\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet}, pdftitle = {Antilles-Guyane septembre 1995}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small L'année 1995} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Antilles-Guyane} \lfoot{\small septembre 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles-Guyane septembre 1995 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{Activités numériques} \medskip \textbf{Exercice 1 } \medskip On considère l'expression $E(x) = 16 - (x - 1)^2$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la valeur de $E(x)$ pour $x = \dfrac13$, puis $x = \sqrt 7$. \item Factoriser $E(x)$. \item Résoudre l'équation $E(x) = 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip On s'intéresse au temps consacré à leurs petits déjeuners par les élèves des classes de 3C d'un collège. Les résultats sont donnés par le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Temps en minutes&Effectifs &Effectifs cumulés &Fréquences en \%\\ \hline 5 & 28 & &\\ \hline 8 & 73 & &\\ \hline 10 & 105 & &\\ \hline 15 & 14 & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer l'effectif total. \item Compléter le tableau. \item Représenter les fréquences à l'aide d'un diagramme circulaire. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip Après la remise d'un devoir, Théo demande à Flora et à Cécile leurs note respectives. Flora dit: \og La somme de nos deux notes est égale à 19.\fg Cécile ajoute: \og Avec 5 points de plus ma note serait le double de celle de Flora.\fg Quelles sont les notes de Flora et Cécile ? \bigskip \textbf{Activités géométriques} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{minipage}{0.56\linewidth}ABCDEFest un hexagone régulier de centre O. \medskip (Il n'est pas demandé de reproduire la figure.) \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.4\linewidth}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.3,-2.3)(2.3,2.3) \pspolygon(2;0)(2;60)(2;120)(2;180)(2;240)(2;300) \uput[l](2;180){A} \uput[ul](2;120){B} \uput[ur](2;60){C} \uput[r](2;0){D} \uput[dr](2;300){E} \uput[dl](2;240){F} \uput[d](0,0){O} \psline(2;0)(2;180) \psline(2;60)(2;240) \psline(2;120)(2;300) \end{pspicture} \end{minipage} \medskip $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{F\ldots}}$ $\vect{\text{BO}} + \vect{\text{OD}} = \ldots$ $\vect{\text{FA}} + \vect{\text{FE}} = \ldots$ D a pour image C par la rotation de centre \ldots{} et d'angle \ldots A a pour image \ldots{} par la translation de vecteur $\vect{\text{CD}}$. \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Construire deux demi-droites [O$x$) et [O$y$) de même origine O. Sur[O$x$)placer les points A et B tels que : OA $= 4$ cm et OB $= 6$ cm Sur [O$y$) placer les points C et D tels que : OC $= 5$ cm et OD $= 7,5$ cm. \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles. \item En déduire que le triangle OBD est un agrandissement du triangle OAC. On précisera le coefficient d'agrandissement. \item Quel est le quotient de leurs aires : $\dfrac{\text{aire (OBD) }}{\text{aire (OAC)}}$ ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{minipage}{0.68\linewidth} Sur la figure ci-contre, les dimensions ne sont pas respectées. \medskip BC $= 3$~cm ; $\widehat{\text{ABC}} = 60\degres$. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.3\linewidth} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(3,3.4) \pspolygon(0.3,0.3)(1.6,0.3)(0.3,2.55)%ABC \psframe(0.3,0.3)(0.55,0.55) \psarc(1.6,0.3){0.4}{120}{180} \uput[l](0.3,0.3){A} \uput[r](1.6,0.3){B} \uput[u](0.3,2.55){C} \rput(1.,0.7){$60\degres$} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la hauteur et le rayon de la base du cône de révolution obtenu en faisant tourner le triangle ABC autour de la droite (AC). \item Calculer l'aire de la base du cône puis le volume du cône. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Problème} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un triangle ABC tel que : AB $= 6$~cm, BC $= 8$~cm et AC $= 4$~cm. Soit M un point de [AB].On pose AM $= x$ (en cm). Ainsi, on a : $0 \leqslant x \leqslant 6$. La parallèle à (BC) passant par M coupe [AC) en N. \begin{enumerate} \item Montrer que AN $= \dfrac23 x$ et que MN $= \dfrac43 x$. \item Soit $P_1$ le périmètre du triangle AMN. Montrer que $P_1 = 3x$. \end{enumerate} \item La parallèle à (AB) passant par N coupe [BC] en P. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère MNPB ? \item Exprimer MB en fonction de $x$. \item Soit $P_2$ le périmètre du quadrilatère MNPB, montrer que \[P_2 = -\dfrac13 x + 18.\] \end{enumerate} \item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $P_1 = P_2$ ? Quelle est alors la valeur commune des deux périmètres ? \item Représenter graphiquement les périmètres $P_1$ et $P_2$ en fonction de $x$ dans un même repère orthogonal. On prendra les unités suivantes: \begin{itemize} \item en abscisse : 2 cm représente une unité ; \item en ordonnée : 0,5 cm représente une unité. \end{itemize} \item Le graphique permet-il de retrouver les résultats de la question 3 ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{document}