.}\]

\medskip

\textbf{\textsc{Première partie}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Première figure}

Dessiner le triangle ABC ; placer le point E du segment [AB] tel que
	BE = 3 cm ;  tracer la parallèle à la droite (AC) passant par E ; elle coupe [BC] en F.
\item  Calculer les longueurs FE et BF.
\item  Calculer la longueur FC.

Le triangle EFC est-il isocèle en F ?
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{\textsc{Deuxième partie}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  \textbf{Deuxième figure}

Dessiner le triangle ABC ; placer un point E du segment [AB]. Tracer la parallèle à la droite (AC) passant par E ;  elle coupe [BC] en F. On note $x$ la longueur BE  ; on a donc $0 \leqslant x \leqslant 5$.
\item  Exprimer les longueurs FE et BE en fonction de $x$ ; en déduire que

\[\text{FC} = 8 - 1,6x.\]

\item  Résoudre l'équation $8 - 1,6x = 2x$. Donner la solution sous la forme d'une fraction irréductible.
\item  On prend pour $x$ la valeur trouvée à la question précédente.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le triangle EFC est isocèle de sommet F.
		\item Prouver que la droite (CE) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{\textsc{Troisième partie}}

\medskip
 
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :

\[f(x) = 2x \quad\text{et}\quad g(x) = 8  - 1,6x.\]

\begin{enumerate}
\item Construire les représentations graphiques de $f$ et $g$ dans le repère fourni ci-après en se limitant à des valeurs de $x$ comprises entre 0 et 5.
\item Utiliser ces graphiques pour déterminer un encadrement par deux nombres entiers consécutifs de la solution trouvée dans la question 3 de la deuxième partie ; laisser apparents les traits utilisés pour répondre à cette question.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(6,12)
\psaxes[Dx=10,Dy=15]{->}(0,0)(6,12)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2]
\uput[d](6,0){$x$} \uput[l](0,12){$y$}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   Fin Pondichéry avril 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%   Afrique juin 2006
\hypertarget{Afrique}{}

\label{Afrique}
\lfoot{\small{Afrique}}
\rfoot{juin 2006}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\lfoot{\small{Afrique}}
\rfoot{Brevet des collèges}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\gray ~Brevet Afrique juin 2006 }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{\gray Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner les résultats sous forme irréductible (aucun détail des calculs n'est exigé) :

\[\text{A} = \dfrac{7}{2} - \dfrac{5}{2} \times\dfrac{1}{5}\quad\text{et} \quad\text{B} = \dfrac{3\times10^5 \times2 \times10^{-4}}{9\times10}.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Sans calculer leur PGCD, dire pourquoi les nombres $648$ et $972$ ne
sont pas premiers entre eux.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer PGCD (972 ;  648).
		
En déduire, l'écriture irréductible de la fraction $\dfrac{648}{972}$.
		\item Prouver que	$\sqrt{648} + \sqrt{972} = 	18\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

 \textbf{Exercice 3}
 
 \medskip
 
On considère l'expression $E =  (x+ 2)(x - 3) + (x- 3)$.
\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $E$.
\item Calculer $E$ pour $x = 3$, puis pour $x =\sqrt{2}$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $x^2 - 9 =  0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{Exercice 4}
 
 \medskip
 
En 2004, une entreprise a augmenté ses ventes de 30\,\%. En 2005, les ventes ont encore augmenté, cette fois-ci de 20\,\%. Calculer l'augmentation globale en pourcentage sur ces deux années.

\bigskip

 \textbf{\textsc{\gray Activités géométriques} \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}
Les figures demandées seront tracées sur une feuille quadrillée.
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\smallskip

\begin{center}\begin{pspicture}(7,5)
\psline(0,3.52)(5.9,5)(6.5,2.7)(5.05,0.4)(0,3.52)(6.5,2.7)
\qdisk(3.25,3.1){1.5pt}
\uput[l](0,3.52){A} \uput[ur](5.9,5){C} \uput[r](6.5,2.7){B} \uput[d](5.05,0.4){D} \uput[d](3.25,3.1){O}
\uput[u](2.8,4.5){63 cm} \uput[u](4.5,3){65 cm}	
\uput[r](6.2,4){$x$} \uput[d](2.2,2){56 cm}
\uput[dr](5.8,1.5){33 cm}
\psline(5.6,4.93)(5.7,4.6)(5.96,4.68)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire un dessin à l'échelle 1/10. Vous laisserez visibles les traits de construction.
\item Calculer $x$.
\item Démontrer que ABD est rectangle. Vous préciserez en quel point.
\item O est le milieu de [AB]. Montrer que OC = OD.
 \end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

 \textbf{Exercice 2}
 
 /smallskip
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,4)
\pspolygon(0,1.45)(3.05,1.9)(4.6,4)(6.1,0.2)
\psline(4,3.25)(4.97,0.8)(1.2,1.65)
\psline(3.05,1.9)(6.1,0.2)
\uput[l](0,1.45){C$'$} \uput[ul](1.2,1.65){C} \uput[ul](3.05,1.9){O} \uput[r](4,3.25){A} 
\uput[r](4.6,4){A$'$} \uput[ur](4.97,0.8){B} \uput[dr](6.1,0.2){B$'$} 
\end{pspicture}
\end{center}

 Les points O, A et A$'$ sont alignés.\\
Les points O, B et B$'$ sont alignés.\\
Les points O, C et C$'$ sont alignés.\\
Sur le dessin ci-après :\\
(AB)//(A$'$B$'$) et (BC)//(B$'$C$'$)\\
OB = 4 cm ; OB$'$ = 5 cm\\
OA =3 cm ; OC$'$ =  6 cm

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer OC.
\item Calculer OA$'$.
Démontrer que (AC) // (A$'$C$'$).
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

 \textbf{Exercice 3}

\medskip

Un prisme ayant pour base un triangle rectangle est représenté ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(5,5)
\psline(4.7,5)(3.2,4)(0,5)(4.7,5)(4.7,1.6)(3.2,0.2)(0,1.2)(0,5)
\psline(3.2,0.2)(3.2,4)
\psline[linestyle=dashed](0,1.6)(4.7,1.6)
\psline(2.8,4.1)(3.1,4.3)(3.43,4.18)
\psline(2.8,0.3)(3.1,0.5)(3.43,0.38)
\uput[d](1.6,0.8){4 cm}  \uput[d](4.4,0.9){3 cm}  \uput[r](4.7,3.3){4 cm}  
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Combien a-t-il d'arêtes ? de faces ? de sommets ?
\item Quel est le volume de ce prisme?
\item Tracer un patron de ce prisme en vraie grandeur.
\end{enumerate}

\newpage

 \textbf{\textsc{\gray Problème} \hfill 12 points}

\medskip

 Lors d'une de ses tournée, le chanteur Philibert Collin utilisa une scène en forme de chapiteau une pyramide régulière à base hexagonale dont les faces latérales s'ouvrirent au début du concert et se refermèrent à la fin.

\bigskip

\textbf{PREMI\`ERE PARTIE :  LA BASE HEXAGONALE}

\medskip

La scène est un hexagone régulier (voir figure ci-dessous) inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 10 m.\\
\parbox{0.67\textwidth}{\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Démontrer que OAB est un triangle équilatéral.
\item En déduire le périmètre de la scène.
 \end{enumerate}
\item Démontrer que OABC est un losange.
\item \begin{enumerate}
\item  Démontrer que FAC est un triangle rectangle.
\item Calculer AC. (On donnera la valeur exacte et une valeur approchée arrondie au centième.)
\end{enumerate}
\item Calculer l'aire de la scène. (On donnera la valeur exacte et une valeur approchée arrondie au centième.)
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.31\textwidth}{\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\SpecialCoor
\pspolygon(2;0)(2;60)(2;120)(2;180)(2;240)(2;300)(2;0)
\psline(2;0)(2;180) \psline(2;60)(2;240) \psline(2;120)(2;300)
\uput[r](2;0){C} \uput[ur](2;60){D} \uput[ul](2;120){E} \uput[l](2;180){F} 
\uput[dl](2;240){A} \uput[dr](2;300){B} \uput[ur](0;0){O} 
\pscircle[linestyle=dashed](0;0){2}
\pswedge{4mm}{240}{300}
\rput(0.6;270){$60^{\circ}$}
\end{pspicture}}

\bigskip

 \textbf{DEUXIÈME PARTIE :  LA PYRAMIDE}
 
 \medskip
 
Avant et après le spectacle, on observe une pyramide SABCDEF, de sommet
 S et dont la base est l'hexagone régulier ABCDEF. On supposera,
dans cette partie, que l'aire de ABCDEF est égale à 259,8~m$^2$.

La hauteur SO de cette pyramide mesure 4 m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le volume de cette pyramide.

 On donnera la réponse en m$^3$.
\item Calculer SA.
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,4.2)
\pspolygon(0,1.05)(2.8,0.1)(4.8,1.15)(4.8,3)(2.8,4)(1.9,4)(0,2.9)
\psline(0,1.05)(2.8,4)(2.8,0.1)
\psline(4.8,1.15)(2.8,4)(4.8,3)
\psline(2.8,4)(0,2.9)
\psline[linestyle=dashed](0,1.05)(4.8,3)
\psline[linestyle=dashed](2.8,0.1)(1.9,4)
\psline[linestyle=dashed](4.8,1.15)(0,2.9)
\psline[linestyle=dashed](2.4,2)(2.8,4)
\psline(2.15,1.92)(2.24,2.2)(2.45,2.32)
\uput[dl](0,1.05){A} \uput[d](2.8,0.1){B} \uput[dr](4.8,1.15){C} \uput[ur](4.8,3){D} 
\uput[u](2.8,4){S} \uput[ul](1.9,4){E} \uput[ul](0,2.9){F} \uput[d](2.3,2){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\item Calculer le volume d'une maquette à l'échelle $\dfrac{1}{20}$ de cette pyramide.

On choisira une unité appropriée pour donner la réponse.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%   Fin Afrique juin 2006
\newpage
%%%%%%%%   Amérique du Nord juin 2006
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\label{AmeriqueNord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord juin 2006~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les deux expressions :
	
\[\text{A}= \left(\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{5}{2}\qquad 	\text{et} \qquad 	\text{B}= \dfrac{16\times10^{-1}\times 2}{\left(10^3\right)^2 \times10^{-8} \times 80}\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
		\item Vérifier que B est un nombre entier. Écrire les étapes du calcul.
		\item Brice affirme que \og A est l'opposé de B \fg. Est-ce vrai ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On considère les deux expressions :
\[ \text{C} = 2\sqrt{24} + \sqrt{96} - \sqrt{600} \qquad \text{et}\qquad  \text{D} = \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3} + 5\sqrt{2}\right)\]		
	\begin{enumerate}
		\item Mettre C sous la forme $a\sqrt{6}$ avec $a$ entier relatif.
		\item Développer et réduire D.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $E = 4x^2 + 8x - 5$. Calculer $E$ pour $x=0,5$.
\item Soit $F = (2x+2)^2 - 9$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $F$.
		\item Factoriser $F$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $(2x - 1)( 2x + 5 ) = 0$.
		\item Quelles sont les valeurs de $x$ qui annulent $E$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 60 est-il solution de l'inéquation $2,5 x - 75 > 76$ ?
		\item Résoudre l'inéquation et représenter les solutions sur un axe.
		
Hachurer la partie de l'axe qui ne correspond pas aux solutions.
	\end{enumerate}
\item Pendant la période estivale, un marchand de glaces a remarqué qu'il dépensait 75~\euro{} par semaine pour faire, en moyenne, 150 glaces.

Sachant qu'une glace est vendue 2,50~\euro, combien doit-il vendre de glaces, au minimum,
dans la semaine pour avoir un bénéfice supérieur à 76 \euro ?\\
On expliquera la démarche.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Pour les deux exercices les figures ne sont pas en vraie grandeur et on ne demande pas de les reproduire.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}} 

(O, I, J) est un repère orthonormé d'unité le centimètre.

\medskip

\parbox{0.55\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Lire les coordonnées des points E et F.
		\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{EF}}$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Lire les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{FL}}$ et $\vect{\text{HG}}$.
		\item En déduire la nature de FLGH.
	\end{enumerate}
\item Préciser la position de F sur le segment [EL]. Justifier.
\item Recopier et compléter l'égalité 

$\vect{\text{FL}} +	 \vect{\text{EH}} = \vect{\ldots}$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.4\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-4,-2)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-2)(7,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.6pt](0,0)(-4,-2)(7,6)
\qdisk(-3,1){1.5pt} \uput[ul](-3,1){E} 
\qdisk(0,0){1.5pt} \uput[dl](0,0){O} 
\qdisk(1,3){1.5pt} \uput[ul](1,3){F} 
\qdisk(5,5){1.5pt} \uput[ul](5,5){L} 
\qdisk(6,1){1.5pt} \uput[ul](6,1){G} 
\qdisk(0,1){1.5pt} \uput[ur](0,1){J} 
\qdisk(1,0){1.5pt} \uput[ul](1,0){I} 
\qdisk(2,-1){1.5pt} \uput[ul](2,-1){H} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\parbox{0.55\textwidth}{On sait que :

\begin{itemize}
\item  EO = 5 cm, OC = 3 cm et OA = 6cm.
\item Les points E, O et C sont alignés. 
\item Les triangles ENO et OCA sont respectivement rectangles en E et en C.
\item La droite (AO) coupe la droite (NE) en S.
 \end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, en cm, la mesure de [AC] est $3\sqrt{3}$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (NS) et (AC) sont parallèles.
\item Calculer les valeurs exactes de OS et de ES.
\end{enumerate}
\item Calculer ON sachant que $\widehat{\text{NOE}} = 30\degres$. Arrondir au mm.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'angle $\widehat{\text{COA}}$.
		\item Démontrer que le triangle SON est rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.37\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(6.5,11)
\psline(0,6.5)(4,6.5)(0,8.6)(0,0)(6.37,10.3)(6.37,6.5)(4,6.5)%EONSACO
\uput[ul](0,8.6){N} \uput[l](0,6.5){E} \uput[dl](0,0){S} \uput[ur](6.37,10.3){A} 
\uput[dr](6.37,6.5){C} \uput[dr](4,6.5){O} 
\uput[d](2,6.5){5 cm} \uput[u](5.2,6.5){3 cm} 
\rput{60}(5.2,8.8){6 cm} \rput(2.6,6.8){30\degres}
\psarc(4,6.5){1}{150}{180}
\psframe(0,6.5)(0.3,6.8) \psframe(6.37,6.5)(6.07,6.8)
\end{pspicture}}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\textbf{Les trois parties sont indépendantes}

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Une entreprise fabrique des saladiers en faïence ayant la forme d'une demi-sphère de rayon 12 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, en cm$^3$, la valeur exacte du volume du saladier est  \nombre{1152}$\pi$.
\item Une ménagère a besoin de 1,5 litre de lait pour faire des crêpes.

Pourra-t-elle utiliser ce type de saladier pour les préparer ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Les saladiers sont vendus 5,50 \euro{} pièce.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix de vente de 800 saladiers ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x$ le nombre de saladiers achetés par un supermarché.\\
Déterminer le prix $f(x)$ qu'il paiera à l'entreprise.
		\item Déterminer le nombre dont l'image par la fonction $f$ est \nombre{6600}. Interpréter le résultat.
		\item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

On prendra l'origine du repère en bas à gauche sur une feuille de papier millimétré.

On prendra, en abscisses 1 cm pour 100 saladiers et, en ordonnées 1 cm pour 400 \euro.
	\end{enumerate}
\item En utilisant le graphique, retrouver le résultat de la question 2. b.. (Faire apparaître les tracés nécessaires).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

Le responsable du supermarché a relevé le nombre de saladiers vendus par chacune de ses quatre vendeuses et l'a inscrit dans le tableau suivant :

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{4}{c|}}\hline
Nom de la vendeuse			&Sofia	&Natacha&Lorie	& Magali\\ \hline
Nombre de saladiers vendus	&220	&200	&290	&250\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Combien de saladiers ont été vendus ?
\item Calculer le pourcentage de saladiers vendus par Natacha. Arrondir au dixième.
\item Le responsable du supermarché affirme qu'il a vendu 80\,\%
 de son stock.
 
Combien avait-il acheté de saladiers ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%   Fin Amérique du Nord juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%   Antilles juin 2006
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{juin 2006}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles juin 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Les calculs seront détaillés.

\begin{enumerate}
\item  A $= \dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{2}{5} - \dfrac{5}{2}}$. Écrire A sous forme de fraction irréductible.
\item  B $= \dfrac{3 \times 10^3 \times 2 \times 10^{-1}}{12 \times 10^{-2}}$.
Écrire B sous la forme $a \times 10^n,~ a$ désignant un entier.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $C = (x - 1)(2x+ 5) - (x - 1)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire C.  
\item Factoriser C.
\item Résoudre l'équation $(x - 1)(x + 6) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Répondre aux questions en utilisant le tableau statistique ci-après sur la population. Les effectifs de ce tableau sont arrondis au millier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La population martiniquaise a-t-elle augmenté de 2001 à 2002 ?

Et celle de femmes martiniquaises ?
\item Combien y avait-il de femmes de moins de 20 ans en Martinique en 2002 ?

Combien y avait-il d'hommes de moins de 60 ans en Martinique en 2001?
\item Quel pourcentage de la population martiniquaise représentaient les personnes de 75 ans et plus en 2001 ? (Arrondir le résultat au dixième.)
\item Peut-on dire que, en 2002, la population métropolitaine est plus de 150 fois plus importante que celle de la Martinique ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3|}{>{\centering \arraybackslash}X|}c}
\multicolumn{4}{c}{\textbf{Estimations de population par sexe et par âge au 1\up{er} janvier}}\\
		&Martinique&	Martinique&	France métropolitaine\\ \hline
		&2001&	2002&	2002\\ \hline
\textbf{Ensemble}&	\textbf{386}	&	\textbf{388}	&	\textbf{\np{59342}}\\ \hline
0-19 ans	&	118	&	118	&	\np{14988}\\ \hline
20-39 ans&	112	&	110	&	\np{16371}\\ \hline
40-59 ans&	93	&	96	&	\np{15758}\\ \hline
60-74 ans&	42	&	43	&	\np{7 727}\\ \hline
75 ans et plus&	21&	22	&	\np{4 499}\\ \hline
\textbf{Hommes}	&	\textbf{180}	&	\textbf{183}	&	\textbf{\np{28 830}}\\ \hline
0-19 ans	&	57	&	59	&	\np{7666}\\ \hline
20-39 ans&	53	&	51	&	\np{8 191}\\ \hline
40-59 ans&	43	&	45	&	\np{7796}\\ \hline
60-74 ans&	19	&	19	&	\np{3 564}\\ \hline
75 ans et plus&	8	&	8		&	\np{1 613}\\ \hline
\textbf{Femmes	}&	\textbf{206}	&	\textbf{205}	&	\textbf{\np{30512}}\\ \hline
0-19 ans	&	61	&	58	&	\np{7322}\\ \hline
20-39 ans&	59	&	58	&	\np{8 179}\\ \hline
40-59 ans&	50	&	52	&	\np{7 692}\\ \hline
60-74 ans&	23	&	23	&	\np{4163}\\ \hline
75 ans et plus&	13&	13	&	\np{2886}\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{Source : INSEE - Estimations localisées de population}
\end{tabularx}

\medskip

\textsl{Les effectifs de ce tableau sont arrondis au millier.}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

(\textsl{Construction à faire sur du papier millimétré.})

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,  I, J). OI = OJ = 1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-2~;~1)$ et B(1~;~2).

Lire sur le graphique les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item  Placer les points R et C images respectives des points O et B dans la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. Préciser les coordonnées de R et C.
\item  Citer deux vecteurs égaux a $\vect{\text{AB}}$.

Justifier que BCRO est un parallélogramme.
\item  Recopier et compléter sans justification les égalités :

\[\vect{\text{OA}}+ \vect{\text{AB}} = ...\quad ; \quad \vect{\text{CB}}+ \vect{\text{CR}} = ...\]

\item  Soit K le centre du parallélogramme BCRO.

Calculer les coordonnées de K.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère la figure ci-dessous (\textsl{les unités ne sont pas  respectées})

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\pspolygon(3.6,4)(0,2)(5.8,0.7)%OAB
\psline(1.5,2.8)(4.85,2.1)%MP
\uput[u](3.6,4){O} \uput[l](0,2){A} \uput[r](5.8,0.7){B} \uput[ul](1.5,2.8){M} \uput[ur](4.85,2.1){P} 
\uput[ul](2.4,3.4){3,9} \uput[ul](0.9,2.5){2,1} \uput[ur](4.2,3.1){5,2} 
\uput[ur](5.4,1.3){2,8} \uput[dl](3.2,2.4){6,5} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que les droites (MP) et (AB) sont parallèles.
\item  Calculer la longueur AB.
\item  Montrer que le triangle OAB est rectangle en O.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\textsl{Sur la figure ci-contre les mesures ne sont pas respectées.}

\medskip

\parbox{0.6\textwidth}{On considère un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre HA = 9 cm.

Soit $M$ un point du cercle $\mathcal{C}$ tel que $M$A = 5,3 cm et T un autre point du cercle $\mathcal{C}$}. \hfill
\parbox{0.33\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,4)
\pspolygon(0,2)(3.35,2)(2.65,3.35)%HAM
\psline[linestyle=dashed](0,2)(2.9,0.9)(2.65,3.35)%HTM
\pscircle(1.675,2){1.675}
\uput[u](0.9,3.4){$\mathcal{C}$} \uput[l](0,2){H} \uput[ur](2.65,3.35){$M$} \uput[r](3.35,2){A} \uput[dr](2.9,0.9){T} 
\end{pspicture}}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Justifier que $M$AH est un triangle rectangle.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{M\text{HA}}$, arrondie à l'unité.
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{HT}M}$ (arrondie à l'unité).
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Onagre est un opérateur de téléphonie mobile qui propose les abonnements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  Abonnement A : abonnement 19 euros, puis 0,30 euro la minute de communication
\item[$\bullet$]  Abonnement B : abonnement 29 euros, puis 0,20 euro la minute de communication.
 \end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Recopier puis compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{l|*{3}{c|}c}\hline
Durée  (en minutes)&30&45&60&90\\ \hline
Abonnement A en euro& & & & \\ \hline
Abonnement B en euro& & & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
\item  Soit $x$ le nombre de minutes et $y$ le prix de la communication à payer en fonction du temps.

On note $y_{\text{A}}$ le prix pour l'abonnement A et $y_{\text{B}}$ le prix pour l'abonnement B.
 
Exprimer $y_{\text{A}}$ et $y_{\text{B}}$ en fonction de $x$.
\item  Déterminer le nombre de minutes correspondant à un montant de $151$ euros pour l'abonnement A.
\item  (Sur papier millimétré)

Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement les fonctions
affines définies par :
\[f(x) = 	0,3x+19\quad  \text{et}\quad  g(x) = 0,2 x + 29.\]
On choisira pour unités :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  en abscisse, 1 cm pour 10 minutes
\item[$\bullet$] en ordonnée, 1 cm pour 5 euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation $19 + 0,3x =  29 + 0,2x$.

 En déduire le nombre de minutes pour lequel les deux tarifs sont égaux.
		\item Quel est le tarif le plus avantageux si l'on consomme moins d'une heure de communication par mois ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement le nombre de minutes dont on disposera pour un montant de $70$~euros, si l'on a choisi l'abonnement A. 
		\item Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   Fin Antilles juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Centres  étrangers juin  2006
\hypertarget{Etranger}{}

\label{Etranger}
\lfoot{\small{Centres étrangers}} 
\rfoot{\small{juin 2006}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2006~\decofourright\\[5pt] 
Centres étrangers}} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\begin{center} 

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

On donne les expressions suivantes :

\[\text{A} = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{6}} - \dfrac{2}{5}\qquad\text{B} = \dfrac{21 \times 10^{-3} \times16 \times10^7}{12 \times10^7}\qquad\text{C} = 3\sqrt{20} - \sqrt{80} + \sqrt{5}\]

En indiquant toutes les étapes des calculs:

\begin{enumerate}
\item  écrire A sous la forme d'une fraction irréductible; 
\item calculer B et donner son écriture scientifique ;
\item écrire C sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un nombre entier.
 \end{enumerate}
 
\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression:

\[D=(4x + 1)^2 - (3x - 2)(4x + 1).\]
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $D$. 
\item Factoriser $D$. 
\item Résoudre l'équation $(4x + 1)(x+ 3) = 0$.
\item Calculer la valeur de $D$ pour $x = \sqrt{3}$ en utilisant la forme de $D$ la mieux adaptée.
\end{enumerate}
 
\bigskip
  
\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le tableau ci-dessous présente la série des notes obtenues par les éléves de 3\up{e} B lors du dernier devoir en classe :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note sur 20	&5	&6	&8	&9	&11	&12	&13	&15	&18	&19\\ \hline
Effectif	&1	&2	&6	&2	&1	&4	&2	&3	&1	&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est l'effectif de la classe de 3\up{e} B ? 
\item Calculer la note moyenne de ce devoir. En donner la valeur arrondie au dixiéme de point. 
\item Quel est le pourcentage, arrondi à l'unité, de l'effectif total représentent les éléves ayant obtenu une note inférieure ou égale à 8. 
\item Déterminer la note médiane de cette série. Que représente cette note ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.35\textwidth}{\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(3,3)
\pspolygon(0,0)(2.2,0)(2.8,0.68)(0.62,2)%DCBSD
\psline(0.62,2)(2.2,0)
\psline[linestyle=dashed](0.62,2)(0.62,0.68)(0,0)%SAD
\psline[linestyle=dashed](0.62,0.68)(2.8,0.68)
\uput[u](0.62,2){S} \uput[ul](0.62,0.68){A} \uput[ur](2.8,0.68){B} \uput[d](2.2,0){C} \uput[d](0,0){D} 
\end{pspicture}} \hfill 
\parbox{0.6\textwidth}{La pyramide SABCD ci-contre a pour base le rectangle ABCD et pour hauteur le segment [SA].

L'unité de longueur est le centimètre.

On donne AB = 8,2 et SA =  4.

On donne également $\widehat{\text{ASD}} = 30$ \degres.
\begin{enumerate}
\item Donner, sans les justifier, la nature du triangle SAB et celle du triangle SAD.
\item Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{SBA}}$.
\item Calculer la valeur exacte de SD. En donner la valeur arrondie au millimètre.
\end{enumerate}} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre. La figure sera effectuée sur une feuille de papier millimétré.
\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé ( O, I,  J).
\begin{enumerate}
\item Placer les points B(2 ; 3 ), U(3 ; 0) et T$( - 4~;~ 1)$.
\item Calculer les valeurs exactes des distances BU, BT et TU,
\item Démontrer que le triangle BUT est rectangle.
\item Soit  R le point tel que $\vect{\text{UB}} = \vect{\text{TR}}$.
\begin{itemize}
\item  Quelle est la nature du quadrilatère BUTR ?
\item Construire le point R en laissant apparaître les tracés utilisés.
 \end{itemize}
\item[\text{e.}] Recopier et compléter l'égalité $\vect{\text{UB}} + \vect{\text{UT}} = \vect{\ldots\ldots}$.
 \end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.42\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,0)(4.5,3)
\psline(0,0)(4.3,2.5) \psline(0.3,2)(4.1,0.2)
\psline(0,-0.1)(0,0.1) \psline(4.3,2.4)(4.3,2.6) \psline(0.3,1.9)(0.3,2.1) \psline(4.1,0.1)(4.1,0.3) 
\uput[l](0,0){C} \uput[r](4.3,2.5){B} \uput[l](0.3,2){A} \uput[r](4.1,0.2){D}
\uput[u](2,1.15){E} 
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.56\textwidth}{
L'unité de longueur est le mètre.

Antoine et David ont tendu une corde entre deux points A et D. Charléne et Betty en ont fait de même entre les points B et C.
 
Les deux cordes se coupent en E.

On sait que EA = 7, EB = 13, EC =  10 et ED = 9,1.

Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill12 points} 

\bigskip

{\Large \textbf{1\up{re} partie}}

\medskip

La société Truc fabrique des enseignes publicitaires composées de deux cônes de révolution de même diamètre 24 cm et de même hauteur 40 cm.
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\rput{90}(3,1.625){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0){0.86}{0}{180}}}%
\rput{90}(3,1.625){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt](0,0){0.86}{180}{0}}}%
\pspolygon(0,1.5)(3,0.75)(6,1.5)(3,2.5)
\psline[linewidth=0.3pt](3,0.75)(6,0.75)
\psline[linewidth=0.3pt](3,2.5)(6,2.5)
\psline[linewidth=0.3pt](3,0.75)(7,0.75)
\psline[linewidth=0.3pt](3,2.5)(7,2.5)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(7,0.75)(7,2.5)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0,0)(3,0)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(3,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.3pt](0,0)(0,1.5)
\psline[linewidth=0.3pt](6,0)(6,1.5)
\psline[linewidth=0.3pt](3,0)(3,1.625)
\uput[u](1.5,0){40 cm} \uput[u](4.5,0){40 cm} 
\psline[linestyle=dashed](2.7,2)(3.3,1.25)
\psline[linestyle=dashed](2.7,1.2)(3.3,2.05)
\rput{90}(6.8,1.7){24 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume d'une enseigne. En donner d'abord la valeur exacte en cm$^3$ puis la valeur en dm$^3$ arrondie au dm$^3$.
\item Pour le transport, chaque enseigne est rangée dans un étui en carton ayant la forme d'un cylindre le plus petit possible et ayant même base que les cônes. Calculer le volume de cet étui en négligeant l'épaisseur du carton. En donner la valeur exacte en cm$^3$ puis la valeur en dm$^3$ arrondie au dm$^3$.
\end{enumerate}

\textbf{Rappels :} Volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$  : $\pi R^2 h$ ;

Volume d'un cône de rayon $R$ et de hauteur $h$ : $\dfrac{\pi R^2 h}{3}$.

\bigskip

{\Large \textbf{2\up{e} partie}}

Pour transporter ces enseignes, la société Truc a contacté deux entreprises afin de comparer les tarifs qu'elles proposent. 

L'entreprise Vitlivré propose une somme de 3,20 \euro{} par kilométre parcouru.

 L'entreprise Rapido propose un forfait de 180 \euro{} puis une somme de 2 \euro{} par kilomètre parcouru.
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Distance en km								&40	&100&130	&200&250\\ \hline
Coût en \euro{} avec l'entreprise Vitlivré	&128&	&		&	&	\\ \hline
Coût en \euro{} avec l'entreprise Rapido	&	&	&440	&	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On appelle $x$ le nombre de kilomètres à parcourir pour une livraison.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer en fonction de $x$ le prix à payer avec la société Vitlivré.
		\item Exprimer en fonction de $x$ le prix à payer avec la société Rapido.
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement les fonctions $v$ et $r$ définies par $v(x) = 3,2 x$ et $r(x) = 2x + 180$, dans un plan muni d'un repère orthogonal.

 On utilisera une feuille de papier millimétré, on placera l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille.
 
 On prendra 1~cm pour 20 km sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 40 \euro{} sur l'axe des ordonnées.
\item Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes en faisant apparaître les tracés utilisés.
	\begin{enumerate}
		\item  Quel sera le montant de la facture pour une livraison de 180 km par l'entreprise Rapido ?
		\item Quelle est la distance parcourue par le livreur de Vitlivré lorsque la facture s'élève à 160 \euro{} ?
		\item Pour quel kilométrage les deux entreprises font-elles payer le même prix ? Quel est ce prix ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer graphiquement l'entreprise la moins chère en fonction de la distance parcourue lors de la livraison.
\item Retrouver par le calcul les résultats de la question 4. c..
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   Centres  étrangers juin  2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Groupement Est juin 2006
\hypertarget{Nancy}{}

\label{Nancy}
\lfoot{\small{Nancy-Metz, Besançon, Dijon, Grenoble,\\ Lyon, Reims, Strasbourg}}
\rfoot{\small{ juin 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Groupement Est\footnote{Nancy-Metz, Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Reims, Strasbourg} juin 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne :
 
\[\text{A} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{3}\div \dfrac{8}{7} \qquad  \text{B} =  \sqrt{12} - 7\sqrt{3} - \sqrt{75}\qquad \text{C} = \dfrac{0,3 \times 10^2 \times 5 \times10^{-3}}{4 \times10^{-4}}.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Écrire B sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel le plus petit possible. 
\item Calculer C et donner son écriture scientifique.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : $E = (3 x + 2)^2 - (5 - 2x)(3x + 2)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $E$. 
\item Factoriser $E$. 
\item Calculer la valeur de $E$ pour $x = - 2$. 
\item Résoudre l'équation $(3x + 2)(5 x - 3) = 0$. Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère le système suivant :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + 3y&=&5,5\\
3x + y&=&1,05\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Le couple $(x = 2~ ;~ y = 0,5)$ est-il solution de ce système ? 
\item Résoudre le système d'équations. 
\item \`A la boulangerie, Anatole achète 2 croissants et 3 pains au chocolat : il paie 5,50 \euro. Béatrice achète 3 croissants et 1 pain au chocolat et paie 4,05 \euro.\\
 Quel est le prix d'un croissant ? Quel est le prix d'un pain au chocolat ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\parbox{0.4\textwidth}{On considère la figure ci-contre qui n'est pas réalisée en vraie grandeur.\\ Les points S, P{}, E et B sont alignés ainsi que les points N, P{}, C et M.\\
Les droites (MB) et (NS) sont parallèles.\\
On donne : PM = 12 cm, MB = 6,4 cm, 

PB = 13,6 cm et PN = 9 cm.} \hfill
\parbox{0.55\textwidth}{\psset{unit=0.55cm} \begin{pspicture}(-2,0)(11,6)
\pspolygon(0,3.2)(1.4,5.7)(8.5,0)(11,3.2)%SNMBS
\uput[dl](0,3.2){S} \uput[u](9.1,3.2){E} \uput[u](1.4,5.7){N} 
\uput[d](4.5,3.2){P} \uput[d](7.45,0.8){C} 
\uput[d](8.5,0){M} \uput[r](11,3.2){B}
\qdisk(9.1,3.2){1.5pt}  \qdisk(7.45,0.8){1.5pt}  
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle PBM est rectangle. 
\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{MBP}}$ arrondie au degré près. 
\item Calculer la longueur NS.
\item On considère le point E du segment [PB] tel que PE = 3,4 cm et le point C du segment [PM] tel que PC = 3 cm. Les droites (CE) et (MB) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

La figure est à réaliser sur une feuille de papier millimétré.

\medskip 

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. 
\begin{enumerate}
\item Placer les points : A$(- 2~ ;~ 1)$, B(3 ; 2), C$(- 3 ~;~- 2)$ et G (7 ; 0). 
\item \begin{enumerate}
\item Placer le point E tel que $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{CE}}$. En déduire la nature du quadrilatère ABEC. 
\item Donner par lecture graphique les coordonnées du point E. 
\end{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de la longueur AB. 
\item Placer le point F$(- 1~ ;~ 4)$ et démontrer que F est le symétrique de C par rapport à A. 
\item Démontrer que B est le milieu du segment [FG] et en déduire sans autre calcul la longueur CG.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\bigskip

La piscine de Monsieur Dujardin a la forme d'un prisme droit dont la base ABCD est un trapèze rectangle.

\begin{center}
\begin{pspicture}(10.5,6)
\psline(8.7,1.75)(0,0)(0,3.6)(8.7,3.6)%CDAB
\psline(0,3.6)(1.85,5.1)(10.5,5.1)(8.7,3.6)(8.7,3.6)(8.7,1.75)(10.5,3.4)(10.5,5.1)%AEFBCGF
\uput[l](0,3.6){A} \uput[ul](8.7,3.6){B} \uput[ul](10.5,5.1){F} \uput[ul](1.85,5.1){E} 
\uput[dl](0,0){D} \uput[dr](8.7,1.75){C} \uput[dr](10.5,3.4){G} \uput[ul](1.85,1.5){H} 
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.85,1.5)(10.5,3.4)
\psline[linestyle=dashed](1.85,1.5)(1.85,5.1)
\psline(0,3.4)(0.2,3.4)(0.2,3.6)
\psline(8.5,3.6)(8.5,3.4)(8.7,3.4)
\psline[linestyle=dashed](1.85,4.9)(2.05,4.9)(2.05,5.1)
\psline[linestyle=dashed](10.3,5.1)(10.3,4.9)(10.5,4.9)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On donne : AB = 14 m, AE = 5 m AD = 1,80 m, BC = 0,80 m.

Sur le schéma ci-dessus, les dimensions ne sont pas respectées. On rappelle les formules suivantes :

Aire d'un trapèze $= \dfrac{\text{(somme des bases)} \times \text{hauteur}}{2}$ ;

Volume d'un prisme $= \text{(Aire de la base)} \times  \text{hauteur}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume de cette piscine est 91 m$^3$.
\item À la fin de l'été, M. Dujardin vide sa piscine à l'aide d'une pompe dont le débit est 5m$^3$ par heure. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre de m$^3$ d'eau restant dans la piscine au bout de 5 heures. 
		\item On admet que le nombre de m$^3$ d'eau restant dans la piscine au bout de $x$ heures est donné par la fonction affine f définie par : $f(x) = 91 - 5x$.

Sur la feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal tel que : 

\begin{itemize}
\item  en abscisse, 1 cm représente 1 heure,
\item en ordonnée, 1 cm représente 5 m$^3$.
\end{itemize}

Représenter graphiquement la fonction f dans ce repère. 
		\item Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste que 56 m$^3$ d'eau dans cette piscine.
		\item Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine. 
		\item Retrouver ce dernier résultat par le calcul. Donner cette durée en heures et minutes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

M. Dujardin doit clôturer sa piscine, en laissant autour une distance de 1,25 m comme le montre le schéma ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(10,7)
\psframe(10,7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](1.2,1.2)(8.8,5.8)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](3.3,2.6)(6.7,4)
\uput[u](5,2.9){\Large piscine}
\psline{<->}(5,5.8)(5,7)
\psline{<->}(8.8,3.5)(10,3.5)
\uput[dl](0,0){I} \uput[ul](0,7){J} \uput[ur](10,7){K} \uput[dr](10,0){L} 
\uput[dl](1.2,1.6){A} \uput[dr](8.8,1.6){B} \uput[ur](8.8,5.8){F} \uput[ul](1.2,5.8){E} 
\uput[u](9.4,3.5){1,25 m} \rput{90}(4.7,6.4){1,25 m}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Calculer les distances IJ et JK en cm.
\item Pour réaliser la clôture, il souhaite utiliser un nombre entier de panneaux rectangulaires identiques, dont la longueur $a$ est un nombre entier de centimètres, le plus grand possible.\\ Expliquer pourquoi $a$ est le PGCD de $750$ et de \nombre{1650}.
\item Calculer la valeur de $a$, en indiquant la méthode utilisée.
\item Combien faudra-t-il de panneaux pour clôturer la piscine ? 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Groupement Est juin 2006 
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Groupement Nord juin 2006
\hypertarget{Paris}{}

\label{Paris}
\lfoot{\small{Paris, Amiens, Créteil, Lille, Rouen, Versailles}}
\rfoot{\small{juin 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Nord\footnote{Amiens, Créteil, Lille, Paris, Rouen et Versailles} juin 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\[\text{A} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6}~:~\dfrac{3}{2}\qquad \text{B} = 50\sqrt{45} - 3 \sqrt{5} + 6 \sqrt{125}\qquad \text{C} = \dfrac{5 \times 10^{-2} \times 7 \times 10^5}{2 \times 10^7}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer A en détaillant les étapes du calcul. Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
\item Écrire B sous forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un nombre entier. Détailler les étapes du calcul.
\item Calculer C et donner son écriture scientifique en détaillant les étapes du calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $D = (2x + 3)^2 + (2x + 3)(7x - 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = - 4$.
\item Résoudre l'équation $(2x + 3)(9x + 1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Étant très généreux, et ayant surtout très peur du dentiste, il décide de les partager avec des amis. Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.
\begin{enumerate}
\item  Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans ces personnes !) ? Expliquer votre raisonnement.
\item Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système suivant :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
8x + 3y&=&39,5\\
7x + 9y&=&50,5\\
\end{array}\right. \]

\item Une balade d'une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes.

Le premier groupe, composé de 8 adultes et de 3 enfants, paie 39,50 \euro. Le second, composé de 7 adultes et de 9 enfants, paie 50,50 \euro.

Quel est donc le prix d'un ticket pour un adulte ? pour un enfant ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer les points A$(-3~;~1)$, B$(-1,5~;~2,5)$ et C$(3~;~- 2)$ dans le repère orthonormé (O, I, J) de l'annexe 1 ci-jointe.
\item Montrer que AC $= \sqrt{45}$.
\item Sachant que AB $= \sqrt{4,5}$ et BC $= \sqrt{40,5}$, démontrer que ABC est un triangle rectangle.
\item Placer le point D image de C par la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit un cercle de centre O et de diamètre [ST] tel que ST = 7 cm. Soit U un point de ce cercle tel que SU = 3 cm.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Démontrer que STU est un triangle rectangle en U.
\item Donner la valeur arrondie au dixième de l'angle $\widehat{\text{STU}}$.
\item En déduire une valeur approchée au dixième de $\widehat{\text{SOU}}$. Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sur la figure ci-dessous les mesures ne sont pas respectées.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,6)
\pspolygon(0.7,1.2)(5.6,5)(3.35,5.5)(7,0.5)%ADCBA
\uput[l](0.7,1.2){A} \uput[r](7,0.5){B} \uput[l](3.35,5.5){C} 
\uput[r](5.6,5){D} \uput[u](4.4,4.05){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

On a OA = $3\sqrt{3}$ cm, OD $= \sqrt{3}$ cm, CO = $3$ cm, $\widehat{\text{AOB}}$ est un angle droit et $\widehat{\text{OAB}} = 60 $\degres.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que OB = 9 cm.
\item Montrer que les droites (CD) et (AB) sont parallèles.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 1}
\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-4,-3)(6,6)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Sur la figure ci-dessous, SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SA] telle que AB = 9 cm et SA = 12 cm. Le triangle SAB est rectangle en A.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\psline(0,4.8)(0,0)(4.5,0)(6,1.3)(0,4.8)(4.5,0)%SABCSB
\psline(0,3)(1.7,3)(2.25,3.5)%EFG
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.5,1.3)(6,1.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](0,3)(0.6,3.5)(2.25,3.5)%EHG
\psline[linestyle=dashed](0,4.8)(1.5,1.3)%SD
\uput[ur](0,4.8){S} \uput[dr](0,0){A} \uput[dr](4.5,0){B} 
\uput[dr](6,1.3){C} \uput[dr](1.5,1.3){D} \uput[dl](0,3){E} 
\uput[r](1.7,3){F} \uput[ur](2.45,3.5){G} \uput[ur](0.6,3.5){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base et telle que SE = 3 cm.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer EF.
		\item Calculer SB.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
		\item Donner le coefficient  de réduction permettant de passer de la pyramide SABCD à la pyramide SEFGH.
		\item En déduire le volume de SEFGH. On donnera une valeur arrondie à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $M$ un point de [SA] tel que S$M = x$ cm, où $x$ est compris entre 0 et 12.

On appelle $MNPQ$ la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base passant par $M$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\psline(0,4.8)(0,0)(4.5,0)(6,1.3)(0,4.8)(4.5,0)%SABCSB
\psline(0,1.6)(3,1.6)(4.1,2.4)%MNP
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.5,1.3)(6,1.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](0,1.6)(1,2.4)(4,2.4)%MQP
\psline[linestyle=dashed](0,4.8)(1.5,1.3)%SD
\uput[ur](0,4.8){S} \uput[dr](0,0){A} \uput[dr](4.5,0){B} 
\uput[dr](6,1.3){C} \uput[dr](1.5,1.3){D} \uput[dl](0,1.6){$M$} 
\uput[r](3,1.6){$N$} \uput[ur](4,2.4){$P$} \uput[ur](1,2.4){$Q$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $MN = 0,75 x$.
\item Soit $\mathcal{A}(x)$ l'aire du carré $MNPQ$ en fonction de $x$. Montrer que $\mathcal{A}(x) = \nombre{0,5625} x^2$.
\item Compléter le tableau ci-dessous.
\item Placer dans le repère du papier millimétré de l'annexe 2 les points d'abscisse $x$ et d'ordonnée $\mathcal{A}(x)$ données par le tableau.
\item L'aire de $MNPQ$ est-elle proportionnelle à la longueur S$M$ ? Justifier à l'aide du graphique.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ : longueur S$M$ en cm				&0	&2	&4	&6	&8	&10	&12\\ \hline
$\mathcal{A}(x)$ : aire du carré MNPQ	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}

\textbf{Annexe 2}

\vspace{2cm}
\psset{xunit=0.63cm,yunit=0.0667cm} 
\begin{pspicture}(19,180)
\multido{\n=0+1}{20}{\psline(\n,0)(\n,180)}
\multido{\n=0+2}{91}{\psline(0,\n)(19,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=50]{->}(0,0)(19,180)
\uput[d](17,0){$x$ (en cm)} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,10){10}
\rput{90}(-1,170){aire en cm$^2$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Groupement Nord juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%  Groupement Ouest juin 2006
\hypertarget{Bordeaux}{}

\label{Bordeaux}
\lfoot{\small{Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges,\\ Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes }}
\rfoot{\small{juin 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupement Ouest\footnote{Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes} juin 2006~\decofourright\\}}
 \end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Toutes les étapes de calculs devront figurer sur la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

\[\text{A} =  \dfrac{1}{9} - \dfrac{15}{9} \times \dfrac{1}{6}\]

\item Écrire B sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un entier.

\[\text{B} =  \sqrt{48} - 3\sqrt{12}  + 7\sqrt{3}\]

\item Donner les écritures décimale et scientifique de C :

\[\text{C} = \dfrac{ 3\times 10^2 \times 1,2\times \left(10^{-3}\right)^4}{0,2 \times10^{-7}}\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : $E = (3x +1)^2 - 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(3x + 3)(3x - 1) =  0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de mathématiques par les 27 élèves d'une classe de troisième.

\[
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{Notes}	&6	&8	&10	&13	&14 &17\\ \hline
\text{Effectifs}&3	&5	&6	&7	&5	&1\\ \hline
\end{tabularx}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la note moyenne de la classe à  ce contrôle. Arrondir le résultat à l'unité.
\item Calculer le pourcentage d'élèves ayant eu une note supérieure ou égale à 10. Arrondir le résultat au dixième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, placer les points :
\[\text{A}(1~;~2) \qquad  \text{B}(-2~;~1) \qquad \text{C}(-3~;~-2)\]
\item Calculer les distances AB et BC.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item Construire le point D, image du point A par la translation qui transforme B en C.
\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.65\textwidth}{
\textbf{Dans cet exercice, les réponses seront données sans justification.}

ABCDEF est un hexagone régulier de centre O.
\begin{enumerate}
\item Quel est le symétrique du triangle OCD par rapport au point O ?
\item Quel est le symétrique du triangle EFO par rapport à la droite (EO) ?
\item Quelle est l'image du triangle OCD par la rotation de centre O, d'angle $60 \degres$ dans le sens des aiguilles d'une montre ?
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\SpecialCoor
\uput[d](0;0){O}  \uput[ul](2;120){A}  \uput[ur](2;60){B}  \uput[r](2;0){C}  
\uput[dr](2;-60){D}  \uput[dl](2;-120){E}  \uput[l](2;180){F} 
\pspolygon(2;0)(2;60)(2;120)(2;180)(2;-120)(2;-60)%CBAFED
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dotted](2;120)(2;-60)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dotted](2;60)(2;-120)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dotted](2;0)(2;180)
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.6\textwidth}{\textbf{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.}

\textbf{On ne demande pas de la reproduire.}

Les points A, C et E sont alignés, ainsi que les points B, C et D.

Le triangle ABC est rectangle en B.
 
Les longueurs suivantes sont exprimées en centimètres.

BC = 12 ; CD = 9,6 ; DE = 4 ; CE = 10,4.} \hfill
\parbox{0.36\textwidth}{\psset{unit=0.65cm}\begin{pspicture}(7.2,3.5)
\uput[ul](0,3.5){A} \uput[l](0,1.3){B} \uput[ur](4.5,1.3){C} 
\uput[ur](7.3,1.3){D} \uput[dr](7.3,0){E} 
\pspolygon(0,3.5)(0,1.3)(7.3,1.3)(7.3,0)
\psline(0.3,1.3)(0.3,1.6)(0,1.6)
\end{pspicture}}  

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle CDE est rectangle en D.
\item En déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
\item Calculer la longueur AB.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Dans un magasin, une cartouche d'encre pour imprimante coûte 15 \euro. Sur un site internet, cette même cartouche coûte 10 \euro, avec des frais de livraison fixes de 40~\euro{} quel que soit le nombre de cartouches achetées.
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de cartouches achetées		&2	&5	&11	&14\\ \hline
Prix à payer en magasin en euros	&	&75	&	&	\\ \hline
Prix à payer par internet en euros	&	&90	&	&	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le nombre de cartouches achetées est noté $x$.
	\begin{enumerate}
		\item On note $P_{\text{A}}$ le prix à payer pour l'achat de $x$ cartouches en magasin. Exprimer $P_{\text{A}}$ en fonction de $x$.
		\item	On note $P_{\text{B}}$ le prix à payer, en comptant la livraison, pour l'achat de $x$ cartouches par internet. Exprimer $P_{\text{B}}$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item Dans le repère orthogonal figurant en annexe, que l'on rendra avec la copie, tracer les droites $d$ et $d'$ définies par :

\begin{itemize}
\item $d$ représente la fonction $x \longmapsto  15x$
\item	$d'$ représente la fonction	$x \longmapsto  10x+40$
\end{itemize}

\item En utilisant le graphique précédent :
	\begin{enumerate}
		\item déterminer le prix le plus avantageux pour l'achat de 6 cartouches. Vous laisserez apparents
	les traits de constructions.
		\item Sonia dispose de 80 euros pour acheter des cartouches. Est-il est plus avantageux pour elle
d'acheter des cartouches en magasin ou sur internet ? Vous laisserez apparents les traits de
constructions.
	\end{enumerate}
\item À partir de quel nombre de cartouches le prix sur Internet est-il inférieur ou égal à celui du magasin ? Expliquer votre réponse.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Groupement Ouest juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%   Groupement Sud juin 2006
\hypertarget{Aix}{}

\label{Aix}
\lfoot{\small{Aix-Marseille, Corse, Montpellier,\\ Nice, Toulouse}}
\rfoot{\small{juin 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Sud\footnote{Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, Toulouse}  27 juin 2006 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

En précisant les différentes étapes de calcul :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Écrire le nombre A ci-dessous sous forme d'une fraction irréductible :

\[\text{A} = \dfrac{3 - \dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{3} \times 7}\]

\item Écrire le nombre B ci-dessous sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible :

\[\text{B} = \sqrt{300} - 4 \sqrt{3} + 3\sqrt{12}\]

\item Donner l'écriture scientifique de C :

\[\text{C} = \dfrac{19 \times 10^3 \times 6 \times 10^{-10}}{14 \times10^{-2}}\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne :
\[D = (2x - 3)(5 - x) + (2x - 3)^2\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation : $(2x - 3)(x + 2)$ =$ 0$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système
  
\[\left\{\begin{array}{l c l}
6x + 5y 	& =	&57\\
3x + 7y	&=	&55,5\\
\end{array}\right.\]

\item Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement : des albums ou des boîtes. Léa achète 6 boîtes et 5 albums et paie 57~\euro{} ; Hugo achète 3 boîtes et 7 albums et paie 55,50~\euro. Quel est le prix d'une boîte ? Quel est le prix d'un album ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur, elle n'est pas à reproduire.

\medskip

\parbox{0.57\textwidth}{Les points A, C et F sont alignés, ainsi que les points B, C et G.

Les droites (AB) et (GF) sont parallèles.

AB = 3 cm

FC = 8,4 cm

FG = 11,2 cm} \hfill 
\parbox{0.38\textwidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(5.5,4.1)
\pspolygon(0,0)(5.5,0)(1.8,3.9)(4.6,3.9)
\uput[dl](0,0){G} \uput[dr](5.5,0){F} 
\uput[l](1.8,3.9){A} \uput[r](4.6,3.9){B} \uput[u](3.1,2.6){C}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur CA.
\item Soient D le point du segment [CF] et E le point du segment [GF] tels que :

FD = 6,3 cm et FE = 8,4 cm.
Montrer que les droites (GC) et (ED) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en C tel que AC = 5 cm et
 $\widehat{\text{BAC}} = 40$ \degres.
\item Calculer la longueur BC. (On donnera une valeur arrondie au millimètre).
\item
	\begin{enumerate}
		\item Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC ? Justifier.
		\item Tracer ce cercle.
	\end{enumerate}
\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{BOC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 :}

\medskip

Pour la pyramide SABCD ci-dessous :

\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(5.8,8)
\psline(5.6,1.4)(3.2,7.7)(3.6,0.4)(0,0.4)(3.2,7.7)%CSBAS
\psline(5.6,1.4)(3.6,0.4)
\psline(4.4,4.5)(3.4,4)(1.6,4)%rectangle haut
\psline[linestyle=dashed](3.2,7.7)(2.94,0.9)%SO
\psline[linestyle=dashed](3.2,7.7)(2.2,1.5)(0,0.4)(5.6,1.4)(2.2,1.5)%SDACD
\pspolygon[linestyle=dashed](1.6,4)(2.6,4.5)(4.4,4.5)
\psline[linestyle=dashed](3.6,0.4)(2.2,1.5)
\psline[linestyle=dashed](3.4,4)(2.6,4.5)
\uput[u](3.2,7.7){S} \uput[dl](0,0.4){A} 
\uput[dr](3.6,0.4){B} \uput[ur](5.6,1.4){C} 
\uput[ul](2.2,1.5){D} \uput[dl](2.9,0.9){O} \uput[ul](3.15,4.3){O$'$} 
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.55\textwidth}{La base est le rectangle ABCD de centre O.\\
AB = 3 cm et BD = 5 cm.

La hauteur [SO] mesure 6 cm.

\begin{enumerate}
\item Montrer que AD = 4 cm.
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD en cm$^3$.
\item Soit O$'$ le milieu de [SO]. On coupe la pyramide par un plan passant par O$'$ et parallèle à sa base.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature de la section A$'$B$'$C$'$D$'$ obtenue ?
		\item La pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le rapport de cette réduction.
		\item Calculer le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip  

La station de ski Blanche Neige propose les tarifs suivants pour la saison 2004-2005 :

Tarif A : Chaque journée de ski coûte 20 euros.

Tarif B : En adhérant au club des sports dont la cotisation annuelle s'élève à 60 euros, on bénéficie d'une réduction de 30\:\% sur le prix de chaque journée à 20 euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Yann est adhérent au club des sports de la station. Sachant qu'il a déjà payé sa cotisation annuelle, expliquez pourquoi il devra payer 14 euros par journée de ski.
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de jours de ski 
pour la saison 2004-2005		&5	&8	& \\ \hline
Coût en euros avec le tarif A	&100	&	&220\\ \hline
Coût en euros avec le tarif B	&130	&	&	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On appelle $x$ le nombre de journée de ski durant la saison 2004-2005.

Exprimer en fonction de $x$ : 
	\begin{enumerate}
		\item le coût annuel C$_{\text{A}}$ en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif A. 
		\item le coût annuel C$_{\text{B}}$ en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif B.
	\end{enumerate}
\item Sachant que Yann adhérent au club a dépensé au total 242~\euro{}, combien de jours a-t-il skié ?
\item Sur le papier millimétré (à rendre avec votre copie), dans un repère orthogonal, prendre :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item  en abscisses : 1 cm pour 1 jour de ski.
\item en ordonnées : 1 cm pour 10 euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille, l'axe des abscisses étant tracé sur le petit côté de la feuille.

Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions affines $f$ et $g$ définies par : $f(x) = 20x~ ;~ g(x) = 14x + 60$.
\item Dans cette partie, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique (faire apparaître sur le graphique les traits nécessaires).
	\begin{enumerate}
		\item  Léa doit venir skier douze journées pendant la saison 2004-2005. Quel est pour elle le tarif le plus intéressant ? Quel est le prix correspondant ? 
		\item En étudiant les tarifs de la saison, Chloé constate que, pour son séjour, les tarifs A et B sont égaux. Combien de journées de ski prévoit-elle de faire ? Quel est le prix correspondant ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%   Fin Groupement Sud juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%   Guyane juin 2006
\hypertarget{Guyane}{}

\label{Guyane}
\lfoot{\small{Guyane}}
\rfoot{juin 2006}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Guyane juin 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
On donne A $= \dfrac{2}{7} \div \dfrac{5}{21} - \dfrac{4}{3}$ 
et B $ = \dfrac{10 \times 2,4 \times 10^2}{8 \times 10^{-3}}$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 
\item  Calculer la valeur numérique de B et donner le résultat :
 
	\begin{enumerate}
		\item En notation scientifique. 
		\item En notation décimale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne C $= \dfrac{682}{496}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD de 682 et 496. 
\item Simplifier la fraction $\dfrac{682}{496}$ pour la rendre irréductible.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
Soit D $= (3x + 1)^2 - 9$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire D. 
\item Factoriser D. 
\item Résoudre l'équation $(3x - 2)(3x + 4) = 0$. 
\item Calculer la valeur de D pour $x = \sqrt{2}$ ; donner le résultat sous la forme $a\sqrt{2} + b$ avec $a$ et $b$ deux nombres entiers.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne la répartition, par âge, de l'équipage d'un voilier préparant une régate.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
âge des équipiers	&18	&20 &22	&28\\ \hline 
Nombre des équipiers&1	&4	&3 	&2\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'effectif total de l'équipage. 
\item Calculer l'âge moyen des équipiers de ce voilier. 
\item Quelle est la médiane des âges des équipiers ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un équipage guyanais, participant à une régate, décide de refaire les voiles de son trois mâts. Dans tout l'exercice, l'unité de longueur est le mètre.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(14,11)
\pspolygon(0,1.2)(13.7,1.2)(12.5,0)(1.2,0)
\psline(1.8,1.2)(1.8,10.2)(5.3,2.4)(1.8,2.4)
\psline(5.3,1.2)(5.3,8.4)(9.5,2.4)(5.3,2.4)
\psline(9.5,1.2)(9.5,4.6)(12,2.4)(9.5,2.4)
\psline[linestyle=dashed](5.3,8.4)(9.5,4.6)
\uput[l](1.8,2.4){B}\uput[l](1.8,10.2){A}
\uput[dl](5.3,2.4){C}\uput[u](5.3,8.4){D}
\uput[dl](9.5,2.4){E}\uput[u](9.5,4.6){F}
\uput[r](12,2.4){G}
\rput(10,8){Le dessin n'est pas à l'échelle}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item La petite voile est représentée par le triangle EFG rectangle en E avec EG = 4,5 et FG = 7,5. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que EF = 6. 
		\item  Calculer $\tan \left(\widehat{\text{EGF}}\right)$ et en déduire la mesure arrondie au degré de l'angle $\widehat{\text{EGF}}$.
	\end{enumerate} 
\item  La voile moyenne est représentée par le triangle DEC rectangle en C avec EC = 7,5 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des configurations géométriques codées sur la figure, démontrer que les droites (DC) et (EF) sont parallèles. 
		\item Calculer la distance DC.
	\end{enumerate} 
\item Pour la grande voile, représentée par le triangle BAC, l'équipage a déjà les mesures qui  sont: AB = 24, \quad  	BC = 7, \quad	AC = 25
 
Le triangle BAC est-il rectangle ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Le même équipage veut calculer le volume d'eau que peut contenir la quille du bateau représentée sur la figure ci-dessous.

\medskip

\parbox{0,48\linewidth}{\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(14,11)
\pspolygon(0,1.2)(13.7,1.2)(12.5,0)(1.2,0)
\psline(1.8,1.2)(1.8,10.2)(5.3,2.4)(1.8,2.4)
\psline(5.3,1.2)(5.3,8.4)(9.5,2.4)(5.3,2.4)
\psline(9.5,1.2)(9.5,4.6)(12,2.4)(9.5,2.4)
\psline[linestyle=dashed](5.3,8.4)(9.5,4.6) 
\psframe(6.35,0)(7.35,-3)
\psline(4.85,-3)(8.85,-3)
\psline(4.85,-4)(8.85,-4)
\psarc(8.85,-3.5){0.5}{-90}{90}
\psarc(4.85,-3.5){0.5}{90}{270}
\rput(10,-2.3){La quille}\psline{->}(10,-2.7)(7,-3.5)
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0,48\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(8.8,4)
\psline(1.6,3)(7.2,3)
\psline(1.6,0)(7.2,0)
\psarc(7.2,1.5){1.5}{-90}{90}
\psarc(1.6,1.5){1.5}{90}{270}
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.5)(1.6,3)
\rput(4.4,3.6){LA QUILLE}
\rput{90}(1.6,1.5){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt](0,0){1.51}{0}{180}}}%
\rput{90}(1.6,1.5){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0){1.51}{180}{0}}}%
\rput{90}(7,1.5){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt](0,0){1.51}{0}{180}}}%
\rput{90}(7,1.5){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0){1.51}{180}{0}}}%
\end{pspicture} }

\medskip

\begin{enumerate}
\item La partie centrale de la quille est représentée par un cylindre comme ci-contre.

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\textbf{a.}
En prenant $\pi \approx 3,14$, vérifier que le volume de ce cylindre vaut $35,325$\,m$^3$.
  
\textbf{b.} Sachant que un litre est égal à un décimètre cube, en déduire le volume d'eau en litre que peut contenir ce cylindre.
} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(8.8,4)
\psline(0.8,3)(8,3)
\psline(0.8,0)(8,0)
\psellipse(8,1.5)(0.8,1.5)
\rput{90}(0.8,1.5){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt](0,0){1.51}{0}{180}}}%
\rput{90}(0.8,1.5){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0){1.51}{180}{0}}}%
\psline[linestyle=dashed](0.8,1.5)(0.8,3)
\uput[u](4.4,3){5 mètres}
\rput(2.3,2.25){1,5 mètre}
\end{pspicture}}
 
\item Les deux extrémités de la cuve sont des demi boules de rayon 1,5~m. 

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item En prenant à nouveau $\pi \approx 3,14$, calculer le volume total en m$^3$ que représente ces deux demi boules.
\item Montrer que le volume total de la quille vaut $49,455$~m$^3$.
\end{enumerate}}
\hfill 
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(6,3.5)
\psarc(2.8,0.5){2.8}{0}{180}
\psline[linestyle=dashed](2.8,0.5)(5.6,0.5)
\rput(2.8,0.5){\psscalebox{1 0.35}{\psarc[linewidth=1pt](0,0){2.8}{180}{0}}}%
\rput(2.8,0.5){\psscalebox{1 0.35}{\psarc[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0){2.8}{0}{180}}}%
\uput[d](4.2,0.5){1,5 mètre}
\end{pspicture} }

\bigskip

\item  La quille est remplie à 20\,\% de sa capacité maximale. Quel est le volume d'eau en m$^3$ que contient la quille ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Rappel :}

Volume du cylindre $= \pi R^2 h$ \quad  Volume de la boule $= \dfrac{4}{3}\pi R^3$
 
Avec: $R$ : rayon et $h$ : hauteur 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Dans ce problème, on s'intéresse au trajet d'une régate organisée aux abords de Cayenne reliant la pointe du Mahury à l'îlet La Mère.
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J), \textbf{une unité représente 0,5 mille marin sur chaque axe.}
 
P désigne la pointe du Mahury, M l'antenne de l'îlet La Mère, Q l'îlet le père, B la bouée numéro 14 du chenal et D le Fort Diamant.

\bigskip
 
\textbf{PARTIE I}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points suivant dans le repère de la feuille annexe qui est à remettre avec la  copie : 

\[\text{P}(-5~;~-2,5) \quad ;\quad \text{M}(4~;~2)\quad ;\quad \text{Q}(1~;~6,5)\quad ;\quad 	\text{D}(-4~; ~-1)\]
 
On complétera la figure au fur et à mesure. 
\item  B est le milieu de [PM]. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de B. 
		\item Placer le point B dans le repère.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que PM $\approx 10$ unités. 
		\item En déduire la distance à vol d'oiseau de la Pointe du Mahury à l'îlet La Mère en mille marin puis en kilomètre sachant que 1 mille marin vaut $1,852$~km.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE II}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On donne les fonctions $f,~g$ et $h$ suivantes: 

\[f(x) = - \dfrac{3}{2}x \qquad 	g(x) = \dfrac{3}{2} x + 5 \qquad  
h(x) = 5\]
 
La droite (PQ) est la représentation graphique de l'une de ces fonctions. Laquelle ? Justifier la réponse. 
\item Le Fort Diamant est représenté par le point D$(- 4~;~-1)$. Le point D appartient-il à la droite (PQ) ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE III}

\medskip
 
Un voilier est parti de la Pointe du Mahury. Il se trouve au point V image de P par la translation de vecteur $\vect{\text{DO}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les coordonnées de $\vect{\text{DO}}$. 
\item Placer le point V dans le repère. 
\item Calculer les coordonnées de V. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À REMETTRE}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(5,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-5,-3)(5,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-3)(5,7)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Guyane juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Madagascar juin 2006
\hypertarget{Madagascar}{}

\label{Madagascar}
\lfoot{\small Madagascar}
\rfoot{\small juin 2006}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Asie--Madagascar juin 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

On considère les nombres :

\[\text{A} = \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5}\right) \times\left(7+ \dfrac{37}{9}	\right) \quad\text{et}	 \quad \text{B} = \dfrac{ 7\times10^3 \times 5 \times 10^5}{14 \times \left(10^2\right)^3}.\]

En précisant toutes les étapes du calcul :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Donner l'écriture scientifique de B.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les nombres
\[\text{C} = 5\sqrt{3}+ 2\sqrt{27}\quad \text{et}\quad  \text{D} =3\sqrt{2}\times \sqrt{6}.\]

Écrire les nombres C et D sous la forme $a\sqrt{3},~ a$ étant un nombre entier.

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

On donne l'expression :

\[G = (2x -1)^2 + (2x -1)(3x + 5).\]
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $G$.
\item Factoriser $G$.
\item Résoudre l'équation $G = 0$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

L'histogramme ci-dessous illustre une enquête faire sur l'âge des 30 adhérents d'un club de badminton mais le rectangle correspondant aux adhérents de 16 ans a été effacé.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(5,15)
\psaxes[Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(5,15)
\multido{\n=0+2}{7}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(5,\n)}
\uput[d](1,0){14} \uput[d](2,0){15} \uput[d](3,0){16} \uput[d](4,0){17} \uput[d](5,0){Âge}
\uput[l](0,15.2){Effectif} 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.75,0)(1.25,7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.75,0)(2.25,6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.75,0)(4.25,10)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre d'adhérents ayant 16 ans.
\item Quel est le pourcentage du nombre d'adhérents ayant 15 ans ?
\item Quel est l'âge moyen des adhérents du club ? Donner la valeur arrondie au dixième.
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous pour réaliser un diagramme  semi-circulaire représentant la répartition des adhérents selon leur âge (on prendra un rayon de 4 cm).
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{l|*{4}{c|}c}\hline
Âge&14 ans&15 ans&	16 ans&	17 ans&	Total\\ \hline
Nombre d'adhérents&	7&	6&&		10&	30\\ \hline
Mesure de l'angle (en degrés)&&&&&	180\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un triangle ADE tel que :

\[\text{AD = 6,6 cm, DE = 8,8 cm et AE = 11 cm.}\]

B est le point du segment [AD] tel que AB = 3 cm et C est le point du segment [AE] tel que (BC) soit parallèle à (DE). Sur la figure ci-dessous les dimensions ne sont pas respectées ; on ne demande pas de reproduire la figure.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5)
\pspolygon(2,0)(7.1,0)(2,3.3)
\psline(2,1.9)(4.22,1.9)
\psline{<->}(1.8,1.9)(1.8,3.3)
\psline{<->}(1.3,0)(1.3,3.3)
\psline{<->}(2,-0.3)(7.1,-0.3)
\psline{<->}(2.2,3.5)(7.2,0.2)
\pswedge(7.1,0){0.3}{143}{180}
\uput[ul](2,3.3){A} \uput[dl](2,1.9){B} \uput[dl](2,0){D} \uput[dr](7.1,0){E} \uput[dl](4.3,1.9){C} 
\rput{90}(1.6,2.5){3 cm} \rput{90}(1.1,1.5){6,6 cm} \uput[d](4.55,-0.3){8,8 cm} \uput[ur]{-37}(4.7,1.9){11cm} \uput[l](6.8,0.2){$37^\circ$} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur BC.
\item Montrer que le triangle ADE est rectangle.
\item Calculer la valeur, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{DEA}}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère un cylindre en bois de diamètre 12 cm et de hauteur 18 cm.

\medskip

\parbox{0.75\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item Exprimer le volume du cylindre en fonction de $\pi$.
\item On creuse dans ce cylindre un cône de rayon 4 cm et de hauteur 18 cm.
Montrer que, en cm$^3$, la valeur exacte de la partie restante est $552 \pi$.
\item Quelle fraction du volume du cylindre le volume restant représente-t-il ?

Exprimer cette fraction en pourcentage ; l'arrondir au dixième.
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.2\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2.5,3.5)
\psline(0,0.4)(0,2.8) \psline(2.4,0.4)(2.4,2.8)
\psellipse(1.2,2.8)(1.2,0.5)
\psellipse(1.2,0.4)(1.2,0.5)
\psellipse(1.2,0.4)(0.85,0.25) 
\psline(0.35,0.4)(1.2,2.8)(2.05,0.4)
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Tracer un triangle isocèle ABC de sommet principal B tel que :

\[ \text{AC = 4 cm et AB = 5 cm.}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points R et M tels que :

\[\vect{\text{CR}} = \vect{\text{AB}}\quad  \text{et}\quad  \vect{\text{BM}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}. \]

		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABRC ? Justifier. 
		\item Préciser la nature du quadrilatère ABCM. Justifier.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le point  C est le milieu du segment [MR].
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textsc{\textbf{Première partie}}

\medskip

Sur un plan, un terrain rectangulaire est représenté par un rectangle ABCD de largeur AB = 9 cm et de longueur BC = 12 cm.

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,4.5)
\psframe(6,4.5)
\psline(0,0)(6,4.5)
\psline(2,0)(6,3)
\uput[dl](0,0){A} \uput[ul](0,4.5){B} \uput[ur](6,4.5){C} \uput[dr](6,0){D} 
\rput{90}(-0.2,2.25){9 cm} \uput[u](3,4.5){12 cm} \uput[d](1,-0){4 cm} \rput{37}(3,2.5){15 cm} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'aire du triangle ACD. 
\item Calculer AC.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textsc{\textbf{Deuxième partie}}

\medskip

Les distances sont exprimées en cm et les aires en cm$^2$.

E est le point du segment [AD] tel que AE = 4 et $F$ est un point de [CD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On suppose que C$F = 3$ les droites (E$F$) et (AC) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.

Pour la suite du problème, on pose C$F = x$.
\item Montrer que l'aire du triangle E$F$D est $36 - 4 x$.
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle E$F$D est-elle égale à 24 cm$^2$.
\item Exprimer l'aire du quadrilatère ACFE en fonction de $x$.

\item Le plan est muni d'un repère orthogonal. Les unités choisies seront les suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, 1 cm représentera 1 unité ;
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, 1 cm représentera 5 unités,
\end{itemize}
 
Représenter sur du papier millimétré la fonction affine $f \:: \:x  \longmapsto 18 + 4 x$.
\item Retrouver sur le graphique la réponse au 3 laisser apparents les traits de construction,
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textsc{\textbf{Troisième partie}}

\medskip

Sachant que la largeur réelle du terrain est 27 m ;

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'échelle du plan.
\item Calculer l'aire du terrain $\left(\text{en m}^2\right)$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  Fin Madagascar juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2006
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie juin 2006~\decofourright}} 
    
\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIOUES } \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  A $= \dfrac{5}{11} - \dfrac{8}{11} \times \dfrac{5}{4}$.

Calculer A en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item B $= \dfrac{5 \times10^{-4} \times 3,6 \times10^2}{ 1,2 \times 10^{-3}}.$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer B.
		\item Donner le résultat sous la forme d'une écriture scientifique.
	\end{enumerate}
\item C $ = \sqrt{27} - 2\sqrt{3} + 5\sqrt{75}$.\\
Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{Le détail des calculs devra apparaître sur la copie}
\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de 540 et 288.
\item En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{540}{288}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression $D = (4x + 1)^2 + (3x + 8) (4x + 1)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $D$.
\item Factoriser l'expression $D$.
\item Résoudre l'équation $(4x + 1)(7x + 9) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES } \hfill 12 points }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur est le cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire un triangle DNB tel que DN = 5, NB = 12 et BD = 13
\item Démontrer que le triangle DNB est un triangle rectangle en N.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{DBN}}$. Arrondir le résultat au millième.
		\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{DBN}}$ arrondie au degré près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(3 ; 3), B$(-1~;~2)$, C$(-2~;~-2)$,  D$(2~;~-1)$ dans le repère ci- dessous.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées du point M milieu du 
segment[BD].

Placer ce point.
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs  $\vect{\text{AB}}$	 et $\vect{\text{DC}}$.
		\item En déduire que ABCD est un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\parbox{0.77\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10](0,0)(-5,-5)(5,5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J}
\end{pspicture}}\hfill \parbox{0.17\textwidth}{IMPORTANT :

Cette feuille est à joindre à la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11.6,5)
\psline(0,0)(11.1,0)(11,2.7)(10.5,2.7)(10.4,0)
\psframe*(10.7,0)(10.8,2.9)
\psline(10.5,2.3)(11,2.3) \psframe*(2.5,0)(2.6,0.7)
\psline(0,0)(10.8,2.9)
\psline(2.6,0.7)(2.9,0.5)(2.6,0.3)
\pscurve(2.2,0)(2.5,-0.2)(2.8,0) \pscurve(11,2.7)(10.85,2.9)(10.5,2.7) 
\psline{<->}(0,-0.5)(2.5,-0.5) \uput[d](1.25,0.){3 m}
\psline{<->}(0,-1)(10.8,-1)\uput[d](5.4,-0.5){48 m}
\uput[ul](2.5,0){B} \uput[ul](2.5,0.7){B$'$}
\uput[d](10.8,0){P} \uput[u](10.8,2.8){P$'$} 
\uput[r](2.7,0.2){2 m} \rput(5,3){\large (BB$'$) //  (PP$'$)} 
\uput[l](0,0){O} 
\psline(11.2,2.5)(11.6,2.7) \psline(11.2,2.4)(11.6,2.2) 
\psline(10.4,2.5)(10,2.7) \psline(10.4,2.4)(10,2.2) 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\vspace{1.5cm}
 
Un touriste veut connaître la hauteur du phare de la pointe Vénus situé dans la commune de Mahina. Pour cela, il met à l'eau une bouée B, munie d'un drapeau d'une hauteur BB$'$ de 2~m. Puis, il s'en éloigne jusqu'à ce que la hauteur du drapeau semble être la même que celle du phare. Le touriste se trouve alors au point O. La figure ci-dessus représente la situation à cet instant.

Calculer la hauteur PP$'$ du phare.

\newpage

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points }

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'association des élèves propose de financer le voyage de la classe de 3\up{e} 1 d'un collège en vendant des tricots. Pour cela, elle propose trois formules de financement.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Formule A : \np{1000} F par tricot vendu ;
\item Formule B :  une aide forfaitaire de \np{20000}~F et 700~F par tricot vendu ;
\item Formule C :  une aide forfaitaire de \np{100000}~F quel que soit le nombre de tricots vendus.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau suivant en utilisant celui donné à l'annexe A :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de tricots  vendus	&10			&50	&100		&150&250\\ \hline
Formule A					&\np{10000}	&	&			&	&	\\ \hline
Formule B					&			&	&\np{90000}	&	&	\\ \hline
Formule C					&\np{100000}&	&			&	&	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En s'aidant du tableau complété de l'annexe A, quelle est la formule qui rapporte plus d'argent à la classe si l'association vend 10 tricots ? 100 tricots ? 250 tricots ?
	\end{enumerate}
\item Soit $x$, le nombre de tricots vendus par l'association des élèves. On appelle :

$P_{\text{A}}(x)$ le montant du financement obtenu par la classe si l'association vend $x$ tricots avec la formule A,
 
$P_{\text{B}}(x)$, le montant du financement obtenu par la classe si l'association vend $x$ tricots avec la formule B.
  
Exprimer  $P_{\text{A}}(x)$ et  $P_{\text{B}}(x)$, les montants de financement en fonction de $x$.
\item À partir de combien de tricots vendus, la formule A rapporte-t-elle plus d'argent, pour la classe de 3\up{e} 1, que la formule B ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les constructions seront réalisées sur une feuille millimétrée avec le plus grand soin.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un repère orthogonal (O ; I,  J) avec O \textbf{placé en bas à gauche}. On prendra les unités suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  1 cm pour les tricots vendus sur l'axe des abscisses.
\item 1 cm pour \np{10000}~F sur l'axe des ordonnées,
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Dans le repère précédent, construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x) = \np{1000}x$ ;

$g(x) =  700x + \np{20000}$
\item L'association des élèves a gagné \np{111000}~F avec la formule B.

Déterminer graphiquement le nombre de tricots vendus. (On laissera apparents les
traits de construction).
\item Retrouver le résultat de la question précédente, en résolvant une équation.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane septembre 2006
\hypertarget{Antillessep}{}

\label{Antillessep}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{septembre 2006}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles-Guyane  septembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre A. (On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.)

\[\text{A} = \dfrac{13}{10} - \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{8}.\]

\item  Simplifier la fraction suivante pour la rendre irréductible

\[\text{B} = \dfrac{280}{448}.\]

\item  Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
3x+ 5y&=& -19\\
4x-\phantom{5}y&=& 13\\
\end{array}\right.\]
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
$C= (x  + 3) (5x - 4) + (x + 3)^2$.
\begin{enumerate}
\item  Développer puis réduire $C$.
\item  Factoriser $C$.
\item  Résoudre l'équation $(x + 3) (6x - 1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On désigne par $x$ la longueur des côtés d'un carré.

L'aire de ce carré est 32 cm$^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Traduire la phrase ci-dessus par une équation. 
\item  Calculer la longueur exacte des côtés du carré. 
\item  Écrire le résultat de la question 2  sous  la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers et où $b$ est le plus petit possible.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur cette figure, on a les longueurs suivantes :
\begin{center}AB = 5,4~cm ; BC = 7,2~cm; AC = 9~cm ; AD = 2,6~cm.\end{center}
Les droites (AE) et (BC) sont parallèles.

\emph{La figure n'est pas à refaire. Elle n'est pas donnée en vraie grandeur.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4)
\psline(4,0)(0.2,3.5)(0.2,0)(4,0)(0.2,2.3)%CDBCA
\psline(-0.2,2.3)(4.8,2.3)%AE
\uput[ul](0.2,2.3){A}  \uput[dl](0.2,0){B}  \uput[dr](4,0){C}  \uput[u](0.2,3.5){D}  \uput[ur](1.5,2.3){E}  
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en B.
\item  Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$, puis en déduire la mesure de
l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ (valeur arrondie au degré près).
\item  Calculer AE.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire FGH sur le schéma ci-dessous, l'image du triangle SEL, par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item  Construire UVW sur le schéma ci-dessous, l'image du triangle SEL par la rotation de centre A, d'angle $90$\degres, dans le sens des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.5454cm}
\begin{pspicture}(22,19)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(22,19) 
\pspolygon(4,15)(9,13)(7,18) %SLE
\uput[ul](4,15){S}   \uput[ur](7,18){E}  \uput[dr](9,13){L}  \uput[dr](10,7){A}  \uput[dr](7,1){B}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45] (10,7)(7,1) 
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.47\textwidth}{ABS est un triangle rectangle en A tel que 

BS =  9,5~cm et AB = 7,6~cm. On obtient un cône en faisant tourner le triangle ABS autour de son côté [SA].
\begin{enumerate}
\item Calculer SA. 
\item Calculer le volume de ce cône au cm$^3$ près.	
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psline(0,0.5)(3,2.4)(6,0.5)
\uput[ul](0,0.5){B}  \uput[dr](3,0.5){A}  \uput[u](3,2.4){S}
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(3,0.5)(3,2.4)
\scalebox{1}[0.2]{\psarc[linewidth=1.5pt](3,2){3}{180}{0}}%
\scalebox{1}[0.2]{\psarc[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](3,2){3}{0}{180}}%  
\end{pspicture}}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Un cinéma propose deux tarifs :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  \textbf{tarif 1 :} 7,50 \euro{} la place;
\item[$\bullet~$]  \textbf{tarif 2 :} 5,25 \euro{} la place sur présentation d'une carte d'abonnement de 27~\euro{} valable un an.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Remplir le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre de places achetées en un an 	&4	&20	&36\\ \hline
Prix en \euro{} avec le tarif 1		&	&	&  \\ \hline
Prix en \euro{} avec le tarif 2		&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  On désigne par $x$ le nombre de places achetées au cours d'une année.

On note P$_{1}$ le prix pavé avec le tarif 1,

P$_{2}$ le prix payé avec le tarif 2.

Exprimer P$_{1}$ et P$_{2}$ en fonction  de $x$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  En dépensant 52,50~\euro{} avec le tarif 1,  combien de places a-t-on achetée ?

Justifier la réponse par un calcul. 
		\item  En dépensant 84,75~\euro{} avec le tarif 2, combien de places a-t-on achetée ?

Justifier la réponse par un calcul. 
	\end{enumerate} 
\item  Construire dans un même repère :

\begin{itemize}
\item  la droite $\mathcal{D}_{1}$ représentant la fonction P$_{1} : x \longmapsto 7,5x$ ;
\item  la droite $\mathcal{D}_{2}$ représentant la fonction P$_{2} : x \longmapsto 5,25x + 27$.
\end{itemize}

L'origine du repère sera placée en bas et à gauche de la feuille de papier millimétré.

On prendra 1~cm pour 2 places en abscisse.

On prendra 1~cm pour $10$~\euro{} en ordonnée.
\item  Par lecture graphique, donner le nombre de places pour lequel les tarifs 1 et 2 sont égaux.
\item  Retrouver le résultat par le calcul.
\item  Pour combien de séances, le tarif 1 est-il plus avantageux que le
	tarif 2 ?	
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane septembre 2006
\newpage 
%%%%%%%%%%%%%   Groupement Est septembre 2006
\hypertarget{Estsep}{}

\label{Estsep}
\lfoot{\small{Groupement Est}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Est septembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les trois nombres A, B et C

\[\text{A} = \dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7}\div \dfrac{4}{13}~;~\text{B} = 5\sqrt{3} - \sqrt{48} + 4\sqrt{27}~;~\text{C} = \dfrac{\left(12 \times 10^{11}\right) \times \left(12 \times 10^{-3}\right)}{3 \times 10^3}.\]

En détaillant les calculs,

\medskip

\begin{enumerate}
\item  démontrer que A $= - \dfrac{3}{14}$,
\item  écrire B sous la forme $a\sqrt{3},~ a$ étant un entier relatif,
\item  donner l'écriture scientifique de C.	
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression

\[\text{E} = 16x^2- 25 + (x + 2) (4x + 5).\]

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $E$.
\item  Factoriser $16x^2 - 25$, puis en déduire la factorisation de $E$.	
\item  Résoudre l'équation :
\[(4x + 5) (5x - 3) = 0.\]
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
  
Un zoo  propose deux tarifs d'entrée un tarif pour les adultes et un autre pour les enfants.

Un groupe constitué de quatre enfants et d'un adulte paie 22~euros.

 On peut traduire ces données par l'équation à deux inconnues

\[4x+y = 22~ \text{notée}~ (\text{E}_{1}).\]

\begin{enumerate}
\item  Que représente l'inconnue $x$ et que représente l'inconnue $y$ dans cette équation ?
 
Un  autre groupe constitué de six enfants et de trois adultes paie 42~euros.
\item  Traduire cette information par une seconde équation 
notée (E$_{2}$) dépendant de deux inconnues $x$ et $y$.
\item  Résoudre le système constitué des deux équations (E$_{1}$) et (E$_{2}$) précédentes.
\item  Quel est le d'une entrée pour un enfant   et quel est celui d'une
entrée pour un adulte ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère la figure ci-dessous qui n'est pas dessinée en vraie grandeur.

L'unité de longueur est le centimètre.

Les droites (CD) et (OA) sont perpendiculaires.

On donne : OA = 9, OB = 12, AB = 15, AC = 3.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle AOB est rectangle et en déduire que les droites
(CD) et (OB) sont parallèles. 
\item  Démontrer en justifiant le raisonnement que CD $= 4$. 
\item  Un élève affirme que l'aire du triangle AOB est égale à trois fois l'aire du triangle ACD.

Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifiez votre réponse.	
 \end{enumerate}
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\psline(1.3,0.7)(5.2,4.9)(6.3,0)
\psline(3.2,5.4)(7.1,1.8)
\psline(0.9,5)(6.3,0)
\uput[ur](5.2,4.9){A}\uput[r](6.3,0){B}
\uput[l](4.5,4.2){C}\uput[ur](5.7,3.2){D}
\uput[l](3.25,2.8){O} 
\psline(4.62,4.1)(4.7,4.175)(4.6,4.275) 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\emph{On utilisera une feuille de papier millimétré}

Dans un repère orthonormé (O ; I,  J) tel que OI =  OJ = 1~cm, placer les points :

\[\text{A}(-1~;~7)\quad  \text{B}(1~;~3)\quad  \text{C}(3~;~5)\]

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les longueurs AB et AC.
		\item  En déduire que 1e triangle ABC est isocèle.	
	 \end{enumerate}
\item  Calculer les coordonnées du point R milieu du segment [BC] et placer
ce point sur le dessin. 
\item  Calculer les coordonnées du point E, symétrique de A par rapport à R,
\item  Démontrer que le quadrilatère ABEC est un losange.	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Un confiseur utilise une boîte de forme nouvelle pour emballer des dragées. Cette boîte a la forme dun solide SABCDEFGH  à neuf faces, qui se compose d'un cube  d'arête 4~cm en une pyramide régulière SABCD de sommet S. On note O le centre du carré ABCD et I le milieu du segment [BC]. (La pyramide SABCD étant régulière, on rappelle que SA = SB = SC = SD  et que [SO] est sa hauteur.)

\newpage

\begin{center} \textbf{Partie A}\end{center}

\medskip

\parbox{0.52\textwidth}{Dans cette partie on  pose SO = 2~cm.
\begin{enumerate}
\item  On admet que le triangle SOI est rectangle en O.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la longueur du  segment [OI] ?
		\item  Démontrer  alors que
 SI$ = 2\sqrt{2}$~cm. 
	\end{enumerate}
\item  Calcul de l'aire de la boîte 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que (SI] est perpendiculaire à [BC].
		\item  En déduire  la valeur exacte de l'aire du triangle SBC, puis la valeur exacte de l' aire des faces latérales de la pyramide SABCD
		\item Calculer la valeur exacte de l'aure totale des faces du solide SABCDEFGH, puis en donner un arrondi au centième.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.4\textwidth}{\psset{unit=0.95cm} \begin{pspicture}(6,8)
\pspolygon(3.15,3.35)(0,4.4)(0,1)(3.15,0)(5.25,1)(5.25,4.4)(3.15,3.35)(3.15,0)%BAEFGCBF
\psline(0,4.4)(2.7,7.2)(3.15,3.35)%ASB
\psline(5.25,4.4)(2.7,7.2)(4.2,3.9)%CSI
\psline[linestyle=dashed](0,1)(2.1,2)(2.1,5.4)(2.7,7.2)%EHDS
\psline[linestyle=dashed](5.25,1)(2.1,2)%GH
\psline[linestyle=dashed](0,4.4)(2.1,5.4)(5.25,4.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](4.2,3.9)(2.6,4.4)(2.7,7.2)%IOS 
\psline[linestyle=dashed](0,4.4)(5.25,4.4)%AC
\psline[linestyle=dashed](3.15,3.35)(2.1,5.4)%BD
\uput[ul](0,4.4){A}\uput[dr](3.15,3.35){B}
\uput[ur](5.25,4.4){C}\uput[ul](2.1,5.4){D}  
\uput[l](0,1){E}\uput[d](3.15,0){F}
\uput[dr](5.25,1){G}\uput[ul](2.1,2){H}  
\uput[dr](4.2,3.9){I}\uput[dl](2.6,4.4){O}
\uput[ur](2.7,7.2){S}
\end{pspicture}}
 
\medskip

\begin{center} \textbf{Partie B}\end{center}
 
\medskip
 
\emph{Dans cette partie, on note $x$ la longueur \rm{SO}, exprimée en centimètres.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le volume $\mathcal{V}$ du solide SABCDEFGH vérifie l'égalité

\[\mathcal{V} = \dfrac{16}{3}x  + 64. \]

Rappel :  le volume $\mathcal{V}$ d'une pyramide de hauteur $h$ et d'aire de base $b$ est donné par la formule :

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}b \times h.\]

\item  On note $f$ la fonction affine définie par $f(x) =  \dfrac{16}{3}x  + 64$.

Représenter la fonction $f$ pour $x$ compris entre $0$ et $4,5$~cm dans un repère orthogonal.

On prendra pour unités 4~cm sur l'axe des abscisses et 2~mm sur l'axe des
ordonnées. Prendre l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille de
papier millimétré.
\item  Le confiseur souhaite que le volume de sa boîte soit au moins égal à 80~cm$^3$. \\En utilisant la représentation graphique de la fonction $f$ déterminer à partir
de quelle valeur de $x$ cette condition est remplie.
\item  Retrouver le résultat précédent par le calcul.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Groupement Est septembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%   Groupement Nord septembre 2006
\hypertarget{Nordsep}{}

\label{Nordsep}
\lfoot{\small{Paris, Amiens, Créteil, Lille, Rouen, Versailles}}
\rfoot{septembre 2006}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Nord\footnote{Paris, Amiens, Créteil, Lille, Rouen, Versailles} septembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Tous les étapes des calculs suivants seront détaillées sur la copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item A $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{4}{7} \times \dfrac{5}{3}$.

Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
\item B$  = 5\sqrt{3} +  \sqrt{48} - 3\sqrt{75}$.

Calculer B et donner le résultat sous forme $a\sqrt{b}$ où  $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible.
\item C $ = \dfrac{3 \times 10^{-4} \times7\times 10^8}{15 \times 10^{-3} \times 8 \times 10^5}$.

Calculer C et donner le résultat en écriture scientifique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$D = (x - 4)^2 + (x - 4) (2x + 6).$
\begin{enumerate}
\item  Développer $D$.
\item  Factoriser $D$.
\item  Résoudre l'équation $(x - 4) (3x + 2) =  0$.
\item  Calculer $D$ pour $x =  - 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le PGCD de \nombre{1911} et de \nombre{2499} en précisant la méthode utilisée.
\item  Écrire sous forme irréductible la fraction $\dfrac{\nombre{2499}}{\nombre{1911}}$ (on indiquera le detail des calculs).
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Lors d'un contrôle, un groupe d'élèves de 3\up{e}~B a obtenu les notes suivantes

	\[6 - 7 - 7 - 3 - 9 - 9 - 9 - 10 - 12 -  12 - 13 - 14 - 15\]

\begin{enumerate}
\item  Quelle est l'étendue des notes ?
\item  Quelle est la moyenne des notes, arrondie au dixième de point ? 
\item  Quelle est la note médiane ?	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, l'unité de longueur est le centimètre.}

On considère la figure ci-dessous. Ses dimensions ne sont pas respectées et on ne demande pas de la reproduire.
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(11,6)
\pspolygon(0,1.2)(0,0)(10.6,5.5)(10.6,1.2)%EDFGE
\psline(6.2,1.2)(6.2,3.25)%CB
\uput[u](2.3,1.2){A}  \uput[u](6.2,3.25){B}   
\uput[d](6.2,1.2){C}  
\uput[dl](0,0){D}\uput[l](0,1.2){E}   
\uput[ul](10.6,5.5){F}\uput[dr](10.6,1.2){G}
\psframe(0,1)(0.2,1.2)
\psframe(6,1.4)(6.2,1.2)     
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On donne AB = 12 ; AC = 9,6 ; AD = 6,5 ; BC = 7,2 ; BF = 10,5 ; AG =  18.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer AE. 
\item  Calculer $\tan \widehat{\text{BAC}}$, puis donner la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie au degré.	
\item  Démontrer que les droites (FG) et (BC) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire $\mathcal{F}_{1}$, sur la figure ci-dessous, le symétrique de la figure $\mathcal{F}$ par rapport à la droite $d$.
\item  Construire $\mathcal{F}_{2}$ sur la figure ci-dessous, le symétrique de la figure $\mathcal{F}$ par rapport au point O. 
\item  Construire sur la figure ci-dessous, l'image de la figure $\mathcal{F}$ par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. 
\item  Construire $\mathcal{F}_{4}$, sur la figure ci-dessous, l'image de la figure $\mathcal{F}$ par la rotation de centre C, d'angle 90\up{$\circ$} dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit= 0.75cm}
\begin{pspicture}(16,16)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt](0,0)(16,16)
\psline(0.5,7.5)(9,16)
\psline(8,11)(7,8)(6,11)
\psarc(7,11){1}{0}{180}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](6,6)(8,6)(9,6)(12,8)
\uput[dr](6,6){A}  \uput[dr](8,6){O}  \uput[dr](9,6){C}  
\uput[dr](12,8){B}  \uput[ul](1,8){$d$}  \uput[u](7,10){$\mathcal{F}$}  
\end{pspicture}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

On considère les points
\begin{center}A$(- 1~;~3)$ ; B(3~;~6) ; C(3~;~1). \end{center}

\begin{enumerate}
\item  Placer les points A, B et C. 
\item  Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AC]. 
\item  Montrer que AB = 5 et BM $= 2\sqrt{5}$.
\item  On donne AM = 5, montrer que le triangle ABM est rectangle.
\item  Construire le point D tel que MD = BM.

Que représente le point M pour le segment [BD] ?

En déduire la nature exacte du quadrilatère ABCD. 
\item  Calculer l'aire $\mathcal{A}_{\text{ABM}}$ du triangle ABM, en déduire l'aire $\mathcal{A}_{\text{ABCD}}$ du quadrilatère ABCD.
\item  Placer le point F de coordonnées (7 ; 4). Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et  $\vect{\text{BE}}$.\\
En déduire la nature exacte du quadrilatère ABFC. Justifier. 
\item  Construire le point E tel que E soit l'image de B par la translation de vecteur $\vect{\text{MA}}$.

Démontrer que le quadrilatère AMBE est un rectangle.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Nord septembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%   Groupement Ouest septembre 2006
\hypertarget{Ouestsep}{}

\label{Ouestsep}
\lfoot{\small{Groupement Ouest}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Ouest\footnote{Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes} septembre 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'expression :
\[\text{A} = (x - 5)^2 + (2x + 3)(x - 5).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire A
\item Factoriser A.
\item Calculer A pour $x = 3$.
\item Résoudre l'équation $(x - 5)(3x - 2) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les nombres :

\[\text{B} = \dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{10}~;\quad \text{C} = 3\sqrt{75} - 2 \sqrt{108}~; \quad\text{D} = \dfrac{4,2 \times 10^5}{3 \times 10^8}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer B et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Écrire sous la forme $a\sqrt{3}$, où $a$ est un nombre entier.
\item Donner l'écriture scientifique de D.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{3}x + \phantom{4}y&=&20\\
3x - 4y&=&11\\
\end{array}\right.\]
\item Fred a joué $20$ parties d'un jeu dont la règle est la suivante :
\begin{itemize}
\item il n'y a pas de partie nulle ;
\item si on gagne une partie, on gagne $3$ euros, 
\item si on perd une partie, on perd $4$ euros
\end{itemize}
À la fin des $20$ parties jouées, Fred a gagné 11 euros.

Combien Fred a t-il perdu de parties ?

Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

ABCDHGFE est un cube d'arête 6~cm.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(5,4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.6,0)(4.1,3.7)(0,2.6)
\psline(0,2.6)(0,0)(2.6,0)(4.1,1.1)(4.1,3.7)(2.6,2.6)(2.6,0)%AEFGCBF
\psline(2.6,2.6)(0,2.6)(1.5,3.7)(4.1,3.7)(0,2.6)%BADCA
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.5,1.1)(1.5,3.7)%EHD
\psline[linestyle=dashed](1.5,1.1)(4.1,1.1)%HG
\uput[l](0,2.6){A}  \uput[dr](2.6,2.6){B}  \uput[ur](4.1,3.7){C}  \uput[ul](1.5,3.7){D} 
\uput[dl](0,0){E}  \uput[d](2.6,0){F}  \uput[r](4.1,1.1){G}  \uput[l](1.5,1.1){H}   
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire en vraie grandeur le carré ABCD avec sa diagonale [AC].
		\item  Construire le triangle ACF en vraie grandeur.
	\end{enumerate}
\item Calculer AC. 	
\item  La pyramide ABFC a pour base ABF et pour hauteur le segment [BC].
Calculer son volume. 
\item  Est-il vrai que le volume de la pyramide ABFC est égal à 18\:\%
  de celui du cube ? Justifier. 
\end{enumerate}	

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.}

\emph{Dans cet exercice, toutes les longueurs sont exprimées en centimètres.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5)
%\psgrid
\psline(0,1.5)(9.7,0.3)
\psline(0.2,4.3)(9.8,3.1)
\psline(1.4,0.6)(8.6,3.8)
\psline(5.3,4.4)(6.4,0)
\uput[d](0.8,1.4){N}  \uput[d](2.65,1.2){J}  
\uput[dl](6.2,0.75){K}
\uput[dl](5.8,2.55){I}  \uput[ul](5.5,3.65){L}  
\uput[u](7.65,3.4){M}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.8,1.4) 
\rput(5.3,3.2){4} \rput(6.3,1.6){6} 
\rput(1.5,1.1){6} \rput(4.4,0.7){9} 
\rput(4,2){7,5}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
Les droites (LM) et (JK) sont parallèles.

Les droites (LK) et (MJ) sont sécantes en I.

On donne : IL = 4 ; 1K = 6 ; IJ = 7,5 ; KJ = 9 et NJ = 6.

\emph{Il n'est pas demandé de refaire la figure.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer IM.	
\item  Les droites (LN) et (IJ) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\emph{Pour tout le problème, on utilisera le repère orthonormé} (O ; I, J)

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point A$(- 6~;~8)$. 	
		\item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AO], 
		\item Placer le point M et construire le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AO].
		\item Calculer la distance AO.
		
En déduire le  rayon   du cercle $\mathcal{C}$.  
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Placer le point N(1 ; 1).
		\item  Calculer MN.
		\item  Déduire de la question précédente que le point N appartient  
 au cercle $\mathcal{C}$.
		\item  En déduire, que le triangle OAN est rectangle en N.
		\item  Construire le point B, symétrique du  point O par rapport au point N.
		\item  Lire les coordonnées du point B.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le point C tel que

\[\vect{\text{OC}} = \vect{\text{AB}}.\]
		\item  Calculer les coordonnées du vecteur  $\vect{\text{AB}}$.
		\item  En  déduire les coordonnées du point C.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que ABCO est un losange.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Groupement Ouest septembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 2006
\hypertarget{Polynesiesep}{}

\label{Polynesiesep}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2006~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1   Le détail des calculs devra apparaître sur la copie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :

A $ = \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3} \times \dfrac{8}{21}$.
\item  Écrire B sous la forme $a\sqrt{2}$	où $a$ est un nombre entier relatif :

B $ = \sqrt{50} - 4\sqrt{18}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression $A = (2x + 3)^2 + (2x + 3)(5x - 7)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	Développer et réduire l'expression $A$.
\item 	Factoriser l'expression $A$.
\item 	Résoudre l'équation $(2x + 3) (7x - 4) = 0$.
\end{enumerate}
	
\bigskip
 
\textbf{Exercice  3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de $425$ et $204$ en détaillant les calculs.

\item En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{204}{425}$. 
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 4}

\medskip

Voici les notes de $200$ élèves regroupées dans le tableau reproduit ci-dessous.

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Montrer que le nombre d'élèves $x$ ayant obtenu une note comprise entre $12$ et $16$ ($16$ exclu) est égal à $64$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1,3cm}|*{5}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Notes $n$& {$	0 \leqslant  n < 4$}&{ $4 \leqslant n < 8$}	&{ $8 \leqslant  n < 12$}&{	$12 \leqslant  n <16$}&{ 	$16 \leqslant  n \leqslant  20$}\\ \hline
Nombre	d'élèves	&8	&48	&	56	&$x$	&	24\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Combien d'élèves ont obtenu une note strictement inférieure à 8 ?
\item Combien d'élèves ont obtenu au moins 12 ?
\item Calculer le pourcentage des élèves qui ont obtenu une note comprise entre
8 et 12 (12 exclu).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II	ACTIVITES GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textbf{Les figures sont à construire sur l'annexe jointe au sujet}

Sur l'annexe, on donne une droite ($d$) et une figure $\mathcal{F}$ constituée du triangle ABC et du demi-cercle de diamètre AB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire $\mathcal{F}_{1}$ image de la figure $\mathcal{F}$ par la symétrie centrale de centre A.
\item  Construire $\mathcal{F}_{2}$ image de la figure $\mathcal{F}$ par la symétrie orthogonale d'axe $(d)$.
\item  Construire $\mathcal{F}_{3}$ image de la figure $\mathcal{F}$ par la translation qui transforme A en B.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{Dans tout l'exercice, l'unité choisie est le centimètre.}

 \medskip
 
\parbox{0.6\textwidth}{Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en B, on a :
 
AB = 2,7 et BC = 3,6.

\textbf{La figure n'est pas à l'échelle. On ne demande pas de reproduire la figure.} }\hfill 
\parbox{0.3\textwidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(4,3)
\pspolygon(0,0)(0,3)(4,3)
\psline(0,2.8)(0.2,2.8)(0.2,3)
\uput[dl](0,0){A} \uput[l](0,3){B} \uput[ur](4,3){C} 
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item  Montrer par le calcul que AC $= 4,5$.
\item  Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\item  En déduire la mesure arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\textbf{Dans tout l'exercice, l'unité choisie est le centimètre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire un triangle TRI tel que :

TR $ = 3,6$  ; RI $= 4,8$ et TI $= 7,5$.
\item Placer le point A sur [TR] tel que TA $ =  1,2$ et le point B sur [TI] tel que TB $= 2,5$.
\item Montrer que les droites (AB) et (RI) sont parallèles.
\item Calculer AB.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,  I, J). L'unité choisie est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En utilisant la feuille de papier millimétré jointe, placer les points
A(3~;~4), B$(- 1~;~- 4)$ et C$(-7~;~-1)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montre que AB $= \sqrt{80},~\text{AC} = \sqrt{125}$  et BC $ = \sqrt{45}$.
		\item   En déduire que ABC est un triangle rectangle. Préciser l'angle droit.
	\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D tel que $\vect{\text{CD}} = \vect{\text{BA}}$.
		\item Donner les coordonnées du point D par lecture graphique.
		\item Démontrer que ABCD est un rectangle.
		\item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{BA}}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point K milieu du segment [AC].
		\item Que représente le point K pour le quadrilatère ABCD ?
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Construire le cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle ABC en précisant le centre et le rayon.
		\item Montrer que le point D est sur le cercle $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À COMPLÈTER ET À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : Exercice 1

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(12,8)
\psline(5,8)(11,2)
\rput{26.56}(6,3.5){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1.118}{0}{180}}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,3)(9,2)(7,4)
\uput[dl](5,3){A} \uput[ur](7,4){B} \uput[dr](9,2){C} \uput[dl](11,1.75){$(d)$} \uput[l](4.75,4.25){$\mathcal{F}$} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie septembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud novembre 2006
\hypertarget{AmeriqueSud}{}

\label{AmeriqueSud}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{novembre 2006}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Sud  novembre 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5 cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Rendre irréductible la fraction $\dfrac{425}{100}$	puis calculer et simplifier

\[\text{A} = \dfrac{425}{100} - \dfrac{3}{2}.\]

Donner l'inverse de A.
\item  Calculer B $= \left[(- 5)^2 + 3\right]^2 - 10^2$.
\item  On donne C $= 7\sqrt{18} - 3\sqrt{8} - \sqrt{32}$ et D $= \sqrt{2}\left(3\sqrt{2} - 1\right) + 2\left(2\sqrt{2} - 3\right)$.\\
Mettre C et D sous la forme $a\sqrt{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'inéquation $- 3(x- 1) -6 \geqslant  0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $- 2$ est-il solution de l'inéquation ? Justifier.	
\item  Résoudre l'inéquation ; représenter les solutions sur un axe (hachurer la partie de l'axe qui ne convient pas).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un meuble est proposé à 420~\euro{} après un rabais de 30\:\%.

Quel était le prix initial du meuble ?

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

$x$ est un nombre supérieur à 2.

 On considère un rectangle VOUS tel que VO $= 2x + 7$ et VS $= 2x - 3$.
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(1,0)(7,3.5)
\uput[ul](1,3.5){V} \uput[ur](7,3.5){O}  
\uput[dr](7,0){U}  \uput[dl](1,0){S}  
\uput[u](4,3.5){$2x + 7$} \uput[l](0.75,1.75){$2x - 3$}  
\end{pspicture}
\end{center}
  
\medskip

\begin{enumerate}
\item  On donne $E = (2x + 7) (2x - 3)$ et $G = 2(2x + 7) + 2(2x - 3)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Développer et réduire $E$.
		\item  Développer et réduire $G$.
	\end{enumerate}
\item Que représente, géométriquement, l'expression $E$ ? l'expression $G$ ?
\item Déterminer $x$ pour que VO soit le double de VS.

Que vaut  $G$ dans ce cas ?
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire un triangle SER rectangle en R tel que SB = 4~cm et  SE = 6~cm. 
\item  Calculer l'angle $\widehat{\text{SEB}}$. Arrondir le résultat au dixième de degré. 
\item  Calculer la valeur exacte de EB.
\item  En tournant autour de la droite (EB), le triangle SEB engendre un cône :  EB est sa hauteur et [SB] est un rayon de la base.

Calculer le volume de ce cône. Arrondir au cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.63\linewidth}{\emph{La figure ci-contre n'est pas en  vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.}

Les points N, O, R d'une part et les points M, O, S d'autre part sont alignés dans cet ordre.

OS = 6~cm ; OM = 9~cm ; ON =  5,4~cm   et OR = 3,6~cm.
\begin{enumerate}
\item Les droites (MN) et (RS) sont-elles parallèles ? Justifier.
\item On suppose que SR = 4,8~cm. Le triangle ORS est-il rectangle ?

Justifier.
\item En utilisant le théorème de Thalès, calculer MN.
\item On admettra que les droites (MN) et (NR) sont perpendiculaires.

Quelle est l'aire du quadrilatère MNSR ? Justifier.\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,6.5)
\psline(0,3.56)(4.7,5.8) 
\psline(0.4,1)(4.7,6.3)
\psline(0.2,1.1)(4.3,4.2)
\psline(0,4)(4.5,4)
\psline(0.9,0)(0.9,6.5)
\psline(4,0.5)(4,6.5)
\uput[ul](0.9,1.62){M} \uput[ul](0.9,4){N} \uput[u](2.8,4){O} \uput[ul](4,4){R} \uput[ul](4,5.43){S} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{On demande de faire une figure sur du papier millimétré.}

Dans un repère orthogonal (O ; I,  J) d'unité le centimètre, placer les points :

\begin{center} E$(-3~;~ 0)$ ; B(2 ; 0) ; T(0 ; 4) et U(5 ; 4). \end{center}

\begin{enumerate}
\item  Lire les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{ET}},~\vect{\text{EB}},~\vect{\text{UE}}$  et $\vect{\text{BU}}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur ET, puis la longueur EB. 
		\item Quelle est la nature du quadrilatère TUBE ? Justifier.
		\item F est le centre de symétrie de TUBE.

Placer F et calculer ses coordonnées.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  ($\mathcal{C}$) est le cercle de centre E qui passe par B. ($\mathcal{C}$) recoupe l'axe des	abscisses en A. Placer A.
		
Quelle est la nature du triangle ATB ?

Justifier.
		\item  Démontrer que les droites (AT) et (EF) sont parallèles.
		\item  À l'aide d'une propriété, comparer les longueurs EF et AT.
	\end{enumerate}
\item  Quelle est l'image du triangle ATE par la translation qui transforme A
en E ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud novembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle--Calédonie décembre 2006 
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet
 Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\[5pt]Décembre 2006}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne :

\[\text{A} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6}~~\text{et}~~\text{B} = \dfrac{7}{5} - \dfrac{9}{5} \times \dfrac{2}{21}.\]

Calculer A et B.

On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
\item On donne les nombres :

\[\text{C} = 5 - 3 \sqrt{2}\quad \text{et} \quad \text{D} = 3 + 2\sqrt{2}.\]

Calculer C $+$ D puis C $-$ D ; on donnera les résultats sous la forme $a + b\sqrt{c},\: c$ étant le plus petit possible. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Cette série statistique représente les pointures des claquettes de 25 personnes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
42&	42&	40&	39&	42\\  \hline
41&	38&	38&	39&	46\\  \hline
44&	41&	38&	38&	39\\  \hline
38&	39&	39&	45&	38\\  \hline
39&	39&	40&	38&	38\\  \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau des effectifs suivant. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Pointure	des claquettes	&38		&39	&40	&41	&42	&43	&44	&45 &46\\ \hline
Effectifs					&		&	&	&	&	&	&	&	&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item  Déterminer l'étendue, la médiane et calculer la moyenne de cette série statistique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

On donne l'expression suivante : $E = (3x- 1)^2 + (2x+ 5) x (3x- 1)$.
\begin{enumerate}
\item  Développer puis réduire l'expression $E$. 
\item  Factoriser l'expression $E$. 
\item  Résoudre l'équation: $(3x - 1) x (5x + 4) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

V représente la vitesse moyenne, $d$ la distance parcourue et $t$ la durée du parcours. Les trois grandeurs vérifient la relation : V $= \dfrac{d}{t}$.
Compléter le tableau suivant. Les réponses seront inscrites avec leurs
unités.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&V	&	$d$	&$t$\\ \hline
$a$	&	70 km/h	&		&5 h\\ \hline
$b$	&	9 m/s		&450 m	& \\ \hline
$c$	&	25 m/s	&		&2 mm\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, la figure n'est pas en vraie grandeur.}

RST est un triangle rectangle en S tel que $\widehat{\text{RTS}} = 57$\degres{} et RS = 19~cm.

Calculer la longueur ST et donner le résultat arrondi au mm près.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\pspolygon(1.1,2.2)(5.5,2.2)(5.5,0)%RST
\uput[l](1.1,2.2){R}  \uput[ur](5.5,2.2){S}  \uput[dr](5.5,0){T}  
\psline(5.5,2)(5.3,2)(5.3,2.2)
\pswedge(5.5,0){4mm}{90}{150}
\end{pspicture}
 \end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On considère un repère orthonormé (O ; I, J). L'unité choisie est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(0~;~2); B$(1~;~ - 1)$ ; C(6~;~4).
\item Montrer que BC $= \sqrt{50}$.
\item On admet que AB$ = \sqrt{10}$ et AC $= \sqrt{40}$. 

Montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AB].
\item Sur la figure de la question 1., placer 1e  point D, image du point A par
la translation de vecteur $\vect{\text{CB}}$.
\item Montrer que le quadrilatère ACBD est un parallélogramme.	
\item Que représente le point M pour le segment [CD] ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{ Exercice 3}}

\medskip

Soit ACD un triangle, B est un point du segment [AD] et E un point du
segment [AC].

On donne :

\[\text{AB} = 5~\text{	cm}~ ;~ \text{AE} =  4~\text{cm}~ ;~ \text{AC} = 6,4~\text{cm} ~; ~\text{AD} =  8~\text{cm}~\text{et}~ \text{CD} =  10~\text{cm}.\]

\begin{enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur.
\item Montrer que les droites (BE) et (CD) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

On considère le carré ABCD dont la mesure d'un côté (en cm) a pour expression $2x + 1$, et le carré AEFG ayant 4~cm de côté, comme représentés ci-dessous (la figure n'est pas en vraie grandeur).

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,7)
\psframe(6,6)
\pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(6,0)(6,6)(3.4,6)(3.4,2.6)(0,2.6)
\uput[r](6,3){$2x+ 1$} \uput[ul](0,6){A}  \uput[ur](6,6){B} 
\uput[dr](6,0){C}  \uput[dl](0,0){D}  \uput[u](3.4,6){E}  \uput[dr](3.4,2.6){F}  \uput[l](0,2.6){G}
\rput(1.7,6.6){$4$} 
\psline{->}(1.9,6.6)(3.4,6.6)    \psline{->}(1.5,6.6)(0,6.6) 
\psline{->}(6.3,3.3)(6.3,6)     \psline{->}(6.3,2.7)(6.3,0)
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on considère que $x$ est égal à $3$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter, dans ce cas, la figure en vraie grandeur.
\item Calculer, dans ce cas, le périmètre du polygone BCDGFE.	
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on considère que $x$ est supérieur à $2$.}

On désigne par $\mathcal{P}$ le périmètre du polygone BCDGFE.
 \begin{enumerate}
\item  Montrer que $\mathcal{P}= 8x + 4$.	
\item  En utilisant l'expression de la question précédente, 
calculer $\mathcal{P}$ dans le cas où $x = 3$.	
\item  Pour quelle valeur de $x$, ce périmètre $\mathcal{P}$ est-il le double de celui du carré AEFG ?
\end{enumerate}

\bigskip
  	
\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par $f : x \longmapsto 8x + 4$.
\begin{enumerate}
\item Tracer sur papier millimétré, dans un repère orthogonal, la représentation graphique de cette fonction, pour les valeurs de $x$ positives.

On prendra 2~cm par unité sur l'axe des abscisses et 2~cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées. On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille.
\item Déterminer graphiquement pour quelle valeur de $x,~f(x) = 28$. 

On laissera apparents les traits de construction.
\item Déterminer graphiquement :
	\begin{enumerate}
		\item  pour quelle valeur de $x$, le périmètre du polygone BCDGFE est égal à 40~cm.
		\item  quel est le périmètre du polygone BCDGFE lorsque $x = 3,5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%    fin Nouvelle--Calédonie décembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%    Nouvelle--Calédonie mars 2007
\hypertarget{Caledoniemars}{}

\label{Caledoniemars}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small mars 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nouvelle--Calédonie  mars 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

Attention, les calculs doivent être détaillés. 

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne : 

\[\text{A} = \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6}\times \dfrac{7}{9} \quad ; \quad  \text{B} = \dfrac{1}{35}  : \dfrac{12}{7} + \dfrac{1}{15} \quad ; \quad  	\text{C}  = \dfrac{135 \times  10^{14}}{5 \times 10^{-6}}.\] 

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et B. On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible. 
\item  Calculer C et donner l'écriture scientifique. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne 

D $= \sqrt{125}~;~ \text{E} = \sqrt{50} \times \sqrt{8}~;~ \text{F}  = \left(5 +\sqrt{3}\right)\left (5 - \sqrt{3}\right)$.
 
\begin{enumerate}
\item  Écrire D sous la forme $a\sqrt{b}$ ($a$ et $b$ entiers, $b$ étant le plus petit possible). 

\item  Calculer E et F. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne $G = (x - 5)^2 - (x - 5)(7 - 2x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $G$. 
\item  Factoriser $G$. 
\item  Résoudre l'équation $(x- 5)(3x- 12) = 0$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

J'ai cueilli 96 trèfles, certains sont à 3 feuilles, les autres à 4 feuilles. On compte au total 293 feuilles. 

\begin{enumerate}
\item  $x$ désignant le nombre de trèfles à 3 feuilles et $y$ celui des trèfles à 4 feuilles, écrire un système de deux équations à deux inconnues traduisant la situation de l'énoncé.
 
\item  Résoudre le système et en déduire le nombre de trèfles à 4 feuilles. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Activités géométriques} \hfill 12 points}

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L'exercice  1 a été supprimé en conformité avec le nouveau programme. 

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\textbf{Exercice 2}

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Soit ABC un triangle rectangle en B. 

On donne : AB = 8 cm et $\widehat{\text{BAC}} = 30 ~\degres$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire la figure en vraie grandeur. 
\item  On note H le pied de la hauteur issue de B. Calculer, en centimètres, la longueur du segment [AH], arrondie au mm près . 
\item  Calculer, en centimètres, la longueur du segment [BC], arrondie au mm près. 
\end{enumerate}

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\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit ABCD un rectangle tel que : AB = 6 cm et AD = 4,5 cm.

E est un point du segment [AB] tel que : AE = 3,6 cm.
  
M est un point du segment [AD] tel que : AM = 2,7 cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Construire la figure en vraie grandeur. 
\item  Démontrer que les droites (EM) et (80) sont parallèles. 
\item  On considère le point N du segment [BC] tel que : CN = 2 cm. 

La parallèle à la droite (BD) passant par N coupe la droite (CD) en P. 
Calculer PC. 
\item  Calculer la longueur NP. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Sosefo propose d'amener des personnes sur un îlot avec son bateau tout au long de l'année. 

Il a établi deux tarifs : 

Tarif A : \np{1200}~F la traversée, 

Tarif B : Un versement de \np{5000}~F en début d'année puis 700~F pour chaque traversée. 

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\textbf{\textsc PREMIÈRE PARTIE }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}X}\hline
Nombre de traversées	&5 	&12 &18 \\ \hline
Tarif A 				&	&	& \\ \hline
Tarif B					&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item  On appelle $x$ le nombre de traversées. Exprimer en fonction de $x$ :
 
	\begin{enumerate}
			\item le prix P$_{\text{A}}$ à payer avec le tarif A ; 
			\item le prix P$_{\text{B}}$ à payer avec le tarif B. 
	\end{enumerate}
\item  Sur une feuille de papier millimétré, tracer dans un repère les représentations graphiques des fonctions suivantes :
 
$\quad  f_{\text{A}}~ :~ x \longmapsto  \np{1200}x$ ; 

$\quad  f_{\text{B}}~ :~ x \longmapsto 700x + \np{5000}$. 

On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille. 

On prendra comme unités : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses,  1 cm = 1 traversée ; 
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, 1 cm = \np{1000}~F.
\end{itemize} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc DEUXIÈME PARTIE}

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Lecture graphique : On laissera les traits de construction apparents.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour 6 traversées : 
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le prix à payer avec le tarif A ?
		\item Quel est le prix à payer avec le tarif B ?
		\item Quel est le tarif le plus intéressant ? 
 	\end{enumerate}	
\item Avec \np{15000}~F : 
	\begin{enumerate}
		\item Combien de traversées peut-on faire avec le tarif A ? 
		\item Combien de traversées peut-on faire avec le tarif B ? 
		\item Quel est le tarif le plus intéressant ? 
	\end{enumerate}
\item  À partir de combien de traversées est-il plus intéressant de prendre le  tarif B ? Justifier. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc TROISIÈME PARTIE }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation : 

\[\np{1200}x = \np{5000} + 700x.\] 

\item  Donner l'interprétation du résultat.
 
\emph{Remarque : En Nouvelle-Calédonie, on utilise le franc pacifique. Pour information, $100$ francs pacifique valent environ $0,838$ euro.} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%    fin Nouvelle--Calédonie mars 2007
 \end{document} 