\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{colortbl} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small juin 1997} \lfoot{\small Afrique 1} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Afrique 1\footnote{Cameroun, Mauritanie, République centreafricaine, Togo, Zaïre} juin 1997 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE NUMÉRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Écrire le nombre $A$ suivant sous la forme d'une fraction la plus simple possible: \[A = \left(\dfrac76 - \dfrac34\right) : \dfrac23.\] \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Soit $a = 5 + \sqrt 7$ et $b = 5 - \sqrt 7$. Calculer sous la forme la plus simple possible : $a^2\, ; b^2\, ; ab$. \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Factoriser $B = (3x +1)^2 - (x +5)(3x +1)$. \item Résoudre l'équation $(3x + 1)(2x - 4) = 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 4} \medskip On considère que la distance du Soleil à la Terre est $150$ millions de kilo- mètres. En considérant que la vitesse de la lumière est de 300 000 km/s, combien de temps (en secondes) la lumière met-elle pour nous parvenir du Soleil ? \medskip \textbf{Exercice 5} \medskip À la boulangerie, un client achète 1 pain et 4 baguettes. Il paie 20 francs. Un autre client achète 3 pains et 2 baguettes. Il paie 23 francs . Calculer le prix d'un pain et celui d'une baguette. \bigskip \textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal (0, I, J) ; l'unité de longueur est le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points suivants: A$(-2~;~3)$;\quad B(3~;~2) ;\quad C$(4~;~-3)$ ;\quad D$(-1~;~-2)$. \item Donner, sans justification, les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{BC}}$. \item Calculer les distances AB et BC (on donnera les valeurs exactes). \item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{minipage}{0.6\linewidth} BCDEFGH est un cube d'arête 6 cm. On note I le milieu de l'arête [FG]. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le volume, exprimé en cm$^3$, de la pyramide BFEI. \item Calculer la valeur approchée arrondie au degré de l'angle $\widehat{\text{FEI}}$. \item Démontrer que IE $= 3\sqrt 5$ cm. \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.36\linewidth} \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(3.6,3.7) \psframe(0.3,0.3)(2.3,2.3)%GFBC \psline(2.3,0.3)(3.3,1.3)(3.3,3.3)(2.3,2.3)%FEAB \psline(3.3,3.3)(1.3,3.3)(0.3,2.3)%ADC \psline(1.3,0.3)(2.3,2.3)(3.3,1.3)%IBE \psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.3,1.3)(3.3,1.3)%GHE \psline[linestyle=dashed](1.3,1.3)(1.3,3.3)%HD \uput[u](3.3,3.3){A}\uput[u](2.3,2.3){B} \uput[l](0.3,2.3){C} \uput[u](1.3,3.3){D}\uput[dr](3.3,1.3){E} \uput[d](2.3,0.3){F} \uput[dl](0.3,0.3){G} \uput[l](1.3,1.3){H} \uput[d](1.3,0.3){I} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \emph{Sur le dessin ci-dessus, les dimensions ne sont pas respectées.} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip \emph{Pour cet exercice, on utilisera le dessin ci-dessous que l'on complétera.} \begin{center} \psset{unit=5mm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(-10,-8)(9,7) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\pspolygon(-4,1)(-7,1)(-7,-4)(-6,-4)(-6,-2)(-5,-2)(-5,-1)(-6,-1)(-6,0)(-4,0)} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt] \psline[linewidth=1.25pt](0,-8)(0,7)\uput[r](0,6.8){$\Delta$} \psline[linewidth=1.25pt]{->}(-3,3)(-7,5) \uput[ur](-3,3){A} \uput[ur](-7,5){B} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](-7,-6)\uput[dr](-7,-6){O} \end{pspicture} \end{center} Dessiner l'image de la lettre {\huge \og F \fg{} }: \begin{enumerate} \item Par la symétrie orthogonale d'axe $\Delta$ (on appelle $F_1$ cette figure). \item Par la symétrie de centre O (on appelle $F_2$ cette figure). \item Par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$ (on appelle $F_3$ cette figure). \item Par la rotation de centre O et d'angle $90\degres$ dans le sens des aiguille d'une montre (on appelle $F_4$ cette figure). On écrira les lettres $F_1, \, F_2,\, F_3, F_4$ sur le dessin. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PROBLÈME} \medskip \textbf{Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette partie, l'unité de longueur est le centimètre. t. \begin{enumerate} \item Construire un triangle ABC tel que: AB $= 6$ ;\quad AC $= 7,5$ ;\quad BC $= 4,5$. \item Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Soit M un point quelconque du côté [AB]. On prend M différent de A et de B et on pose AM = $x\, (0 < x < 6)$. La parallèle à la droite (BC)passant par M coupe le côté [AC] en N. Exprimer en fonction de $x$ chacune des longueurs suivantes : AN , MN, MB et NC. \item Soit $P_1$ le périmètre du triangle AMN et $P_2$ le périmètre du quadrilatère MNCB. \begin{enumerate} \item Démontrer que: $P_1 = 3x$ et $P_2 = 18 - 1,5x$. \item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $P_1 = P_2$ ? Calculer alors la valeur prise par PI' \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthogonal ; on prend comme unités : 1 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées. \medskip \begin{enumerate} \item Tracer la droite $D_1$ d'équation $y = 3x$ et la droite $D_2$ d'équation $y = 18 - 1,5x$ (aucune justification n'est demandée). \item Faire apparaître en pointillés sur le graphique les tracés qui permettent de retrouver les résultats de la question I. 3. b. \item En utilisant le graphique, trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles on a : $P_1 > P_2$. \end{enumerate} \end{document}