\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet des collèges}, pdftitle = {Année 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small L'intégrale 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\huge \textbf{\decofourleft~Brevet 2009 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2009 à mars 2010}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2009} \dotfill \pageref{Pondichery} \medskip \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2009} \dotfill \pageref{AmeriqueNord} \medskip \hyperlink{Liban}{Liban juin 2009} \dotfill \pageref{Liban} \medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 2009} \dotfill \pageref{Antilles} \medskip \hyperlink{Asie}{Asie juin 2009} \dotfill \pageref{Asie} \medskip \hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2009} \dotfill \pageref{Etranger} \medskip \hyperlink{EtrangerII}{Centres étrangers II juin 2009} \dotfill \pageref{EtrangerII} \medskip \hyperlink{Metropole}{Métropole, La Réunion juin 2009} \dotfill \pageref{Metropole} \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2009} \dotfill \pageref{Polynesie} \medskip \hyperlink{Antillessep}{Antilles--Guyane septembre 2009} \dotfill \pageref{Antillessep} \medskip \hyperlink{Metropolesep}{Métropole, La Réunion septembre 2009} \dotfill \pageref{Metropolesep} \medskip \hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie septembre 2009} \dotfill \pageref{Polynesiesep} \medskip \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2009} \dotfill \pageref{AmeriqueSud} \medskip \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle Calédonie décembre 2009} \dotfill \pageref{Caledonienov} \medskip \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle Calédonie mars 2010} \dotfill \pageref{Caledoniemars} } \newpage \newpage %%%%%%% Pondichéry avril 2009 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{avril 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry~\decofourright\\ avril 2009}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Activités numériques} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : A =$\dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15} \times \dfrac{5}{8}$ \item B $ = 3\sqrt{2} - \sqrt{98}$ \begin{enumerate} \item Donner la valeur arrondie au centième de B. \item Écrire B sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} } \begin{enumerate} \item $-2$ est-il solution de l'inéquation : $3x +12 < 4 - 2x$ ? Justifier. \item $-2$ est-il solution de l'équation : $(x - 2)(2x + 1) = 0$ ? Justifier. \item $-2$ est-il solution de l'équation : $x^3 + 8 = 0$ ? Justifier. \item Le couple $(-2~;~ 1)$ est-il solution du système $\left\{\begin{array}{l c r} 2x + 3y&=&-1\\ \phantom{2}x+5y&=&3\\ \end{array}\right.$ ? Justifier. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}} \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD de 238 et 170 par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires. \item En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{170}{238}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} } \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte. Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. \emph{Pour chacune des trois questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.} \textbf{Énoncé :} Un sac contient six boules: quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,1.8) \pscircle(0.4,1.5){0.3} \rput(0.4,1.5){1} \pscircle(1.2,1.6){0.3} \rput(1.2,1.6){2} \pscircle(1.3,0.5){0.3} \rput(1.3,0.5){1} \pscircle(2.1,1.2){0.3} \rput(2.1,1.2){ 3} \pscircle*(2.9,1.5){0.3} \rput(2.9,1.5){\white 1} \pscircle*(3,0.6){0.3} \rput(3,0.6){\white 2} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|m{4,75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Numéro & Question &\footnotesize Réponse A&\footnotesize Réponse B&\footnotesize Réponse C\\ \hline 1 &Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?& \rule[3pt]{}{5mm}$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{6}{4}$&4\\ \hline 2 &Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ?&\rule[3pt]{}{5mm} $\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{3}$\\ \hline 3 & Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ?&\rule[3pt]{}{5mm} $\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{2}{4}$&$\dfrac{3}{6}$\\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Activités géométriques} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} } \medskip \parbox{0.7\linewidth}{On considère une bougie conique représentée ci-contre. (\emph{la figure n'est pas aux dimensions réelles.}) Le rayon OA de sa base est 2,5 cm. La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.} \hfill \parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-1)(2,5) \psellipse(0,0)(1.5,0.5) \psline(-1.5,0)(0,4.8)(1.5,0) \psline(-0.7,-0.4)(0,4.8) \psline[linestyle=dashed](-0.7,-0.4)(0,0)(0,4.8) \uput[r](0,0){O} \uput[dl](-0.7,-0.4){A} \uput[u](0,4.8){S} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Sans justifier, donner la nature du triangle SAO et le construire en vraie grandeur. \item Montrer que la hauteur SO de la bougie est 6~cm. \item Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm$^3$ ? \item Calculer l'angle $\widehat{\text{ASO}}$ ; on donnera la valeur arrondie au degré. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} } \medskip On considère un triangle EFG tel que EF = 6 cm, FG = 7,5 cm et GE = 4,5 cm. \medskip \begin{enumerate} \item Construire le triangle EFG. \item Montrer que le triangle EFG est rectangle et préciser en quel point. \item Construire le point M milieu de [EF] et construire la droite parallèle à [EG] passant par M ; elle coupe [FG] en N. \item Montrer que N est le milieu de [FG]. \end{enumerate} \newpage \textbf{Problème} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4}\begin{pspicture}(-0.8,-1)(5,4) \pspolygon(0,3)(0,0)(5,0)(5,4) \psline(0,3)(1.9,0)(5,4) \uput[ul](0,3){T} \uput[dl](0,0){P} \uput[dr](5,0){A} \uput[ur](5,4){R} \uput[d](1.9,0){$M$} \psline[linewidth=0.25pt]{<->}(0,-0.4)(5,-0.4) \psline[linewidth=0.25pt]{<->}(-0.4,0)(-0.4,3) \psline[linewidth=0.25pt]{<->}(5.4,0)(5.4,4) \uput[l](-0.4,1.5){3} \uput[d](2.5,-0.4){5}\uput[r](5.4,2){4} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.47\linewidth}{\textbf{Les longueurs sont exprimées en centimètres.} TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que : TP = 3 ; PA = 5 ; AR = 4. $M$ est un point variable du segment [PA], et on note $x$ la longueur du segment [P$M$].} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Dans cette question, on se place dans le cas où} \boldmath $x = 1$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Faire une figure. \item Démontrer que, dans ce cas, le triangle ARM est isocèle en A. \item Calculer les aires des triangles PTM et ARM. \end{enumerate} \item \textbf{Dans cette question, on se place dans le cas où} \boldmath $x$ \unboldmath \textbf{est un nombre inconnu.} \begin{enumerate} \item Donner les valeurs entre lesquelles $x$ peut varier. \item Montrer que l'aire du triangle PTM est $1,5 x$ et l'aire du triangle ARM est $10 - 2x$. \end{enumerate} \medskip \textbf{La représentation graphique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, de la fonction représentant l'aire du triangle ARM en fonction de \boldmath $x$ \unboldmath est donnée en annexe.} \textbf{Répondre aux questions suivantes, 3. et 4., en utilisant ce graphique à rendre avec la copie.} \textbf{Laisser apparents les traits nécessaires.} \item \begin{enumerate} \item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle ARM est égale à 6 cm$^2$ ? \item Lorsque $x$ est égal à 4~cm, quelle est l'aire du triangle ARM ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur ce graphique donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}, tracer la droite représentant la fonction : $x \longmapsto 1,5x$. \item Estimer graphiquement, à un millimètre près, la valeur de $x$ pour laquelle les triangles PTM et ARM ont la même aire. Faire apparaître les traits de construction nécessaires. \item Montrer par le calcul que la valeur exacte de $x$ pour laquelle les deux aires sont égales, est $\dfrac{100}{35}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{landscape} \begin{center} \psset{xunit=3.8cm,yunit=1cm,comma=true} \begin{pspicture}(5.4,11) \multido{\r=0.0+0.2}{28}{\psline[linestyle=dashed](\r,0)(\r,10)} \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(5.4,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=20]{->}(0,0)(5.4,10) \psline[linewidth=1.5pt](0,10)(5,0) \rput(2.7,11){\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}} \rput(2.6,8.5){aire du triangle R$M$A} \uput[r](0,10.5){aire en cm$^2$} \uput[d](5,-0.5){longueur de $x$ en cm} \multido{\n=0+1}{11}{\uput[l](0,\n){\n~cm$^2$}} \end{pspicture} \end{center} \end{landscape} %%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2009 \newpage %%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2009 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{DurŽée : 2 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord juin 2009~\decofourright}} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisŽée. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule d'entre elles est exacte. Chaque réponse donne un point, une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève aucun point. \textbf{Pour chacune des 5 questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|>{\centering \arraybackslash}p{2cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &&Réponse 1 &Réponse 2 &Réponse 3\\ \hline 1 &$6 - 4 (x - 2)$ est égal à &$2x-4$ &$14-4x$ &$-2-4x$\\ \hline 2 & Quelle est l'expression factorisée de : $4x^2 - 12x + 9$& $(2x + 3)(2x - 3)$ &$(2x + 3)^2$& $(2x - 3)^2$\\ \hline 3 &Pour $x = -2$, l'expression $5x^2 + 2x - 3$ est égale à &13& $-27$ &17 \\ \hline 4 & Le nombre 1 est solution de l'inéquation: &$4x- 3> 7$ &$-2x + 1 \leqslant -3$ &$5x + 3 < 9$\\ \hline 5 &$\dfrac{4 \times 10^{-3}}{5 \times 10^2}$ est égal à& \np{0,0000008}& $8 \times 10^{-6}$ &$0,8 \times 10^{-6}$ \\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X|X|}\cline{2-2} \multirow{4}{6cm}{On donne le programme de calcul suivant : }&Choisir un nombre\\ & Multiplier ce nombre par 4\\ & Ajouter 6 \\ &Écrire le résultat\\ \cline{2-2} \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque : \begin{enumerate} \item le nombre choisi est $1,2$ ; \item le nombre choisi est $x$. \end{enumerate} \item Quel nombre doit-on choisir pour que le résultat soit égal à 15 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD de 186 et 155 en expliquant la méthode utilisée (faire apparaître les calculs intermédiaires). \item Un chocolatier a fabriqué 186 pralines et 155 chocolats. Les colis sont constitués ainsi : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Le nombre de pralines est le même dans chaque colis. \item[$\bullet~$] Le nombre de chocolats est le même dans chaque colis. \item[$\bullet~$] Tous les chocolats et toutes les pralines sont utilisés. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Quel nombre maximal de colis pourra-t-il réaliser ? \item Combien y aura-t-il de chocolats et de pralines dans chaque colis ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip \emph{Les longueurs sont données en centimètres.} On sait que les droites (BD) et (CE) sont parallèles. On donne OB = 7,2 ; OC = 10,8 ; OD = 6 et CE = 5,1. \begin{center} \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(16,5) \psline(0,1.4)(15,1.4) \psline(0,0)(14.8,4.2) \psline(1.4,0.42)(1.2,1.4) \psline(11.6,1.4)(11.2,3.2) \psline(14,1.4)(13.4,3.85) \uput[u](1.2,1.4){F} \uput[dr](1.4,0.42){G} \uput[d](4.9,1.4){O} \uput[ul](11.2,3.2){B} \uput[dr](11.6,1.4){D} \uput[ul](13.2,3.8){C} \uput[d](14,1.4){E} \end{pspicture} \end{center} \emph{On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur.} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer OE puis BD. \item On donne OG = 2,4 et OF = 2. Démontrer que (GF) et (BD) sont parallèles. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 :} \medskip \parbox{0.57\linewidth}{On donne BD = 4 cm; BA = 6 cm et \mbox{$\widehat{\text{DBC}}= 60\degres$}. \emph{On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur. } \begin{enumerate} \item Montrer que BC = 8~cm. \item Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième. \item Calculer AC. \item Quelle est la valeur de $\tan \widehat{\text{BAC}}$ ? \item En déduire la valeur arrondie au degré de $\widehat{\text{BAC}}$. \end{enumerate} }\hfill \parbox{0.37\linewidth}{\psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(7.5,6.5) \pspolygon(4.8,0)(7.3,2.05)(0,6.4)(4.8,0)(0,0)(0,6.4) \rput{36}(4.8,0){\psframe(0.3,0.3)} \psarc(4.8,0){4mm}{123}{180}\rput(0,0){\psframe(0.3,0.3)} \uput[dr](7.3,2.05){A} \uput[d](4.8,0){B} \uput[l](0,6.4){C} \uput[d](0,0){D} \uput[d](2.4,0){4 cm} \uput[dr](6.15,1.025){6 cm} \uput[ul](4,0){60\degres} \end{pspicture} } \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème } \hfill 12 points} \medskip On considère la figure ci-dessous où les dimensions sont données en cm et les aires en cm$^2$. ABCD est un rectangle. Le triangle DCF est rectangle en D. \medskip \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-0.5,0)(6,9.5) \psline(1,6.7)(1,0)(5.8,6.7) \psframe(1,6.7)(5.8,8.9) \psline[linestyle=dotted]{<->}(0.8,0)(0.8,6.8)\uput[l](0.8,3.4){$x$} \psline[linestyle=dotted]{<->}(0.2,0)(0.2,8.9)\uput[l](0.2,4.45){$6$} \psline[linestyle=dotted]{<->}(1,9)(5.8,9)\uput[u](3.7,8.9){$4$} \uput[ul](1.6,8.9){A} \uput[ur](5.8,8.9){B} \uput[dr](5.8,6.7){C} \uput[ul](1.6,6.7){D} \uput[d](1,0){F} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.58\linewidth}{\textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question on a AB = 4 ; AF~=~6 et DF = 2 \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du rectangle ABCD. \item Calculer l'aire du triangle DCF. \end{enumerate} \item Dans la suite du problème AB = 4 ; AF~=~6 ; DF $=x$ et AD = $6 - x$ \begin{enumerate} \item Montrer que l'aire du rectangle ABCD est de $24 - 4x$. \item Montrer que l'aire du triangle DCF est $2x$. \item Résoudre l'équation $24 - 4x = 2x$. Pour quelle valeur de $x$, l'aire du rectangle ABCD est-elle égale à l'aire du triangle DCF ? \end{enumerate} \end{enumerate}} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On note $f$ la fonction définie par : $f(x) = 24 - 4x$ et $g$ la fonction définie par : $g(x) = 2x$. Compléter le tableau figurant sur le document \textbf{annexe}, puis représenter graphiquement la fonction $f$ sur le document annexe (à rendre avec la copie) sur lequel figure la représentation graphique $(\mathcal{G})$ de la fonction $g$. \item Par lecture graphique, déterminer pour quelle valeur de $x$ l' aire de DCF est égale à 6~cm$^2$. \item Par lecture graphique, déterminer l'aire de ABCD pour $x = 2,5$~cm. \item Par lecture graphique, retrouver le résultat de la question 2. c. de la partie A. \medskip Pour les questions 2., 3. et 4. on laissera apparents les traits nécessaires sur le graphique. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \medskip \begin{flushleft}\textbf{Problème} \medskip \textbf{Partie B 1.} \end{flushleft} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0&1&5\\ \hline $f(x) = 24 - 4x$&&&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1.2)(9,27.2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(8.5,27) \multido{\n=0.5+1.0}{9}{\psline(\n,0)(\n,27)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-1)(9,27) \uput[d](8.5,0){$x$} \uput[l](0,27){$y$}\uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](8,17) \uput[u](6,13){$(\blue \mathcal{G})$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%\lfoot{\small{Liban}} \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \rfoot{\small{juin 2009}} \thispagestyle{empty} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Liban juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Activités numériques}} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 1 } \medskip On donne l'expression numérique : $$A=2\times 10^2+10^1+10^{-1}+2\times 10^{-2}$$ \begin{enumerate} \item Donner l'écriture décimale de $A$. \item Donner l'écriture scientifique de $A$. \item Écrire $A$ sous la forme d'un produit d'un nombre entier par une puissance de 10. \item Écrire $A$ sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction irréductible inférieure à 1. \end{enumerate} \textbf{\textsc{Exercice} 2} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. En cas d'erreur, aucun point ne sera enlevé. Pour chaque question, indiquer son numéro sur la copie et recopier la réponse. Aucune justification n'est demandée. \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} \hline &\textbf{Question}&\textbf{Réponse A} &\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\\hline 1&\begin{tabular}{l} La médiane de la série de \\ valeurs\\ 7; 8; 8; 12; 12; 14;\\ 15; 15; 41 \end{tabular}&\begin{tabular}{l} est égale à la \\ moyenne de \\ cette série de \\ valeurs \end{tabular}&\begin{tabular}{l} est supérieure à \\ la moyenne de \\ cette série de \\ valeurs \end{tabular}&\begin{tabular}{l} est inférieure à \\ la moyenne de \\ cette série de \\valeurs\end{tabular}\\\hline 2&\begin{tabular}{l} Diminuer un prix de 15 \%\\ revient à \end{tabular}&\begin{tabular}{l} diviser ce prix \\ par $0,85$. \end{tabular}&\begin{tabular}{l} multiplier ce \\prix par $1,15$. \end{tabular}&\begin{tabular}{l} multiplier ce\\ prix par $0,85$.\end{tabular}\\\hline 3&\begin{tabular}{l} si $x=3$ alors \\ l'expression $A=-2x^2$ \\ est égale à \end{tabular}&18&$-18$&36\\\hline 4&\begin{tabular}{l} L'équation \\ $(2x+1)-(x-3)=0$\end{tabular}&\begin{tabular}{l} admet deux \\ solutions :\\ $-0,5$ et 3. \end{tabular}&\begin{tabular}{l} admet une \\ solution : 2 \end{tabular}&\begin{tabular}{l} admet une \\ solution : $-4$.\end{tabular}\\\hline \end{tabular} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 3} \medskip Soit $A=\dfrac{1}{4}\left[(a+b)^2-(a-b)^2\right]$. \begin{enumerate} \item Calculer $A$ pour $a = 1$ et $b = 5$. \item Calculer $A$ pour $a = - 2$ et $b = - 3$. \item Alex affirme que le nombre $A$ est égal au produit des nombres $a$ et $b$. A-t-il raison ? Justifier. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Activités géométriques} } \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 1 } \medskip \textbf{L'unité de longueur est le centimètre}. $ABCD$ est un carré tel que : $AB = 4$. Le point $M$ est situé dans le carré $ABCD$ et vérifie : $AM = 2,4$ et $DM = 3,2$. La droite $(AM)$ coupe la demi-droite $[DC)$ au point $I$. \begin{enumerate} \item Faire une figure en vraie grandeur. \item Montrer que le triangle $AMD$ est rectangle en $M$. \item Calculer au degré près la mesure de l'angle $\widehat{DAM}$. \item Dans le triangle $ADI$ rectangle en $D$, exprimer $\tan{\left(\widehat{DAI}\right)}$. En déduire une valeur approchée au mm près de la longueur $DI$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 2 } \medskip Annie possède de la ficelle dont la forme est un cylindre de rayon 0,5~mm et de hauteur $h$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le volume de cette ficelle cylindrique est égale à $0,0025\times \pi\times h$ cm\up{3}. \item En enroulant cette ficelle, Annie obtient une pelote ayant la forme d'une boule de rayon 30 cm. On suppose que la ficelle est enroulée de manière qu'il n'y a aucun vide dans la pelote.Montrer que le volume de cette boule est égal à $\np{36000} \times \pi $ cm\up{3}. \item Vérifier que la hauteur $h$ du cylindre (la longueur de la ficelle) est égale à 144~km. \item Annie prétend que si les 294~autres élèves de son collège possédaient chacun la même pelote, on pourrait faire le tour de l'équateur terrestre en déroulant toutes ces pelotes et en les reliant bout à bout. A-t-elle raison ? Justifier. (On rappelle que le rayon de la Terre est environ égal à \np{6400}~km). \end{enumerate} \textbf{Rappels :} \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Le volume d'un cylindre de hauteur $h$ et de rayon $r$ est $V=\pi\times r^2\times h$ \item Le volume d'une sphère de rayon $r$ est $V=\dfrac{4}{3}\times \pi\times r^3$ \item Le périmètre d'un cercle de rayon $r$ est $L=2\times \pi\times r$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \newpage \textbf{\textsc{Problème} } \begin{center} \textbf{Les trois parties sont indépendantes} \end{center} Deux frères ont hérité d'un terrain que l'on peut assimiler à un triangle rectangle. L'aire de ce terrain est égale à \np{2400}~m\up{2}. Ils désirent construire un muret afin de partager ce terrain en deux parcelles de même aire, soit \np{1200}~m\up{2} par parcelle. Pour cela, on partage le terrain selon un segment $[MN]$, $M$ et $N$ étant respectivement sur les côtés $[CB]$ et $[CA]$. Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont parallèles. Dans tout ce problème, l'unité de longueur est le mètre. On donne : $AB = 60$ et $BC = 80$. \medskip \begin{minipage}[c]{0.68\linewidth} \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie : $CM=50$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $MN=37,5$. \item Comparer les aires du triangle $CMN$ et du trapèze $ANMB$ après les avoir calculées. \item Pour que les deux aires soient égales, doit-on placer le point $M$ à plus de 50 m de $C$ ou à moins de 50 m de $C$ ? \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}[c]{0.28\linewidth} \psset{unit=1cm,dotscale=0.1} \begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4) \pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){B} \pstGeonode[PosAngle=90](0,2.8){A} \pstGeonode[PosAngle=0](3.7,0){C} \pstHomO[HomCoef=0.62,PosAngle=45]{C}{B}[M] \pstHomO[HomCoef=0.62,PosAngle=45]{C}{A}[N] \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{C} \pstLineAB{C}{B} \pstLineAB{N}{M} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.6){b} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.6){c} \pstLineAB[linestyle=dotted]{b}{c}\lput*{:U}{$80$} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,0){b'} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,2.8){a} \pstLineAB[linestyle=dotted]{b'}{a}\lput*{:R}{$60$} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.3){b''} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.3){c'} \pstHomO[HomCoef=0.62,PointSymbol=none,PointName=none]{c'}{b''}[m] \pstLineAB[linestyle=dotted]{m}{c'}\lput*{:U}{$50$} \end{pspicture} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}[c]{0.68\linewidth} \textbf{Partie B} \medskip On veut déterminer la distance $CM$ pour laquelle l'aire du triangle $CNM$ est égale à \np{1200}~m\up{2}. On pose $CM=x$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $MN = \dfrac{3}{4}x$. \item Démontrer que l'aire du triangle $CNM$, exprimée en m\up{2}, a pour mesure : $\dfrac{3}{8}x^2$. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}[c]{0.28\linewidth} \psset{unit=1cm,dotscale=0.1} \begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4) \pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){B} \pstGeonode[PosAngle=90](0,2.8){A} \pstGeonode[PosAngle=0](3.7,0){C} \pstHomO[HomCoef=0.69,PosAngle=45]{C}{B}[M] \pstHomO[HomCoef=0.69,PosAngle=45]{C}{A}[N] \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{C} \pstLineAB{C}{B} \pstLineAB{N}{M} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.6){b} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.6){c} \pstLineAB[linestyle=dotted]{b}{c}\lput*{:U}{$80$} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,0){b'} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,2.8){a} \pstLineAB[linestyle=dotted]{b'}{a}\lput*{:R}{$60$} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.3){b''} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.3){c'} \pstHomO[HomCoef=0.69,PointSymbol=none,PointName=none]{c'}{b''}[m] \pstLineAB[linestyle=dotted]{m}{c'}\lput*{:U}{$x$} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item[3.] Soit $f$ la fonction qui, au nombre $x$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,80]$, associe l'aire du triangle $CMN$.\\ On note $f : x \longmapsto \dfrac{3}{8}x^2$. Page suivante, on a construit la courbe représentant la fonction $f$. \newpage \begin{center} \psset{xunit=0.12cm,yunit=0.0048cm,dotscale=0.1,algebraic=true} \begin{pspicture}(-5,-50)(90,2400) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(82,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,00)(0,2400) \multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,2400)} \multido{\n=0+50}{49}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(82,\n)} \multido{\n=0+10}{9}{\rput[d](\n,-30){\footnotesize{\n}}} \multido{\n=0+100}{24}{\rput[d](-4,\n){\footnotesize{\n}}} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{80}{(3/8)*x^2} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item[a.] À l'aide de cette courbe, déterminer où il faut placer le point $M$ pour que les deux parcelles aient la même aire. \emph{On donnera une valeur approchée.} \item[b.] En résolvant une équation, déterminer la valeur exacte de $x$ pour laquelle les deux parcelles ont la même aire. \item[c.] En déduire la valeur exacte de la longueur $MN$ du muret puis donne une valeur approchée au dm près de $MN$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Le muret est construit avec des briquettes de 20~cm de longueur et de 10~cm de hauteur. Calculer le nombre de briquettes nécessaires à la construction de ce muret de 42,40~m de longueur et de 1~m de hauteur. \item Sachant que 20~briquettes coûtent 35~\euro, calculer le coût du muret. \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Liban juin 2009 \newpage %%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2009 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2009~\decofourright\\[5pt] Antilles--Guyane }} \vspace{0,5cm} L'usage de la calculatrice est autorisé \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 3 points} \medskip Au stand d'une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement $180$ billets. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3. \item 12 permettent de gagner une grosse peluche. \item 36 permettent de gagner une petite peluche. \item 68 permettent de gagner un porte-clés. \item Les autres billets sont des billets perdants. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Quelle est la probabilité pour un participant : \medskip \begin{enumerate} \item de gagner un lecteur MP3 ? \item de gagner une peluche (grande ou petite) ? \item de ne rien gagner ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} Les 3 questions de cet exercice sont indépendantes \medskip \begin{enumerate} \item Soit A $= \dfrac{3 \times 10^5 \times 4 \times \left(10^{-3}\right)^2} {16 \times 10^{-4}}$. Donner l'écriture décimale de A puis son écriture scientifique. \item On pose $E = 16 - (5x - 3)^2$. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur de $E$ pour $x = -1$. \item Développer et réduire $E$. \item Factoriser $E$. \end{enumerate} \item Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier vos réponses. \begin{enumerate} \item La somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5. \item Si 2 et 3 sont deux diviseurs d'un nombre entier, leur somme 5 est un diviseur de ce nombre. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 3 points} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD de \np{1394} et de 255. \item Un artisan dispose de \np{1394} graines d'açaï et de 255 graines de palmier pêche. Il veut réaliser des colliers identiques, c'est-à-dire contenant chacun le même nombre de graines d'açaï et le même nombre de graines de palmier pêche. \begin{enumerate} \item Combien peut-il réaliser au maximum de colliers en utilisant toutes ses graines ? \item Dans ce cas, combien chaque collier contient-il de graines d'açaï et de graines de palmier pêche ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip Voir ANNEXE 1. \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip JKL est un triangle tel que : JK = 6~cm ; JL = 3,6~cm et KL = 4,8~cm. J est un point du segment [IK] et IJ = 9~cm. $\mathcal{C}$ est le cercle de diamètre [IJ]. La droite (JL) coupe le cercle $\mathcal{C}$ en M. \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(11,7.5) \psline(0,4)(10.4,4)(7.7,6)(3.4,0.4) \uput[l](0,4){I}\uput[dr](6.2,4){J}\uput[dr](4,1){M}\uput[r](10.4,4){K} \uput[ul](7.7,6){L}\uput[ur](5,6.4){$\mathcal{C}$} \psline(0,4)(3.9,1) \pscircle(3.1,4){3.1} \end{pspicture} \end{center} \emph{La figure n'est pas en vraie grandeur et il n'est pas demandé de la reproduire} \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle JKL est rectangle. \item Justifier que le triangle IJM est rectangle. \item Déterminer la longueur JM. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip Julien dispose de 15 jours de vacances. Il contacte l'agence de voyages \og ALAVOILE \fg{} pour préparer une croisière en voilier au départ de Fort de France. L'agence lui propose deux formules : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Formule A : 75~\euro{} par jour de croisière. \item[$\bullet~$] Formule B : un forfait de 450~\euro{} puis 25~\euro{} par journée de croisière. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de jours &5 &8 &14 &$x$\\ \hline% Prix (en \euro) avec la formule A &375 & & &\\ \hline% Prix (en \euro) avec la formule B &575 & & &\\ \hline% \end{tabularx} \medskip \item Avec 750~\euro, combien de jours Julien peut-il partir avec la formule B ? Justifier votre réponse. \item On note $f$ et $g$ les fonctions définies par : \[f(x) = 25x + 450 \quad \text{et} \quad g(x) = 75x.\] Dans le repère de l'ANNEXE 2 (à remettre avec la copie), représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ pour $x$ compris entre 0 et 15. Les unités choisies sont : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item 1~cm pour un jour sur l'axe des abscisses. \item 1~cm pour 50~\euro{} sur l'axe des ordonnées. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de jours la formule B devient plus avantageuse que la formule A. \textbf{(On laissera apparents les pointillés permettant la lecture).} \item Julien décide finalement de faire une croisière de 7 jours. \begin{enumerate} \item Déterminer, par lecture graphique, la formule la plus intéressante pour lui et le prix correspondant. \textbf{(On laissera apparents les pointillés permettant la lecture)} \item Par son comité d'entreprise, Julien obtient une réduction de 5\:\% sur le prix de cette croisière. Combien vont lui coûter finalement ses vacances ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le départ de la croisière choisie par Julien a lieu le 10~juillet (entre 0~h et 12~h). Le graphique ci-dessous décrit les variations de la hauteur de la mer dans le port de Fort de France selon l'heure de la matinée (entre 0~h et 12~h) du 10 juillet. \medskip \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=2.5cm} \begin{pspicture}(0,1)(12,4.2) \psgrid \multido{\n=0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,1)(\n,4.2)} \multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,1)(\n,4.2)} \multido{\n=1+0.2}{17}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](0,\n)(12,\n)} \multido{\n=1+1}{4}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(12,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=0,Dx=6,Oy=1,Dy=1]{->}(0,1)(12,4.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=0,Dx=6,Oy=1,Dy=1](0,1)(12,4.2) \uput[r](0,4.25){Hauteur d'eau (en m)} \uput[u](11,1){Heure (en h)} \pscurve[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,3.44)(1,3.4)(2,3)(3,2.42)(4,2)(5,1.8)(6,1.97)(7,2.7)(8,3.42)(9,3.78)(10,3.97)(10.5,4)(11,3.97)(12,3.8) \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Le voilier ne peut sortir du port que si la hauteur d'eau dépasse 3,20 mètres. Quels sont les tranches horaires de départs possibles pour ce voilier ? \item Finalement, le skipper du voilier décide de partir lorsque la hauteur d'eau est maximale. À quelle heure va partir Julien ? \end{enumerate} \newpage \textbf{LE CANDIDAT REPONDRA DIRECTEMENT SUR LES FEUILLES ANNEXE 1 et 2} \medskip \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie) }\end{center} \medskip \textbf{Exercice 1 \qquad 6 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chacune des questions, quatre réponses} (A, B, C \emph{et} D) \emph{sont proposées et une seule est exacte.} Écrire dans la dernière colonne la lettre correspondant à la bonne réponse. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4.7cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{3-7} \multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{4}{|c|}{Réponses proposées}& \\ \cline{3-6} \multicolumn{2}{c|}{}&A &B &C &D& \\ \hline% \textbf{1.}& \begin{tabular}{p{2.2cm} p{2.2cm}} \textbf{a.} SABCD est une pyramide à base carrée ABCD et de sommet S.\\ Le triangle ABC est :& \psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(4.4,4.4) \psline(2,3.7)(0.2,0.6)(3,0.3)(3.9,1.05)(2,3.7)(3,0.3)%SABCSB \psline[linestyle=dashed](2,3.7)(1.1,1.35)(0.2,0.6)%SDA \psline[linestyle=dashed](1.1,1.35)(3.9,1.05)%DC \uput[u](2,3.7){\footnotesize S}\uput[d](0.2,0.6){\footnotesize A}\uput[dr](3,0.3){\footnotesize B}\uput[d](3.9,1.05){\footnotesize C}\uput[ur](1.1,1.35){\footnotesize D} \end{pspicture}\\ \end{tabular}&\footnotesize Ni rectangle, ni isocèle&\footnotesize Rectangle et isocèle&\footnotesize Rectangle, non isocèle&\footnotesize Isocèle, non rectangle& \\ \hline &\textbf{b.} On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base. La section obtenue est un :&\footnotesize parallé\-logramme non rectangle& \footnotesize triangle isocèle&\footnotesize rectangle non carré&\footnotesize carré& \\ \hline \textbf{2.}& Un cylindre de révolution a pour rayon 3~cm et pour hauteur 10~cm. Le volume de ce cylindre, exprimé en cm$^3$, est :& $10\pi$& $20\pi$& $30\pi$& $90\pi$& \\ \hline \textbf{3.}& Un rectangle A$'$B$'$C$'$D$'$ d'aire 24~cm$^2$ est l'agrandissement à l'échelle 1,25 d'un rectangle ABCD. L'aire du rectangle ABCD, exprimée en cm$^2$, est :& 15,36& 19,2& 30& 37,5& \\ \hline \textbf{4.}& \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,2) \pspolygon(1,1.8)(0.3,0.4)(4,0.4) \uput[l](1,1.8){E} \uput[ul](0.3,0.4){F} \uput[ur](4,0.4){G} \uput[d](2,0.4){5} \uput[l](0.7,1.2){$\sqrt{7}$} \rput{-25}(1,1.8){\psframe(0.3,-0.3)} \end{pspicture} La valeur exacte de EG est : & $2\sqrt{3}$& $3\sqrt{2}$& $4\sqrt{2}$& 18& \\ \hline \textbf{5.}& \psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(4.5,2.6) \pspolygon(0.2,2)(4.4,2)(3.1,0) \uput[u](0.2,2){D} \uput[u](4.4,2){N} \uput[r](3.1,0){B} \uput[u](2.5,2){7,8~cm} \uput[l](1.8,0.7){5,2~cm} \rput{56}(3.1,0){\psframe(0.3,0.3)} \psarc(4.4,2){2mm}{180}{232} \end{pspicture} L'arrondi au degré de la mesure de l'angle $\widehat{\text{DNB}}$ est : &34\degres & 41\degres& 42\degres& 48\degres&\\ \hline \end{tabularx} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)} \vspace{1.5cm} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.015cm} \begin{pspicture}(16,1200) \uput[d](14.3,0){Nombre de jours} \uput[r](-0.2,1225){Prix (en \euro)} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,50){50}\uput[dl](0,0){0} \multido{\n=0+0.5}{33}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,1200)} \multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,1200)} \multido{\n=0+25}{49}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](0,\n)(16,\n)} \multido{\n=0+50}{25}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(16,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=1500]{->}(0,0)(16,1200) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Antilles--Guyane juin 2009 \newpage %%%%%%%%%% Asie juin 2009 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{juin 2009} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Asie juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ Aucune justification n'est demandée. \\ Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.\\ Chaque réponse exacte rapporte 1 point. \\ Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.} \medskip Pour chacune des quatre questions, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse exacte. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{6.5cm}|>{\centering \arraybackslash}X|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline 1 &$x$ désigne un nombre. Une solution de l'inéquation $2x - 5 \leqslant - 1$ est : &10 &$-1$ &3\\ \hline 2 & le PGCD des nombres 12 et 30 est égal à :& 6 &2 &1 \\ \hline 3 &$x$ désigne un nombre. La forme développée de $(3x + 7)(3x -7)$ est : &$9x^2 +49$& $9x^2 -42x+49$ &$9x^2 - 49$\\ \hline 4 &Le nombre $\sqrt{75} - \sqrt{48}$ peut s'écrire : &$9\sqrt{3}$& $\sqrt{3}$& $\sqrt{27}$\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip Dans un collège, une enquête a été menée sur \og le poids des cartables des élèves \fg. Pour cela, on a pesé le cartable de 48~élèves du collège. Les résultats de cette enquête sont inscrits dans le tableau ci~dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Poids en kg &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 \\ \hline Effectif &1 &2 &4 &2 &5 &11&8 &8 &3 &4 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'étendue de cette série statistique. \item Déterminer la médiane de cette série statistique. \item Déterminer, les valeurs du premier quartile et du troisième quartile de la série.% \item Une personne affirme : \og Plus des trois quarts des 48~élèves viennent en cours avec un cartable qui pèse 5~kg ou plus \fg. A~t-elle raison ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip Un train est constitué, à l'aller, de deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes du même modèle et ce train mesure alors 152~m de long. \medskip Après avoir vidé le contenu de tous les wagons-citernes, on décroche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernes vides. Après ces changements, le train ainsi constitué mesure 160~m de long. On cherche la longueur $x$ d'une locomotive et la longueur $y$ d'un wagon-citerne. \medskip \begin{enumerate} \item Écrire un système de deux équations à deux inconnues représentant la situation. \item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c r} x + \phantom{1}5y&=&76\\ x + 12y &=& 160\\ \end{array}\right.$. \item En déduire la longueur en mètre d'une locomotive et celle d'un wagon-citerne. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip Sur la figure ci-contre, qui n'est pas en vraie grandeur, nous savons que : \setlength\parindent{3mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $(C)$ est un cercle de centre E dont le diamètre [AD] mesure 9~cm. \item[$\bullet~$] B est un point du cercle (C) tel que : $\widehat{\text{AEB}} = 46\degres$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \parbox{0.65\linewidth}{ \begin{enumerate} \item Faire la figure en respectant les dimensions données. \item Montrer que le triangle ABD est un triangle rectangle. \item Justifier que : $\widehat{\text{ADB}} = 23$. \item Calculer la longueur AB et préciser sa valeur arrondie au centième de cm. \item On trace la droite parallèle à la droite (AB) passant par E. Elle coupe le segment [BD] au point F. \item Calculer la longueur EF et préciser sa valeur arrondie au dixième de cm. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3) \pscircle(0,0){3} \SpecialCoor \pspolygon(3;70)(3;-110)(3;-64) \psline(0;0)(3;-64) \uput[dl](3;-110){A} \uput[dr](3;-64){B} \uput[ur](3;70){D} \uput[r](0;0){E} \uput[l](-2.5,1.8){$C$} \end{pspicture}} \bigskip \medskip \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip \parbox{0.54\linewidth}{\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de la reproduire.} SABC est une pyramide telle que : \setlength\parindent{3mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] la base ABC est un triangle rectangle en B, \item[$\bullet~$] AC = 5,2 cm et BC = 2 cm, \item[$\bullet~$] la hauteur [SB] de la pyramide mesure 3 cm. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On rappelle que la formule de calcul du volume d'une pyramide est : \fbox{$V = \dfrac{1}{3}B \times h$} où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée. } \hfill \parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(5,5) \pspolygon(0,0)(6.4,1.4)(1.3,4.8) \psline(0,0)(1.3,1.4)(1.3,4.8) \psline(1.3,1.4)(6.4,1.4) \pspolygon(0.58,2.2)(1.3,3)(3.9,3) \uput[dl](0,0){C} \uput[ur](6.4,1.4){A}\uput[ul](1.3,4.8){S}\uput[l](0.58,2.2){C$'$}\uput[ur](1.3,1.4){B} \uput[ur](1.3,3){B$'$} \uput[ur](3.96,3){A$'$} \end{pspicture} } \bigskip \begin{enumerate} \item Construire un patron en vraie grandeur de la pyramide SABC. \item Montrer que : AB = 4,8~cm. \item Calculer le volume de la pyramide SABC en cm$^3$. \item On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à sa base pour obtenir une pyramide SA$'$B$'$C$'$ telle que SB$'$ = 1,5 cm. Calculer le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$ en cm$^3$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Sarah et Julien possèdent un téléphone portable et veulent choisir l'abonnement mensuel le plus adapté à leur besoin. Ils ont sélectionné les trois tarifs suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Tarif 1 : Le montant de la facture de téléphone en fonction du temps de communication est représenté par le graphique donné en \textbf{annexe sur la dernière page}. \item Tarif 2 : Le montant de la facture de téléphone est proportionnel au temps de communication et une minute de communication coûte 0,55~\euro. \item Tarif 3 : Le montant de la facture de téléphone est obtenu de la façon suivante : On ajoute à un abonnement mensuel de 10~\euro{} un montant proportionnel au temps de communication tel qu'une minute de communication coûte 0, 35~\euro. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Tous les montants des factures de téléphone seront exprimés en euros et les temps de communication en minutes.} \medskip \textbf{Partie A - Étude du tarif 1 } \medskip On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 1 a été choisi. \begin{enumerate} \item Donner, par lecture graphique, le montant de la facture pour 20~minutes de communication. (Marquer sur le graphique de l'annexe les pointillés nécessaires à cette lecture). \item Donner, par lecture graphique, la durée en minutes des communications qui correspond à une facture de 35~\euro{} (marquer sur le graphique de l'annexe les pointillés nécessaires à cette lecture). \item Le montant de la facture selon le tarif 1 est-il proportionnel à la durée des communications ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Étude du tarif 2 } \medskip On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 2 a été choisi. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau intitulé \og Étude du tarif 2 \fg{} situé dans l'annexe. \item Si $x$ représente la durée des communications (en minutes) pour un mois avec le tarif 2, donner une expression du montant de la facture en fonction de $x$. \item Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 0,55x$ ; représenter graphiquement la fonction $f$ dans le repère de l'annexe (le même repère que le graphique correspondant au tarif 1). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C - Étude du tarif 3} \medskip On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 3 a été choisi. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau intitulé \og Étude du tarif 3 \fg{} situé dans l'annexe. \item Si $x$ représente la durée des communications (en minutes) pour un mois avec le tarif 3, donner une expression du montant de la facture en fonction de $x$. \item Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 0,35x + 10$ ; représenter graphiquement la fonction $g$ dans le repère de l'annexe (le même repère que le graphique correspondant au tarif 1). \item Le montant de la facture selon le tarif 3 est-il proportionnel à la durée des communications ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie D - Comparaison des tarifs} \medskip \begin{enumerate} \item Sarah a besoin de téléphoner 1~h 30~min par mois. Donner par lecture graphique le tarif le plus avantageux pour elle et marquer sur le graphique les pointillés nécessaires à cette lecture. \item Julien ne veut pas dépenser plus de 25~\euro{} par mois pour ses communications tout en souhaitant pouvoir téléphoner le plus possible. Donner par lecture graphique le tarif le plus avantageux pour lui et marquer sur le graphique les pointillés nécessaires à cette lecture. \item Résoudre l'inéquation $0, 55x \geqslant 0, 35x + 10$. Interpréter cette inéquation et sa résolution en termes de comparaison de tarifs. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{0,5cm} \vspace{0,5cm} \psset{unit=0.109cm} \begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(105,65) \multido{\n=0.0+2.5}{43}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,65)} \multido{\n=0.0+2.5}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(105,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(105,65) \uput[u](100,0){minutes} \uput[r](0,67){euros} \psline[linewidth=1.25pt](0,0)(40,30)(105,39.2857) \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \textbf{Étude du tarif 2} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombres de minutes de communication &20 & &100\\ \hline Montant de la facture en euro selon le \textbf{tarif 2} & &22 &\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \textbf{Étude du tarif 3} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombres de minutes de communication &20 &100\\ \hline Montant de la facture en euro selon le \textbf{tarif 3} & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Asie juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%% Centres étrangers I juin 2009 \hypertarget{Etranger}{} \label{Etranger} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2009 \decofourright\\[5pt] Centres étrangers I}}\end{center} \vspace{0,5cm} Calculatrice autorisée \hfill 2 heures \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{Pour les questions $1$ et $2$ écrire les différentes étapes de calcul.} \medskip On pose \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} $A = \dfrac{7}{15} - \dfrac{2}{15} \times\dfrac{9}{4}$ & $B = \dfrac{25 \times 10^6 \times 3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^2}$ & $C = 3\sqrt{72} - 5 \sqrt{2}$\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $A$ et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible. \item Calculer $B$ et donner une écriture scientifique du résultat, puis une écriture décimale de ce résultat. \item \begin{enumerate} \item Donner la valeur décimale arrondie au millième de $C$. \item Écrire $C$ sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Développer $(x- 1)^2$. Justifier que $99^2 = \nombre{9801}$ en utilisant le développement précédent. \item Développer $(x -1)(x+ 1)$. Justifier que $99 \times 101 = \nombre{9999}$ en utilisant le développement précédent. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Durant une compétition d'athlétisme, les 7 concurrents ont couru les 200~m avec les temps suivants (en secondes) : \[20,25~~ ;~~ 20,12 ~~;~~ 20,48 ~~;~~ 20,09 ~~;~~20,69~~;~~ 20,19~~ \text{et}~~ 20,38. \] \begin{enumerate} \item Quelle est l'étendue de cette série ? \item Quelle est la moyenne de cette série (arrondie au centième) ? \item Quelle est la médiane de cette série ? \item Quelle est la vitesse moyenne de l'athlète classé premier, en mètres par seconde (m/s), (arrondie au millième) ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip Soient un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 5~cm, [AB] un diamètre de ce cercle et M un point de $\mathcal{C}$ tel que BM = 4,2~cm. \begin{enumerate} \item Faire une figure. \item Montrer que ABM est un triangle rectangle. \item Quelles sont les mesures, arrondies au degré, des angles $\widehat{\text{ABM}}$ et $\widehat{\text{AOM}}$ ? \end{enumerate} \textbf{Exercice 2 :} \emph{Dans cet exercice toutes les dimensions sont données en cm. } \medskip \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-0.7,0)(8,8) \pspolygon(0,0)(5.6,0)(7.7,2.6)(3.85,7.2) \psline(1.6,3.1)(4.85,3.1)(6.1,4.5) \psline(5.6,0)(3.85,7.2) \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](5.6,0){B} \uput[ur](7.7,2.6){C} \uput[l](2.1,2.6){D} \uput[l](1.65,3.1){A$'$} \uput[r](4.85,3.1){B$'$} \uput[r](6.1,4.5){C$'$} \uput[ur](2.85,4.5){D$'$} \uput[u](3.85,7.2){S}\uput[d](3.85,1.3){O} \pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(2.1,2.6)(7.7,2.6)%ADC \psline[linestyle=dashed](5.6,0)(2.1,2.6)(3.85,7.2)(3.85,1.3)%BDSO \psline[linestyle=dashed](1.65,3.1)(6.1,4.5)(2.85,4.5)(4.85,3.1)%A'C'D'B' \psline[linestyle=dashed](1.65,3.1)(2.85,4.5) \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.54\linewidth}{La pyramide SABCD ci-contre est telle que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item la base ABCD est un carré de centre O tel que AC = 12. \item les faces latérales sont des triangles isocèles en S. \item la hauteur [SO] mesure 8. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} (la figure n'est pas aux dimensions réelles) } \bigskip \begin{enumerate} \item Dans le triangle SOA rectangle en O, montrer que SA = 10. \item Sachant que AB $= 6\sqrt{2}$, montrer que l'aire du carré ABCD est 72 cm$^2$. \item Montrer que le volume de la pyramide SABCD est égal à 192~cm$^3$. \item Soient A$'$ un point de [SA] et B$'$ un point de [SB] tels que SA$'$ = SB$'$ = 3. Montrer que (AB) et (A$'$B$'$) sont parallèles. \item La pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est une réduction de la pyramide SABCD, calculer le coefficient de réduction. \item Calculer le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \medskip Pour la saison 2008-2009, le théâtre \og MODECIA \fg{} propose les tarifs suivants : \medskip \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item Tarif A : 150~\euro{} la carte permettant d'assister à tous les spectacles. \item Tarif B : 75~\euro{} l'abonnement pour la saison qui permet d'acheter une place pour 6~\euro. \item Tarif C : 19~\euro{} la place \og plein tarif \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau figurant dans l'annexe 1, qui sera à remettre avec votre copie. \item Si $x$ est le nombre de spectacles auxquels Marc assiste durant la saison, écrire, en fonction de $x,~ P_{\text{A}}(X),~ P_{\text{B}}(x)$ et $P_{\text{C}}(x)$, le prix que devrait payer Marc, suivant le tarif utilisé. \item Parmi ces trois fonctions y a-t-il une fonction linéaire ? Si oui laquelle ? \item Dans l'annexe 2, qui sera à remettre avec votre copie, on a tracé les représentations graphiques $\left(T_{\text{A}}\right)$ et $\left(T_{\text{C}}\right)$ des fonctions $P_{\text{A}}$ et $ P_{\text{C}}$. Tracer la représentation graphique $\left(T_{\text{B}}\right)$ de la fonction $P_{\text{B}}$ dans le repère de l'annexe 2. \item Si on dispose de 100~\euro, lire graphiquement le nombre de spectacles auxquels on peut assister avec le tarif C (laisser apparaître les tracés sur le graphique). \item Retrouver graphiquement le tarif le plus intéressant pour voir huit spectacles. \item Résoudre l'inéquation : $19x > 6x + 75$. En déduire le nombre de spectacles pour lequel le tarif B est plus intéressant que le tarif C. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \vspace{0,5cm} \textbf{À remettre avec la copie} \begin{flushleft} \textbf{Problème :}\end{flushleft} \vspace{0,5cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de spectacles&3 &8 &14\\ \hline Tarif A & & &\\ \hline Tarif B & & &\\ \hline Tarif C & & &\\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{ANNEXE 2} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.075cm} \begin{pspicture}(-0.5,-5)(15.5,170) \multido{\n=0.0+0.5}{32}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,170)} \multido{\n=0+5}{35}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(15.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(15.5,170) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(15.5,170) \psline[linewidth=1.5pt](0,150)(15.5,150) \psline[linewidth=1.5pt](0,0)(8.94737,170) \uput[d](14.5,150){$T_{\text{A}}$} \uput[r](9,170){$T_{\text{C}}$} \uput[d](15.5,0){$x$} \uput[l](0,170){$y$}\uput[dl](0,0){0} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Centres étrangers I juin 2009 \newpage %%%%%%%%%% Centres étrangers II juin 2009 \hypertarget{EtrangerII}{} \label{EtrangerII} \lfoot{\small{Centres étrangers II}} \rfoot{\small{juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2009 \decofourright\\[5pt] Centres étrangers II}} \end{center} \vspace{0,5cm} Calculatrice autorisée \hfill 2 heures \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera $1$~point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.\\ Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.} \bigskip \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline N°& Question& Réponse A &Réponse B &Réponse C \\ \hline 1 &$4,25 =$ &$4 + \dfrac{25}{10}$&$\dfrac{17}{4}$& $3 + 1 \times 0,25$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline 2&$\dfrac{82}{7} = $&82,7&11,714&$11 + \dfrac{5}{7}$\rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\ \hline 3& $\sqrt{500} - \sqrt{45} =$ &$7\sqrt{5}$& $\sqrt{455}$& 15,65\\ \hline 4&les solutions de $(3x - 2)(x + 5) = 0$ sont :& $\dfrac{2}{3}$ et $-5$&$\dfrac{3}{2}$ et $-5$&$- \dfrac{2}{3}$ et 5\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Comment, sans calcul, peut-on justifier que la fraction $\dfrac{\np{1848}}{\np{2040}}$ n'est pas irréductible? \item Calculer le PGCD des nombres \np{1848} et \np{2040} en indiquant la méthode. \item Simplifier la fraction $\dfrac{\np{1848}}{\np{2040}}$ pour la rendre irréductible. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Anatole affirme : \og pour tout nombre entier naturel $n$, l'expression $n^2 - 24n + 144$ est toujours différente de zéro. \fg A-t-il raison ? \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip \begin{enumerate} \item Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6. Il lance ce dé une 11\up{e} fois. Quelle est la probabilité d'obtenir 6 au 11\up{e} lancer ? \item Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré. Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{yunit=1cm,xunit=1.4cm} \begin{pspicture}(7,7) \psframe(7,7) \psaxes[Dx=10](0,0)(7,7) \multido{\n=0+1}{8}{\psline(0,\n)(7,\n)} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.7,0)(1.3,6) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.7,0)(2.3,5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.7,0)(3.3,3) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.7,0)(4.3,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.7,0)(5.3,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.7,0)(6.3,3) \uput[d](1,0){chien} \uput[d](2,0){chat} \uput[d](3,0){dauphin} \uput[d](4,-0.05){perroquet} \uput[d](5,0){lion} \uput[d](6,0){autres} \end{pspicture} \end{center} \bigskip Quelle est la fréquence d'apparition de la réponse \og chien \fg{}? \item On donne la série suivante : 3 ; 4 ; 6 ; 10 ; 13 ; 14 ; 17 ; 25 ; 26 Quelle est la médiane de cette série ? Quel est le premier quartile de cette série ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Sur la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, le quadrilatère BREV est un rectangle avec BR = 13~cm et BV = 7,2~cm. Le point T est sur le segment [VE] tel que VT = 9,6~cm. N est le point d'intersection des droites (BT) et (RE). \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(7,6) %\psgrid \psframe(0,2)(7,6) \psline(7,0)(7,2) \psline(0,6)(7,0) \uput[ul](0,6){B} \uput[ur](7,6){R} \uput[dr](7,2){E} \uput[dl](0,2){V} \uput[r](7,0){N} \uput[ur](4.62,2){T} \uput[u](3.5,6){13} \uput[l](0,4){7,2} \uput[d](2.31,2){9,6} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer que la longueur TE est égale à 3,4~cm. \item Calculer la longueur BT. \item Calculer la longueur EN. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un triangle équilatéral FIO de 5~cm de côté. \item Construire le point R, symétrique de I par rapport au point O. \item Construire le point E, symétrique de I par rapport à la droite (OF). \item Construire le point U, symétrique de F par rapport au point O. \item Construire le point G, symétrique de F par rapport à la droite (IO). \item Tracer le polygone FIGURE. Quelle semble être sa nature ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Dans la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, on a : E $\in $ [RD], C $\in $ [RU], RE = 3~cm, ED = 1,5~cm, RC = 2~cm et RU = 3~cm. \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(5,3.5) %\psgrid \pspolygon(0.3,0.15)(4.3,0.6)(0,3) \psline(2.86,0.45)(0.1,2) \uput[dl](0.3,0.15){R} \uput[dr](4.3,0.6){U} \uput[ul](0,3){D} \uput[dr](2.86,0.45){C} \uput[ul](0.1,2){E} \rput{7}(0.3,0.15){\psframe(0,0)(0.3,0.3)} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites (EC) et (DU) sont parallèles. \item Calculer le rapport d'agrandissement permettant de passer du triangle REC au triangle RDU. \item Montrer que l'aire du triangle RDU est égale à 2,25 fois l'aire du triangle REC. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \medskip Une lanterne, entièrement vitrée, a la forme d'une pyramide reposant sur un parallélépipède rectangle ABCDEFGH. S est le sommet de la pyramide. O est le centre du rectangle ABCD. SO est la hauteur de la pyramide. \psset{unit=1.25cm} \begin{center} \begin{pspicture}(3,6) \psframe(0,0)(1.8,2.4)%EFBA \psline(1.8,0)(2.9,1)(2.9,3.5)(1.4,5.6)(1.8,2.4)(2.9,3.5)%FGCSBC \psline(1.4,5.6)(0,2.4)%SB \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1)(1.2,3.5)(1.4,5.6)(1.5,2.95) \pspolygon[linestyle=dashed](0,2.4)(2.9,3.5)(1.2,3.5) \psline[linestyle=dashed](1.2,3.5)(1.8,2.4) \psline[linestyle=dashed](1.2,1)(2.9,1) \uput[dl](0,0){E} \uput[dr](1.8,0){F} \uput[r](2.9,1){G} \uput[ul](1.2,1){H} \uput[ul](0,2.4){A} \uput[dr](1.8,2.4){B} \uput[ur](2.9,3.5){C} \uput[ul](1.2,3.5){D} \uput[u](1.4,5.6){S} \uput[dl](1.5,2.95){O} \uput[d](0.9,0){10 cm}\uput[r](2.35,0.5){10,5 cm} \uput[r](2.9,2.25){14 cm} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie 1} \medskip Dans cette partie, la hauteur SO est égale à 12~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le volume du parallélépipède rectangle ABCDEFGH. \item Calculer le volume de la pyramide SABCD. \item En déduire le volume de la lanterne. \end{enumerate} \item Sachant que le segment [OC] mesure 7,25~cm, calculer une valeur approchée à 0,1 degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{OSC}}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2} \medskip Dans cette partie, on désigne par $x$ la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD. \begin{enumerate} \item Montrer que le volume en cm$^3$ de la lanterne est donné par : $V(x) = \np{1470} + 35x$. \item Calculer ce volume pour $x = 7$. \item Pour quelle valeur de $x$ le volume de la lanterne est-il de \np{1862}~cm$^3$ ? \item Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté $V(x)$, pour plusieurs valeurs de $x$, hauteur de la pyramide. \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B \\ \hline 1&$x$&$V(x)$\\ \hline 2&&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2.3,0.5) \psframe(2.3,0.5)\end{pspicture}\\ \hline 3&&\\ \hline 4&&\\ \hline 5&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Parmi les formules ci-dessous, recopier celle que l'on peut saisir dans la case B2 pour obtenir le calcul du volume de la lanterne : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} $\fbox{1470+35*A2}$&$\fbox{=1470+35/A2}$&$\fbox{=1470+35*A2}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \textbf{Partie 3} \medskip On s'intéresse à la surface vitrée de la lanterne. Le graphique ci-dessous est celui de la fonction $f$ qui à $x$ associe l'aire, en cm$^2$, de cette surface vitrée. \medskip \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.05cm} \begin{center} \begin{pspicture}(0,780)(14.5,1020) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=780,Dy=20]{->}(0,780)(14.5,1020) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=780,Dy=20](0,780)(14.5,1020) \multido{\n=0+0.5}{30}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,780)(\n,1020)} \multido{\n=780+10}{25}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(14.5,\n)} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14.5}{x 2 exp 27.5625 add sqrt 10 mul x 2 exp 25 add sqrt 10.5 mul add 679 add} \rput(12,785){hauteur de la pyramide (en cm)} \rput(3,1025){aire de la surface vitrée $\left(\text{en cm}^2\right)$} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item La fonction $f$ est-elle une fonction affine ? \item Lire sur le graphique une valeur approchée de $f(11)$. \item Lire sur le graphique une valeur approchée de l'antécédent de $850$. \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Centres étrangers II juin 2009 \newpage %%%%%%%%%% Métropole La Réunion Mayotte juin 2009 \hypertarget{Metropole}{} \label{Metropole} \lfoot{Métropole - La Réunion - Mayotte} \rfoot{juin 2009} \thispagestyle{empty} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace*{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} 12 points} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 1 } \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $A$ \[A=\dfrac{8+3\times 4}{1+2\times 1,5}\] \item Pour calculer $A$ un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous : \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{tabular}{*{17}{c}} %\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}\cline{7-7}\cline{9-9}\cline{11-11}\cline{13-13} %\cline{15-15}\cline{17-17}\cline{19-19}\cline{21-21}\cline{23-23}\cline{25-25}\cline{27-27} %\cline{29-29} \fbox{8}&&\fbox{+}&&\fbox{3}&&\fbox{$\times$}&&\fbox{4}&&\fbox{$\div$}&&\fbox{1}&&\fbox{+}&&\fbox{2}\\ \fbox{$\times$}&&\fbox{1}&&\fbox{.}&&\fbox{5}&&\fbox{=}\\ %\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}\cline{7-7}\cline{9-9}\cline{11-11}\cline{13-13} %\cline{15-15}\cline{17-17}\cline{19-19}\cline{21-21}\cline{23-23}\cline{25-25}\cline{27-27} \end{tabular} \medskip Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice} 2 } \medskip Trois personnes, Aline, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes. Chacune tire au hasard une bille de son sac. \medskip \begin{enumerate} \item Le contenu des sacs est le suivant : \begin{center} \begin{tabular}{ccc} Sac d'Aline :&Sac de Bernard : &Sac de Claude :\\ \quad\\ \psframebox[fillstyle=none]{\begin{tabular}{c} \quad\\5 billes rouges\\\quad\\ \end{tabular}}&\psframebox[fillstyle=none]{\begin{tabular}{c}10 billes rouges\\et\\30 billes noires \end{tabular}}&\psframebox[fillstyle=none]{\begin{tabular}{c} 100 billes rouges\\et\\3 billes noires\\ \end{tabular}}\\ \end{tabular} \end{center} Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ? \item On souhaite qu'Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d'Aline ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice} 3 } \medskip On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. Ces représentations sont nommées $C_1$, $C_2$ et $C_3$. L'une d'entre elles est la représentation graphique d'une fonction linéaire. Une autre est la représentation graphique de la fonction $f$ telle que $f : x\mapsto -0,4x+3$ \begin{center} \psset{unit=1.4cm,dotscale=0.1,algebraic=true} \begin{pspicture}(-5,-3)(6,5) \multido{\n=-5+1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-3)(\n,5)} \multido{\n=-3+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](-5,\n)(6,\n)} \multido{\n=-5+.2}{55}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-3)(\n,5)} \multido{\n=-3+.2}{40}{\psline[linewidth=0.2pt](-5,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-3)(6,5) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.8}{3}{(5/3)*x} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-5}{6}{-0.4*x+3} \psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{-2.32}{6}{(1/12)*(x+1)*(x-2)*(x-4)} \multido{\n=-5+1}{12}{\rput[d](\n,-0.15){\tiny{\n}}} \multido{\n=-3+1}{9}{\rput[l](-0.15,\n){\tiny{\n}}} \rput(5.4,3.5){$C_3$} \rput(-2.5,4.2){$C_2$} \rput(2.2,4.2){$C_1$} \pstGeonode[PosAngle=45,PointSymbol=x,dotscale=1](-4,4.6){B} \psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1) \psline{->}(0,0)(6,0) \psline{->}(0,0)(0,5) \rput(6,0.12){\textbf{\tiny{$x$}}} \rput(0.1,4.9){\textbf{\tiny{$y$}}} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Lire graphiquement les coordonnées du point $B$. \item Par lecture graphique, déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_3$ avec l'axe des abscisses. \item Laquelle de ces représentations est celle de la fonction linéaire ? Justifier. \item Laquelle de ces représentations est celle de la fonction $f$ ? Justifier. \item Quel est l'antécédent de $1$ par la fonction $f$ ? Justifier par un calcul. \item $A$ est le point de coordonnées $(4,6~;~1,2)$. $A$ appartient-il à $C_2$ ? Justifier par un calcul. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Activités géométriques} 12 points} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 1 } \medskip L'unité de longueur est le centimètre. $ABC$ est un triangle tel que : $AB=16$ cm, $AC=14$ cm et $BC=8$ cm. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Tracer en vraie grandeur le triangle $ABC$ sur la copie. \item Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifier. \end{enumerate} \item Le mathématicien Héron d'Alexandrie (1\up{er} siècle), a trouvé une formule permettant de calculer l'aire d'un triangle : en notant $a$, $b$, $c$ les longueurs des trois côtés et $p$ son périmètre, l'aire $\mathcal{A}$ du triangle est donnée par la formule : $$\mathcal{A}=\sqrt{\dfrac{p}{2}\left(\dfrac{p}{2}-a\right)\left(\dfrac{p}{2}-b\right)\left(\dfrac{p}{2}-c\right)}.$$ Calculer à l'aide de cette formule l'aire du triangle $ABC$. Donner le résultat arrondi au cm$^2$ près. \end{enumerate} \textbf{\textsc{Exercice} 2 } \medskip \begin{tabular}{|l|c|} \hline \begin{minipage}[c]{0.48\linewidth} Dans cet exercice, on étudie la figure ci-contre\\où :\\ \begin{itemize} \item[$\bullet$] $ABC$ est un triangle isocèle tel que \\ $AB=AC=4$ cm\\ \item[$\bullet$] $E$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$. \end{itemize} \end{minipage}&\begin{minipage}[c]{0.38\linewidth} \psset{unit=1cm,dotscale=0.1} \begin{pspicture}(-1,-1)(4.5,3.4) \pstGeonode[PosAngle=-90,PointSymbol=+](0,0){B} \pstGeonode[PosAngle=90,PointSymbol=+](1.7,1.2){A} \pstGeonode[PosAngle=-90,PointSymbol=+](3.4,0){C} \pstMarkAngle[MarkAngleRadius=.5]{c}{B}{A}{} \pstHomO[HomCoef=-1,PosAngle=90,PointSymbol=+]{A}{B}[E] \pstLineAB{C}{B} \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{E} \pstLineAB{C}{A} \psset{linewidth=0.3pt} \pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHash]{A}{B} \pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHash]{A}{E} \pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHash]{A}{C} \end{pspicture} \end{minipage}\\ \hline \end{tabular}\\ \medskip \textbf{Partie 1 :} On se place dans le cas particulier où la mesure de $\widehat{ABC}$ est 43\degres. \medskip \begin{enumerate} \item Construire la figure en vraie grandeur. \item Quelle est la nature du triangle $BCE$ ? Justifier. \item Prouver que l'angle $\widehat{EAC}$ mesure 86\degres. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2 :} Dans cette partie, on se place dans le cas général où la mesure de $\widehat{ABC}$ n'est pas donnée. Jean affirme que pour n'importe quelle valeur de $\widehat{ABC}$, on a : $\widehat{EAC}=2\widehat{ABC}$. Jean a-t-il raison ? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.\\ \newpage \textbf{\textsc{Problème} 12 points} \medskip On considère un triangle $ABC$ tel que : $AB=17,5$ cm ; $BC=14$ cm ; $AC=10,5$ cm. \medskip \textbf{Partie 1} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. \item Soit $P$ un point du segment $[BC]$. La parallèle à la droite $(AC)$ passant par $P$ coupe le segment $[AB]$ en $R$. La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $R$ coupe le segment $[AC]$ en $S$. Montrer que le quadrilatère $PRSC$ est un rectangle. \medskip \psset{unit=1cm,dotscale=0.1} \begin{pspicture}(-6,-1)(4.5,5) \pstGeonode[PosAngle=-180,](0,0){A} \pstGeonode[PosAngle=-30,](3,0){C} \pstGeonode[PosAngle=90](3,4){B} \pstGeonode[PosAngle=-135,](1.88,0){S} \pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{C}{B}{S}[r] \pstInterLL[PosAngle=135]{S}{r}{A}{B}{R} \pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{A}{C}{R}[p] \pstInterLL[PosAngle=45]{R}{p}{C}{B}{P} \pstLineAB{C}{B} \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB[nodesepA=-.6,nodesepB=-.6]{R}{P} \pstLineAB{C}{A} \pstLineAB[nodesepA=-.3,nodesepB=-.2]{S}{R} \rput[d](1.5,-1){\scriptsize{\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur}}} \end{pspicture} \medskip \item Dans cette question, on suppose que le point $P$ est situé à 5~cm du point $B$. \begin{enumerate} \item Calculer la longueur $PR$. \item Calculer l'aire du rectangle $PRSC$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip On déplace le point $P$ sur le segment $[BC]$ et on souhaite savoir quelle est la position du point $P$ pour laquelle l'aire du rectangle $PRSC$ est maximale. \medskip \begin{enumerate} \item L'utilisation d'un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant : \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{tabular}{|l|*{8}{c|}} \hline Longueur $BP$ en cm&\makebox[10mm]{0}&\makebox[10mm]{1}&\makebox[10mm]{3}&\makebox[10mm]{5}&\makebox[10mm]{8}&\makebox[10mm]{10}&\makebox[10mm]{12}&\makebox[10mm]{14}\\ \hline Aire de $PRSC$ en cm$^2$&0&9,75&24,75&&36&&18&0\\ \hline \end{tabular} \medskip Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau. Justifier par un calcul la valeur trouvée pour $BP=10$ cm. \item Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique suivante : \begin{center} \textbf{Aire du rectangle $PRSC$ en fonction de la longueur $BP$} \medskip \psframebox[fillstyle=none]{\psset{xunit=0.65cm,yunit=0.21cm,dotscale=0.1,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1,-4)(15.6,42) \multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,-.1)(\n,40)} \multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=0.8pt](-.2,\n)(15,\n)} \multido{\n=0+1}{40}{\psline[linewidth=0.3pt](-0,\n)(15,\n)} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{14}{-.75*x*(x-14)} \multido{\n=0+1}{16}{\rput[d](\n,-2){\n}} \multido{\n=0+5}{9}{\rput[r](-0.5,\n){\n}} \end{pspicture}} \end{center} À l'aide d'une lecture graphique, donner : \begin{enumerate} \item Les valeurs de $BP$ pour lesquelles le rectangle $PRSC$ a une aire de 18~cm$^2$. \item La valeur de $BP$ pour laquelle l'aire du rectangle semble maximale. \item Un encadrement à 1~cm$^2$ près de l'aire maximale du rectangle $PRSC$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 3} \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $PC$ en fonction de $BP$. \item Démontrer que $PR$ est égale à $0,75\times BP$. \item Pour quelle valeur de $BP$ le rectangle $PRSC$ est-il un carré ? \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Métropole juillet 2009 \newpage %%%%%%%%%% Polynésie juillet 2009 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie juin 2009 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, choisir et entourer la bonne réponse parmi les trois proposées.} \textbf{Aucune justification n'est demandée. } \medskip \renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.25cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{1.~~} $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4} \times \dfrac{1}{2}$ est égal à : &$- \dfrac{2}{4}$&$- \dfrac{2}{8}$&$\dfrac{1}{8}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline \textbf{2.~~} Le nombre décimal $0,246$ s'écrit aussi : &$2,46 \times 10^{-1}$& $24,6 \times 10^1$&$2,46 \times 10^1$\\ \hline \textbf{3.~~} Quand $x= -2$, l'expression \mbox{$2x^2 - 5x+3$} est égale à :&$-15$& $1$& $21$\\ \hline \textbf{4.~~} L'expression réduite de \mbox{$2x - (5x - 3)$} est : &$-3x-3$ &$-3x+3$ &$7x+3$\\ \hline \textbf{5.~~} Un randonneur parcourt 5~km en 1~ h 15~min. Sa vitesse moyenne est : &4~km/h& 4,3~km/h &5,75~km/h.\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip À un stand du \og Heiva \fg, on fait tourner la roue de loterie ci-dessous. \parbox{0.6\linewidth}{On admet que chaque secteur a autant de chance d'être désigné. On regarde la lettre désignée par la flèche : A, T ou M, et on considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] A : \og on gagne un autocollant» ; \item[$\bullet~$] T : \og on gagne un tee-shirt » ; \item[$\bullet~$] M : \og on gagne un tour de manège ». \end{itemize} \setlength\parindent{0mm}} \hfill \parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2.5) \psline[linewidth=2pt]{->}(0.75,2.3)(0.75,1.3) \SpecialCoor \pscircle(0;0){2} \psline(2;180)(2;0) \psline(2;90)(2;-90) \psline(2;45)(2;-135) \psline(2;135)(2;-45) \rput(1.25;22.5){M} \rput(1.25;67.5){T}\rput(1.25;112.5){A}\rput(1.25;157.5){T} \rput(1.25;202.5){M}\rput(1.25;247.5){T}\rput(1.25;292.5){M}\rput(1.25;-22.5){T} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de l'évènement A ? \item Quelle est la probabilité de l'évènement T ? \item Quelle est la probabilité de l'évènement M ? \item Exprimer à l'aide d'une phrase ce qu'est l'évènement non A puis donner sa probabilité. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Dans cet exercice, écrire toutes les étapes des calculs permettant d'expliquer votre démarche. \emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Pour offrir un cadeau à l'un d'eux, les élèves d'une classe ont collecté 500~F en pièces de 20~F et de 5~F, soit 43~pièces en tout. Déterminer le nombre de pièces de chaque sorte. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \begin{center} \textbf{Dans toute cette partie, l'unité de longueur est le centimètre.} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Sur la figure ci-dessous qui \textbf{n'est pas en vraie grandeur}, \bigskip \parbox{0.55\linewidth}{ABCD est un trapèze rectangle, le point H appartient au segment [DC]. On donne : AB = 5 ; \quad AD = 4,8 ; \quad BC = 6.}\hfill \parbox{0.40\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(5,3) \psframe(0,0)(3,2)\psline(3,0)(4,0)(3,2) \uput[ul](0,2){A} \uput[ur](3,2){B} \uput[dr](4,0){C} \uput[dl](0,0){D} \uput[d](3,0){H} \psframe(0,2)(0.3,1.7)\psframe(0,0)(0.3,0.3)\psframe(3,0)(3.3,0.3) \end{pspicture}} \parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate} \item Construire cette figure sur la feuille de papier millimétré, en respectant les mesures données. (On la placera au centre de la feuille). \item Montrer que la longueur HC est égale à 3,6. \item Calculer le périmètre du trapèze ABCD. \item Calculer l'aire du trapèze ABCD. \item Compléter la figure de la question 1) pour obtenir le patron du prisme droit ci-contre dont une base est le triangle BHC. Le prisme droit ci-contre n'est pas en vraie grandeur. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.40\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(0,1)(5.5,10) \psframe(0.8,2)(5,8) \psline(5,8)(2.4,9.6)(0.8,8) \psline[linestyle=dashed](5,2)(2.4,3.6)(0.8,2) \psline[linestyle=dashed](2.4,3.6)(2.4,9.6) \uput[ur](5,8){A} \uput[dr](5,2){B} \uput[dl](0.8,2){C} \uput[u](2.4,9.6){D} \uput[ul](0.8,8){E} \uput[ur](2.4,3.6){H} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \textbf{La figure n'est pas en vraie grandeur et n'est pas à reproduire.} \medskip Dans un verre à pied ayant la forme d'un cône de révolution dans sa partie supérieure, on verse du sirop de menthe jusqu'à la hauteur IR puis de l'eau jusqu'à la hauteur IF. Ce verre est représenté ci-dessous en coupe. Les points I, R et F sont alignés ainsi que les points I, S et G. On donne: RS = 3 ; FG = 7,5 et IF = 8. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,6.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](5.1,0)(6.9,0)(6,0.6) \psline(6,0.6)(6,1.6) \pspolygon(6,1.6)(8.9,5.8)(3.1,5.8) \psline[linewidth=0.2pt](6,1.6)(6,5.8) \psline[linestyle=dashed](8.3,4.9)(3.7,4.9) \psline[linestyle=dashed](7.1,3.2)(4.9,3.2) \uput[dr](6,1.6){I} \uput[dr](6,3.2){R} \uput[dr](6,4.9){F} \uput[dr](7.1,3.2){S} \uput[dr](8.3,4.9){G} \psframe(6,3.2)(5.8,3) \psframe(6,4.9)(5.8,4.7) \rput(1.5,4.9){Niveau de l'eau} \rput(1.5,3.2){Niveau du sirop de menthe} \psline{->}(2.8,4.9)(3.4,4.9) \psline{->}(3.7,3.2)(4.6,3.2) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Pour démontrer que les droites (RS) et (FG) sont parallèles, laquelle des quatre propriétés suivantes faut-il utiliser ? Choisir et recopier la propriété sur votre copie. \begin{enumerate} \item Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles. \item Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles. \item Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. \item La réciproque du théorème de Thalès. \end{enumerate} \item Calculer IR. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Pour la fête du cinéma, des prix spéciaux sont proposés au public. \medskip \textbf{Première partie} \medskip Le tableau ci-dessous donne la répartition du nombre de spectateurs à la séance de midi, dans une salle de 325~places pendant la semaine du cinéma. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Jour &\footnotesize lundi &\footnotesize mardi &\footnotesize mercredi &\footnotesize jeudi &\footnotesize vendredi &\footnotesize samedi &\footnotesize dimanche\\ \hline \hspace{-0.2cm}\begin{tabular}{l}nombre de\\ spectateurs \\ \end{tabular} &164 &239 &312 &285 &310 &308 &321 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le nombre moyen de spectateurs à la séance de midi pendant la semaine du cinéma. \item Quel pourcentage du nombre total de places de la salle représentent les places occupées le mercredi ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip Un billet de cinéma au tarif normal co\^ute 850~F. On propose deux tarifs réduits au public : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Tarif A : On fait une réduction de 8\:\% sur le prix total des billets achetés, \item Tarif B : On paie une carte d'abonnement de \np{1000}~F et 600~F un billet. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer qu'un billet vendu au tarif A coûte 782~F{}. \item Compléter le tableau de proportionnalité suivant et expliquer votre démarche. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Prix au tarif normal&850 &\np{2550} & &\np{4250} & \\ \hline Prix au tarif A &782 & &\np{7038} & &\np{9384}\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1.} \medskip \item Soit M le montant total à payer au tarif normal par un client pour un certain nombre de billets. Exprimer en fonction de M le prix total payé au tarif A pour le même nombre de billets. \item Calculer le prix de 5~billets au tarif B. \item Si on dispose de \np{6400}~F, combien de billets peut-on acheter au tarif B ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie} \medskip Les droites ci--dessous représentent les prix payés en fonction du nombre de billets suivant les deux types de tarifs. \begin{center} \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.001625cm} \begin{pspicture}(-1,-400)(8,5200) \multido{\n=0.00+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-0)(\n,5200)} \multido{\n=0+200}{27}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(8,\n)} \multido{\n=0+400}{14}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5000]{->}(0,0)(8,5200) \psplot{0}{6.5}{782 x mul}\uput[d](3.2,2400){$(d)$} \psplot{0}{6.75}{1000 x 600 mul add} \uput[u](3,2800){$(d')$} \uput[u](7,0){nombre de billets} \uput[r](0,5200){$y$ prix} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Laquelle de ces deux droites correspond au tarif A ? Justifier. \item Que représente l'abscisse du point de ($d'$) d'ordonnée \np{2800} ? Donner sa valeur. Laisser apparaître les tracés utiles sur le graphique. \item Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles. déterminer à partir de combien de billets le tarif B est plus avantageux que le tarif A. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Attention : toutes les feuilles du sujet sont à joindre à la copie} \end{center} %%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2009 \newpage %%%%%%%%%% Antilles--Guyane septembre 2009 \hypertarget{Antillessep}{} \label{Antillessep} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles--Guyane~\decofourright\\[5pt] septembre 2009}} \vspace{0,25cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip QCM : Questionnaire à choix multiple. \textbf{Voir Annexe 1}. \medskip \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip Lors d'un contrôle, une classe de 3\up{e} a obtenu les notes suivantes : 8 - 7 - 8 - 4 - 13 - 13 - 13 - 10 - 4 - 17 - 18 - 4 - 13 - 11 - 9 - 15 - 5 - 7 - 11 - 18 - 6 - 9 - 2 - 19 - 12 - 12 - 6 - 15. \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant en rangeant toutes les notes par ordre croissant. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}*{5}{>{\centering \arraybackslash}X}|}\hline Notes &2 &4 & & &\ldots & & \\ \hline Effectifs &1 &3 & & &\ldots & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Quel est l'effectif total de ce groupe ? \item Quelle est la moyenne des notes de cette classe ? Arrondir le résultat à $0,1$ près. \item Donner la médiane de ces notes. \item On choisit au hasard une copie. Quelle est la probabilité pour que la note de cette copie soit supérieure ou égale à 10 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 2 points} \medskip Soustraire 3 à un nombre ou le diviser par 3 donne le même résultat. Quel est ce nombre. Justifier votre réponse. \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 3 points} \medskip QCM : Questionnaire à choix multiple. \textbf{Voir Annexe 2}. \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip \parbox{0.451\linewidth}{Soit la figure suivante où : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] ABC est un triangle rectangle en B \item[$\bullet~$] AC = 13~cm et BC = 12~cm \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur}.} \hfill \parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(8,2.5) \pspolygon(1,0)(7.7,0)(1,2.3) \uput[l](1,2.3){A} \uput[l](1,0){B} \uput[ur](7.7,0){C} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. (On arrondira au degré). \item O désigne le milieu de [AC]. \begin{enumerate} \item Déterminer la longueur OB. \item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BOA}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip \parbox{0.54\linewidth}{On donne : AI = 8 cm ; IB = 10 cm ; IC = 14 cm ; ID = 11,2 cm et AB = 6 cm. \emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.} \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle IAB est rectangle en A. \item Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. \item Quelle est la nature du triangle IDC ? Justifier votre réponse. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(8,5.75) \pspolygon(1,2.4)(7.4,2.4)(7.4,0.4)(1,5.1) \uput[l](1,2.4){D} \uput[l](1,5.1){C} \uput[r](7.4,0.4){B} \uput[r](7.4,2.4){A} \uput[u](4.6,2.4){I} \end{pspicture}} \medskip \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip \parbox{0.52\linewidth}{ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3~cm et AC = 4~cm. M est un point de [BC]. La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (AB) en P. La perpendiculaire à (AC) passant par M coupe (AC) en Q.}\hfill \parbox{0.44\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(7,4.2) \pspolygon(1,0.5)(6.9,0.5)(1,3.8) \psline(2.65,0.5)(2.65,2.9)(1,2.9) \uput[l](1,0.5){A} \uput[l](1,2.9){P} \uput[l](1,3.8){B} \uput[ur](2.7,2.9){M} \uput[d](2.7,0.5){Q} \uput[dr](6.9,0.5){C} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Justifier que : \begin{enumerate} \item BC = 5cm. \item Le quadrilatère APMQ est un rectangle. \item $\dfrac{\text{BP}}{3} = \dfrac{\text{BM}}{5} = \dfrac{\text{PM}}{4}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On suppose dans cette partie que BM = 2 cm. \begin{enumerate} \item Calculer BP, PM puis en déduire AP. \item Calculer l'aire du rectangle APMQ. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On suppose dans cette partie que BM $= x$~cm avec $0 < x < 5$. \begin{enumerate} \item En utilisant la question 3 de la Partie A, exprimer BP et PM en fonction de $x$. \item En déduire AP en fonction de $x$. \item Pour quelle valeur de $x$, APMQ est-il un carré? \item On note $\mathcal{A}(x)$ l'aire, en cm$^2$ du rectangle APMQ. Justifier que $\mathcal{A}(x) = 2,4x - 0,48x^2$. \item On donne la représentation graphique de la fonction $\mathcal{A}$ ci-dessous: \end{enumerate} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.50)(5,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(5,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(5,5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.4 x mul x dup mul 0.48 mul sub} \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.52\linewidth}{\textbf{a.} En s'aidant du graphique, trouver le(s) valeur(s) de $x$ pour lesquelles l'aire du rectangle APMQ est de 1~cm$^2$.\par \textbf{b.} Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de APMQ est maximale. Donner cette aire maximale. } \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)} \vspace{0,5cm} LE CANDIDAT RÉPONDRA DIRECTEMENT SUR LES FEUILLES ANNEXE 1 et 2. \medskip CES FEUILLES ANNEXES SERONT REMISES AVEC LA COPIE. \medskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 1} \hfill 4 points \end{flushleft} \medskip Pour chaque ligne du tableau, 3 réponses (A, B et C) sont proposées. Écrire dans la dernière colonne la lettre correspondant à la bonne réponse. \medskip \renewcommand\arraystretch{1.7} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline Énoncé &Réponse A &Réponse B &Réponse C &Réponse \\ \hline Le PGCD de 364 et 156 est : & 26 &78 &52 & \\ \hline L'écriture scientifique de $\dfrac{15 \times 10^8 \times 10^{-3}}{10^2}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm} est:& $1,5 \times 10^4$&$1,5 \times 10^3$&$1,5 \times 10^2$ & \\ \hline Les solutions de l'inéquation $-3x + 7 \geqslant 5$ sont les nombres $x$ vérifiant :&$x \geqslant \dfrac{2}{3}$&$x \leqslant \dfrac{2}{3}$&$x \leqslant -\dfrac{2}{3}$& \\ \hline On donne la fonction $f$ définie par : $f(x) = 3x^2 - 5$. $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=$ &$- \dfrac{11}{3}$&$-1$&$\dfrac{7}{9}$& \\ \hline \end{tabularx} \newpage \textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie) } \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 3 points} \vspace{1cm} \begin{flushleft}Pour chaque ligne du tableau, 3 réponses (A, B et C) sont proposées. Écrire dans la dernière colonne la lettre correspondant à la bonne réponse. \medskip On a une sphère S de centre O et de rayon $r$. Le plan P coupe la sphère en formant un cercle $C$ de centre H.\end{flushleft} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Énoncé &Réponse A &Réponse B &Réponse C &Réponse \\ \hline Le rayon du cercle $C$ est égal à :& $r - \text{OH}$&$\sqrt{r^2 + \text{OH}^2}$& $\sqrt{r^2 - \text{OH}^2}$& \\ \hline \rule[-4mm]{0mm}{12mm}L'aire de la sphère S est:&$\dfrac{4}{3}\times \pi \times r^2$&$4 \times \pi \times r^2$& $2 \times \pi \times r$ & \\ \hline Le volume de la boule de rayon $r$ est :&$\dfrac{4}{3}\times \pi \times r^3$&$4 \times \pi \times r^2$& $2 \times \pi \times r$ & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%% fin Antilles--Guyane septembre 2009 \newpage %%%%%%%%%% Métropole, La Réunion septembre 2009 \hypertarget{Metropolesep}{} \label{Metropolesep} \lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}} \rfoot{\small{septembre 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges septembre 2009~\decofourright\\[5pt] Métropole La Réunion Mayotte}} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1} \medskip Simplifier par 3 la fraction $\dfrac{\nombre{1404}}{\nombre{3465}}$. La fraction obtenue est-elle irréductible ? Justifier. \bigskip \textbf{Exercice 2} Pour un tirage au hasard, on a placé dans une urne 25 boules de même taille, les unes blanches, les autres noires. La probabilité de tirer une boule blanche est 0,32. Quelles sont les boules les plus nombreuses dans l'urne : les blanches ou les noires ? Expliquer. \bigskip \textbf{Exercice 3} La recette pour fabriquer une boisson sucrée, demande de mélanger 3 doses de sirop avec 5 doses d'eau. Quelle quantité de sirop, exprimée en litre, faut-il utiliser pour obtenir 6 litres de cette boisson ? \bigskip \textbf{Exercice 4} On propose deux programmes de calcul : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \multicolumn{1}{c}{Programme A}&\multicolumn{1}{c}{Programme B}\\ \begin{itemize} \item Choisir un nombre \item Multiplier ce nombre par 3 \item Ajouter 7 \end{itemize}&\begin{itemize} \item Choisir un nombre \item Multiplier ce nombre par 5 \item Retrancher 4 \item Multiplier par 2 \end{itemize}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit 3 comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est $22$. \item On choisit $(-2)$ comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A ? \item \begin{enumerate} \item Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit $(-2)$ ? \item Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit $0$ ? \end{enumerate} \item Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée. \emph{Même si cette démarche est incomplète il en sera tenu compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \newpage \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(9,4.5) \psline(0,0)(1.8,3.8)(9,0.5)%xCy \psline(1.3,2.75)(4.1,2.75)%AB \psline(0.35,0.75)(8.45,0.75)%DE \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1.3,2.75)(4.1,2.75)(1.8,3.8)(0.35,0.75)(8.45,0.75)(1.55,3.275)(2.7,2.75)(3.85,2.225)%ABCDEFOG \uput[l](1.3,2.75){A} \uput[r](4.1,2.75){B} \uput[ur](1.8,3.8){C} \uput[l](0.35,0.75){D} \uput[ur](8.45,0.75){E} \uput[l](1.55,3.275){F} \uput[d](3.85,2.225){G} \uput[d](2.7,2.75){O} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.53\linewidth}{\textbf{Données de la figure ci-contre :} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] CDE est un triangle rectangle en C \item[$\bullet~$] A appartient au segment [CD], B appartient au segment [CE] et la droite (AB) est parallèle à la droite (DE). \item[$\bullet~$] Le point F est le milieu du segment [AC] et le point O est le milieu de [AB]. \item[$\bullet~$] Le point G est le symétrique de F par rapport à O. \item[$\bullet~$] DE = 12~cm ; AB = 4,5~cm et AC = 1,8~cm \end{itemize}} \medskip Parmi les quatre questions suivantes en choisir deux et rédiger avec soin leur solution. Les deux questions non choisies n'ont pas à être traitées. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère AFBG ? \item Montrer que la droite (FO) est parallèle à la droite (CB). \item Calculer la longueur CD. \item Calculer une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5.5,6) \psellipse(2.6,5)(2.55,0.85) \psline(0.1,4.85)(2.6,0.6)(5.1,4.85) \psline(2.6,5)(5.15,5) \psline[linestyle=dashed](2.6,5)(2.6,0.6) \uput[u](2.6,5){H} \uput[r](5.15,5){M} \uput[d](2.6,0.6){O} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.52\linewidth}{La figure ci-contre représente un cône de révolution d'axe (OH). \begin{itemize} \item[$\bullet~$] OH = 5~cm \item[$\bullet~$] l'angle $\widehat{\text{HOM}}$ mesure 30\degres. \end{itemize}} \medskip \begin{enumerate} \item Dessiner le triangle HOM en vraie grandeur. \item Dessiner la base du cône en vraie grandeur. \item Calculer la longueur HM. Donner le résultat arrondi au mm. \item On verse de l'eau dans le cône jusqu'au quart de sa hauteur. Quel pourcentage du volume total du cône est occupé par l'eau ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie I : Format d'un rectangle} Sur la feuille annexe 1, cinq rectangles sont dessinés. Pour chacun, la longueur et la largeur sont indiquées. L'unité est le mm. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de la feuille annexe 2. (Dans la dernière ligne du tableau, toutes les fractions devront être irréductibles). \item Cette écriture irréductible de la fraction $\dfrac{L}{\ell}$ obtenue pour chaque rectangle est appelée format du rectangle. \begin{enumerate} \item Quels sont les rectangles du tableau qui ont le même format que le rectangle 1 ? \item Quels sont les rectangles du tableau qui ont le même format que le rectangle 2 ? \end{enumerate} \item Un rectangle est au format $\dfrac{16}{9}$. \begin{enumerate} \item Sachant que la largeur de ce rectangle est 54~mm, calculer sa longueur. \item Dessiner ce rectangle en bas de la feuille annexe 1. \item Si on ne connaît ni la longueur $L$ ni la largeur $\ell$, exprimer $L$ en fonction de $\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II : Étude graphique} \medskip À chaque rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$, on associe sur le graphique de la feuille annexe 2, le point de coordonnées $(\ell~;~L)$. Les points $P_{1}$ et $P_{2}$ correspondant aux deux premiers rectangles sont déjà placés. \begin{enumerate} \item Placer les trois autres points. \item Quelle conjecture peut-on faire sur la position des points correspondant aux rectangles dont le format est $\dfrac{16}{9}$ ? \item On considère un rectangle de largeur $\ell$ et de longueur $L$ dont le format est $\dfrac{16}{9}$. On appelle M le point du graphique correspondant à ce rectangle. Expliquer pourquoi M appartient à la droite O$P_{1}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie III : Étude graphique : diagonale des rectangles} \medskip Les écrans de télévision sont des rectangles qui sont en général au format $\dfrac{16}{9}$ ou $\dfrac{4}{3}$. Les fabricants indiquent souvent, comme caractéristique de la taille de l'écran, la longueur de sa diagonale. \begin{enumerate} \item Calculer la longueur de la diagonale du rectangle 1. \item Pour les écrans de télévision au format $\dfrac{16}{9}$, les fabricants considèrent que la longueur de la diagonale vaut approximativement le double de la largeur. Justifier cette approximation. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1} \medskip \textbf{À rendre avec la copie} \medskip \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(16,18) \psframe(1.9,0)(15,7.3)\uput[u](8.45,7.3){$L = 128$}\uput[r](15,3.65){$l = 72$}\rput(8.45,3.65){Rectangle 5} \psframe(0,8.9)(6,13.5)\uput[u](3.4,13.5){$L = 60$} \uput[r](6,11.2){$\ell = 45$}\rput(3,11.2){Rectangle 3} \psframe(8.3,8.7)(16.7,13.4)\uput[u](12.5,13.4){$L = 80$} \uput[r](16.7,11.05){$\ell = 45$}\rput(12.5,11.05){Rectangle 4} \psframe(1,14.7)(4.3,16.6)\uput[u](2.65,16.6){$L = 32$} \uput[r](4.3,15.65){$\ell = 18$}\rput(2.65,15.65){Rectangle 1} \psframe(10.6,14.5)(14.2,17.5)\uput[u](12.4,17.5){$L = 36$} \uput[r](14.2,16){$\ell = 27$}\rput(12.4,16){Rectangle 2} \end{pspicture} \newpage \textbf{Annexe 2} \medskip \textbf{À rendre avec la copie} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Rectangle 1& Rectangle 2& Rectangle 3& Rectangle 4& Rectangle 5\\ \hline Longueur $L$&32&36&&&\\ \hline Largeur $\ell$&18&27&&&\\ \hline $\dfrac{L}{\ell}$ sous forme irréductible&$\dfrac{16}{9}$&$\dfrac{4}{3}$&&&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{2cm} \psset{xunit=0.134cm,yunit=0.07cm} \begin{pspicture}(-6,-12)(84,146) \multido{\n=0+2}{43}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,146)} \multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=1pt](\n,0)(\n,146)} \multido{\n=0+4}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(84,\n)} \multido{\n=0+20}{8}{\psline[linewidth=1pt](0,\n)(84,\n)} \psline[linewidth=1.5pt](0,0)(81,144) \rput{90}(-8,70){Longueur $L$} \uput[d](40,-12){largeur $\ell$} \psdots[dotstyle=*,dotscale=1.5](18,32)(27,36) \uput[dr](18,32){$P_{1}$}\uput[dr](27,36){$P_{2}$} \uput[dr](0,0){O} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=20](0,0)(0,0)(84,146) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% Métropole, La Réunion septembre 2009 \newpage %%%%%%%%%% Polynésie septembre 2009 \hypertarget{Polynesiesep}{} \label{Polynesiesep} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2009~\decofourright}} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \noindent \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \begin{center} Cette page doit être rendue avec la copie \end{center} \textbf{Exercice 1 : QCM} \medskip Une seule des trois réponses proposées est correcte. Entourez-la. Aucune justification n'est demandée. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C \\ \hline \rule[-4mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{3}{5} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{3}$ est égal à :&$\dfrac{4}{5}$& $\dfrac{12}{30}$&$1$\\ \hline L'écriture scientifique de \np{65100000} est :& $6,51 \times 10^7$ &$651 \times 10^5$ &$6,51 \times 10^{-7}$\\ \hline $(3x - 2)^2$ est égal à : &$9x^2 - 4$ &$3x^2 - 12x + 4$ &$9x^2 - 12x + 4$ \rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline Le nombre de diviseurs communs à 40 et 60 est: &4& 6& 8 \\ \hline Un véhicule effectue 50~km en 2~h puis 100~km en 3~h. Sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est:& 27 km/h &30 km/h &32 km/h \\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Heimiri et son frère Tehui souhaitent gâter leur maman pour la fête des mères. Ils disposent de \np{18000}~F et profitent des soldes. \begin{enumerate} \item Dans la vitrine d'une bijouterie, ils aperçoivent de superbes boucles d'oreilles à \np{12000}~F. Calculer le prix des boucles d'oreilles après une remise de 25\:\% ? \item Dans la même bijouterie, ils aperçoivent une magnifique bague. Après une remise de 20\:\%, le prix de la bague est de \np{7840}~F. Quel était son prix initial ? \item En s'apprêtant à sortir de la bijouterie, Heimiri est sous le charme d'un pendentif en nacre. Voici ce qu'indique l'étiquette : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(2,1) \psframe(0,-1)(2,1)\rput(1,0.75){Pendentif} \rput(1,0){\np{2800}~F} \rput(1,-0.5){\np{2100}~F} \psline(0.5,-0.1)(1.5,0) \end{pspicture}\end{center} \vspace{0.75cm} Déterminer le pourcentage de remise effectuée sur le prix de ce pendentif. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \textbf{Écrire tous les calculs permettant de justifier votre réponse.} \emph{Toute trace de recherche même incomplète. sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip la ville A compte \np{60000}~voitures et la ville B compte \np{18000}~voitures. Les diagrammes circulaires ci-dessous représentent la répartition des voitures selon leurs couleurs, dans les villes A et B. On demande à un élève ce qu'il constate. Voici ce qu'il a répondu : \og On peut dire qu'il y a plus de voitures blanches dans la ville B que dans la ville A \fg. A t-il raison ? \bigskip \psset{unit=0.95cm} \begin{pspicture}(14,4.5) %\psgrid \pscircle(2,2){2} \pscircle(10.4,2){2} \pswedge[fillstyle=vlines](2,2){2}{0}{90} \pswedge[fillstyle=hlines](2,2){2}{-126}{0} \pswedge[fillstyle=crosshatch](2,2){2}{-180}{-126} \rput(3.7,3.7){25\:\%} \rput(0.3,3.7){25\:\%} \rput(3.7,0.3){35\:\%} \rput(0.3,0.3){15\:\%} \rput(2,4.4){\textbf{Ville A}} \psframe(4.4,0.4)(6,3.6) \psframe(4.6,0.6)(5,1) \rput(5.5,0.8){Autre} \psframe[fillstyle=crosshatch](4.6,1.4)(5,1.8)\rput(5.5,1.6){Bleu} \psframe[fillstyle=hlines](4.6,2.2)(5,2.6)\rput(5.5,2.4){Noir} \psframe[fillstyle=vlines](4.6,3)(5,3.4)\rput(5.5,3.2){Blanc} %%%%%%%%%%%%%%% \pswedge(2,2){2}{90}{108} \pswedge[fillstyle=vlines](10.4,2){2}{-126}{90} \pswedge[fillstyle=hlines](10.4,2){2}{144}{234} \pswedge[fillstyle=crosshatch](10.4,2){2}{108}{144} \rput(12.4,0.7){60\:\%} \rput(10.1,4.1){5\:\%} \rput(9,3.8){10\:\%} \rput(8.6,0.6){25\:\%} \rput(10.4,4.4){\textbf{Ville B}} \psframe(14.4,0.4)(12.8,3.6) \psframe(13.4,0.6)(13,1) \rput(13.9,0.8){Autre} \psframe[fillstyle=crosshatch](13,1.4)(13.4,1.8)\rput(13.9,1.6){Bleu} \psframe[fillstyle=hlines](13,2.2)(13.4,2.6)\rput(13.9,2.4){Noir} \psframe[fillstyle=vlines](13,3)(13.4,3.4)\rput(13.9,3.2){Blanc} \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \textbf{L'unité de longueur est le centimètre} \medskip On donne : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Les points C, D et A sont alignés. \item Les points B, E et A sont alignés. \item (DE) $\perp$ (AD) \item AB = 6,25 ; AC = 5 ; BC = 3,75 ; AD = 3,2 \item M $\in$ [AC] et N $\in$ [AB] tels que AM = 4 et AN = 5. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,5) %\psgrid \psline(0,1)(10,1) \psline(0,4.5)(10,0) \psline(1.5,0)(1.5,5) \psline(3,0)(3,5) \psframe(3,1)(3.2,1.2) \uput[u](7.8,1){A} \uput[ur](1.5,3.82){B} \uput[dr](1.5,1){C} \uput[dr](3,1){D} \uput[ur](3,3.17){E} \uput[dr](2.2,1){M} \uput[ur](2.3,3.45){N} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.2,1)(2.3,3.45) \rput(8,2.5){La figure n'est pas en vraie grandeur} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle ABC est rectangle. Vous préciserez en quel point. \item En déduire que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. \end{enumerate} \item Calculer DE. \item Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère les trois solides suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item la boule de centre O et de rayon SO tel que SO = 3~cm \item la pyramide SEFGH de hauteur 3~cm dont la base est le carré EFGH de c\^oté 6~cm \item le cube ABCDEFGH d'arête 6~cm. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Ces trois solides sont placés dans un récipient. Ce récipient est représenté par le pavé droit ABCDIJKl de hauteur 15 cm dont la base est le carré ABCD de côté 6 cm. \begin{enumerate} \item Calculer le volume du cube ABCDEFGH en cm$^3$. \item Calculer le volume de la pyramide SEFGH en cm$^3$. \item Calculer le volume de la boule en cm$^3$.(on arrondira à l'unité près) \item En déduire le volume occupé par les trois solides à l'intérieur du pavé ABCDIJKl en cm$^3$. \item \textbf{Dans cette question, écrire tous les calculs permettant de justifier votre réponse. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} Pourra t-on verser dans ce récipient 20~cl d'eau sans qu'elle ne déborde ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Schéma :} \medskip \parbox{0.44\linewidth}{ \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(5.25,8) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.3,5.9){1.3} \psdots(2.3,5.9) \pspolygon(0,0)(2.8,0)(4.7,0.9)(4.7,2.9)(4.7,3.6)(2.8,2.8)(0,2.8)%ABCGFEA \psline(4.7,3.6)(4.7,7.7)(1.9,7.7)(0,6.8)(2.8,6.8)(4.7,7.7)%GKLIJK \psline(2.8,2.8)(2.8,6.8)%FJ \psline(0,2.8)(0,6.8)%EI \psline(2.8,0)(2.8,2.8)%BF \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2.8,0){B} \uput[r](4.7,0.9){C} \uput[ul](1.9,0.9){D} \uput[l](0,2.8){E} \uput[dr](2.8,2.8){F} \uput[r](4.7,3.6){G} \uput[ul](1.9,3.7){H} \uput[ul](0,6.8){I} \uput[u](2.8,6.8){J} \uput[ur](4.7,7.7){K} \uput[ul](1.9,7.7){L} \uput[ur](2.3,5.9){O} \uput[l](2.3,4.6){S} \psline[linestyle=dotted](0,2.8)(2.3,4.6)(4.7,3.6)(2.8,2.8)(2.3,4.6)(1.9,3.7)(0,2.8)%ESGFSHE \psline[linestyle=dotted](4.7,3.6)(1.9,3.7)%GH \psline[linestyle=dotted](0,0)(1.9,0.9)(4.7,0.9)%ADC \psline[linestyle=dotted](1.9,0.9)(1.9,3.7)%DH \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.52\linewidth}{\textbf{La figure n'est pas en vraie grandeur} \medskip \begin{itemize} \item Le volume d'une pyramide se calcule grâce à la formule : $V = \dfrac{1}{3} \times h \times B$ où $h$ est la hauteur de la pyramide et $B$ l'aire de sa base. \item Le volume d'une boule se calcule grâce à la formule : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$ où $r$ est le rayon de la boule. \item 1~dm$^3$ = 1~L \end{itemize}} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \medskip Les parties A, B et C sont indépendantes \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip La moitié d'un terrain de basket a été partagée en 3 zones de jeu différentes notées R, M et E. Elles sont repérées dans la figure ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,5) %\psgrid \psframe(7.2,5) \psarc[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.7,0){3.2}{0}{180} \psarc[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.7,2){1}{0}{180} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.1,0)(2.7,2)(4.7,2)(5.3,0) \psline[linewidth=2pt,linecolor=lightgray](2.7,2)(4.7,2) \psframe(7.7,1.4)(8.1,1.8)\rput(8.9,1.6){Zone E} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.7,2.2)(8.1,2.6) \rput(8.9,2.4){Zone R} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](7.7,3)(8.1,3.4)\rput(8.9,3.2){Zone M} %\rput(2.2,0){\raquette} \end{pspicture} \end{center} On a relevé ci-dessous, pour chacun des quatre quart temps du match, tous les lancers effectués depuis chaque zone. \medskip \begin{tabular}{p{6cm}p{6cm}} Premier quart temps& Second quart temps\\ \begin{tabular}{|p{2.8cm}|*{3}{c|}}\hline Zone de lancer & R &M &E \\ \hline Nombre de lancers &7 &5 &3\\ \hline \end{tabular}& \begin{tabular}{|p{2.8cm}|*{3}{c|}}\hline Zone de lancer & R &M &E \\ \hline Nombre de lancers &8 &5 &2\\ \hline \end{tabular}\\ ~&~\\ Troisième quart temps& Quatrième quart temps\\ \begin{tabular}{|p{2.8cm}|*{3}{c|}}\hline Zone de lancer & R &M &E \\ \hline Nombre de lancers &9 &5 &2\\ \hline \end{tabular}&\begin{tabular}{|p{2.8cm}|*{3}{c|}}\hline Zone de lancer & R &M &E \\ \hline Nombre de lancers &6 &5 &3\\ \hline \end{tabular}\\ \end{tabular} \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le nombre total de lancers réalisés lors des quatre quart temps du match : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Zone de lancer &R &M &E &Total\\ \hline Nombre de lancers & & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Calcul de fréquences \begin{enumerate} \item Calculer la fréquence des lancers effectués depuis la zone E lors du match et donner le résultat sous forme d'une fraction la plus simplifiée possible. \item Calculer la fréquence des lancers effectués en dehors de la zone E lors du match. Donner le résultat sous forme d'une fraction la plus simplifiée possible. \end{enumerate} \item Pendant le match, sur les 60~lancers effectués, 51 ont été réussis dont 27 depuis la zone R. On sait aussi que $\dfrac{3}{4}$ des lancers effectués dans la zone M ont été réussis. Calculer le nombre de lancers réussis dans la zone E. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip Le graphique ci-dessous représente la hauteur du ballon lors d'un lancer en fonction du temps. \medskip \begin{center} \psset{xunit=6.875,yunit=2cm} \begin{pspicture}(-0.05,-0.2)(1.5,4.6) \multido{\n=0.+0.01}{151}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4.6)} \multido{\n=0+0.05}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4.6)} \multido{\n=0+0.1}{16}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4.6)} \multido{\n=0+0.04}{116}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](0,\n)(1.5,\n)} \multido{\n=0+0.2}{24}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(1.5,\n)} \multido{\n=0+0.4}{5}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](0,\n)(1.5,\n)} \psaxes[comma,linewidth=1.5pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(0,0)(1.5,4.6) \uput[u](1.4,0){Temps (en s)}\uput[d](0.1,0){0,1} \uput[l](0,0.2){0,2} \uput[r](0,4.7){Hauteur du ballon (en m)} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000]{0}{1}{2.4 x dup mul 7 mul sub 7.6 x mul add} \psline[linewidth=1.5pt](0.92,3)(1.05,3) \rput(1.35,2){panier}\psline{->}(1.275,2)(1,2.9) \psframe*(1.05,2.8)(1.06,3.86) \psline[linewidth=1.8pt](1.055,3.4)(1.058,3.4)(1.21,2.84)(1.21,0) \end{pspicture} \end{center} En vous aidant du graphique, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Quelle est la hauteur du panier ? \item À quelle hauteur se trouve le ballon 0,1~s après le lancer ? \item \begin{enumerate} \item Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ? \item Au bout de combien de temps le ballon atteint-il cette hauteur maximale? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C} \medskip Le joueur A passe le ballon au joueur B situé à 7,2~m de lui. La passe dure 0,4~s. \begin{enumerate} \item Calculer la vitesse moyenne du ballon, en m/s, lors de cette passe. \item Convertir en km/h. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2009 \newpage %%%%%%%%%%%\lfoot{\small{Amérique du Sud}} \hypertarget{AmeriqueSud}{} \label{AmeriqueSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright\\[5pt] novembre 2009}} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1} \medskip Recopier et compléter le tableau colonne par colonne ($x$ est un nombre positif) : \medskip \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &9 & & \\ \hline% $x^2$ & &16 & \\ \hline% $\sqrt{x}$ & & & 5 \\ \hline% \end{tabularx} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip On considère la fraction $\dfrac{190}{114}$. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi cette fraction n'est pas irréductible, \item Déterminer le PGCD des nombres $190$ et $114$ par la méthode de votre choix (faire apparaître les calculs utilisés), \item En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{190}{114}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (\textbf{Q. C. M.}). Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des expressions numériques, trois résultats sont proposés. Un seul est exact. Chaque réponse exacte donne $0,5$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. \bigskip \textbf{Recopier sur la copie chaque expression numérique et la réponse exacte.} \medskip \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.7} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Réponse A &Réponse B &Réponse C \\ \hline% \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{5}$ &$\dfrac{10}{7}$&$\dfrac{10}{10}$&$\dfrac{29}{10}$ \\ \hline% \rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{10^5}{10^2}$ &$10^3$&$10^7$& $10^{-3}$\\ \hline% \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3} : \dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{12}$&$- \dfrac{26}{3}$&$- \dfrac{20}{3}$\\ \hline% \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\left(10^5 \right)^2$&$10^7$&$10^3$&$10^{10}$\\ \hline% \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4} \medskip On donne A $= (x - 5)^2$ et B $= x^2 - 10x + 25$. \begin{enumerate} \item Calculer A et B pour $x = 5$. \item Calculer A et B pour $x = -1$. \item Peut-on affirmer que A = B quelque soit la valeur de $x$ ? Justifier. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Activités géométriques \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage. La ficelle est déroulée au maximum et elle est tendue, elle mesure 50~m. \medskip \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture}(5,5) \psline[linewidth=1.5pt](0.5,3)(4,3)\psline[linewidth=1.5pt](1,3)(3.5,4.5) \psline(3.5,4.5)(3.5,3)\psframe(3.5,3)(3.3,3.2) \uput[d](1,3){S} \uput[d](3.5,3){H} \uput[r](3.5,4.5){C} \uput[r](0.5,2.25){S : position de Simon} \uput[r](0.5,1.75){C : position du cerf-volant} \uput[r](0.5,1.25){SC = 50~m} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.52\linewidth}{\begin{enumerate} \item La ficelle fait avec l'horizontale un angle $\widehat{\text{CSH}}$ qui mesure 80\degres. Calculer la hauteur à laquelle vole le cerf-volant, c'est-à-dire CH (on donnera la réponse arrondie au mètre). \item Lorsque la ficelle fait avec l'horizontale un angle de 40\degres, la distance CH est-elle la moitié de celle calculée au 1. ? Justifier la réponse. \end{enumerate}} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox{0.54\linewidth}{Le cube représenté ci-contre est un cube d'arête 6~cm. (\emph{la figure n'est pas aux dimensions réelles}) On considère : le point M milieu de l'arête [BB$'$], le point N milieu de l'arête [CC$'$], le point P milieu de l'arête [DC], le point R milieu de l'arête [AB].} \hfill \parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.5,0)(6,5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,0)(3.5,0.5)(3.5,3.5)(1.5,3) \psframe(3,3) \psline(3,0)(4,1)(4,4)(3,3) \psline(0,3)(1,4) \psline(1,4)(4,4) \uput[ul](0,3){A} \uput[dr](3,3){B} \uput[d](3,0){C} \uput[d](0,0){D} \uput[u](1,4){A$'$} \uput[u](4,4){B$'$} \uput[r](4,1){C$'$} \uput[l](1,1){D$'$} \uput[u](3.5,3.5){M} \uput[r](3.5,0.5){N} \uput[d](1.5,0){P} \uput[u](1.5,3){R} \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1)(1,4) \psline[linestyle=dashed](1,1)(4,1) \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle BRM ? Construire ce triangle en vraie grandeur. Calculer la valeur exacte de RM. \item On coupe le cube par le plan passant par R et parallèle à l'arête [BC]. La section est le quadrilatère RMNP. Quelle est la nature de la section RMNP ? Construire RMNP en vraie grandeur. Donner ses dimensions exactes. \item Calculer l'aire du triangle RBM. Calculer le volume du prisme droit de base le triangle RBM et de hauteur [BC]. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Première partie : étude de la figure donnée en annexe 1} OABC est un carré de côté 7~cm. O, A et E sont alignés et AE = 2 cm. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du carré OABC. \item Calculer $\tan \widehat{\text{OEC}}$ ; en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{OEC}}$, arrondie au degré. \item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{ECB}}$ ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie: construction d'un rectangle sur la figure de l'annexe 1 :} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter la figure donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie) en effectuant le programme de construction suivant : \begin{enumerate} \item construire avec soin la droite parallèle à la droite (CE) passant par A ; cette droite coupe le segment [OC] en M. Placer M. \item construire le rectangle OMNE. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Prouver que $\dfrac{\text{OM}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{OE}}$. \item Calculer la valeur exacte de OM. \item Montrer que l'aire du rectangle OMNE est égale à l'aire du carré OABC. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie :} \textbf{Construction d'un rectangle de même aire qu'un carré :} \medskip On utilisera la figure donnée en \textbf{annexe 2 (à rendre avec la copie)} : OABC est maintenant un carré de côté 5~cm ; O, A et E sont alignés ; AE = 5~cm. Construire le rectangle OMNE de même aire que le carré OABC, avec M appartenant au segment [OC]. \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{Annexe 1} \end{flushleft} \vspace{0,5cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,8) \psframe(7,7) \psline(7,0)(9,0) \uput[d](0,0){O} \uput[d](7,0){A} \uput[u](7,7){B} \uput[u](0,7){C} \uput[d](9,0){E} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0)(7,0)(7,7)(0,7)(9,0) \end{pspicture} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{Annexe 2} \end{flushleft} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,8) \psframe(5,5) \psline(5,0)(10,0) \uput[d](0,0){O} \uput[d](5,0){A} \uput[u](5,5){B} \uput[u](0,5){C} \uput[d](10,0){E} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0)(5,0)(5,5)(0,5)(10,0) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2009 \newpage %%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie décembre 2009 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{décembre 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\[5pt]décembre 2009}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X|X|}\cline{2-2} On donne le programme de calcul suivant:&\begin{itemize} \item[$\bullet~$] Choisir un nombre ; \item[$\bullet~$] Lui ajouter 3 ; \item[$\bullet~$] Multiplier cette somme par 4 ; \item[$\bullet~$] Enlever 12 au résultat obtenu. \end{itemize}\\ \cline{2-2} \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que si le nombre choisi au départ est 2, on obtient comme résultat 8. \item Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Le nombre choisi est $\dfrac{1}{3}$ ; \item[$\bullet~$] Le nombre choisi est $\sqrt{5}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item \begin{enumerate} \item À votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au résultat final ? \item Démontrer votre réponse. \emph{Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip La roussette rousse est une espèce de chauve souris, endémique au territoire de la Nouvelle-Calédonie. Elle sera la mascotte officielle des XIV\up{es} Jeux du Pacifique de 2011. \medskip Dans une urne, on a dix boules indiscernables au toucher portant les lettres du mot ROUSSETTES \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(11,0.5) \multirput(0.5,0)(1.1,0){10}{\pscircle(0,0){0.5}} \rput(0.5,0){R} \rput(1.6,0){O}\rput(2.7,0){U}\rput(3.8,0){S} \rput(4.9,0){S}\rput(6,0){E}\rput(7.1,0){T}\rput(8.2,0){T} \rput(9.3,0){E}\rput(10.4,0){S} \end{pspicture} \end{center} \medskip On tire au hasard une boule dans cette urne et on regarde la lettre inscrite sur la boule. \medskip \begin{enumerate} \item Quels sont les six résultats possibles à l'issue d'un tirage ? \item Déterminer les probabilités suivantes : \begin{enumerate} \item la lettre tirée est un R. \item la lettre tirée est un S. \item la lettre tirée n'est pas un S. \end{enumerate} \item Julie affirme qu'elle a plus de chance d'obtenir une voyelle qu'une consonne à l'issue d'un tirage. A-t-elle raison ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, une seule des réponses proposées est exacte. Vous répondrez sur la feuille donnée en annexe en entourant distinctement la réponse qui vous paraît la bonne. Aucune justification n'est demandée. Il ne sera enlevé aucun point en cas de mauvaise réponse. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip Pour trouver la hauteur d'une éolienne, on a les renseignements suivants : \medskip \psset{unit=0.95cm} \begin{pspicture}(12,6) %\psgrid \def\pale{\pscurve(0,0)(0.5,-0.05)(1,-0.035)(1.5,0)(1,0.035)(0.5,0.05)(0,0)} \uput[r](0,3.5){Les points O, A et C sont alignés.} \uput[r](0,3){Les points O, B et D sont alignés.} \uput[r](0,2.5){Les angles $\widehat{\text{OAB}}$ et $\widehat{\text{ACD}}$ sont droits.} \uput[r](0,2){OA = 11 m ; AC = 594 m ; AB = 1,5 m.} \pspolygon(5.5,0)(10.5,0)(10.5,2.5) \psline(7,0)(7,0.77) \uput[r](6.1,5.5){Le schéma n'est pas représenté en vraie } \uput[r](6.1,5){grandeur} \uput[r](6.1,4.5){Le segment [CD] représente l'éolienne.} \psline(10.3,0)(10.5,2.5)(10.7,0) \psframe(10.3,0)(10.5,0.2) \psframe(6.8,0)(7,0.2) \psline[linestyle=dashed](10.5,2.5)(11.7,2.5) \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(11.7,2.5)(11.7,0) \rput{90}(11.9,1.25){\footnotesize hauteur de l'éolienne} \pscircle(10.5,2.5){1mm} \rput{-72}(10.5,2.5){\pale}\rput{48}(10.5,2.5){\pale}\rput{168}(10.5,2.5){\pale} \psline[linestyle=dashed](10.5,0)(11.7,0) \uput[dl](5.5,0){O} \uput[d](10.5,0){C} \uput[ul](10.5,2.5){D} \uput[d](7,0){A} \uput[u](7,0.77){B} \end{pspicture} \medskip \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi les droites (AB) et (CD) sont parallèles. \item Calculer la hauteur CD de l'éolienne. Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip Un parc de jeu à une forme triangulaire. Il est représenté sur la figure ci-dessous où les dimensions ne sont pas respectées. Les dimensions réelles de ce terrain sont : DE = 12~m, EF = 9~m, DF = 15~m. \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(6,3.5) \pspolygon(0.5,3)(5.5,3)(5.5,0.5) \uput[l](0.5,3){D} \uput[ur](5.5,3){E} \uput[dr](5.5,0.5){F} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item On veut construire ce triangle à l'échelle $1/200$. \begin{enumerate} \item Le tableau ci-dessous est reproduit dans l'annexe. Le compléter. \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|p{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &DE &EF &DF \\ \hline Dimensions réelles &12~m &9~m&15~m \\ \hline Dimensions du dessin&6~cm & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Construire le triangle DEF. \end{enumerate} \item Montrer que ce terrain possède un angle droit. \item Calculer l'aire réelle de ce parc. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip \emph{Ce problème est composé de trois parties indépendantes} \medskip \textbf{Première partie} \medskip Un chocolatier dispose de \np{1575}~bonbons au chocolat blanc et de \np{4410}~bonbons au chocolat noir. Afin de préparer les fêtes de fin d'année, il veut répartir ses chocolats dans des boîtes de la manière suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] tous les chocolats doivent être utilisés \item[$\bullet~$]toutes les boîtes doivent avoir la même composition. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} De plus il veut réaliser le plus grand nombre de boîtes possible. \medskip \begin{enumerate} \item Combien pourra-t-il faire de boîtes ? Justifier votre réponse. \item Dans chaque boîte, combien y aura-t-il de chocolats blancs et de chocolats noirs ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip En une semaine, Nicolas le chocolatier, a vendu toutes ses boîtes. Voici la répartition des ventes pour chaque jour de la semaine. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash\footnotesize}X|}}\hline Jours de la semaine& lundi &mardi &mercredi &jeudi &vendredi &samedi &dimanche \\ \hline Nombre de boî\-tes vendues&13 &32 &60 &54 &61 &63 & 32 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la répartition des ventes pour chaque jour de la semaine à l'aide d'un diagramme en bâtons. \item Quel est le nombre total de boîtes vendues durant la semaine ? \item Calculer le pourcentage de boîtes vendues durant le week-end (samedi et dimanche). Arrondir le résultat à l'unité. \item Calculer le nombre moyen de boîtes vendues par jour. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie} \medskip Le chocolatier a vendu 315 boîtes dans la semaine. Chaque boîte contient 19 chocolats. Une boîte vide coûte 200~F. \medskip \begin{enumerate} \item En supposant qu'un chocolat coûte 100~F. \begin{enumerate} \item Calculer le prix d'une boîte de chocolats ? \item En déduire combien rapporte la vente des 315 boîtes durant la semaine ? \end{enumerate} \item Quel devrait être le prix d'un chocolat si le chocolatier voulait vendre sa boîte \np{2290}~F ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE à rendre avec votre copie} \begin{flushleft} \textbf{Activités géométriques : exercice 1} \end{flushleft} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline &A& B &C \\ \hline \textbf{1.} Avec les données de cette figure, l'arrondi au mm près de AB est: \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(3,2.5) \pspolygon(0.2,0.3)(2.8,2)(0.2,2) \uput[dl](0.2,0.3){A} \uput[ur](2.8,2){C} \uput[ul](0.2,2){B} \psframe(0.2,1.8)(0.4,2) \rput(2.3,1.85){23\degres}\uput[u](1.5,2){5,2 cm} \end{pspicture}& 4,8 cm &2,2 cm &2 cm \\ \hline \textbf{2.} Avec les données de cette figure, la longueur DE en cm est : \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(3,2.5) \rput{15}(0.5,0.3){\pspolygon(0.2,0.3)(2.6,0.3)(0.2,1.7) \psframe(0.4,0.3)(0.2,0.5)} \uput[dl](0.6,0.6){E} \uput[ur](2.98,1.2){F} \uput[ul](0.25,2){D} \rput(1.8,0.6){6 cm }\uput[u](1.5,1.6){7,5 cm} \end{pspicture}&1,5 cm& 9,6 cm& 4,5 cm \\ \hline \textbf{3.} La section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe est un : & trapèze &rectangle &cercle \\ \hline \textbf{4.} Le point K appartient au cercle de diamètre [IJ] et $\widehat{\text{KIJ}}$ mesure 32\degres{} alors : \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3.2,3.2) \pscircle(1.7,1.6){1.5} \pspolygon(0.25,1.9)(3.1,1.18)(2.2,0.2) \uput[l](0.25,1.9){I} \uput[r](3.1,1.18){J} \uput[dr](2.2,0.27){K} \rput(1.1,1.5){32\degres} \end{pspicture}& $\widehat{\text{IJK}}$ mesure 32\degres & On ne peut pas calculer la mesure de $\widehat{\text{IJK}}$ & $\widehat{\text{IJK}}$ mesure 58\degres \\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft} \textbf{Activités géométriques : exercice 3} \end{flushleft} \medskip \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|p{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &DE &EF &DF \\ \hline Dimensions réelles &12~m &9~m&15~m \\ \hline Dimensions du dessin&6~cm & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie décembre 2009 \newpage %%%%%%%%%% Nouvelle Calédoniemars 2010 \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet Nouvelle--Calédonie mars 2010 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Pour chacune des propositions trois réponses sont proposées et une seule est exacte. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\ \hline $5^4$ est égal à :&$5 \times 5 \times 5$&125&625\\ \hline La valeur approchée arrondie au centième de $\sqrt{100 - 25}$ est :& $- 15$&8,66&8,67\\ \hline L'expression développée et réduite de $(7 - 3x)(7 + 3x)$ est égale à :&$49 - 9x^2$&$49 - 3x^2$&$14 - 9x^2$\\ \hline Le PGCD de \np{5082} et \np{4641} est :&3&21&13\\ \hline L'équation $(2x + 4)((x - 9) = 0$ a pour solutions :&$- 2$ et 9&2 et $- 9$&6 et 9\\ \hline \end{tabularx} \medskip Recopier la réponse sur le tableau ci-après. \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|m{5cm}|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\textbf{Réponse }\\ \hline $5^4$ est égal à :&\\ \hline La valeur approchée arrondie au centième de $\sqrt{100 - 25}$ est :&\\ \hline L'expression développée et réduite de $(7 - 3x)(7 + 3x)$ est égale à :&\\ \hline Le PGCD de \np{5082} et \np{4641} est :&\\ \hline L'équation $(2x + 4)((x - 9) = 0$ a pour solutions :&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip \textbf{Recopier et compléter :} \begin{enumerate} \item Le double de 100 est \ldots \item La moitié de 100 est \ldots \item le carré de 100 est \ldots. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip L'équipe de volley du collège est constituée de 6 joueurs. Parmi ces joueurs, l'un d'eux se prénomme Patrick. Le professeur d'EPS désigne au hasard l'élève qui sera le capitaine de l'équipe. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que Patrick soit le capitaine de cette équipe ? \item Deux tiers des ces joueurs de volley mesurent 1 m 80 ou plus. Quelle est la probabilité qu'un joueur de l'équipe mesure moins de 1 m 80 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip \textbf{Dans cette exercice, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Un automobiliste quitte Nouméa pour aller à la foire de Koumac. Le véhicule a parcouru 348 kilomètres en 240 minutes. On considère que la vitesse du véhicule est constante. Sachant que la vitesse réglementaire est limitée à 110~km/h sur les routes de Nouvelle-Calédonie, l'automobiliste a-t-il respecté la réglementation de vitesse ? \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \textsc{Première partie} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un triangle ABC tel que AC $ = 12$~cm, AB $= 13$~cm et BC $ = 5$~cm. \item Placer le point R appartenant à [AC] tel que AR = 9~m. \item Placer le point T appartenant à [AB] tel que la droite (RT) soit perpendiculaire à la droite (AC). \end{enumerate} \medskip \textsc{Deuxième partie} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. \item Que peut-on dire des droites (RT) et (BC) ? Justifier. \item Calculer la valeur exacte de la longueur du segment [AT]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox{0.69\linewidth}{\emph{La figure n'est là qu'à titre indicatif et elle n'est pas à reproduire} Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD tel que AB = 5~cm et sa hauteur [SH] est de 10~cm. On coupe la pyramide par un plan (P) parallèle à la base passant par les points M, N, O et P tel que SI = 5~cm.} \hfill \parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,4) %\psgrid \pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.5,1.7)(2,3.5)%ABCS \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.5,1.7)(2.5,0.5)%ADB \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(3.5,1.7)(1.5,1.7)%ACD \psline[linestyle=dashed](2,3.5)(1.5,1.7)%SD \psline[linestyle=dashed](2,3.5)(2,1.1)%SH \uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[r](3.5,1.7){C} \uput[ul](1.5,1.7){D} \uput[u](2,3.5){S} \uput[ur](2,1.1){H} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Le volume d'une pyramide est donné par la formule $v = \dfrac{b \times h}{3}$ avec $b$ l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide. Calculer le volume de la pyramide SABCD au cm$^3 $ près. \item Quelle est la nature de la section de de la pyramide par ce plan ? \item La pyramide SMNOP est une réduction de la pyramide SABCD. Calculer le coefficient de cette réduction. \item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ de la section MNOP. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points} \medskip Deux frères, étudiants, Max et Mathieu effectuent de petits boulots pour leur argent de poche. Max travaille à la bibliothèque universitaire. Pour cela il est payé 800~francs de l'heure et reçoit un salaire fixe de \np{4000}~francs par mois. Mathieu fait régulièrement du baby-sitting pour ses voisins et il est rémunéré \np{1000}~francs de l'heure. \medskip \textsc{Première partie : Max et Mathieu} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la somme gagnée par Max lorsqu'il a travaillé 10~heures dans le mois. \item Calculer la somme gagnée par Mathieu lorsqu'il a travaillé 21~heures dans le mois. \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre d'heures de travail faites dans le mois &0&12 &20 &27\\ \hline Somme d'argent reçue par Max & & & &\np{25600}\\ \hline Somme d'argent reçue par Mathieu & &\np{12000}& &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Soit $x$ le nombre d'heures de travail effectuées par chacun des deux frères par mois. On considère les fonctions $f : \quad x \mapsto 800x + \np{4000}$ et $g : \quad x \mapsto \np{1000}x$. \begin{enumerate} \item Que représente la fonction $f$ ? \item Que représente la fonction $g$ ? \end{enumerate} \item Sans effectuer de calculs : \begin{enumerate} \item Quelle est l'image de 27 par la fonction $f$ ? \item Quel est l'antécédent de \np{12000} par la fonction $g$ ? \end{enumerate} \item Construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le repère orthogonal ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{xunit=0.3cm,yunit=0.0004cm} \begin{pspicture}(-3,-3000)(32,24000) \uput[u](30,0){Heures}\uput[r](0,24000){Gains} \multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,24000)} \multido{\n=0+1000}{25}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=28000]{->}(0,0)(32,24000) \multido{\n=0+2000,\na=4000+2000}{13}{\uput[l](0,\n){\np{\na}}} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \medskip \textsc{Deuxième partie : Interprétation graphique} \medskip \emph{Pour les questions suivantes, on ne demande aucun calcul, mais on fera apparaître sur le graphique les traits de construction permettant d'y répondre} \medskip \begin{enumerate} \item Si Max a travaillé 5~heures dans le mois, combien a-t-il gagné ? \item Combien d'heures de baby-sitting Mathieu a-t-il fait dans le mois pour gagner \np{10000}~francs ? \item À partir de combien d'heures de travail effectuées dans le mois Mathieu gagne-t-il plus d'argent que Max ? \item Si Max et Mathieu ont travaillé 10~heures, lequel des deux a gagné le plus d'argent ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie mars 2010 \end{document}