\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small L'intégrale 2011} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet 2011 \decofourright\\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2011 à mars 2012}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2011}\dotfill\pageref{Pondichery} \\ \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2011}\dotfill\pageref{AmeriqueNord} \\ \hyperlink{Asie}{Asie juin 2011}\dotfill \pageref{Asie} \\ \hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2011} \dotfill \pageref{Etranger} \\ \hyperlink{Metropole}{Métropole, La Réunion, Antilles--Guyane juin 2011}\dotfill \pageref{Metropole}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2011} \dotfill \pageref{Polynesie} \\ \hyperlink{Metropolesep}{Métropole, La Réunion, Antilles--Guyane sept. 2011}\dotfill \pageref{Metropolesep}\\ \hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie septembre 2011}\dotfill \pageref{Polynesiesep}\\ \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2011}\dotfill \pageref{AmeriqueSud}\\ \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie décembre 2011}\dotfill \pageref{Caledonienov}\\ \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle--Calédonie mars 2012}\dotfill\pageref{Caledoniemars}\\ \end{tabularx} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2011 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small avril 2011} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges ~\decofourright\\[5pt] Pondichéry avril 2011}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Activités numériques \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte $1$ point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point.} \medskip \emph{Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3,5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5} \multicolumn{2}{c|}{}&Réponse A &Réponse B& Réponse C\\ \hline% Question 1 & Les diviseurs communs à 30 et 42 sont :& 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 et 7.& 1 ; 2 ; 3 et 6.&1 ; 2 ; 3 ; 5 et 7\\ \hline Question 2& Un sac contient 10 boules blanches et 5 boules noires. On tire une boule au hasard. La probabilité de tirer une boule noire est égale à :&$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{5}$\\ \hline Question 3 &La représentation graphique des solutions de l'inéquation \qquad $7x - 5 < 4x + 1$ est :&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(1.9,1.25) \psline{->}(0,0.5)(1.9,0.5)\psline(0.75,0.3)(0.75,0.7) \psline(1.5,0.3)(1.3,0.3)(1.3,0.7)(1.5,0.7) \psline[linewidth=1.5pt](0,0.5)(1.3,0.5) \uput[d](0.75,0.4){$0$}\uput[d](1.3,0.4){$2$}\uput[u](0.75,0.6){\small solutions} \end{pspicture}&\begin{pspicture}(1.9,1) \psline{->}(0,0.5)(1.9,0.5)\psline(0.75,0.3)(0.75,0.7) \psline(1.1,0.3)(1.3,0.3)(1.3,0.7)(1.1,0.7) \psline[linewidth=1.5pt](1.3,0.5)(1.9,0.5) \uput[d](0.75,0.4){$0$}\uput[d](1.3,0.4){$2$}\uput[u](1.2,0.6){\small solutions} \end{pspicture}&\begin{pspicture}(1.9,1) \psline{->}(0,0.5)(1.9,0.5)\psline(0.75,0.3)(0.75,0.7) \psline(0.95,0.3)(0.75,0.3)(0.75,0.7)(0.95,0.7) \psline[linewidth=1.5pt](0,0.5)(0.75,0.5) \uput[d](0.75,0.4){$-2$}\uput[d](1.3,0.4){$0$}\uput[u](0.5,0.6){\small solutions} \end{pspicture}\\ \hline Question 4 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{\left(10^{-3}\right)^2 \times 10^4}{10^{-5}}$ est égal à& $10^{-7}$&$10^{-15}$&$10^{3}$\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip On donne l'expression : A $= (2x + 1)(x - 5)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire A. \item Calculer A pour $x = -3$. \item Résoudre l'équation: A $= 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip Sur le graphique ci-dessous, on a reporté les résultats obtenus en mathématiques par Mathieu tout au long de l'année scolaire. \medskip \psset{xunit=0.9cm,yunit=0.4cm} \begin{center} \begin{pspicture}(12,21) \psdots[dotstyle=square*,dotscale=1.25](1,13)(2,12)(3,9)(4,11)(5,6)(6,11)(7,11)(8,17)(9,19)(10,14)(11,3)(12,12) \uput[l](0,21){Note} \uput[d](11,-0.9){Numéro du devoir} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(12,20) \psline(1,13)(2,12)(3,9)(4,11)(5,6)(6,11)(7,11)(8,17)(9,19)(10,14)(11,3)(12,12) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(12,20) \end{pspicture} \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item À quel devoir Mathieu a-t-il obtenu sa meilleure note ? \item Calculer la moyenne des notes de Mathieu sur l'ensemble de l'année. \item Déterminer l'étendue de la série de notes de Mathieu. \item \begin{enumerate} \item Combien Mathieu a-t-il eu de notes strictement inférieures à 10 sur 20 ? \item Exprimer ce résultat en pourcentage du nombre total de devoirs. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Activités géométriques \hfill 12 points } \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \emph{On considère la figure ci-dessous qui n'est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de refaire la figure.} \medskip \parbox{0.59\linewidth}{\begin{itemize} \item[$\bullet~~$] ABD est un triangle isocèle en A tel que $\widehat{\text{ABD}} = 75\,\degres{}$ ; \item[$\bullet~~$] $\mathcal{C}$ est le cercle circonscrit au triangle ABD ; \item[$\bullet~~$] O est le centre du cercle $\mathcal{C}$ \item[$\bullet~~$] [BM] est un diamètre de $\mathcal{C}$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle BMD ? Justifier la réponse \item \begin{enumerate} \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAD}}$. \item Citer un angle inscrit qui intercepte le même arc que l'angle $\widehat{\text{BMD}}$. \item Justifier que l'angle $\widehat{\text{BMD}}$ mesure 30\degres. \end{enumerate} \item On donne : BD = 5,6~cm et BM = 11,2~cm. Calculer DM. On arrondira le résultat au dixième près. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.39\linewidth}{\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(6,6) \pscircle(3,2.9){2.7} \psdots(3,5.6)(1.6,0.6)(4.4,0.6)(4.4,5.2)(3,2.9) \uput[u](3,5.6){A} \uput[dl](1.6,0.6){B} \uput[dr](4.4,0.6){D} \uput[ur](4.4,5.2){M}\uput[dr](3,2.9){O} \psline(4.4,0.6)(3,5.6)(1.6,0.6)(4.4,0.6)(4.4,5.2)(1.6,0.6) \psarc(1.6,0.6){0.6}{0}{75}\uput[ur](2,0.8){$75\,\degres$} \psline(2,2.7)(2.3,2.7)\psline(2.05,2.75)(2.35,2.75) \psline(3.6,2.7)(3.9,2.7)\psline(3.65,2.75)(3.95,2.75) \end{pspicture}} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \textbf{Dans cet exercice, les parties I et II sont indépendantes} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{Un silo à grains a la forme d'un cône surmonté d'un cylindre de même axe. A, I, O et S sont des points de cet axe. \medskip On donne : SA = 1,60 m, AI = 2,40 m, AB = 1,20 m. \medskip \textbf{Partie 1 :} On considère la figure 1 ci-contre.} \hfill \parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4.5,7.5) \psline(0,7.2)(0,3)(2.2,0.3)(4.4,3)(4.4,7.2) \psline[linestyle=dashed](4.4,7.2)(2.2,7.2)(2.2,0.3) \psline[linestyle=dashed](4.4,3)(2.2,3) \psellipse(2.2,7.2)(2.2,0.4) \psellipse[linestyle=dashed](2.2,3)(2.2,0.4) \psellipse[linestyle=dashed](2.2,2.4)(1.73,0.3) \pscurve(0,3)(0.4,2.79)(1,2.66)(2.2,2.6)(3,2.63)(4,2.8)(4.4,3) \pscurve(0.47,2.4)(0.6,2.28)(1,2.2)(2.2,2.12)(3,2.17)(3.6,2.23)(3.93,2.4) \psdots(2.2,7.2)(2.2,3)(2.2,2.4) \rput(0.5,1){figure 1} \uput[l](2.2,7.2){I}\uput[r](4.4,7.2){C}\uput[l](2.2,3){A}\uput[r](4.4,3){B}\uput[l](2.2,2.4){O}\uput[l](2.2,0.3){S} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item On rappelle que le volume d'un cône est donné par la formule : $\dfrac{1}{3}\times \pi \times r^2 \times h$ et que 1 dm$^3 = 1$~litre. \begin{enumerate} \item Montrer que le volume du cône, arrondi au millième près, est de 2,413~m$^3$. \item Sachant que le volume du cylindre, arrondi au millième près, est de 10,857~m$^3$, donner la contenance totale du silo en litres. \end{enumerate} \item Actuellement, le silo à grains est rempli jusqu'à une hauteur SO $= 1,20$~m. Le volume de grains prend ainsi la forme d'un petit cône de sommet S et de hauteur [SO]. On admet que ce petit cône est une réduction du grand cône de sommet S et de hauteur [SA]. \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de réduction. \item En déduire le volume de grains contenu dans le silo. On exprimera le résultat en m$^3$ et on en donnera la valeur arrondie au millième près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \parbox{0.4\linewidth}{\textbf{Partie 2 :} on considère la figure 2 ci-contre. \medskip Pour réaliser des travaux, deux échelles représentées par les segments [BM] et [CN] ont été posées contre le silo. \medskip On donne : HM = 0,80 m et HN = 2 m. \medskip Les deux échelles sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.} \hfill \parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(-1,-1.5)(7.7,7.5) \psline(0,7.2)(0,3)(2.2,0.3)(4.4,3)(4.4,7.2) \psline[linestyle=dashed](4.4,7.2)(2.2,7.2)(2.2,0.3) \psline[linestyle=dashed](4.4,3)(2.2,3) \psellipse(2.2,7.2)(2.2,0.4) \scalebox{1}[0.3]{\psarc[linewidth=1pt](2.2,10){2.2}{180}{0}}% \scalebox{1}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed,linewidth=1pt](2.2,10){2.2}{0}{180}}% \psdots(2.2,7.2)(2.2,3)(2.2,2.4) \rput(6,6){figure 2} \uput[l](2.2,7.2){I}\uput[r](4.4,7.2){C}\uput[l](2.2,3){A}\uput[r](4.4,3){B}\uput[l](2.2,2.4){O}\uput[d](2.2,0.3){S} \psline[linewidth=0.25pt,arrowsize=3pt 5]{<->}(-0.4,7.2)(-0.4,3) \psline[linewidth=0.25pt,arrowsize=3pt 5]{<->}(-0.4,0.3)(-0.4,3) \psline[linewidth=0.25pt,arrowsize=3pt 5]{<->}(4.4,0.1)(5.6,0.1) \psline[linewidth=0.25pt,arrowsize=3pt 5]{<->}(4.4,-0.8)(7.6,-0.8) \psline(-1,0.3)(7.7,0.3)\psline(4.4,3)(4.4,0.3) \rput{90}(-0.6,5.45){2,40 m}\rput{90}(-0.6,1.8){1,60 m} \uput[d](5,-0.1){0,80 m}\uput[d](6,-0.8){2 m} \uput[d](4.4,0.2){H}\uput[d](5.6,0.2){M}\uput[d](7.6,0.3){N} \psline(4.4,3)(5.6,0.3)\psline(4.4,7.2)(7.6,0.3) \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Probl\`eme \hfill 12 points } \bigskip \parbox{0.48\linewidth}{Monsieur Duchêne veut barder (recouvrir) de bois le pignon nord de son atelier. Ce pignon ne comporte pas d'ouverture. On donne : AD = 6 m ; AB = 2,20 m et \mbox{SM = 1,80 m.} M est le milieu de [BC].}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.725cm}\begin{pspicture}(-0.5,-1)(7,5) \pspolygon(3.5,4.7)(0,2.6)(0,0)(7,0)(7,2.6) \uput[u](3.5,4.7){S} \uput[ul](0,2.6){B} \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](7,0){D} \uput[ur](7,2.6){C} \uput[d](3.5,2.6){M} \psline[linestyle=dashed](3.5,4.7)(3.5,2.6) \psline[linestyle=dashed](0,2.6)(7,2.6) \psframe(3.5,2.6)(3.8,2.9) \psline(1.7,2.5)(1.75,2.7)\psline(5.2,2.5)(5.25,2.7) \rput(3.5,-0.8){pignon nord de l'atelier} \end{pspicture} } \bigskip \textbf{Les parties I, II et III sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie 1} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'aire du pignon ABSCD de l'atelier est de 18,6 m$^2$. \item Les planches de bois qui serviront à barder le pignon sont conditionnées par lot. Un lot permet de couvrir une surface de 1,2 m$^2$. \begin{enumerate} \item Combien de lots monsieur Duchêne doit-il acheter au minimum ? \item Pour être sûr de ne pas manquer de bois, monsieur Duchêne décide d'acheter $18$~lots. Un lot est vendu au prix de 49 ~\euro. Combien monsieur Duchêne devrait-il payer ? \item Monsieur Duchêne a bénéficié d'une remise de 12\,\% sur la somme à payer. Finalement, combien Monsieur Duchêne a-t-il payé ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip \parbox{0.38\linewidth}{Dans un premier temps, Monsieur Duchêne va devoir fixer des tasseaux de bois sur le mur. Ensuite, il placera les planches du bardage sur les tasseaux, comme indiqué sur la figure ci-contre.}\hfill \parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(8,9) \psline(0.1,5.2)(1,4.7)\psline(5.3,8.8)(6,8.4)(8,7.65) \psline(0.1,1.6)(1,1)\psline(6.3,1.9)(8,2.2) \psline(1,4.7)(6,8.4) \psline(1.2,2.6)(6,3.4) \psline(5.8,2.73)(5.8,3.08)\psline(5.8,2.11)(5.8,2.42) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,1.)(1.2,0.95)(1.2,4.65)(1,4.7) \pspolygon(1.2,2.6)(1.4,2.65)(1.4,4.78)(1.2,4.65)\psline(1.4,4.78)(1.22,4.85) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2.76)(2.2,2.79)(2.2,5.4)(2,5.45) \pspolygon(2.2,2.78)(2.4,2.81)(2.4,5.54)(2.2,5.4)\psline(2.4,5.55)(2.22,5.64) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,2.92)(3.2,2.95)(3.2,6.16)(3,6.2) \psline(3.2,2.95)(3.4,3)(3.4,6.3)(3.2,6.16)\psline(3.4,6.3)(3.22,6.35) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.1,3.1)(4.3,3.13)(4.3,6.94)(4.1,7) \psline(4.3,3.13)(4.5,3.17)(4.5,7.1)(4.3,6.94)\psline(4.5,7.1)(4.33,7.18) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.2,3.3)(5.4,3.33)(5.4,7.74)(5.2,7.8) \psline(5.4,3.33)(5.6,3.37)(5.6,7.9)(5.4,7.74) \psline(5.6,7.9)(5.4,7.95) \psline(1.2,2.3)(6,3.1)(6,3.4)%bardage \psline(1.2,2)(6.8,2.9)(6.8,2.6)(1.2,1.65)%bardage \psline(1.2,1.3)(6.3,2.2)(6.3,1.8)(1.2,0.95)%bardage \psdots[dotscale=0.5](1.3,2.4)(1.3,2.5)(1.3,2.25)(1.3,2.15)(1.3,1.9)(1.3,1.8)(1.3,1.45)(1.3,1.55)(1.3,1.1)(1.3,1.2) \psdots[dotscale=0.5](2.3,2.65)(2.3,2.55)(2.3,2.25)(2.3,2.35)(2.3,1.9)(2.3,2)(2.3,1.65)(2.3,1.55)(2.3,1.35)(2.3,1.25) \psdots[dotscale=0.5](3.3,2.75)(3.3,2.85)(3.3,2.45)(3.3,2.55)(3.3,2.1)(3.3,2.2)(3.3,1.75)(3.3,1.85)(3.3,1.45)(3.3,1.55) \psdots[dotscale=0.5](4.2,2.9)(4.2,3)(4.2,2.6)(4.2,2.7)(4.2,2.25)(4.2,2.35)(4.2,1.95)(4.2,2.05)(4.2,1.6)(4.2,1.7) \psdots[dotscale=0.5](5.5,3.1)(5.5,3.2)(5.5,2.9)(5.5,2.8)(5.5,2.45)(5.5,2.55)(5.5,2.15)(5.5,2.25)(5.5,1.95)(5.5,1.85) \uput[u](6,8.4){S}\uput[l](1,4.7){B}\uput[dl](1,1){A} \rput(6.8,6){tasseaux de bois}\psline{->}(6.8,5.8)(5.5,4.5)\psline{->}(6.8,5.8)(4.4,4.5) \rput(4,0.2){planches du bardage}\psline{->}(4,0.4)(2.7,1.4)\psline{->}(4,0.4)(4.5,2.1) \end{pspicture}} \medskip \textbf{Les tasseaux seront placés parallèlement au côté [AB].} \textbf{Cette partie a pour but de déterminer la longueur de chaque tasseau en fonction de la distance qui le sépare du côté [AB].} \medskip Soit E un point du segment [AD]. La parallèle à (AB) passant par E coupe [BS] en F, et [BM] en H. On admet que la droite (FH) est parallèle à la droite (SM). Le segment [EF] représente un tasseau à fixer. \medskip \parbox{0.52\linewidth}{ \begin{enumerate} \item Sachant que M est le milieu de [BC], calculer BM. \item Dans cette question, on suppose que le tasseau [EF] est placé à 0,50~m du côté [AB]. On a donc : AE = BH = 0,50 m. \begin{enumerate} \item En se plaçant dans le triangle SBM et en utilisant le théorème de Thalès, calculer FH. \item En déduire la longueur EF du tasseau. \end{enumerate} \item Dans cette question, on généralise le problème et on suppose que le tasseau [EF] est placé à une distance $x$ du côté [AB]. On a donc : AE = BH = $x$ (avec $x$ variant entre 0 et 3 m) \begin{enumerate} \item Montrer que FH $= 0,6 x$. \item En déduire l'expression de EF en fonction de $x$. \end{enumerate} \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-0.9,-1.5)(7,5) %\psgrid \pspolygon(3.5,4.7)(0,2.6)(0,0)(7,0)(7,2.6) \uput[u](3.5,4.7){S} \uput[ul](0,2.6){B} \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](7,0){D} \uput[ur](7,2.6){C} \uput[d](3.5,2.6){M} \psline[linestyle=dashed](3.5,4.7)(3.5,2.6) \psline[linestyle=dashed](0,2.6)(7,2.6) \psframe(3.5,2.6)(3.8,2.9) \psline(1.7,2.5)(1.75,2.7)\psline(5.2,2.5)(5.25,2.7) \psline[linewidth=1.5pt](1,0)(1,3.2) \psline[arrowsize=2pt 4]{<->}(4,2.6)(4,4.7)\uput[r](4.2,3.65){1,80 m} \uput[dr](1,2.6){H}\uput[ul](1,3.2){F}\uput[dr](1,0){E} \psline[arrowsize=2pt 4]{<->}(0,-0.6)(1,-0.6)\uput[d](0.5,-0.6){0,50 m} \psline[arrowsize=2pt 4]{<->}(0,-1.4)(7,-1.4)\uput[u](3.5,-1.4){6 m} \psline[arrowsize=2pt 4]{<->}(-0.5,0)(-0.5,2.6)\rput{90}(-0.8,1.3){2,20 m} \end{pspicture} \bigskip \psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-0.9,-1)(7,5) %\psgrid \pspolygon(3.5,4.7)(0,2.6)(0,0)(7,0)(7,2.6) \uput[u](3.5,4.7){S} \uput[ul](0,2.6){B} \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](7,0){D} \uput[ur](7,2.6){C} \uput[d](3.5,2.6){M} \psline[linestyle=dashed](3.5,4.7)(3.5,2.6) \psline[linestyle=dashed](0,2.6)(7,2.6) \psframe(3.5,2.6)(3.8,2.9) \psline(1.7,2.5)(1.75,2.7)\psline(5.2,2.5)(5.25,2.7) \psline[linewidth=1.5pt](1.5,0)(1.5,3.5) \psline[arrowsize=2pt 4]{<->}(4,2.6)(4,4.7)\uput[r](4.2,3.65){1,80 m} \uput[dr](1.5,2.6){H}\uput[ul](1.5,3.2){F}\uput[dr](1.5,0){E} \psline[arrowsize=2pt 4]{<->}(0,-0.6)(1.5,-0.6)\uput[d](0.75,-0.6){$x$} \psline[arrowsize=2pt 4]{<->}(0,-1.4)(7,-1.4)\uput[u](3.5,-1.4){6 m} \psline[arrowsize=2pt 4]{<->}(-0.5,0)(-0.5,2.6)\rput{90}(-0.8,1.3){2,20 m} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{4.}] Dans cette question, on utilisera le graphique de l'annexe qui donne la longueur d'un tasseau en fonction de la distance $x$ qui le sépare du côté [AB]. On laissera apparents les tracés ayant permis les lectures graphiques. \begin{enumerate} \item Quelle est la longueur d'un tasseau sachant qu'il a été placé à 1,50~m du côté [AB] ? \item On dispose d'un tasseau de 2,80~m de long que l'on ne veut pas couper. À quelle distance du côté [AB] doit-il être placé ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 3} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{Monsieur Duchêne a besoin de connaître la mesure de l'angle $\widehat{\text{SBM}}$ pour effectuer certaines découpes. On rappelle que : SM = 1,80 m et \mbox{BC = 6 m.} Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{SBM}}$. On arrondira le résultat au degré près.}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(-0.5,-1)(7,5) \pspolygon(3.5,4.7)(0,2.6)(0,0)(7,0)(7,2.6) \uput[u](3.5,4.7){S} \uput[ul](0,2.6){B} \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](7,0){D} \uput[ur](7,2.6){C} \uput[d](3.5,2.6){M} \psline[linestyle=dashed](3.5,4.7)(3.5,2.6) \psline[linestyle=dashed](0,2.6)(7,2.6) \psframe(3.5,2.6)(3.8,2.9) \psline(1.7,2.5)(1.75,2.7)\psline(5.2,2.5)(5.25,2.7) \rput(3.5,-0.8){pignon nord de l'atelier} \end{pspicture}} \newpage \begin{center} \textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE} \vspace{1cm} \textbf{ANNEXE} \vspace{1cm} \psset{unit=3cm} \begin{pspicture*}(-0.25,-0.5)(3.6,4.6) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(3.5,4.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(3.5,4.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=3.5,Dy=4.5,comma=true](0,0)(3.5,4.5) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,2.2)(3,4) \rput(1.7,-0.4){distance $x$ entre le tasseau et le côté [AB] (en m)} \rput{90}(-0.4,2.25){longueur du tasseau (en m)} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2011 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{7 juin 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord 7 juin 2011~\decofourright}} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Le professeur choisit trois nombres entiers relatifs consécutifs rangés dans l'ordre croissant. Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier. Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu. \begin{enumerate} \item Leslie a écrit le calcul suivant : $11 \times (2 \times 9)$ Jonathan a écrit le calcul suivant : $10^2 + 2$ \begin{enumerate} \item Effectuer les calculs précédents. \item Quels sont les trois entiers choisis par le professeur ? \end{enumerate} \item Le professeur choisit maintenant trois nouveaux entiers. Leslie et Jonathan obtiennent alors tous les deux le même résultat. \begin{enumerate} \item Le professeur a-t-il choisi 6 comme deuxième nombre ? \item Le professeur a-t-il choisi $- 7$ comme deuxième nombre ? \item Arthur prétend qu'en prenant pour inconnue le deuxième nombre entier (qu'il appelle $n$), l'équation $n^2 = 4$ permet de retrouver le ou les nombres choisis par le professeur. A-t-il raison? Expliquer votre réponse en expliquant comment il a trouvé cette équation, puis donner les valeurs possibles des entiers choisis. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip La vitesse de la lumière est \np{300000}~km/s. \medskip \begin{enumerate} \item La lumière met $\dfrac{1}{75}$ de seconde pour aller d'un satellite à la Terre. Calculer la distance séparant le satellite de la Terre. \item La lumière met environ 8~minutes et 30~secondes pour nous parvenir du soleil.Calculer la distance nous séparant du Soleil. Donner le résultat en écriture scientifique. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte $1$ point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &&Réponse A &Réponse B &Réponse C\\ \hline \textbf{1.~}& Quelle est la forme factorisée de $(x+ 1)^2 - 9$ ? &$(x - 2)(x + 4)$ &$x^2 + 2x - 8$ &$(x - 8)(x + 10)$\\ \hline \textbf{2.~}& Que vaut $5^n \times 5^m$ ?& $5^{nm}$& $5^{n+m}$&$25^{n+m}$\\ \hline \textbf{3.~}&À quelle autre expression le nombre $\dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} \div \dfrac{5}{2}$ est-il égal ?&$\dfrac{3}{3} \div \dfrac{5}{2} $&$\dfrac{7}{3} - \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} $&$\dfrac{27}{15} $\\ \hline \textbf{4.~}& Quels sont les nombres premiers entre eux ? &774 et 338 &63 et 44 &\np{1035} et 774\\ \hline \textbf{5.~}& Quel nombre est en écriture scientifique ?& $17,3\times 10^{-3}$ &$0,97\times10^7$ &$1,52\times10^3$ \\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip On a empilé et collé 6 cubes de 4 cm d'arête et un prisme droit de façon à obtenir le solide représenté ci-dessous. La hauteur du prisme est égale à la moitié de l'arête des cubes. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(11,6.7) %\psgrid \pspolygon(1.9,1.2)(3.8,0.4)(3.3,4.5)(1.3,5.1)%deux faces blanches \psline(1.6,3.15)(3.55,2.45) \pspolygon(6.1,5.3)(7.7,5)(7.7,5.6)(6.1,5.9)%face blanche haute \pspolygon(7.7,3.55)(9.2,3.2)(9.2,4.7)(7.7,5)%face blanche droite \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.7,4.35)(7.7,5)(6.1,5.3)(5,4.8)%haut fond \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.3,4.5)(1.3,5.1)(3.3,5.8)(5.2,5.4)%haut \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.3,4.5)(5.2,5.4)(5.45,1.7)(3.8,0.4)%droite \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.35,3.5)(7.7,5)(7.7,3.55)(5.45,1.7)%droite fond \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.1,5.9)(8.5,6.1)(8.5,5.5)(9.9,5.2)(9.85,3.9)(9.2,3.2)(9.20,4.7)(7.7,5)(7.7,5.6)%tout au fond \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.35,3.5)(6.7,4.35)(5.25,4.7) \psline(8.5,6.1)(7.7,5.6)\psline(5.35,3.5)(3.55,2.45) \psline(8.5,5.5)(7.7,5) \psline(9.9,5.2)(9.20,4.7) \rput(0.8,6.4){arrière}\rput(0.6,0.4){gauche}\rput(10.2,6.4){droite}\rput(10.2,0.4){face avant} \psline(6.75,2.75)(6.7,4.35) \psline[arrowsize=2pt 4]{->}(0.4,6)(1.4,5.6) \psline[arrowsize=2pt 4]{->}(1.6,0.4)(2.2,0.9) \psline[arrowsize=2pt 4]{->}(9.5,1.1)(8.7,1.3) \psline[arrowsize=2pt 4]{->}(9.5,6.6)(9,6) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Dessiner en vraie grandeur une vue de l'arrière du solide. \item Calculer le volume en cm$^3$ du solide. \item Étude du prisme droit. \begin{enumerate} \item On nomme ce prisme ABCDEF, comme sur la figure ci-dessous. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(4.5,2.5) \psframe(0.3,0.3)(2.6,1.4)%AE \psline(0.3,1.4)(4.1,2)(2.6,1.4)(2.6,0.3)(4.1,1)(4.1,2)%DFEBCF \psline[linestyle=dashed](0.3,0.3) (4.1,1) \uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[d](2.6,0.3){B} \uput[dr](4.1,1){C} \uput[ul](0.3,1.4){D} \uput[dr](2.6,1.4){E} \uput[ur](4.1,2){F} \end{pspicture} \end{center} \medskip Quelle est la nature de la base de ce prisme droit ? Justifier la réponse. \item Vérifier par des calculs que la longueur AC $= 4\sqrt{2}$ cm. \item En déduire la valeur exacte de l'aire de la face ACFD. Donner l'arrondi au mm$^2$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \emph{Dans cet exercice, on n'attend aucune justification, mais toutes les étapes du calcul devront apparaître.} \medskip On considère la figure suivante où les points B, C et D sont alignés. La figure n'est pas à l'échelle. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(10.5,3.5) \pspolygon(0.6,0.4)(10.1,0.4)(4,3.1)%BDA \psline(4,3.1)(4,0.4)%AC \psframe(4,0.4)(4.2,0.6) \psarc(4,3.1){0.6cm}{-90}{-26} \uput[u](4,3.1){A} \uput[l](0.6,0.4){B} \uput[d](4,0.4){C} \uput[r](10.1,0.4){D} \uput[r](4,1.75){25 cm}\rput{38}(2.,1.9){30 cm}\rput(4.5,2.35){49~\degres} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de la distance BC. \item Calculer l'arrondi de la distance BD au millimètre près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,3.3) \pspolygon(0.4,3.2)(3.5,2.4)(3.2,0.5)%ORK \psline(2,2.8)(3.3,1.4)%AS \uput[l](0.4,3.2){O} \uput[ur](3.5,2.4){R} \uput[d](3.2,0.5){K} \uput[u](2,2.8){A} \uput[dr](3.3,1.4){S} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.62\linewidth}{ Dans la configuration ci-contre, les droites (SA) et (OK) sont parallèles. On sait que SA = 5~cm, OA = 3,8~cm, OR = 6,84~cm, et KR = 7,2~cm} \medskip Les questions de cet exercice ont été effacées, mais il reste ci-dessous des calculs effectués par un élève, en réponse aux questions manquantes. \begin{enumerate} \item $6,84 - 3,8 = 3,04$ \item $\dfrac{5 \times 6,84}{3,04} = 11,25$ \item $7,2 + 6,84 + 11,25 = 25,29$ En utilisant tous les calculs précédents, écrire les questions auxquelles l'élève a répondu, et rédiger précisément ses réponses. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Le directeur d'un théâtre sait qu'il reçoit environ $500$~spectateurs quand le prix d'une place est de 20~\euro. Il a constaté que chaque réduction de 1~euro du prix d'une place attire $50$~spectateurs de plus. Toutes les parties sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie 1} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau 1 de l'Annexe 1. \item On appelle $x$ le montant de la réduction (en \euro). Compléter le tableau 2 de l'annexe 1. \item Développer l'expression de la recette obtenue à la question 2. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip Le directeur de la salle souhaite déterminer le prix d'une place lui assurant la meilleure recette. Il utilise la fonction $R$ donnant la recette (en \euro) en fonction du montant $x$ de la réduction (en \euro). Sa courbe représentative est donnée en annexe 2. \medskip \textbf{Par lecture graphique}, répondre aux questions ci-dessous (on attend des valeurs approchées avec la précision permise par le graphique et on fera apparaître sur le graphique les tracés nécessaires à la lecture) : \begin{enumerate} \item Quelle est la recette pour une réduction de 2 \euro{} ? \item Quel est le montant de la réduction pour une recette de $\np{4050}$~\euro{} ? Quel est alors le prix d'une place ? \item Quelle est l'image de $8$ par la fonction $R$ ? Interpréter ce résultat pour le problème. \item Quelle est la recette maximale ? Quel est alors le prix de la place ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 3} \medskip \parbox{0.43\linewidth}{\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \bigskip La salle de spectacle a la forme ci-contre : Les sièges sont disposés dans quatre zones : deux quarts de disques et deux trapèzes, séparées par des allées ayant une largeur de 2~m. On peut placer en moyenne 1,8 sièges par m$^2$ dans la zone des sièges. Calculer le nombre de places disponibles dans ce théâtre.} \hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.95cm} \begin{pspicture}(6.7,8) \psarc(3.35,3.35){3.35}{-180}{0} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.2,0)(3.2,3.2)(0,3.2)(0,3.6)(3.2,3.6)(3.2,5.6)(3.5,5.6)(3.5,3.6)(6.7,3.6)(6.7,3.2)(3.5,3.2)(3.5,0) \psline(0,3.6)(1.7,5.6)(5,5.6)(6.7,3.6) \psframe(1.7,5.6)(5,7.6) \rput(3.35,7){scène}\rput(1.7,1.2){Sièges} \rput(4.9,1.2){Sièges} \rput(3.35,3.4){Allées} \psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(3,3.6)(3,5.6)\uput[l](3,4.6){10 m} \psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(1.7,6)(5,6)\uput[u](3.35,6){16 m} \psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(0,3)(3.2,3)\uput[d](1.6,3){13 m} \psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(3.5,3)(6.67,3)\uput[d](5.15,3){13 m} \rput(1.6,3.2){/}\rput(4.8,3.2){/}\rput(1.6,3.6){/}\rput(4.8,3.6){/} \rput(2.5,5.6){//}\rput(4.15,5.6){//} \rput{90}(3.2,1.6){/}\rput{90}(3.5,1.6){/} \rput(3.2,4.6){$\times$}\rput(3.5,4.6){$\times$} \end{pspicture}} \newpage \begin{center} \textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE} \vspace{0,5cm} \textbf{ANNEXE 1 } \vspace{0,5cm} \begin{flushleft} \textbf{Tableau 1} \end{flushleft} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réduction en \euro &Prix de la place en \euro &Nombre de spectateurs &Recette du spectacle\\ \hline 0&20&500&$20\times 500 = \np{10000}$\\ \hline 1&19&\ldots&\ldots \quad=\quad \ldots\\ \hline \ldots&\ldots&600&\ldots \quad=\quad \ldots\\ \hline &16 &\ldots&\ldots \quad=\quad \ldots\\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft} \textbf{Tableau 2} \end{flushleft} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réduction en \euro &Prix de la place en \euro &Nombre de spectateurs &Recette du spectacle\\ \hline $x$&\ldots&\ldots&\ldots\\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{ANNEXE 2} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.00075cm} \begin{pspicture}(-1,-500)(22,12000) \uput[u](17.5,0){Montant de la réduction (en \euro)}\uput[r](0,11750){Recette $R(x)$ en \euro} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{10000 500 x mul add x dup mul 50 mul sub} \multido{\n=0+1}{23}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,12000)} \multido{\n=0+500}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(22,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=15000](0,0)(-0.9,-400)(22,12000) \multido{\n=0+500}{25}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%% Asie juin 2011 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{23 juin 2011} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Asie 23 juin 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM), Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, une seule réponse est exacte.\\ Une réponse correcte rapportera $1$ point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.\\ Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline N° &Questions &Réponse A &RéponseB &Réponse C\\ \hline \textbf{1.} &Le PGCD de 170 et 238 est: &17 &2 &34\\ \hline \textbf{2.} &Si une quantité est diminuée de 5\,\%, elle est multipliée par :&0,95 &0,05 &$-0,05$\\ \hline \textbf{3.} &$3^{-2} \times 3^3 - 3 = $&0 &$3^0$ &$3^{-5}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline \textbf{4.} &L'équation $x^2 - 4 = 0$ admet pour solution(s) : &$- 4$ et 4 &2 &$-2$ et $2$\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Les quatre couleurs d'un jeu de cartes sont : C{\oe}ur, Carreau, Trèfle et Pique. Le joueur A pioche dans un jeu de 32 cartes (chaque couleur comporte les cartes : 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As). Le joueur B pioche dans un jeu de 52 cartes (chaque couleur comporte les cartes : 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As). \smallskip Chaque joueur tire une carte au hasard. \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'a chaque joueur de tirer le 5 de Carreau. \item Chaque joueur a-t-il la même probabilité de tirer un C{\oe}ur ? Justifier. \item Qui a la plus grande probabilité de tirer une Dame ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip On donne le programme de calcul suivant : \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item Choisir un nombre. \item Ajouter 1. \item Calculer le carré du résultat obtenu. \item Soustraire le carré du nombre de départ. \item Soustraire 1. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est $10$ et montrer qu'on obtient $20$. \item Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est $- 3$ et montrer qu'on obtient $- 6$. \item Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est $1,5$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \smallskip Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ? Démontrer cette conjecture. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill } \medskip Un propriétaire souhaite aménager le grenier de sa ferme. Voici le croquis de son grenier. \medskip \psset{unit=0.7cm} \begin{center} \begin{pspicture}(17,5) \pspolygon(1,1)(8.3,1)(4.7,4) \pspolygon(1.8,1.2)(7.5,1.2)(4.7,3.6) \pspolygon(1.6,1.2)(7.7,1.2)(4.7,3.7) \pspolygon(1.4,1.2)(7.9,1.2)(4.7,3.8) \pspolygon(3.2,2.3)(6.2,2.3)(6,2.45)(3.4,2.45) \pspolygon(4.6,3.5)(4.6,1.2)(4.8,1.2)(4.8,3.5) \pspolygon(9.7,1)(16.6,1)(13,5)%BCA \psline(13,1)(13,5)%IA \psline(12,3.8)(14.1,3.8)%KM \psframe(13,3.8)(12.8,4)\psframe(13,1)(12.8,1.2) \rput(9.4,4){Schéma simplifié} \psline[linewidth=0.3pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(9.7,0.6)(16.6,0.6)\uput[d](13.35,0.6){7,2~m} \psline[linewidth=0.3pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(12,3.6)(14.1,3.6) \uput[d](13,3.6){2~m} \uput[u](13,5){A} \uput[dl](9.7,1){B} \uput[dr](16.6,1){C} \uput[ur](13,1){I} \uput[ur](13,3.8){J} \uput[ul](12,3.8){K} \uput[ur](14.1,3.8){M} \psarc(9.7,1){4mm}{0}{48}\rput(10.58,1.4){48\degres} \end{pspicture} \end{center} \medskip Ce propriétaire mesurant 1,75~m souhaite savoir s'il peut rester debout sans se cogner la tête sur une des poutres représentée par le segment [KM]. I est le milieu du segment [BC]. \begin{enumerate} \item Calculer la longueur du segment [AI]. On donnera une valeur approchée par défaut au centimètre près. \item Calculer la longueur du segment [AJ]. On donnera une valeur approchée par excès au centimètre près. \item Le propriétaire peut-il se tenir debout sans se cogner la tête ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill } \medskip Dans la figure ci-dessous, le triangle ABC un triangle isocèle en A tel que AB = 5~cm et $\widehat{\text{ABC}} = 75$\degres{} et le triangle ACE est équilatéral. \smallskip \emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.} \smallskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,5) \pspolygon(2.7,1.4)(0.8,0.7)(0.5,4.7)(2.7,1.4)(4.3,5)(0.5,4.7)%CBACEA \uput[ul](0.5,4.7){A} \uput[dl](0.8,0.7){B} \uput[dr](2.7,1.4){C} \uput[dr](4.3,5){E} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Construire la figure en vraie grandeur. \item \begin{enumerate} \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. \item Quelle est la nature du triangle ABE ? \end{enumerate} \item Calculer la longueur exacte du segment [BE]. Donner la valeur arrondie au millimètre près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill } \medskip \emph{La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur, elle n'est pas à reproduire} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,5) \pspolygon(0,1)(8.4,1)(7.9,0.2)(2.3,4.5)%GYPT \uput[ul](0,1){G} \uput[ur](8.4,1){Y} \uput[u](2.3,4.5){P} \uput[d](7.9,0.2){T} \uput[ur](6.9,1){I} \end{pspicture} \end{center} \medskip Les droites (TP) et (YG) sont sécantes en I. On donne les longueurs : IP = 5 cm ; IG = 7 cm ; IY = 1,4 cm ; YT = 0,8 cm et TI = 1 cm. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (PG) et (YT) sont parallèles. \item Calculer le périmètre du triangle IGP. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \emph{En physique, la tension \emph{U} aux bornes d'une \og résistance \fg{} est proportionnelle à l'intensité \emph{I} du courant qui la traverse, c'est-à-dire : $\emph{U} = \emph{R} \, \times \,\emph{I}$, où \emph{R} (valeur de la résistance) est le coefficient de proportionnalité.} \emph{On rappelle que l'unité d'intensité est l'ampère et que l'unité de tension est le volt.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline L'intensité I (en ampères) &0,02 &0,03 &0,04 &0,08\\ \hline Tension U (en volts) &3 &4,5 &6 &12\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que ce tableau est un tableau de proportionnalité. \item Quel est le coefficient de proportionnalité ? \item Calculer la tension U si l'intensité I vaut 0,07 ampère. \smallskip On nomme $f$ la fonction qui donne la tension U en fonction de l'intensité I. \smallskip \end{enumerate} \item Préciser la nature de la fonction $f$ et donner l'expression algébrique de $f(\text{I})$. \item Dans le repère en annexe, tracer la représentation graphique de la fonction $f$. \item Lire graphiquement l'intensité quand U = $10$~volts (donner une valeur approchée avec la précision permise par le graphique). Déterminer par un calcul la valeur exacte de l'intensité quand U = 10 volts. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{En physique, la puissance \emph{P} de la \og résistance \fg{} est le produit de la tension \text{U} à ses bornes et de l'intensité \text{I} qui la traverse, c'est à dire $\emph{P} = \emph{U} \,\times$\, \emph{I}.\\ On rappelle que l'unité de puissance est le watt.} \begin{enumerate} \item En utilisant l'expression obtenue à la question 3 de la partie A, justifier que : \[\text{P} = 150 \times \text{I}^2\] On nomme $g$ la fonction qui donne la puissance P en fonction de l'intensité I. \smallskip \item Calculer l'image de 7,5 par la fonction $g$. \smallskip En annexe, on donne la courbe représentative de la fonction $g$. \item Lire graphiquement la puissance P quand I = 5 ampères (on fera apparaître sur le graphique les traits de construction ayant permis la lecture). \item Lire graphiquement un antécédent de \np{2500} par la fonction $g$ (on fera apparaître sur le graphique les traits de construction ayant permis la lecture). \item La puissance P est-elle proportionnelle à l'intensité I ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{Partie A : représentation de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath \vspace{1cm} \psset{xunit=110cm,yunit=0.275cm} \begin{pspicture}(-0.002,-1)(0.102,17) \multido{\n=0.0000+0.0025}{42}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,17)} \multido{\n=0+1}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0.000,\n)(0.102,\n)}\uput[u](0.102,0){I} \psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=0.01,comma=true,Ox=0]{->}(0,0)(-0.002,-0.99)(0.102,17) \psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=0.01,comma=true](0,0)(-0.002,-0.99)(0.102,17)\uput[r](0,17){U}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \vspace{3cm} \textbf{Partie B : représentation de la fonction }\boldmath $g$ \unboldmath \vspace{1cm} \psset{xunit=1.1cm,yunit=0.00055cm} \begin{pspicture}(-0.5,-500)(10.35,9000) \multido{\n=0+0.25}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,9000)} \multido{\n=0+500}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1.2pt,Dy=10000]{->}(0,0)(-0.5,-500)(10.25,9000) \psaxes[linewidth=1.2pt,Dy=10000](0,0)(-0.5,-500)(10.25,9000) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{x dup mul 150 mul} \uput[u](10.25,0){I} \uput[r](0,9000){P} \multido{\n=0+1000}{10}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2011 \hypertarget{Etranger}{} \label{Etranger} \lfoot{Centres étrangers} \rfoot{juin 2011} \thispagestyle{empty} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Centres étrangers juin 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace*{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques}\hfill 12 points} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 1 } \medskip On donne A $= (x - 3)^2 + (x - 3)(1 - 2x)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire A. \item Prouver que l'expression factorisée de A est : $(x - 3)(- x - 2)$. \item Résoudre l'équation A $= 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice} 2} \medskip \begin{enumerate} \item On donne B $= \sqrt{27} + 5\sqrt{12} - \sqrt{300}$. \begin{enumerate} \item Sophie pense que B peut s'écrire plus simplement sous la forme $3\sqrt{3}$. Prouver que Sophie a bien raison. \item Éric pense que Sophie a raison car, avec sa calculatrice, lorsqu'il calcule $\sqrt{27} + 5\sqrt{12} - \sqrt{300}$, il trouve deux fois le même résultat : \np{5,196152423}. Que penser du raisonnement d'Eric ? \end{enumerate} \item On donne C = $\dfrac{10 - 9 \times 2}{2}$. Sophie et Éric calculent C : Sophie trouve $1$ et Éric trouve $- 4$. Qui a raison ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice} 3} \medskip \parbox{0.8\linewidth}{La fusée Ariane 5 est un lanceur européen qui permet de placer des satellites en orbite autour de la Terre. \begin{enumerate} \item Lors de la première phase du décollage de la fusée, les deux propulseurs situés de part et d'autre du corps de la fusée permettent d'atteindre une altitude de $70$~km en $132$~secondes. Calculez la vitesse moyenne, exprimé en m/s de la fusée durant la première phase du décollage. Convertir ce résultat en km/h. \item La vitesse de libération est la vitesse qu'il faut donner à un objet pour qu'il puisse échapper à l'attraction d'une planète. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.2\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,5) \psframe(0.8,0.45)(1,2.9) \psframe(1.8,0.45)(2,2.9) \pspolygon(0.8,0.45)(1,0.45)(1.1,0)(0.7,0) \pspolygon(1.8,0.45)(2,0.45)(2.1,0)(1.7,0) \pscurve(0.8,2.9)(1,3.2)(1,3.5)(1,4)(1,4.5)(1.4,5)(1.8,4.5)(1.8,4)(1.8,3.5)(1.8,3.2)(2,2.9) \pscurve(1,1)(1.1,0.6)(1.3,0.4)(1.3,0.3)(1.5,0.3)(1.5,0.4)(1.7,0.6)(1.8,1) \rput{90}(1.4,2){\textsc{\textbf{ARIANE~5}}} \end{pspicture}} \medskip Cette vitesse notée $v$ se calcule grâce à la formule suivante : $v = \sqrt{\dfrac{13,4 \times 10^{-11} \times M}{r + h}}$. où $M$ est la masse de la planète en kg (pour la Terre, on a : $M = 6 \times 10^{24}$ kg), $r$ est son rayon en mètres (pour la Terre, on a : $r = 6,4 \times 10^6$ mètres), $h$ est l'altitude de l'objet en mètres. $v$ est alors exprimée en m/s. Ariane 5 libère un satellite de télécommunication à une altitude $h = 1,9 \times 10^6$ mètres. \begin{enumerate} \item[] \begin{enumerate} \item Calculer $r + h$. \item Quelle doit être la vitesse de la fusée à cette altitude ? On arrondira au m/s près. Écrire ce résultat en notation scientifique. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace*{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 1} \medskip \parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(5,4.5) \pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(0.4,0)(0.4,3.5)(4.4,3.5)(4.4,3.9)(0,3.9) \pspolygon[linewidth=1.6pt](0.4,1.3)(3.6,3.5)(0.4,3.5)%ABO \uput[dr](0.4,1.3){A} \uput[dr](3.6,3.5){B} \uput[dr](0.4,3.5){O} \end{pspicture} }\hfill\parbox{0.7\linewidth}{Un maçon veut vérifier que deux murs sont bien perpendiculaires. Pour cela, il marque un point A à 60~cm du point O et un point B à 80~cm du point O. Il mesure alors la distance AB et il trouve 1~mètre. Prouver que les murs sont bien perpendiculaires.} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice} 2} \medskip \parbox{0.65\linewidth}{Michel achète une glace au chocolat. Elle a la forme d'une boule posée sur un cône comme sur la figure ci-contre. Michel, qui est gourmand, se demande s'il ne serait pas plus intéressant de remplir le cône à ras bord avec de la glace plutôt que de poser une boule sur le cône. On rappelle les formules suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Volume d'une boule de rayon $R : \dfrac{4}{3}\pi R^3$. \item[$\bullet~~$] Volume d'un cône de hauteur $h$ dont la base a pour rayon $R : \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le volume de la boule de glace (on donnera la valeur exacte). \item Calculer le volume du cône (on donnera la valeur exacte). \item Conclure. \end{enumerate}}\hfill\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(2.5,7.5) \pspolygon[fillstyle=crosshatch](0.3,5.1)(1.6,0)(2.8,5.1) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.6,5.6){1.4} \psline[linecolor=white,arrowsize=2pt 3]{<->}(0.3,5.1)(2.8,5.1) \psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(0.2,7.15)(3,7.15)\uput[u](1.6,7.15){6~cm} \uput[u](1.55,5.1){\color{white} 5,4~cm} \psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(0,0)(0,5)\rput{90}(0.3,2.5){12~cm} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice} 3} \medskip \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,8.25) \pspolygon(1,0)(4.4,2.35)(1,7.8) \psline[linestyle=dashed](3.8,2)(1,6.7) \psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(1.7,8.1)(5.1,2.8)\rput{-58}(3.6,5.5){3,40~m} \psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(0,0)(0,7.8)\rput{90}(0.2,3.9){4,20~m} \psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(0.8,0)(0.8,6.7)\rput{90}(0.6,3.35){3,78~m} \uput[d](1,0){P} \uput[dr](3.8,2){T} \uput[r](4.4,2.35){W} \uput[u](1,7.8){M} \uput[ul](1,6.7){C} \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.55\linewidth}{Un centre nautique souhaite effectuer une réparation sur une voile. La voile a la forme du triangle PMW ci-contre. \begin{enumerate} \item On souhaite faire une couture suivant le segment [CT]. \begin{enumerate} \item Si (CT) est parallèle à (MW), quelle sera la longueur de cette couture ? \item La quantité de fil nécessaire est le double de la longueur de la couture. Est-ce que 7 mètres de fil suffiront ? \end{enumerate} \item Une fois la couture terminée, on mesure : PT = 1,88~m et PW = 2,30~m. La couture est-elle parallèle à (MW) ? \end{enumerate}} \vspace*{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie 1 : Installation d'un ordinateur dans une bibliothèque d'école} \medskip À la bibliothèque de l'école, il y a deux étagères placées dans un angle de la pièce, comme le montre le schéma ci-dessous. \medskip \parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(0,-0.6)(9.5,9.5) \psframe[fillstyle=hlines](0,2.5)(1.5,6.9)\psframe*[linecolor=white](0.5,3.5)(1.2,5.9)\rput{90}(0.85,4.7){\small Étagère \no 2} \psframe[fillstyle=hlines](1.5,6.9)(6,8.4)\psframe*[linecolor=white](2.5,7.2)(5,8.1)\rput(3.75,7.65){\small Étagère \no 1} \psframe[linewidth=0.2pt](1.5,6.9)(0,8.4) \psline(5.9,8.4)(7,8.4) \pspolygon[linewidth=0.2pt](3,6.2)(3,3.8)(4.5,3.8)(5.3,4.7)(5.3,6.2) \psframe[fillstyle=hlines](3,3.8)(4.5,-0.6)\psframe*[linecolor=white](3.3,0.4)(4.2,2.8)\rput{90}(3.75,1.6){\small Étagère \no 2} \psframe[fillstyle=hlines](5.3,4.7)(9.3,6.2)\psframe*[linecolor=white](6.3,5)(8.3,5.9)\rput(7.3,5.45){\small Étagère \no 1} \psline[linewidth=0.2pt](4.5,6.2)(4.5,3.8) \psline[linewidth=0.2pt](5.3,4.7)(3,4.7) \psline[linewidth=3pt,arrowsize=2pt 3]{->}(3.8,4.7)(3.8,3.8) \psline[linewidth=3pt,arrowsize=2pt 3]{->}(4.5,5.4)(5.4,5.4) \uput[ul](0,8.4){\footnotesize A} \uput[u](1.5,8.4){\footnotesize B} \uput[ul](1.5,6.9){\footnotesize C} \uput[l](0,6.9){\footnotesize D} \uput[ul](3,6.2){\footnotesize A} \uput[u](4.5,6.2){\footnotesize B} \uput[ul](4.5,4.7){\footnotesize C} \uput[l](3,4.7){\footnotesize D} \uput[u](5.3,6.2){\footnotesize E} \uput[d](5.3,4.7){\footnotesize F} \uput[dr](4.5,3.8){\footnotesize G} \uput[l](3,3.8){\footnotesize H} \psframe[linewidth=0.2pt](3,6.2)(3.3,5.9) \psframe[linewidth=0.2pt](4.5,4.7)(4.8,4.4) \psframe[linewidth=0.2pt](0,8.4)(0.3,8.1) \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.3\linewidth}{Pour installer un ordinateur, on déplace les deux étagères \textbf{d'une même distance} afin de placer une table ayant la forme AEFGH comme sur le schéma ci-contre : \vspace{1cm} On précise que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] BE = CF= CG = DH ; \item[$\bullet~~$] GCF est un triangle rectangle et isocèle en C. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm}} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item Si on déplace les deux étagères de 1~mètre, Combien mesure alors GF ? \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} On souhaite avoir GF = 1 m. De combien doit-on alors déplacer les étagères ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2: Achat d'un logiciel de gestion de bibliothèque} \medskip L'école décide de tester un logiciel pour gérer sa bibliothèque. Elle télécharge ce logiciel sur Internet. \begin{enumerate} \item Le fichier a une taille de 3,5~Mo (mégaoctets) et le téléchargement s'effectue en 7~secondes. Quel est le débit de la connexion internet? On donnera le résultat en Mo/s. \smallskip Après une période d'essai de 1 mois, l'école décide d'acheter le logiciel. Il y a trois tarifs : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Tarif A : 19~\euro \item[$\bullet~~$] Tarif B : 10~centimes par élève \item[$\bullet~~$] Tarif C : 8~\euro{} + 5 centimes par élève \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Nombre d'élèves &100 &200 &300\\ \hline Tarif A &19,00~\euro& & \\ \hline Tarif B & & & 30,00~\euro\\ \hline Tarif C & & 18,00~\euro & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item \begin{enumerate} \item Si $x$ représente le nombre d'élèves, laquelle des fonctions suivantes correspond au tarif C ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} $x \longmapsto 8 + 5x$& $x \longmapsto 8 + 0,05x$& $x\longmapsto 0,05 + 8x$\\ \end{tabularx} \medskip \item Quelle est la nature de cette fonction ? \end{enumerate} \item Sur le graphique donné en annexe, on a représenté le tarif B. Sur ce même graphique, représenter les tarifs A et C. \item Par lecture graphique, à partir de combien d'élèves le tarif A est-il plus intéressant que le tarif C ? \smallskip \emph{On fera apparaître sur la feuille annexe les tracés nécessaires à la lecture graphique.} Dans l'école, il y a 209 élèves. \item Quel est le tarif le plus intéressant pour l'école ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 3 : Fonctionnement de la bibliothèque} \medskip Grâce au logiciel, on peut obtenir des informations précises sur les emprunts effectués par les 209 élèves de l'école. On a, par exemple, les données suivantes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Nombre d'emprunts en novembre 2010 :&0 & 1&2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline Nombre d'élèves : & 39&30&36 &23 &20 &22 &18 &10 &11\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le nombre moyen d'emprunts par élève ? \item Quelle est la médiane de cette série ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 4 : Fête de fin d'année } \medskip À la fin de l'année scolaire, l'école décide d'offrir des colis lecture aux élèves. \medskip \begin{enumerate} \item Étienne a reçu un colis. Ce colis contient 3 bandes-dessinées et 2 albums. Il sort, au hasard, un premier livre du colis sans regarder. Quelle est la probabilité que ce soit une bande-dessinée ? \item Étienne a sorti un album au premier tirage. Comme il veut lire une bande-dessinée, il sort, au hasard, un deuxième livre du colis sans regarder. Quelle est la probabilité que ce soit une bande-dessinée ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \textbf{(À rendre avec la copie)} \vspace{0,5cm} \psset{unit=0.03cm,yunit=0.3cm} \begin{pspicture}(-20,-2)(330,42) \uput[u](305,0){Nombre d'élèves}\uput[r](0,42){Tarif en \euro} \rput{45}(300,31){\textbf{Tarif B}} \multido{\n=0+10}{34}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,41)} \multido{\n=0+1}{42}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(330,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=2]{->}(0,0)(-19,-1.9)(330,42) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=2](0,0)(330,42) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](330,33) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole, La Réunion, Antilles--Guyane juin 2011 \hypertarget{Metropole}{} \label{Metropole} \lfoot{Métropole--La Réunion--Antilles--Guyane} \rfoot{28 juin 2011} \thispagestyle{empty} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Métropole La Réunion Antilles-Guyane ~\decofourright\\[5pt]28 juin 2011}} \vspace*{0,5cm} \textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Activités numériques}\hfill 12 points} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 1} \medskip \parbox{0.52\linewidth}{Un dé cubique a 6 faces peintes: une en bleu, une en rouge, une en jaune, une en vert et deux en noir. \begin{enumerate} \item On jette ce dé cent fois et on note à chaque fois la couleur de la face obtenue. Le schéma ci-contre donne la répartition des couleurs obtenues lors de ces cent lancers. \begin{enumerate} \item Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur jaune. \item Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur noire. \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.15cm}\begin{pspicture}(-0.5,-5)(5,35) \psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=10,Dy=5](0,0)(5,35) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.25,0)(0.75,15) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.25,0)(1.75,16) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.25,0)(2.75,20) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.25,0)(3.75,19) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.25,0)(4.75,30) \uput[d](0.5,0){bleu} \uput[d](1.5,-0.5){rouge} \uput[d](2.5,0){jaune} \uput[d](3.5,-0.2){vert} \uput[d](4.5,0){noir} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item[\textbf{2.}] On suppose que le dé est équilibré. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur jaune ? \item Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur noire ? \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] Expliquer l'écart entre les fréquences obtenues à la question 1 et les probabilités trouvées à la question 2. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice} 2} \medskip On fabrique des bijoux à l'aide de triangles qui ont tous la même forme. Certains triangles sont en verre et les autres sont en métal. Trois exemples de bijoux sont donnés ci-dessous. Les triangles en verre sont représentés en blanc ; ceux en métal sont représentés en gris. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(10,4.5) %\psgrid \pspolygon(3,3.25)(4.25,3.25)(3.,4.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.75,3.25)(7,3.25)(5.75,4.5) \def\motif{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.25,0)(1.25,1.25)} \def\motifa{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.25,0)(0,0)(0,1.25)} \psframe(0,0)(2.5,2.5) \rput(3.6,2.9){verre}\rput(6.5,2.9){métal} \multido{\n=0+90}{4}{\rput{\n}(1.25,1.25){\motif}} \rput(1.25,-0.4){Bijou \no 1} \psframe(3.5,0)(6,2.5)\rput(4.75,1.25){\motifa}\rput{180}(4.75,1.25){\motifa} \psline(4.75,0)(6,1.25)\psline(3.5,1.25)(4.75,2.5)\rput(4.75,-0.4){Bijou \no 2} \psframe(7.5,0)(10,2.5)\rput(8.75,1.25){\motif}\rput(7.5,1.25){\motif}\rput(7.5,0){\motif} \psline(8.75,0)(10,1.25)\rput(8.75,-0.4){Bijou \no 3} \end{pspicture} \end{center} Tous les triangles en métal ont le même prix. Tous les triangles en verre ont le même prix. Le bijou \no 1 revient à 11~\euro{} ; le bijou \no 2 revient à 9,10~\euro. À combien revient le bijou \no 3 ? \textbf{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice} 3} \medskip \begin{enumerate} \item Deux affirmations sont données ci-dessous. \textbf{Affirmation 1} Pour tout nombre $a$ : $(2a + 3)^2 = 4a^2 + 9$. \textbf{Affirmation 2} Augmenter un prix de 20\,\% puis effectuer une remise de 20\,\% sur ce nouveau prix revient à redonner à l'article son prix initial. Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse en \textbf{argumentant la réponse}. \item Deux égalités sont données ci-dessous. \textbf{Égalité 1} $\dfrac{\sqrt{32}}{2} = 2\sqrt{2}$. \textbf{Égalité 2} $10^5 + 10^{-5} = 10^0$ Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, \textbf{écrire les étapes des calculs} qui permettent de l'obtenir. Si elle est fausse, \textbf{la transformer pour qu'elle devienne vraie}. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 1} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{Le dessin ci-contre représente une figure géométrique dans laquelle on sait que : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] ABC est un triangle rectangle en B. \item[$\bullet~~$] CED est un triangle rectangle en E. \item[$\bullet~~$] Les points A, C et E sont alignés. \item[$\bullet~~$] Les points D, C et B sont alignés. \item[$\bullet~~$] AB = CB = 2 cm. \item[$\bullet~~$] CD = 6 cm. \end{itemize}} \hfill \parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(8,6) \pspolygon(0.3,3.5)(3.1,0.7)(7.8,5.4)(7.8,3.5)%DEAB \rput{47}(3.1,0.7){\psframe(0.2,0.2)}\psframe(7.8,3.5)(7.6,3.7) \uput[u](3.15,3.5){6~cm}\rput{90}(8,4.45){2~cm} %C(6,3.5) \uput[u](7.8,5.4){A} \uput[dr](7.8,3.5){B} \uput[ul](6,3.5){C} \uput[u](0.3,3.5){D} \uput[dr](3.1,0.7){E} \psline(6.8,3.4)(7,3.6)\psline(6.9,3.4)(7.1,3.6) \psline(7.7,4.3)(7.9,4.5)\psline(7.7,4.4)(7.9,4.6) \rput(4,0.1){Le dessin n'est pas en vraie grandeur} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter sur la copie la figure en vraie grandeur. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ ? \item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{DCE}}$. \end{enumerate} \item Calculer une valeur approchée de DE à $0,1$~cm près. \item Où se situe le centre du cercle circonscrit au triangle DCE ? Tracer ce cercle, que l'on notera $\mathcal{C}$ puis tracer $\mathcal{C}'$ le cercle circonscrit au triangle ABC. \item Les cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ se coupent en deux points : le point C et un autre point noté M. Les points D, A et M sont-ils alignés ? \end{enumerate} \smallskip \textbf{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice} 2} \medskip \begin{enumerate} \item Dessiner un pavé droit en perspective cavalière. \item Un aquarium a la forme d'un pavé droit de longueur 40~cm, de largeur 20~cm et de hauteur 30~cm. \begin{enumerate} \item Calculer le volume, en cm$^3$, de ce pavé droit. \item On rappelle qu'un litre correspond à \np{1000}~cm$^3$. Combien de litres d'eau cet aquarium peut-il contenir ? \emph{Aucune justification n'est demandée.} \end{enumerate} \item Parmi les formules suivantes, recopier celle qui donne le volume, en cm$^3$, d'une boule de diamètre 30~cm : \[\dfrac{4}{3}\times \pi \times 30^3\qquad 4\pi \times 15^2 \qquad \dfrac{4}{3}\times \pi \times 15^3\] \parbox{0.68\linewidth}{\item Un second aquarium contient un volume d'eau égal aux trois quarts du volume d'une boule de diamètre 30~cm. On verse son contenu dans le premier aquarium. À quelle hauteur l'eau monte-t-elle ? Donner une valeur approchée au millimètre.}\hfill \parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,0)(3.4,3.1) \psarc(1.7,1.7){1.7}{130}{410} \psellipse(1.7,2.82)(1.2,0.4) \end{pspicture}} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{Une famille envisage d'installer une citerne de récupération d'eau de pluie. Pour pouvoir choisir une installation efficace, la famille commence par déterminer sa capacité à récupérer de l'eau de pluie. Elle estime ensuite ses besoins en eau avant de choisir une citerne.}\hfill \parbox{0.54\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.4,0)(6,6) %\psgrid \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.7,2.4)(0,2.4)(0,0)(7,0)(7,2.4)(6,2.4)(6,1.6)(3.7,1.6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.2,2.7)(1.2,2.3)(0.5,1.9)(0.5,0.3)(2.2,0.3)(2.2,1.9)(1.6,2.3)(1.6,2.7) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0.3)(2.2,1.3)%contenudelacuve \psline[linewidth=1pt](1.7,0.9)(1.7,1.6)(2.5,1.6) \psline[linewidth=2.5pt](1.8,1.8)(2.5,1.8) \psframe[framearc=0.3](2.5,1.6)(3,1.9) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.4,2.3)(3.4,4.9)(6.3,4.9)(6.3,2.3)(6,2.3)(6,4.7)(3.7,4.7)(3.7,2.3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.1,2.1)(4.4,2.1)(4.4,2.3)(4.7,2.3)(4.7,2.1)(4.9,2.1)(4.9,1.9)(4.1,1.9) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.7,3)(6,3.2) \pspolygon(5.35,3.3)(5.45,3.55)(5.55,3.55)(5.65,3.3) \pswedge(5.5,3.75){0.2}{180}{0}\psframe(5.3,3.8)(5.7,4) \psframe(4.3,3.3)(5,3.9)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.3,3.9)(5,4) \psline[linewidth=2.5pt](4.4,2.2)(3.8,2.2)(3.8,4.4)(5.5,4.4)(5.5,4) \psline[linewidth=2.5pt](4.7,4.4)(4.7,4) \pscircle(4.65,3.6){0.16} \psline[linewidth=2.5pt](3,4.6)(3,4.4)(3.35,4.35)(3.35,2.1)(2.9,2.1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3,4.7)(4.9,5.5)(6.7,4.8)(6.7,4.75)(4.9,5.45)(3,4.65)%to\^{\i}t \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.4,4.9)(6.2,4.9)(4.9,5.45)%sous-to\^{\i}t \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](3.9,4.9)(6,4.9)(4.9,5.3)%sous-to\^{\i}t \psframe[framearc=0.3,fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.6,1.9)(2.9,2.5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.9,2.7)(1.9,2.8) \psline[linewidth=1.5pt](4.1,2.05)(3.9,2.05)(3.9,1.7)(3,1.7) \end{pspicture}} \medskip \textbf{Partie 1 - La capacité à recueillir de l'eau de pluie} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette partie il s'agit de calculer le volume d'eau de pluie que cette famille peut espérer recueillir chaque année. Dans la ville où réside cette famille, on a effectué pendant onze années un relevé des précipitations. Ces relevés sont donnés dans le tableau suivant. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années&1999& 2000& 2001& 2002&2003&2004&2005&2006&2007&2008&2009\\ \hline \small Précipitations en litres par mètre carré $\left(\ell/\text{m}^2\right)$&\np{1087}&990 &868&850&690&616&512&873& 810& 841& 867\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item En quelle année y a-t-il eu le plus de précipitations? Aucune justification n'est demandée. \item En 2009, combien de litres d'eau sont tombés sur une surface de 5 m2 ? \end{enumerate} \item Sur les onze années présentées dans le tableau, quelle est la quantité moyenne d'eau tombée en une année ? \parbox{0.55\linewidth}{ \item Calculer la surface au sol d'une maison ayant la forme d'un pavé droit (surmonté d'un toit) de 13,9~m de long, 10~m de large et 6~m de haut. \item Une partie de l'eau de pluie tombée sur le toit ne peut pas être récupérée. La famille utilise une formule pour calculer le volume d'eau qu'elle peut récupérer: V = P $\,\times\,$ S $\,\times\,$ 0,9}\hfill \parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}\begin{pspicture}(6,4.5) \psframe(0,0.8)(4.3,3) \psline(4.3,0.8)(6,1.3)(6,3.5)(5.3,4.3)(4.3,3) \psline(5.3,4.3)(1.2,4.3)(0,3) \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(0,0.5)(4.3,0.5)\uput[d](2.15,0.5){13,9~m} \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(4.3,0.5)(6,1)\uput[d](5.15,0.75){10~m} \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(5.3,1.1)(5.3,4.3)\uput[l](5.3,2.7){6~m} \end{pspicture}} V : volume d'eau captée en litre, P : précipitations en litre par mètre carré, S : surface au sol en mètre carré. Calculer ce volume en litres pour l'année 2009. Montrer que 108~m$^3$ en est une valeur approchée à 1 m$^3$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II - Les besoins en eau} \medskip La famille est composée de quatre personnes. La consommation moyenne d'eau par personne et par jour est estimée à 115 litres. \begin{enumerate} \item Chaque jour, l'eau utilisée pour les WC est en moyenne de 41~litres par personne. Calculer le pourcentage que cela représente par rapport à la consommation moyenne en eau par jour d'une personne. \item On estime que 60\,\% de l'eau consommée peut être remplacée par de l'eau de pluie. Montrer que les besoins en eau de pluie de toute la famille pour une année de $365$~jours sont d'environ 100~m$^3$. \item L'eau de pluie récupérée en 2009 aurait-elle pu suffire aux besoins en eau de pluie de la famille ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie III - Le coût de l'eau} \medskip \begin{enumerate} \item Le graphique donné en \textbf{ANNEXE}, représente le coût de l'eau en fonction de la quantité consommée. \begin{enumerate} \item En utilisant ce graphique, déterminer une valeur approchée du prix payé pour 100~m$^3$ d'eau. \emph{Aucune justification n'est demandée.} \item On note $p(x)$ le prix en euros de la consommation pour $x$ mètres cube d'eau. Proposer une expression de $p(x)$ en fonction de $x$ en expliquant la démarche. \smallskip \textbf{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.} \item Au prix de la consommation vient s'ajouter le prix de l'abonnement. L'abonnement est de 50~euros par an. Représenter sur le même graphique donné en \textbf{ANNEXE} la fonction donnant le prix en euros, abonnement inclus, en fonction du volume d'eau consommé en mètres cube. \end{enumerate} \item La famille espère économiser 250~euros par an grâce à la récupération de l'eau de pluie. Elle achète une citerne 910~euros. Au bout de combien d'années les économies réalisées pourront-elles compenser l'achat de la citerne ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large ANNEXE} \vspace{0,5cm} \textbf{à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{Problème} \end{flushleft} %\vspace{1cm} \psset{xunit=0.065cm,yunit=0.04cm} \begin{pspicture}(-20,-75)(160,450) \multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,400)} \multido{\n=0+50}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(160,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=50](0,0)(160,400) \rput(80,-30){quantité d'eau en m$^3$} \rput{90}(-18,200){montant en euros}\rput(80,430){Coût de l'eau} \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](140,350) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole, La Réunion, Antilles--Guyane juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2011 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie juin 2011~\decofourright}} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées mais \textbf{une seule est exacte}. Pour chacune des cinq questions, \textbf{écrire sur votre copie} le numéro de la question et la lettre A, B, C ou D correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \no &question &A &B &C &D\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{8mm}1&$\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{6}$ est égal à :&$\dfrac{2}{15}$&0,277&$\dfrac{5}{18}$&$\dfrac{1}{15}$\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{8mm}2&$\sqrt{9 + 16}$ est égal à :&$\sqrt{9} + \sqrt{16}$&25&7&5\\ \hline 3&Un article coûte \np{1240}~F. Son prix diminue de 5\,\%. Le montant de cette réduction est égal à :&0,05 F& 5 F& 620 F &62 F\\ \hline 4&L'équation $(2x - 1) (3x + 5 ) = 0$ a pour solutions : &1 et 5&$\dfrac{1}{2}$ et $- \dfrac{5}{3}$&2 et $- \dfrac{3}{5}$&$- \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{5}{3}$\\ \hline 5& $x^2 - 100$ est égal à :& $(x - 10)^2$& \scriptsize $(x - 10)(x + 10)$& $(x - 50)^2$& $- 98$\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Voici, pour la production de l'année 2009, le relevé des longueurs des gousses de vanille d'un cultivateur de Tahaa : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Longueur en cm &12 &15 &17 &22 &23\\ \hline Effectif &600 &800 &\np{1800} &\np{1200} &600\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Quel est l'effectif total de cette production ? \item Le cultivateur peut seulement les conditionner dans des tubes de 20 cm de long. Quel pourcentage de cette production a-t-il pu conditionner sans plier les gousses? \item La chambre d'agriculture décerne une récompense (un\og label de qualité \fg) aux agriculteurs si \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la longueur moyenne des gousses de leur production est supérieure ou égale à 16,5~cm ; \item[$\bullet~~$]et plus de la moitié des gousses de leur production a une taille supérieure à 17,5~cm. Ce cultivateur pourra-t-il recevoir ce \og label de qualité \fg{} ? \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \textbf{(Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation).} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD de $260$ et de $90$ en détaillant les calculs intermédiaires. \item Pour réaliser un \og tifaifai \fg, (genre de couvre-lit), Tina doit découper des carrés dans un tissu de soie blanc rectangulaire de $260$~cm de long sur $90$~cm de large. Tout le tissu doit être utilisé. Chaque carré doit avoir le plus grand côté possible. Montrer que la longueur du côté d'un carré est 10~cm. Combien de carrés pourra-t-elle obtenir? \item Sur certains carrés, elle veut faire imprimer un \og tiki \fg{} et sur d'autres un \og tipanier \fg. La société \og Arii porinetia \fg{} lui propose le devis suivant créé à l'aide d'un tableur : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D\\ \hline 1&impression du motif &prix unitaire en F &quantité &prix total en F\\ \hline 2&tiki &75 &117 &\np{8775}\\ \hline 3&tipanier &80 & 117 &\np{9360}\\ \hline 4& & & &\\ \hline 5&Total&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip Pour obtenir le prix total des impressions des carrés, quelle formule doit-on saisir dans la cellule D5 ? Parmi les 4 formules proposées, recopier sur votre copie la bonne formule : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X|}}\hline \fbox{D2 + D31}& \fbox{= SOMME (D2 : D3)}& \fbox{\np{9360} + \np{8775}}& \fbox{= SOMME (D2 : D5)}\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Pour traverser une rivière, en voiture, on peut emprunter deux ponts A et B distants de 10 km. Le village Coco représenté par un point C est à 8 km du pont A et $6$~km du pont B. (Cette figure n'est pas en vraie grandeur) \medskip \psset{unit=0.666cm} \begin{pspicture}(18,7) \pscurve(0,2.4)(2,1.75)(4,1.7)(6,1.6)(8,1.5)(10,1.4)(12,1.3)(14,1.5)(15,2.15)(16,1.7)(17,0.6) \pscurve(0,2.7)(2,2.05)(4,2)(6,1.9)(8,1.8)(10,1.7)(12,1.6)(14,1.8)(15,2.45)(16,2)(17,0.9) \psframe(2.2,2.5)(3,2.7) \psframe(2.2,1.3)(3,1.5)\psframe[fillstyle=solid](2.5,1)(2.8,2.8) \psframe(10.7,2.1)(11.5,2.3) \psframe(10.7,0.9)(11.5,1.1)\psframe[fillstyle=solid](11,0.6)(11.3,2.4) \pspolygon(2.8,1.9)(10.9,1.7)(9,5.2)%ABC \psline[linestyle=dashed](9,1.6)(9,5.2)%HC \uput[dr](2.8,1.9){A} \uput[dl](10.9,1.7){B} \uput[u](9,5.2){C} \uput[d](9,1.6){H} \end{pspicture} On note H le pied de la hauteur issue du sommet C dans le triangle ABC. \medskip \begin{enumerate} \item En prenant 1 cm pour représenter 1 km, tracer le triangle ABC et placer le point H. \smallskip {\Large \textbf{À présent on travaille avec la figure que vous venez de construire.}} \smallskip \item Montrer que ABC est un triangle rectangle. \item On souhaite déterminer l'aire du triangle rectangle ABC. \begin{enumerate} \item Parmi les trois formules proposées, deux sont correctes, lesquelles? Les recopier sur votre copie. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Formule 1 : $\dfrac{\text{AC} \times \text{BC}}{2}$ \item[$\bullet~~$] Formule 2 : $\dfrac{\text{AB} \times \text{CH}}{2}$ \item[$\bullet~~$] Formule 3 : $\dfrac{\text{AH} \times \text{CH}}{2}$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Calculer alors cette aire en cm$^2$. \end{enumerate} \item En déduire la distance réelle CH de ce village à la rivière. \textbf{(Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation).} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox{0.35\linewidth}{Pour protéger le bord de son talus de 6 m de haut, et 20 m de long, M. Tino construit un mur en béton armé dont la forme est un prisme à base triangulaire. Voici une coupe transversale de son talus. Le triangle de base, ABC est rectangle en B avec BC = 2 m et AB = 6 m. Les points A, U et C sont alignés ainsi que les points A, T et B. } \hfill \parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(11,9) \pspolygon[linewidth=1pt](0.3,1)(2.4,1)(2.4,6.6)%CBA \psline[linewidth=0.4pt](1,3)(2.4,3) \psline[linewidth=0.4pt](1,2.96)(2.4,2.96) \uput[d](1.7,3){tube}\rput(1.5,1.8){mur} \rput(6.5,4.5){Talus} \psline[linewidth=0.2pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(3,1)(3,3)\rput{90}(2.7,2){2~m} \psline[linewidth=0.2pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(3.4,1)(3.4,6.6)\rput{90}(3.2,3.3){6~m} \rput(5.5,0){\large \textbf{(La figure n'est pas à l' échelle)}} \psline(2.4,6.6)(9.5,8.5) \psline[linestyle=dashed](9.5,8.5)(10.9,1) \psline[linewidth=0.4pt](0,1)(11,1) \uput[ul](2.4,6.6){A} \uput[dr](2.4,1){B} \uput[dl](2.4,6.6){C} \uput[r](2.4,3){T} \uput[l](1,3){U}\uput[d](6,1){sol} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} Afin d'évacuer les eaux d'infiltration, il désire placer des tubes cylindriques, perpendiculairement au talus à 2~m du sol. Sur la figure, un de ces tubes est représenté par le segment [UT]. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la longueur exacte UT en mètre. \item Montrer que la valeur approchée par excès au cm près de UT est 1,34~m. \end{enumerate} \item Montrer que le volume de béton nécessaire pour réaliser ce mur est de 120~m$^3$. \medskip \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(7,9) \psline(3.7,0)(7,0)(7,5.5)(3.7,0)(0.3,2.6)(3.6,8)(7,5.5)% \psline[linestyle=dashed](0.3,2.6)(3.6,2.6)(3.6,8) \psline[linestyle=dashed](3.6,2.6)(7,0) \end{pspicture} \end{center} \textbf{Rappel :} Le volume du prisme $V$ en m$^3$ est donné par la formule $V = \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base exprimée en m$^2$ et $h$ la hauteur du prisme en m. \item Sachant que la masse volumique de ce béton est de 2,5 t/m$^3$ (ou tonne/mètre cube), quelle est la masse totale du béton utilisé ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip \textbf{1\up{re} Partie} \medskip À l'approche des grandes vacances, Teva envisage de faire un séjour à Huahine durant le mois de juillet. Il réfléchit au nombre de jour(s) qu'il passera à Huahine. La pension de famille \og Haeremai \fg de Huahine lui propose trois types de tarif en demi-pension: \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Tarif A : \np{5000} F par jour par personne, \item[$\bullet~~$] Tarif B : un forfait de \np{6000} F pour le mois puis 4 000 F par jour et par personne, \item[$\bullet~~$] Tarif C : un forfait de \np{90000} F par personne pour le mois. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \textbf{Compléter} le tableau ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de jour(s) &0 &5 &10 & \ldots & 30\\ \hline% coût avec le tarif A &0 &\np{25000} &\ldots &\np{125000}&\ldots\\ \hline% coût avec le tarif B &\np{6000} &\ldots & \np{46000}&\ldots &\np{126000}\\ \hline% coût avec le tarif C &\np{90000} &\np{90000} &\ldots &\np{90000} &\np{90000}\\ \hline% \end{tabularx} \medskip \item Quel est le tarif le plus avantageux pour Teva \begin{enumerate} \item pour un séjour de 5 jours ? \item pour un séjour de 10 jours ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{2\up{e} Partie} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $x$ le nombre de jour(s) passées) dans cette pension de famille, durant le mois de juillet. On note : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $f$ la fonction qui à $x$ associe le coût du séjour au tarif A, \item[$\bullet~~$] $g$ la fonction qui à $x$ associe le coût du séjour au tarif B. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$. \item Dans le repère joint à l'\textbf{annexe}, on a représenté le coût à payer pour $x$ jour(s) au tarif A et au tarif C. Laquelle des deux droites tracées $d_{1}$ et $d_{2}$ représente graphiquement la fonction $f$ ? Expliquer. \item Dans le même repère de l'\textbf{annexe}, représenter graphiquement la fonction g. \item En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes \textbf{sur la copie} (on laissera apparents les traits de construction sur l'\textbf{annexe}). \begin{enumerate} \item Avec un budget de \np{60000}~F, combien de jours pourra-t-il rester s'il choisit le tarif B ? \item Il désire rester $14$ jours au tarif A. Quel est le coût de son séjour ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.00014cm} \begin{pspicture}(-2,-5000)(32,130000) \multido{\n=0.0+0.2}{161}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,130000)} \multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,130000)} \multido{\n=0+500}{261}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(32,\n)} \multido{\n=0+2500}{53}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=150000]{->}(0,0)(32,130000) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=150000](0,0)(32,130000) \psline[linewidth=1.25pt](26,130000) \psline[linewidth=1.25pt](0,90000)(32,90000) \uput[u](28,90000){$d_{1}$}\uput[l](24,120000){$d_{2}$} \uput[u](27.5,0){Nombre de jour(s)}\uput[r](0,130000){Co\^ut en francs} \uput[u](32.5,0){$x$}\uput[l](0,132500){$y$} \multido{\n=0+5000}{27}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole, La Réunion, Antilles--Guyane sept. 2011 \hypertarget{Metropolesep}{} \label{Metropolesep} \lfoot{\small{Métropole La Réunion Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Métropole Antilles-Guyane~\decofourright\\[5pt]septembre 2011}} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Activités numériques \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip Dans une salle de cinéma les enfants paient demi-tarif et les adultes paient plein tarif. Deux adultes et cinq enfants ont payé au total 31,50~\euro. \begin{enumerate} \item Combien paiera un groupe composé de quatre adultes et de dix enfants ? \item Quel est le prix payé par un adulte ? \textbf{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip Dans cet exercice, tous les dés sont équilibrés. \begin{enumerate} \item Aline possède deux dés très particuliers. Un patron de chacun de ces deux dés est donné ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{Dé \no 1}&\textbf{Dé \no 2}\\ \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4.8,3.6) \multido{\n=0+1.2,\na=1.2+1.2}{4}{\psframe(\n,1.2)(\na,2.4)} \multido{\n=1+1,\na=0.6+1.2}{4}{\rput(\na,1.8){\n}} \psframe(1.2,2.4)(2.4,3.6)\psframe(1.2,0)(2.4,1.2) \rput(1.8,3){2}\rput(1.8,0.6){3} \end{pspicture}&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4.8,3.6) \multido{\n=0+1.2,\na=1.2+1.2}{4}{\psframe(\n,1.2)(\na,2.4)} \rput(0.6,1.8){1} \rput(1.8,1.8){4} \rput(3,1.8){6} \rput(4.2,1.8){8} \psframe(1.2,2.4)(2.4,3.6)\psframe(1.2,0)(2.4,1.2) \rput(1.8,3){3}\rput(1.8,0.6){5} \end{pspicture}\\ \end{tabularx} \medskip Elle lance ses deux dés puis elle note le nombre obtenu avec le premier dé et celui obtenu avec le second dé. Elle calcule ensuite la somme de ces deux nombres. Par exemple, si elle obtient un \og 4 \fg{} avec le dé \no 1 et un \og 5 \fg{} avec le dé \no 2, la somme est égale à 9. Aline a obtenu une somme égale à 8. Écrire toutes les possibilités de lancers qui correspondent à ce résultat. \item Aline se demande quelle est la probabilité d'obtenir les différentes sommes. Pour se faire une idée elle décide d'effectuer \np{5000} lancers. Voici ses résultats. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Sommes& 2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline Effectifs avec les dés d'Aline&122 &264 &418 &592 &677 &848 &724 &529 &398 &301 &127\\ \hline \end{tabularx} \medskip Avec quelle fréquence Aline a-t-elle obtenu une somme égale à 6 ? \item Bertrand possède deux dés classiques. Sur chaque dé, les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6 de telle façon que la somme des nombres inscrits sur deux faces opposées soit égale à 7. \begin{enumerate} \item Compléter sur l'ANNEXE 2, le patron qui correspond à un dé classique de telle sorte que cette consigne soit respectée. \item Bertrand voudrait obtenir une somme égale à 2 avec deux dés. A-t-il plus de chances d'obtenir ce résultat en lançant les deux dés d'Aline ou en lançant ses deux dés ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,4) \psframe(1,0.5)(4,3.5)\uput[ul](1,3.5){A}\uput[ur](4,3.5){B}\uput[dr](4,0.5){C} \uput[dl](1,0.5){D} \psline[linewidth=0.4pt,arrowsize=3pt 5]{<->}(1,0.25)(1.8,0.25) \rput(1.4,0){1} \psline[linewidth=0.4pt,arrowsize=3pt 5]{<->}(1.8,0.25)(4,0.25) \rput[d](2.9,0){$\sqrt{3}$} \uput[dl](6,1){E} \uput[ul](6,2){F} \uput[ur](11,2){G} \uput[dr](11,1){H} \uput[l](6,1.5){1} \psframe(6,1)(11,2) \end{pspicture} \medskip Les figures ci-dessus représentent un carré de côté $1 + \sqrt{3}$ et un rectangle de largeur 1 et de longueur indéterminée. Les longueurs sont données en centimètres, mais les dessins ne sont pas en vraie grandeur. \medskip \textbf{Les deux questions sont indépendantes} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on veut que le périmètre du rectangle EFGH soit égal à celui du carré ABCD. Déterminer dans ce cas la valeur exacte de FG. \item Dans cette question, on veut que les aires des deux quadrilatères ABCD et EFGH soient égales. Justifier que la valeur exacte de FG est alors $4 + 2\sqrt{3}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Activités géométriques \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip \parbox{0.46\linewidth}{\begin{enumerate} \item Le dessin ci~contre est une représentation en perspective cavalière d'un prisme droit à base triangulaire. Les faces BAC et DEF de ce solide sont des triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit mesurent 2~cm et 4~cm. La hauteur de ce prisme est 7~cm. Construire en vraie grandeur la face ACFD. \item Calculer le volume de ce prisme. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.46\linewidth}{\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(0,-3)(7,3) \pspolygon(0.5,0)(2.3,0)(0.5,1) \psline(2.3,0)(5.9,1)(4.1,1.85)(0.5,1) \psline[linestyle=dashed](0.5,0)(4.1,1)(5.9,1) \psline[linestyle=dashed](4.1,1)(4.1,1.85) \psframe(0.5,0)(0.7,0.2) \rput(3.5,-1.2){Le dessin n'est pas à l'échelle} \uput[ul](0.5,1){A} \uput[dl](0.5,0){B} \uput[d](2.3,0){C} \uput[u](4.1,1.85){D} \uput[ul](4.1,1){E} \uput[r](5.9,1){F} \uput[l](0.5,0.5){2} \uput[d](1.4,0){4} \uput[dr](4.1,0.5){7} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip On a dessiné et codé quatre figures géométriques. Dans chaque cas, préciser si le triangle ABC est rectangle ou non. Une démonstration rédigée n'est pas attendue. Pour justifier, on se contentera de citer une propriété ou d'effectuer un calcul. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline \psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(6.5,7) \pscircle(3.3,3.8){2.95}\pspolygon(0.35,3.5)(6.2,3.5)(4.6,6.4) \psline[linestyle=dashed](0.35,3.5)(3.3,3.8)(6.2,3.5) \psline[linestyle=dashed](3.3,3.8)(4.6,6.4) \uput[l](0.35,3.5){A}\uput[r](6.2,3.5){B}\uput[u](4.6,6.4){C}\uput[ul](3.3,3.8){O} \rput(1.8,3.7){//}\rput(4.8,3.7){//}\rput{80}(4,5.1){//} \rput(3.25,0.2){Figure 1 } \end{pspicture}&\begin{pspicture}(6.5,7) \pspolygon(0.5,3)(4.9,3)(4.9,5.5) \uput[l](0.5,3){A}\uput[r](4.9,3){B}\uput[u](4.9,5.5){C} \uput[ul](2.7,4.5){4,25 cm}\uput[d](2.7,3){3,75 cm}\uput[r](4.9,4.25){2 cm} \rput(2.75,0.2){Figure 2 } \end{pspicture} \\ \hline \begin{pspicture}(6.5,7) \pspolygon(0.2,2.2)(5.3,2.2)(1.9,4.7) \psline(1.9,4.7)(2.75,2.2) \uput[l](0.2,2.2){A} \uput[r](5.3,2.2){B} \uput[u](1.9,4.7){C} \rput(1.5,2.2){//} \rput(4,2.2){//}\rput{80}(2.35,3.4){//} \rput(2.75,1){Les points A, B et D sont alignés.} \rput(2.75,0.2){Figure 3 } \end{pspicture}&\begin{pspicture}(6.5,7) \pspolygon(0.2,2.1)(5.8,2.1)(2.3,4.7) \uput[l](0.2,2.1){A} \uput[dl](5.8,2.1){B} \uput[u](2.3,4.7){C} \rput(1.1,2.55){49 \degres}\rput(4.7,2.55){36 \degres} \pswedge*(0.2,2.1){0.7}{0}{54} \pswedge*(5.8,2.1){0.7}{144}{180} \rput(2.75,0.2){Figure 4 } \end{pspicture} \\ \hline \end{tabularx} \medskip \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \medskip \parbox{0.55\linewidth}{Le dessin donné ci-contre n'est pas en vraie grandeur. Il représente une figure géométrique pour laquelle on sait que : $\bullet~~$ ABC est un triangle rectangle en B, $\bullet~~$ E est sur le segment [AB] et D sur le segment [AC], $\bullet~~$ AE = 2,4 cm, $\bullet~~$ AB = 3 cm, $\bullet~~$ AC = 8 cm, $\bullet~~$ AD = 6,4 cm.} \hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(6,3.5) \pspolygon(0,0)(6,0)(1.5,2.6) \psline(4.4,0)(1.1,1.9) \rput{-30}(1.5,2.6){\psframe(0,0)(0.2,-0.2)} \uput[dl](0,0){A} \uput[u](1.5,2.6){B} \uput[d](6,0){C} \uput[d](4.4,0){D} \uput[ul](1.15,1.85){E} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Construire la figure en vraie grandeur. \item Calculer la mesure de l'angle BAC à un degré près. \item Démontrer que AED est un triangle rectangle. \end{enumerate} \newpage \textbf{\large Problème \hfill 12 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les trois parties sont indépendantes} \end{center} Jérémy visite Londres avec ses parents. Ils décident d'aller au \og London Eye \fg, la grande roue panoramique de Londres. \begin{center}\textbf{1\up{re} partie} Utiliser les documents 1 et 2 de l'ANNEXE 1, pour répondre aux questions de cette partie. \end{center} \begin{enumerate} \item Est-il vrai que le \og London Eye \fg{} est plus de deux fois plus haut que la grande roue installée à Paris en août 2010 ? Aucune justification n'est attendue. \item Quelle est la différence de hauteur entre le \og London Eye \fg{} et la grande roue de Pékin ? \item Combien de temps dure un tour complet de la roue dans le \og London Eye \fg{} ? \item Combien de personnes au maximum peuvent se trouver ensemble dans le \og London Eye \fg{} ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Dans toute la suite du problème on considère que :} \qquad \textbf{la roue est un cercle dont le diamètre est égal à 134~m.} \qquad \textbf{la cabine est un point sur ce cercle ; on notera ce point C.} \bigskip \begin{center}\textbf{2\up{e} partie - Le tour de roue d'une cabine du \og London Eye \fg }\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Une cabine du \og London Eye \fg{} quitte le sol à 14 h 40. À quelle heure y reviendra-t-elle après avoir fait un tour ? \item Pour cette question, on utilisera le graphique donné dans le document 3 de l'ANNEXE 1. \begin{enumerate} \item Donner une valeur approchée de la hauteur à laquelle se trouve la cabine cinq minutes après son départ du sol. \emph{Aucune justification n'est attendue.} \item Donner une valeur approchée de la hauteur à laquelle se trouve la cabine dix minutes après son départ du sol. \emph{Aucune justification n'est attendue.} \item Au cours des quinze premières minutes de la montée, la hauteur à laquelle se trouve la cabine est-elle proportionnelle au temps écoulé depuis son départ du sol ? \item Donner une estimation de la durée pendant laquelle la cabine sera à plus de 100 m de hauteur par rapport au sol pendant un tour. \emph{Aucune justification n'est attendue.} \end{enumerate} \item Calculer le périmètre de la roue. Donner le résultat arrondi au mètre près. \item La roue tourne à une vitesse constante. Est-il exact que la cabine se déplace à moins de 1 km/h ? \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{3\up{e} partie - Calcul de la hauteur de la cabine par rapport au sol} \end{center} \parbox{0.65\linewidth}{La roue ne s'arrête pas pour laisser monter et descendre ses passagers. Elle tourne à une vitesse très faible et constante. Sur le schéma, le point C représente la cabine. Quand la cabine se trouve en bas, le point C est confondu avec le point D. Pendant que la roue tourne, on admet que l'angle $\widehat{\text{COD}}$ est proportionnel au temps écoulé depuis que la cabine a quitté le sol.}\hfill \parbox{0.3\linewidth}{ \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(5.5,5.2) \pscircle(2.5,2.5){2.5}\psarc{->}(2.5,2.5){2.8}{40}{60} \psline(2.5,0)(2.5,2.5)(4,0.55) \psline(1,0)(4,0) \uput[ul](2.5,2.5){O}\uput[d](2.5,0){D}\uput[dr](4,0.55){C} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter les schémas de l'ANNEXE 2, en plaçant le point C où se trouve la cabine à l'instant précisé. On considère qu'au départ, la cabine est en bas. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{COD}}$ cinq minutes après le départ ? \item Quelle est alors la nature du triangle COD ? \item Retrouver par le calcul la hauteur à laquelle se trouve la cabine cinq minutes après qu'elle a quitté le sol. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{\large Annexe 1}\end{center} \textbf{Document 1 :} Informations sur cinq grandes roues touristiques du monde \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nom&Hauteur &Année de construction&Pays &Ville\\ \hline La grande roue de Pékin (Beijing Great Wheel)& 208 m &2009 &Chine &Beijing\\ \hline Singapore Flyer &165 m &2008 &Singapour &Singapour\\ \hline London Eye &135 m &1999 &Royaume-Uni &Londres\\ \hline Tempozan Harbor Village Ferris Wheel &112,5 m &1997 &Japon &Osaka\\ \hline Grande Roue de Paris &60 m &2010 &France &Paris\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Document 2 :} Extrait du dépliant touristique du \og London Eye \fg \medskip Le \og London Eye \fg{} accueille une moyenne de 3,5 millions de visiteurs chaque année. Horaires d'ouverture: 10 h - 21 h 30. Fermé du 3 au 8 janvier et le 25 décembre. La grande roue, véritable triomphe de la technologie, haute de 135 m pour une masse totale de \np{2100}~tonnes, constitue un nouveau point de repère spectaculaire au bord de la Tamise. Pendant un tour complet d'une durée de 30 minutes, les visiteurs sont installés dans 32 cabines fermées qui peuvent contenir chacune 25 personnes au maximum ; ils découvrent une vue exceptionnelle s'étendant sur 20 km à la ronde ! \bigskip \textbf{Document 3 :} Le tour de roue d'une cabine du London Eye \medskip Le graphique ci-dessous représente la hauteur, par rapport au sol, à laquelle se trouve une cabine du London Eye en fonction du temps écoulé depuis que cette cabine a quitté le sol. La hauteur est mesurée en mètres et le temps est mesuré en minutes. \medskip \psset{xunit=0.333cm,yunit=0.0417cm} \begin{pspicture}(-4,-25)(32,155) \multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,150)} \multido{\n=0+5}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(30,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(30,150) \pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,0)(2,5)(5,35)(8,75)(10,102.5)(13,130)(15,135)(17,130)(20,102.5)(22,75)(25,35)(28,5)(30,0) \rput(15,-25){Temps écoulé depuis le départ du sol (en minutes)} \rput{90}(-3.2,75){Hauteur en mètres} \end{pspicture} \newpage \begin{center} \textbf{À rendre avec la copie} \medskip \begin{flushleft}\textbf{Activités numériques} \medskip \textbf{Exercice 2 3. a.}\end{flushleft} \medskip Dé classique \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(4.8,3.6) \multido{\n=0+1.2,\na=1.2+1.2}{4}{\psframe(\n,1.2)(\na,2.4)} \multido{\na=0.6+1.2}{3}{\rput(\na,1.8){\ldots}}\rput(4.2,1.8){2} \psframe(1.2,2.4)(2.4,3.6)\psframe(1.2,0)(2.4,1.2) \rput(1.8,3){\ldots}\rput(1.8,0.6){\ldots} \end{pspicture}\end{center} \medskip \begin{flushleft}\textbf{Problème} \emph{Aucune justification n'est attendue}\end{flushleft} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(0,-0.8)(5.5,5.5) \pscircle(2.5,2.5){2.5}\psarc{->}(2.5,2.5){2.8}{40}{60} \psline(2.5,0)(2.5,2.5) \psline(1,0)(4,0) \uput[ul](2.5,2.5){O}\uput[d](2.5,0){D}\rput(2.75,-0.7){Au départ} \end{pspicture}&\begin{pspicture}(0,-0.8)(5.5,5.5) \pscircle(2.5,2.5){2.5}\psarc{->}(2.5,2.5){2.8}{40}{60} \psline(2.5,0)(2.5,2.5) \psline(1,0)(4,0) \uput[ul](2.5,2.5){O}\uput[d](2.5,0){D}\rput(2.75,-0.7){5 min après le départ } \end{pspicture}\\ \begin{pspicture}(0,-0.8)(5.5,5.5) \pscircle(2.5,2.5){2.5}\psarc{->}(2.5,2.5){2.8}{40}{60} \psline(2.5,0)(2.5,2.5) \psline(1,0)(4,0) \uput[ul](2.5,2.5){O}\uput[d](2.5,0){D}\rput(2.75,-0.7){15 min après le départ} \end{pspicture}&\begin{pspicture}(0,-0.8)(5.5,5.5) \pscircle(2.5,2.5){2.5}\psarc{->}(2.5,2.5){2.8}{40}{60} \psline(2.5,0)(2.5,2.5) \psline(1,0)(4,0) \uput[ul](2.5,2.5){O}\uput[d](2.5,0){D}\rput(2.75,-0.7){30 min après le départ} \end{pspicture}\\ \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole, La Réunion, Antilles--Guyane sept. 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2011 \hypertarget{Polynesiesep}{} \label{Polynesiesep} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2011~\decofourright}} \vspace{0,25cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\large Activités numériques \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 :} \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, \textbf{une seule est exacte}.} \medskip Pour chacune des cinq questions, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre A ,B, C ou D correspondant à la réponse choisie. \medskip \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.9cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \no & Question &A &B &C &D\\ \hline 1 &$\dfrac{5}{3} - \dfrac{6}{5}$ est égal à : &$\dfrac{11}{2}$&$\dfrac{7}{15}$&$\dfrac{- 1}{8}$&0,46\\ \hline 2&$\sqrt{25} + \sqrt{169}$ est égal à :& 18 &$\sqrt{5}+ \sqrt{13}$& $\sqrt{194}$&174\\ \hline 3 &$2 \times 10^{-3} \times 10^5$ est égal à :& $2 \times 10^{-15}$& $2 \times 10^2$& 0,2&0,02\\ \hline 4&Les solutions de l'équation $(3x - 4) (x + 5) = 0$ sont :& $-1$ et $6$&$\dfrac{4}{3}$ et 5& 1 et 6 &$\dfrac{4}{3}$ et $- 5$\\ \hline 5& $(x - 1) (x - 2) - x^2$ est égal à : &$x^2$& $- 3x- 2$& $3x + 2$& $- 3x+ 2$ \\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 2 :} À bord d'un bateau de croisière de passage à Tahiti, il y avait \np{4000}~personnes, dont aucun enfant. \medskip Chaque personne à bord du bateau est : soit un touriste, soit un membre de l'équipage. Voici le tableau qui donne la composition des personnes à bord de ce bateau. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Hommes &Femmes &Total\\ \hline Touristes &\np{1400} &\np{1700} &\\ \hline Membres de l'équipage &440 & &\\ \hline Total & & & \np{4000}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier puis compléter le tableau ci-dessus. \item On choisit à bord du bateau, une personne, au hasard. \begin{enumerate} \item Peut-on dire qu'il y a plus d'une chance sur deux que ce soit un homme ? Justifier. \item Quelle est la probabilité que cette personne fasse partie des touristes ? \item Quelle est la probabilité que cette personne ne soit pas un homme membre de l'équipage ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 :} On propose le programme de calcul suivant : \medskip \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1} \begin{tabular}{|l|} \hline Choisir un nombre.\\ Soustraire 6.\\ Calculer le carré du résultat obtenu.\\ \hline \end{tabular} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit le nombre $- 4$ au départ, montrer que le résultat obtenu est $100$. \item On choisit 15 comme nombre de départ, quel est le résultat obtenu ? \item Quel nombre pourrait-on choisir pour que le résultat du programme soit le nombre $144$ ? Justifier la réponse. \textbf{(Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation).} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Activités géométriques \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip Vous ferez la figure sur votre copie en suivant les indications de l'énoncé. \begin{enumerate} \item Construire un triangle ABC tel que AB = 13~cm ; AC = 12~cm et BC = 5~cm. \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C. \item Compléter la figure de la question 1 : \begin{enumerate} \item Construire le point M du segment [AC] tel que AM = 6~cm. \item Construire le point P du segment [AB] tel que AP = 6,5~cm. \end{enumerate} \item Montrer que les droites (BC) et (PM) sont parallèles. \item Montrer que PM = 2,5cm. \item \textbf{Dans cette question}, parmi les quatre propositions suivantes, recopier sur votre copie celle qui permet de montrer que les droites (PM) et (AC) sont perpendiculaires: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. \item[$\bullet~~$] Si deux droites perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. \item[$\bullet~~$] Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. \item[$\bullet~~$] Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 :} \medskip \parbox{5.75cm}{ Dans cet exercice, la figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur et ne reflète pas la réalité. Soit un cube ABCDEFGH de 6~cm de côté et I le milieu du segment [BF]. On considère la section AIJD du cube par un plan parallèle à l'arête [BC] et passant par les points A et I. Recopier sur votre copie, la (ou les) bonne(s) réponse(s) à la question : La section AIJD du cube est-elle :} \hfill \parbox{5.75cm}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(0,-0.25)(7,7) \psline(0,0.6)(5,0)(6.8,1.2)(6.8,6.2)(1.8,6.8)(0,5.6)(5,5)(6.8,6.2)%ABCGHEFG \pspolygon(0,0.6)(5,2.5)(6.8,3.7)(1.8,1.8)%AIJD \psline[linestyle=dashed](0,0.6)(1.8,1.8)(1.8,6.8)%ADH \psline(5,0)(5,5)%BF \psline(0,0.6)(0,5.6)%AE \psline[linestyle=dashed](1.8,1.8)(6.8,1.2)%DC \uput[dl](0,0.6){A} \uput[dr](5,0){B} \uput[dr](6.8,1.2){C} \uput[ul](1.8,1.8){D} \uput[ul](0,5.6){E} \uput[u](5,5){F} \uput[ur](6.8,6.2){G} \uput[ul](1.8,6.8){H} \uput[dr](5,2.5){I} \uput[r](6.8,3.7){J} \end{pspicture}} $\Box$ un losange ; $\Box$ un rectangle ; $\Box$ un parallélogramme ou $\Box$ un carré ? Justifier votre réponse. \begin{enumerate} \item Dessiner en vraie grandeur le triangle AIB, et la section AIJD. \item Montrer que l'aire du triangle AIB est égale à 9 cm$^2$. \item La partie basse ABIDCJ du cube est un prisme droit. Le volume d'un prisme droit, en cm$^3$, est obtenu par la formule $V = \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base, en cm$^2$, du prisme et $h$ la hauteur du prisme, en cm. Calculer le volume du prisme droit ABIDCJ en cm$^3$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Problème \hfill 12 points} \begin{center}\textbf{Partie 1} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer PGCD (78~;~130), en précisant la méthode employée et vos calculs. \item Manuarii est un pâtissier confiseur, il veut vendre tous ses chocolats et ses biscuits dans des boîtes identiques. Chaque jour il peut fabriquer $78$ chocolats et $130$ biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes contenant chacune, d'une part le même nombre de chocolats et d'autre part le même nombre de biscuits. \begin{enumerate} \item Justifier que $26$ est le maximum de boîtes qu'il peut obtenir. \item Quel est alors le nombre de chocolats et le nombre de biscuits dans chaque boîte ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie 2} \end{center} On désigne par $x$ le nombre de boîtes produites sur un mois. La fonction définie par $f(x) = \np{180000} + 200x$, donne, en Francs, le coût total de la production de $x$ boîtes sur un mois. \begin{enumerate} \item Calculer l'image de $26$ par la fonction $f$. \item Sur la feuille annexe, on a représenté graphiquement la fonction $f$. Pour toutes les lectures graphiques~ vous ferez apparaître les tracés utiles sur la feuille annexe et vous écrirez la réponse sur votre copie. \begin{enumerate} \item Lire graphiquement l'image de $150$ par la fonction $f$. \item Lire graphiquement l'antécédent de \np{190000} par la fonction $f$. \end{enumerate} \item Justifier l'affirmation suivante: \og $f$ est une fonction affine. \fg \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie 3} \end{center} Manuarii vend chaque boîte \np{2000}~Francs. On désigne par $g(x)$ le montant en Francs perçu par Manuarii pour $x$ boîtes vendues sur un mois. \begin{enumerate} \item \textbf{Recopier} et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0 &120& &150\\ \hline $g(x)$ & 0 & &\np{60000} &\np{300000}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la représentation graphique de la fonction $g$ sur la feuille \textbf{annexe}. \item Combien de boîtes, Manuarii doit-il vendre dans le mois, pour obtenir un montant supérieur ou égal au coût de production ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie} \bigskip \psset{xunit=0.055cm,yunit=0.000047cm} \begin{pspicture}(-10,-10000)(205,310000) \multido{\n=0+5}{41}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,300000)} \multido{\n=0+10000}{31}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](0,\n)(200,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=2000000]{->}(0,0)(205,310000) \multido{\n=0+20000}{16}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,180000)(200,220000) \uput[u](185,0){Nombre de boîtes} \uput[r](0,310000){En Francs} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2011 %%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2011 %%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud}{} \label{AmeriqueSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright\\[5pt]novembre 2011}} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Cet exercice est un exercice à  choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera $1$ point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point. Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse. \begin{center}\textbf{Aucune justification n'est demandée} \end{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline & Questions & Réponse A & Réponse B & Réponse C \\ \hline 1 &\rule[-2mm]{0mm}{7mm} $-5\sqrt{2}+\sqrt{8}=\cdots$ & $-3\sqrt{2}$ & $-4,243$ & $-5\sqrt{10}$\\ \hline 2 & Un carré de côté $3\sqrt{2}$ a pour aire : & $6$ & $12\sqrt{2}$ & $18$\\ \hline 3 & L'expression factorisée de $x^2-16$ &n'existe pas & est $(x-4)(x+4)$ & est $(x-4)^2$ \\ \hline 4 & Les solutions de l'inéquation $-2x-1<3$ sont les nombres $x$ tels que : & $x<-2$& $x>-2$ & $x>-1$ \\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip On propose deux programmes de calcul : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{Programme A}&\multicolumn{1}{c|}{Programme B}\\ \hline \begin{itemize} \item Choisir un nombre. \item Ajouter $3$. \item Calculer le carré du résultat obtenu. \end{itemize} & \begin{itemize} \item Choisir un nombre. \item Soustraire $5$. \item Calculer le carré du résultat obtenu. \end{itemize}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit $1$ comme nombre de départ. \begin{enumerate} \item Quel résultat obtient-on avec le programme A ? \item Quel résultat obtient-on avec le programme B ? \item Peut-on en déduire que ces deux programmes de calcul conduisent toujours aux mêmes résultats pour un même nombre de départ ? Justifier. \end{enumerate} \item Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit $0$ ? \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} Quel(s) nombre(s) de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit $9$ ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip Un sac contient $6$ jetons rouges et $2$ jetons jaunes. On tire au hasard, chacun des jetons ayant la même probabilité d'être tiré. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge. \item Calculer la probabilité de tirer un jeton jaune. \item On ajoute dans ce sac des jetons verts. Le sac contient alors $6$ jetons rouges, $2$ jetons jaunes et les jetons verts. On tire un jeton au hasard. Sachant que la probabilité de tirer un jeton vert est égale à  $\dfrac{1}{2}$, calculer le nombre de jetons verts. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.\\ Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.\\ Pour chacune des $3$ questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse correcte.}\\ Pour répondre aux questions, observer la figure ci-dessous :\\ \begin{center} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(18.5,6.2) \psline(7.6,0.4)(3.4,0)(0,1.8)(6.2,2.3) \psline(11,0.7)(18.3,1.3)(14.8,3.1)(12.1,2.9) \psarc(9.1,3){2.85}{-25}{217} \psarc[linestyle=dashed](9.1,3){2.85}{217}{254} \psarc(9.1,3){2.85}{254}{304} \psarc[linestyle=dashed](9.1,3){2.85}{304}{336} \rput{6}(9.2,1.6){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2.5,0.35){180}{0}} \rput{6}(9.2,1.6){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](0,0)(2.5,0.35){0}{180}} \rput{6}(9.1,3){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2.85,0.4){180}{0}} \rput{6}(9.1,3){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](0,0)(2.85,0.4){0}{180}} \psline[linestyle=dashed](8.9,6.)(9.3,0.1) \psdots[dotscale=0.75](9.1,3)(9.15,2.3)(9.2,1.6)(11.2,2) \psline[linestyle=dashed](9.2,1.6)(11.2,2)(9.1,3) \uput[r](9.1,3){\footnotesize O} \uput[r](9.15,2.3){\footnotesize R} \uput[r](9.2,1.6){\footnotesize H} \uput[ur](11.2,2){\footnotesize M} \rput(3.5,0.6){$\mathcal{P}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{itemize} \item O est le centre de la sphère, \item le plan ${\cal P}$ coupe la sphère suivant un cercle de centre H, \item M est un point de ce cercle, \item R est le milieu de [OH]. \end{itemize} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{1.} & Le point R appartient ... & à  la sphère de centre O et de rayon OM. & à  la boule de centre $O$ et de rayon OM. & au plan ${\cal P}$.\\ \hline \textbf{2.} & La distance du point O au plan ${\cal P}$ est ... & OM & OR & OH \\ \hline \textbf{3.} & Si OM = 11,7~cm et HM = 10,8~cm, alors OH = $\cdots$ & 4,5~cm & 1,2~cm & 20,25~cm \\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip ABC est un triangle rectangle en A tel que CB = 7~cm et AB = 3~cm. On appelle I le milieu du segment [CB]. \medskip \begin{enumerate} \item Réaliser une figure en vraie grandeur. \item Calculer la longueur exacte du segment [AC]. En donner la valeur arrondie au millimètre près. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ arrondie à  $0,1\,\degres$ près. \item Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC. En préciser le centre et le rayon. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AIB}}$ au degré près. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip \parbox{0.4\linewidth}{ On considère la figure ci-contre sur laquelle les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de reproduire la figure. L'unité de longueur est le centimètre. Les points A, B et D sont alignés ainsi que les points C, B et E. AB = 12 ; AC = 9 ; BC = 15 ; DB = 8,4 ; BE = 10,5.}\hfill \parbox{0.55\linewidth}{\begin{center} \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-0.5,-4)(8,3) \pspolygon(0,0)(7.5,0)(7.5,2.3)(0,-3.3) \uput[ul](0,0){A} \uput[ul](4.5,0){B} \uput[dl](0,-3.3){C} \uput[dr](7.5,0){D} \uput[ur](7.5,2.3){E} \uput[u](2.25,0){12} \uput[d](6,0){8,4}\rput{40}(6,1.45){10,5} \rput{40}(2.25,-1.95){15}\uput[l](0,-1.65){9} \end{pspicture} \end{center}} \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles. \item Calculer la longueur du segment [ED]. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \bigskip De façon à  récupérer l'eau de pluie de son toit, Lucas décide d'installer un récupérateur d'eau dans le sol de son jardin. La profondeur dont il dispose est de $2,5~m$. Un fabricant lui propose alors les deux modèles de réservoirs schématisés ci-dessous. Les dimensions sont en mètres. Le premier modèle a la forme d'un pavé droit, le deuxième est de forme cylindrique : dans chaque cas, $x$ peut varier entre 0,5~m et 1,5~m. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(7,4) \psframe(0,0)(5,2.6) \psline(5,0)(6.8,0.9)(6.8,3.5)(5,2.6) \psline(6.8,3.5)(1.8,3.5)(0,2.6) \uput[r](6.8,2.2){2,5}\uput[u](4.3,3.5){3}\uput[ul](0.9,3.05){$x$} \rput(3.4,-0.5){Réservoir $R_1$} \end{pspicture}&\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(6,4) \psline(0,0.4)(0,2.7)\psline(5.2,0.4)(5.2,2.7) \psellipse(2.6,2.7)(2.6,0.525) \psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](2.6,0.4)(2.6,0.525){0}{180} \psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.6,0.4)(2.6,0.525){180}{0} \uput[r](5.28,1.45){2,5} \psline(2.6,2.7)(4.5,3.05) \uput[u](3.55,2.8){$x$} \rput(2.5,-1){Réservoir $R_2$} \end{pspicture}\\ \end{tabularx} \bigskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau fourni en annexe. \emph{Les détails des calculs des valeurs exactes devront figurer sur votre copie.} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'expression, en fonction de $x$, du volume du réservoir $R_1$ est : $7,5x$. \item Montrer que l'expression, en fonction de $x$, du volume du réservoir $R_2$ est : $2,5\pi x^2$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $ f_1~:~x \longmapsto 7,5x$. Préciser la nature de cette fonction. \item Pour les valeurs de $x$ comprises entre $0,5$ et $1,5$, la fonction $ f_2~:~x \longmapsto 2,5\pi x^2$ est déjà  représentée sur le graphique fourni en annexe. Sur ce même graphique, représenter la fonction $f_1$. \item Répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique. \emph{On répondra par des valeurs approchées et on fera apparaître les traits de construction permettant la lecture sur le graphique.} \begin{enumerate} \item Quel est la valeur du réservoir $R_2$ pour $x = 0,8$~m ? \item Quel est le rayon du réservoir $R_2$ pour qu'il ait une contenance de $10~\text{m}^3$ ? \item Quel est l'antécédent de $9$ par la fonction $f_1$ ? Interpréter concrètement ce nombre. \item Pour quelle valeur de $x$ les volumes des deux réservoirs sont-ils égaux ? \item Pour quelles valeurs de $x$ le volume de $R_1$ est-il supérieur à  celui de $R_2$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ATTENTION : CETTE FEUILLE EST \`A RENDRE AVEC LA COPIE} \end{center} Problème-Question 1 \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|m{3.75cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{2}{|l|}{Longueur $x$ (en m)} &$0,5$&$1,2$ \\ \hline \multicolumn{2}{|l|}{Volume du réservoir $R_1$ (en m$^3$)} & & \\ \hline Volume du réservoir & Valeur exacte & & \\ \cline{2-4} $R_2$ (en m$^3$) & Valeur arrondie à  $0,1$~m$^3$ & & \\ \hline \end{tabularx} \vspace{2cm} \psset{xunit=7cm,yunit=0.7cm} \begin{pspicture}(-0.1,-1)(1.6,18) \multido{\n=0.0+0.1}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,18)} \multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(1.6,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1.6,18) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1.6,18) \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.5}{1.5}{x dup mul 2.5 mul 3.1412596 mul} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2011 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%% Nouvelle--Calédonie décembre 2011 %%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{6 décembre 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}\\[7pt] {\Large \textbf{6 décembre 2011}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte.} \textbf{Indiquer} sur votre copie \textbf{le numéro de la question} et, sans justifier, recopier la réponse exacte (aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 1&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Le nombre $\dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{3} \times \dfrac{27}{24}$ est égal à :&$0$&$\dfrac{5}{3}$&$- \dfrac{1}{6}$\\\hline% 2&L'expression développée de ${3x(5 - 4x)}$ est: &$15x - 12x $&$15x - 12x^2$& $3x^2$\\\hline% 3&On lance un dé équilibré à 6 faces et on regarde le nombre inscrit sur sa face supérieure. La probabilité de l'évènement \og on obtient un nombre supérieur ou égal à 5 \fg{} est :&$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{4}{6}$ \\\hline% 4&Un billet d'avion coûte \np{70000}~F. Une agence de voyage vous accorde une réduction de 10\,\%. Vous allez payer: &\np{63000} F& \np{77000} F& \np{7000} F\\\hline% 5&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Le nombre $\dfrac{6 \times 10^3 \times 28 \times 10^{- 2}}{14 \times 10^{-3}}$ est égal à : &$12 \times 10^{-9} $&$0,12$& $12 \times 10^4$\\\hline% \end{tabularx} \medskip \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip On a relevé le nombre de médailles gagnées par les sportifs calédoniens lors des Jeux du Pacifique. Voici les résultats regroupés à l'aide d'un tableur (voir page suivante) : \medskip \begin{figure} \begin{tabularx}{\linewidth}{||c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}|}\hline\hline &A &B &C &D&E\\ \hline 1 &Années des Jeux du Pacifique&Nombres de médailles d'or &Nombre de médailles d'argent& Nombre de médailles de bronze &Total \\ \hline% 2 &1963 & 7 &9 &11 &27\\ \hline% 3 &1966 &39 &30 &30 &99\\ \hline% 4 &1969 &36 &20 &21 &77\\ \hline% 5 &1971 &33 &32 &27 &92 \\ \hline% 6 &1975 &37 &31 &34 &102\\ \hline% 7 &1979 &33 &43 &26 &102\\ \hline% 8 &1983 &24 &20 &19 &63\\ \hline% 9 &1987 &82 &48 &38 &168\\ \hline% 10 &1991 &29 &29 &27 &85\\ \hline% 11 &1995 &82 &57 &43 &182\\ \hline% 12 &1999 &73 &55 &44 &172\\ \hline% 13 &2003 &93 &73 &74 &240\\ \hline% 14 &2007 &90 &69 &68 &227\\ \hline% 15&&&&&\\ \hline% 16& Total: &658 &516 &462 &\np{1636}\\ \hline% 17&&&&&\\ \hline% 18& Moyennes : &51 &40 &36 &126\\ \hline\hline% \end{tabularx} \end{figure} \medskip \begin{enumerate} \item Pour obtenir le nombre 27 dans la cellule E2, on a écrit la formule suivante: =SOMME(B2:D2). Quelle formule a-t-on écrite en B16 pour obtenir 658 ? \item Quelle formule a-t-on écrite en B18 pour calculer la moyenne des médailles d'or obtenues sur ces 13 années ? \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \textbf{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Un éleveur possède 2 taureaux et 2 vaches : Bubulle, Icare, Caramel et Pâquerette. Il souhaite lesprésenter à la foire agricole. \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Bubulle pèse 1 200 kg et Pâquerette 600 kg. \item[$\bullet~~$] Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis. \item[$\bullet~~$] Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Est-il possible que Caramel pèse 500~kg et Icare 700~kg ? Justifier votre réponse. \item Sachant que l'éleveur ne peut pas transporter plus de 3,2~tonnes dans son camion, pourra-t-il transporter tous les animaux ensemble ? Expliquer votre raisonnement. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Voici une carte découverte par Ruffy qui lui permettra de déterrer le fabuleux trésor de Math le Pirate. On note : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] R le roche en forme de crâne, \item[ ] C le cocotier sous lequel est enterré le trésor \item[ ] P le phare. \item[ ] C est sur le demi-cercle de diamètre [PR] \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-4,-1.25)(4,4) \psarc(0,0){4}{0}{180} \psdots(4;0)(4;180)(4;120)(0;0)%PRC \pspolygon(4;0)(4;180)(4;120) \uput[r](4;0){P}\uput[l](4;180){R}\uput[ul](4;120){C} \psarc(-4,0){0.7}{0}{60} \psline(1.53,0.1)(1.53,-0.1)\psline(1.57,0.1)(1.57,-0.1) \psline(-1.53,0.1)(-1.53,-0.1)\psline(-1.57,0.1)(-1.57,-0.1) \rput(-3.04,0.5){60~\degres} \rput(0,-0.5){La distance du phare au rocher en forme de} \rput(0,-1){crâne est de \np{3000} brasses.} \end{pspicture} \end{center} Aidez-le à mettre la main sur le butin : \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle PRC est un triangle rectangle. \item Calculer la distance RC en brasses. \end{enumerate} \medskip À vos pelles !!! \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \textbf{Rappels :} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\arraybackslash}X|}\hline $\bullet~~$La formule pour calculer le volume d'un cylindre de révolution est donnée par\\ $V_{\text{cylindre}} = \pi \times r^2 \times h$ avec $r$ le rayon et $h$ la hauteur du cylindre.\\ $\bullet~~$La formule pour calculer le volume d'une boule est donnée par \\ $V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$ avec $r$ le rayon de la boule.\\ \hline \end{tabularx} \medskip Une entreprise doit construire des plots en béton pour border des trottoirs. Ces plots sont formés d'un cylindre de révolution surmonté d'une demi-boule. \parbox{0.65\linewidth}{La hauteur du cylindre doit être de 40~cm et son rayon de 20~cm. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur arrondie au cm$^3$ du volume du cylindre. \item Calculer la valeur arrondie au cm$^3$ du volume de la demi-boule. \item Calculer le volume de béton nécessaire pour fabriquer \np{1000}~plots. Donner la réponse en m$^3$.\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.30\linewidth}{\psset{unit=0.85cm} \begin{pspicture}(3,4.5) \psline(0,0.5)(0,3)\psline(3,0.5)(3,3) \psellipticarc(1.5,0.5)(1.5,0.4){180}{0} \psellipticarc(1.5,3)(1.5,0.4){180}{0} \psarc(1.5,3){1.5}{0}{180} \end{pspicture}} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \emph{La figure sera complétée sur l'annexe, au fur et à mesure de l'exercice.} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{ABCD est un carré de centre 0, tel que OB = 3 cm. La figure ci-contre n'est pas à l'échelle.}\hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-2,-2.25)(2,2.25) \psframe(-2,-2)(2,2) \pspolygon(-2,-2)(2,-2)(-2,2)(2,2)(-2,-2)(-2,2)(2,-2) \uput[l](-2,2){A}\uput[r](2,2){B}\uput[r](2,-2){C}\uput[l](-2,-2){D}\uput[l](0,0){O} \rput{45}(0.6,1.1){3 cm} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Sur la feuille \textbf{annexe}, construire le carré ABCD en vraie grandeur. \item Expliquer pourquoi le triangle BCO est rectangle et isocèle en O. \item Montrer que BC = $\sqrt{18}$~cm. \item Sur la demi-droite [AO), placer un point E tel que AE = 9~cm. Tracer la droite parallèle à la droite (BC) passant par E. Elle coupe la droite (AB) en F. \item Calculer la valeur exacte de la longueur EF. Justifier votre réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip \begin{center}\textbf{Ce problème est composé de deux parties indépendantes} \end{center} En Nouvelle-Calédonie, le nombre d'accidents de la route ne cesse d'augmenter. Les principales causes de ces accidents sont l'alcool et la vitesse. \begin{center}\textbf{PARTIE 1 }\end{center} Dans cette partie, on considère qu'une canette contient 330~mL de bière et que le degré d'alcool est de 5~\degres, c'est-à-dire 0,05. La formule suivante permet de calculer le taux d'alcool dans le sang (en g/L) : \begin{center}\fbox{$\text{Pour un homme: Taux}\: = \dfrac{\text{quantité de liquide bu} \times 0,05 \times 0,8}{\text{masse} \times 0,7}$}\end{center} La quantité de liquide bu est exprimée en mL. La masse est exprimée en kg. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le taux d'alcool dans le sang, d'un homme de 60~kg qui boit deux canettes de bière est d'environ 0,63~g/L. \item La loi française interdit à toute personne de conduire si son taux d'alcool est supérieur ou égal à 0,5~g/L. D'après le résultat précédent, cette personne a-t-elle le droit de conduire? Justifier la réponse. Pour la suite, on considèrera un \textbf{homme de 70~kg}. \item Si $x$ désigne la quantité, en dL, de bière bue, le taux d'alcool dans le sang est donné par $T(x) = \dfrac{4}{49}x$. Compléter le tableau en annexe,(arrondir les résultats au centième). \item En utilisant les données du tableau, représenter graphiquement le taux d'alcool en fonction de la quantité de bière bue, sur une feuille de papier millimétré. \begin{tabular}{l l} On prendra :& 2~cm pour 1~dL sur l'axe des abscisses\\ &2 cm pour 0,1~g/L sur l'axe des ordonnées.\\ \end{tabular} \item Déterminer graphiquement le taux d'alcool correspondant à une quantité de bière de 3~dL (on laissera apparents les traits de construction). \item Déterminer graphiquement la quantité de bière à partir de laquelle cet homme n'est plus autorisé à reprendre le volant (on laissera apparents les traits de construction). \end{enumerate} \begin{center}\textbf{PARTIE 2}\end{center} La vitesse est mise en cause dans près d'un accident mortel sur deux. Un cyclomoteur est conçu pour ne pas dépasser une vitesse de 45~km/h. Si le moteur est gonflé au-delà de la puissance légale, les freins et les pneus ne sont plus adaptés et le risque d'accident augmente alors considérablement. \medskip \emph{On rappelle que la formule pour calculer la vitesse, $v$, est donnée par : $v = \dfrac{d}{t}$ avec $d$ la distance parcourue et $t$ le temps nécessaire pour parcourir cette distance.} \medskip Lisa et Aymeric ont chacun un scooter. Ils doivent rejoindre leurs copains à la piscine qui est à 8~km de chez eux. \medskip \begin{enumerate} \item Lisa roule en moyenne à 40 km/h. Combien de temps, en minutes, mettra-t-elle pour aller à la piscine ? \item Aymeric est plus pressé, il roule en moyenne à 48~km/h. Calculer, en minutes, le temps qu'il mettra pour retrouver ses copains à la piscine. \item Combien de temps Aymeric a-t-il gagné par rapport à Lisa ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{Activités Géométriques / Exercice 3}\end{flushleft} \vspace{9cm} \begin{flushleft}\textbf{Problème / Partie 1 / Question 3}\end{flushleft} \bigskip \renewcommand\arraystretch{2.2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Quantité d'alcool (en dL) & 0 & 1 &5 &7\\ \hline Taux d'alcool (en g/L) & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle--Calédonie décembre 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%% Nouvelle--Calédonie mars 2012 \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}\\[7pt] {\Large \textbf{mars 2012}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et recopier, sans justifier, la réponse choisie. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize} m{5.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline Question posée&\multicolumn{4}{|c|}{Réponses proposées}\\ \hline \textbf{1.}\: \rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{12}{25} \times \dfrac{7}{10}$&$\dfrac{19}{35}$&$\dfrac{41}{125}$&$\dfrac{84}{250}$&$\dfrac{175 }{250}$\\ \hline \textbf{2.}\:Une mouette parcourt 4,2 kilomètres en 8 minutes. Quelle distance aurait-elle parcourue en une heure, si elle gardait la même vitesse ?& 0,526 km& 31,5 km& 42,8 km& 201,6 km\\ \hline \textbf{3.}\: Quelle est la notation scientifique de $\left(4 \times 10^{-3}\right)^2$ ?& $1,6 \times 10^{-5}$& $8 \times 10^{-3}$& $6 \times 10^{-1}$& $4 \times 10^{6}$\\ \hline \textbf{4.}\: Un bidon contient 25 L. Si j'augmente de 2\,\% sa contenance, alors j'obtiens :& 25,2 L &25,5 L &27 L& 30 L\\ \hline \textbf{4.}\: Donner la valeur médiane de la série statistique suivante : 1 ; 2 ; 2,4 ; 3 ; 3,5 ; 3,7 ; 3,8 ; 4 ; 4,2 ; 4,2 ; 7&3,53& 3,7& 4,2& 6\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip Un concours de pêche est organisé avec 8 bateaux participants. Les organisateurs souhaitent former au hasard 4 équipes de 2 bateaux. Pour cela, un tirage au sort est organisé. Dans une urne se trouvent 8 fanions indiscernables au toucher : 2 rouges, 2 oranges, 2 violets et 2 verts. Les bateaux ayant un fanion de même couleur seront dans la même équipe. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de sortir un fanion rouge au premier tirage ? \item Aux deux premiers tirages, un fanion vert et un fanion orange ont été sortis. \begin{enumerate} \item Quels fanions se trouvent encore dans l'urne avant le troisième tirage ? \item Combien y a-t-il de fanions dans l'urne avant le troisième tirage? \item Calculer la probabilité de l'évènement A : \og un fanion d'une autre couleur que le vert ou le orange est tiré \fg. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même inachevée, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Une société propose des sorties en mer sur un voilier. Il n'y a qu'un seul tarif adulte et qu'un seul tarif enfant. \medskip Un premier groupe composé de 4 adultes et 6 enfants a payé au total 52 800 F. Un deuxième groupe composé de 6 adultes et 4 enfants a payé au total 63 200 F pour la même sortie. \medskip \begin{enumerate} \item Un groupe, composé de 10 adultes et 10 enfants, a un budget total de \np{120000}~F. Ils se demandent s'ils auront assez d'argent pour une sortie en voilier. Sans connaître le prix des places, Émilie a une astuce pour répondre à cette question. Donner sa réponse et expliquer son raisonnement. \item Le petit frère d'Émilie affirme qu'une place adulte coûte \np{7000}~F et qu'une place enfant coûte \np{2500}~F. A-t-il raison ? Justifier. \item Pour cette sortie, combien payera un adulte accompagné d'un enfant ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Le niveau de la mer monte et descend suivant le cycle des marées. Les deux schémas ci-dessous représentent la même plage parfaitement lisse, à deux instants de la journée. \medskip On a : HT = 2 m, HBT= 10\,\degres{} et (HT) $\perp$ (BT). \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-1,-1)(12,4) \def\vague{\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=black](0.5,0){0.5}{90}{180} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](0.55,0.25){0.25}{0}{360} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=black](0.75,0){0.5}{0}{33}} \multido{\n=0+1}{10}{\rput(\n,1){\vague}} \pspolygon*(0,0)(1.2,0)(10,1)(0,1) \psline[linestyle=dashed](1.2,0)(10,0)(10,1) \psarc(1.2,0){2}{0}{8}\psarc(1.2,0){2.1}{0}{8} \uput[d](1.2,0){B}\uput[d](9.8,0){T}\uput[u](9.8,1){H} \psframe(10,0)(9.8,0.2)\psframe(10,2)(9.8,2.2) \psline[linestyle=dashed](0,2)(10,2)(10,3) \rput(0,2){\vague}\uput[d](1.2,2){B}\uput[d](9.8,2){T}\uput[u](9.8,3){H} \psline(0,2)(10,3) \psarc(1.2,2){2}{0}{8}\psarc(1.2,2){2.1}{0}{8} \psline{<->}(10.5,0)(10.5,1)\psline{<->}(10.5,2)(10.5,3) \uput[u](5,1.5){Marée haute}\uput[u](5,3){Marée basse} \rput(5,0.25){10\,\degres}\rput(5,2.25){10\,\degres} \uput[r](10.5,0.5){2 m}\uput[r](10.5,2.5){2 m} \rput(6,2.8){Plage}\rput(8,2.2){Sable}\rput(8,0.2){Sable} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer la longueur BH, en mètres, de plage recouverte par la mer à marée haute. Donner l'arrondi au dixième près. \item Sur une autre plage de pente différente (mais toujours parfaitement lisse), la mer a recouvert la plage jusqu'au point L. Deux heures plus tard, la mer s'est retirée et se situe désormais au point A. Sur le schéma, les points S, B et E sont alignés. Ils correspondent au niveau horizontal. On a : SL = 9 m ; AL = 2,25 m ; (AB) $\perp$ (SE) ; (LE) $\perp$ (SE). \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(0,-1)(12,3) \def\vague{\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=black](0.5,0){0.5}{90}{180} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](0.55,0.25){0.25}{0}{360} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=black](0.75,0){0.5}{0}{33}} \multido{\n=0+1}{7}{\rput(\n,1){\vague}} \pspolygon*(0,0)(1.2,0)(8,1)(0,1) \psline[linestyle=dashed](1.2,0)(11,0)\psline[linestyle=dashed](8,0)(8,1) \uput[d](1.2,0){S}\uput[d](10,0){E}\uput[u](10,1.294){L} \psframe(10,0)(9.8,0.2)\psframe(8,0)(7.8,0.2) \psline(8,1)(10,1.294)\psline[linestyle=dashed](10,1.294)(10,0) \psline{<->}(10.5,0)(10.5,1.294)\uput[d](8,0){B}\uput[u](8,1){A} \uput[r](10.5,0.647){2 m} \end{pspicture*} \end{center} Démontrer que les droites (AB) et (LE) sont parallèles. Calculer la longueur AB, en mètres, du niveau vertical actuel de la mer. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip La figure ci-dessous est un hexagone régulier ABCDEF inscrit dans un cercle $C$. Cette figure \textbf{n'est pas en vraie grandeur}. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5) \pscircle[linestyle=dashed](0,0){2.5} \psline(2.5;0)(2.5;180) \psline(2.5;60)(2.5;240) \psline(2.5;120)(2.5;300) \psline(2.5;0)(2.5;60)(2.5;120)(2.5;180)(2.5;240)(2.5;300)(2.5;360) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.7](1.25;0)(1.25;60)(1.25;120)(1.25;180)(1.25;240)(1.25;300)(1.25;360) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.7](2.165;30)(2.165;90)(2.165;150)(2.165;210)(2.165;270)(2.165;330)(2.165;390) \uput[r](2.5;0){C} \uput[ur](2.5;60){D} \uput[ul](2.5;120){E} \uput[l](2.5;180){F} \uput[dl](2.5;240){A} \uput[dr](2.5;300){B} \uput[u](0;360){O} \uput[ul](2.65;140){$C$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Construire un hexagone régulier, inscrit dans un cercle de rayon 3~cm. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{COE}}$. \item Montrer que l'angle $\widehat{\text{CAE}}$ mesure 60\,\degres. \item Quelle est la nature du triangle CAE ? Justifier. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip Pour attirer davantage de visiteurs dans sa ville, un maire décide de faire construire l'Aquarium du Pacifique. Les architectes prévoient de poser un énorme aquarium à l'entrée, dont la vitre a une forme sphérique. \medskip \textbf{Partie 1} \medskip La figure ci-dessous représente la situation. Cette figure \textbf{n'est pas en vraie grandeur}. \begin{center} \newgray{legergris}{0.85} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,5.2) \psline(1,2.8)(0.6,2.8)(0,0)(8,0)(6.6,2.8)(5,2.8) \psline[linestyle=dashed](5,2.8)(1,2.8) \psarc(3,3){2}{-30}{210} \psarc[linestyle=dashed](3,3){2}{210}{-30} \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=legergris](3,1.82)(1.6,0.45) \psline[linestyle=dashed](3,5)(3,3)(4.5,1.82)(3,1.82) \psline(3,1.82)(3,3) \uput[u](5.5,0){Partie enfouie} \uput[d](6,5){Partie visible}\uput[d](6,4.5){(calotte sphérique)} \rput(5.8,1.8){Sol} \psline{->}(4.4,0.4)(4,1.26)\psline{->}(5,4.6)(4.4,4.4) \uput[u](3,5){T}\uput[l](3,3){O}\uput[l](3,1.82){H}\uput[r](4.5,1.82){R} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer le volume en m$^3$ d'une boule de rayon 5~m. Donner l'arrondi à l'unité près. On rappelle la formule du \emph{volume d'une boule de rayon} $R$ :\fbox{$V_{\text{boule}} = \dfrac{4 \times \pi \times R^3}{3}$} \item En réalité, l'aquarium est implanté dans le sol. La partie supérieure (visible aux visiteurs) est une \og calotte sphérique \fg. La partie inférieure (enfouie) abrite les machines. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature géométrique de la section entre le plan horizontal du sol et l'aquarium (la partie grisée sur la figure) ? \item Le point O désigne le centre de la sphère. On donne les dimensions réelles suivantes : OH = 3 m ; RO = 5 m ; HR = 4 m, où H et R sont les points placés sur le sol comme sur la figure. Le triangle OHR est-il rectangle ? Justifier. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item T est un point de la sphère tel que les points T, O, H soient alignés comme sur la figure. Calculer la hauteur HT de la partie visible de l'aquarium. \item \emph{Le volume d'une calotte sphérique de rayon $5$ m est donné par la formule} : \fbox{$V_{\text{calotte}} = \dfrac{\pi \times h^2}{3}\times (15 - h)$} \emph{où $h$ désigne sa hauteur (correspondant à la longueur \emph{HT} sur la figure}). Calculer le volume en litres de cette calotte sphérique. \item Pour cette question, on prendra comme volume de l'aquarium \np{469000}~litres. Des pompes délivrent à débit constant de l'eau de mer pour remplir l'aquarium vide. En 2 heures de fonctionnement, les pompes réunies y injectent \np{14000}~litres d'eau de mer. Au bout de combien d'heures de fonctionnement, les pompes auront-elles rempli l'aquarium ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip Voici un extrait d'article trouvé dans une revue scientifique : \og Si l'Homme ne change pas son comportement de pollueur, il n'y aura plus aucun poisson à l'état sauvage dans les océans. \fg \medskip \begin{center} \psset{xunit=0.1cm,yunit=0.0085cm} \begin{pspicture}(0,-15)(104,935) \multido{\n=0+13}{9}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,935)} \multido{\n=0+85}{12}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(104,\n)} \pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,850)(13,830)(26,765)(39,680)(44,678)(45.5,680)(52,595)(65,525)(78,425)(91,170)(98,0) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=1950,Dx=26,Dy=170](0,0)(104,935) \rput(110,25){Années}\uput[u](21,935){Nombre d'espèces de poissons de pêche} \end{pspicture} \end{center} Le graphique ci-dessus donne la courbe représentative d'une fonction $f$ qui prévoit l'évolution des espèces restantes de poissons trouvées en mer. \medskip \begin{enumerate} \item D'après le graphique : \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre d'espèces restantes de poissons en 2028. \item En quelle année restait-il $595$ espèces de poissons ? \item Donner une estimation de l'année de disparition prévue de toutes les espèces de poissons de pêche. \end{enumerate} \item La biologiste de l'Aquarium du Pacifique aménage une salle dédiée à trois espèces de petits poissons notées A, B et C. Voici le tableau donnant le nombre de poissons de chaque espèce dont elle dispose : \medskip \renewcommand\arraystretch{1.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Espèce de petits poissons&A &B &C \\ \hline Effectif& 154& 105& 126 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le PGCD des nombres 154 et 105, par l'algorithme de votre choix et en détaillant les étapes. \item Combien faudrait-il de bassins \textbf{au minimum} pour qu'ils contiennent exactement le même nombre de poissons de chacune des espèces A, B et C ? \item Donner pour chaque espèce, le nombre de poissons qu'il y aurait alors dans un bassin. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle--Calédonie mars 2012 \end{document}