\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Afrique 1 juin 1995},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 1995}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Afrique 1}
\lfoot{\small juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Afrique 1 juin 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 2 points}

\medskip

Ecrire chacun des nombres suivants sous la forme $a \sqrt b$ où $a$ et $b$ sont
des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible : 

\[\sqrt{50}\quad ;\quad \sqrt{72}\quad;\quad \sqrt{50} + \sqrt{72}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

Développer et réduire chacune des expressions suivantes : 

\[A = (8 - 5x)^2 \quad ;\quad B = 4x(3x - 1) -(3x - 7)(5 - 3x).\]

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 3 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser : $E = (25 + 6 x)^2 - 49$.
\item Résoudre l'équation : $12(3x + 16)(x + 3) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 3 points}

\medskip

Les économies d'Olivier sont égales aux trois quarts de celles de Thomas. 

En réunissant leurs économies, il leur manque encore $75$ F pour s'offrir un cerf-volant à $495$~F.

Trouver le montant des économies de chacun d'eux.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 : \hfill 5 points}

\medskip

La figure concernant cet exercice se fera sur feuille millimétrée.

L'unité de longueur est le centimètre et le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(- 3~;~5)$ ; B$(6 ~;~- 1)$ ; C(10~;~5).
\item Voici une liste d'équations de droites : 

$y = 3x - \dfrac23 ; y = \dfrac23 x + 3 ; y = - \dfrac32 x + 3 ; y =  \dfrac23x + 3 ; y  = - \dfrac32 x - 3$.

Indiquer celle qui est une équation de la droite (AB) (on ne demande pas de justifier).
\item Quel est le coefficient directeur de la droite (BC) ? (on ne demande pas de justifier).

En déduire que le triangle ABC est rectangle en B.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 : \hfill 3 points}

\medskip

La figure ci-dessous représente un triangle SET isocèle en E, et la hauteur [SH] issue de S.

On ne demande pas de refaire la figure.

On sait que les segments [ES] et [ET] mesurent 12 cm et que l'aire du triangle SET est 42 cm$^2$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.4)(6.5,5)
\pspolygon(0;0)(6.5;0)(6.5;36)%ETS
\psline(6.5;36)(5.3,0)%SH
\psframe(5.3,0)(5.1,0.2)
\uput[l](0;0){E} \uput[r](6.5;0){T} \uput[u](6.5;36){S} \uput[d](5.2,0){H} \uput[l](5.2,1.9){$h$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la mesure $h$ du segment [SH] est égale à $7$ cm.
\item Calculer la valeur arrondie au millimètre près de la longueur EH.
\item Calculer la mesure arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{SET}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 : \hfill 3 points}

\medskip

On considère un parallélogramme ABCD dans lequel on connaît : 

AB = 6 cm,\quad BC = 9 cm,\quad AC = 12 cm.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(9.6,6.2)
\pspolygon(1.4,0.4)(9.4,0.4)(8,5.6)(0,5.6)(9.4,0.4)(1.4,0.4)(0,5.6)%BCDAC
\uput[ul](0,5.6){A} \uput[dl](1.4,0.4){B} \uput[dr](9.4,0.4){C} \uput[ur](8,5.6){D}
\uput[d](5.4,0.4){9} \uput[l](0.7,3){6} \uput[ur](4.7,3){12}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On note V le point du segment [AB] tel que AV $= 4$ cm.

La parallèle à (BC) passant par V coupe (AC) en E.

Démontrer que le segment [AE] mesure $8$ cm.
\item R est le point du segment [AD] tel que AR $= 6$ cm.

Démontrer que les droites (ER) et (CD) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}Dans tout ce problème, l'unité de longueur est le centimètre.

La figure ci-contre (qu'on ne demande pas de reproduire) représente un pavé droit ABCDEFGH.

Le milieu de l'arête [BC] est I et le milieu de l'arête [BF] est J. On note M un point quelconque sur l'arête [AB].
On connaît :

DC = 12 ;

AD = 6 ;

AE = 8.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(9,11.8)
\psframe(0.4,0.4)(6.2,9.1)%CGHD
\psline(6.2,0.4)(8.4,2.6)(8.4,11.3)(6.2,9.1)%GFEH
\psline(8.4,11.3)(2.6,11.3)(0.4,9.1)%EAD
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(2.6,2.6)(8.4,2.6)%CBF
\psline[linestyle=dashed](2.6,11.3)(2.6,2.6)%AB
\pspolygon[linestyle=dashed](0.4,0.4)(8.4,2.6)(2.6,11.3)%CFAC
\pspolygon[linestyle=dashed](1.5,1.5)(5.5,2.6)(2.6,8.5)%IJM
\uput[u](2.6,11.3){A} \uput[ur](2.6,2.6){B} \uput[dl](0.4,0.4){C} \uput[l](0.4,9.1){D}
\uput[u](8.4,11.3){E} \uput[r](8.4,2.6){F} \uput[d](6.2,0.4){G} \uput[ul](6.2,9.1){H}
\uput[l](1.5,1.5){I} \uput[ur](5.5,2.6){J} \uput[r](2.6,8.5){M} \uput[r](2.6,9.9){$x$}
\uput[u](5.5,11.3){8} \uput[ul](1.5,10.2){6} \uput[l](0.4,4.75){12}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'aire du triangle rectangle ABC est $36$ cm$^2$.
		\item Démontrer que le volume de la pyramide ABCF est $96$ cm$^2$.
	\end{enumerate}
\item Le point M peut prendre n'importe quelle position sur le segment [AB]. On note $x$ la longueur AM.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?
		\item Exprimer, en fonction de x , la longueur BM.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $A(x)$ l'aire, exprimée en cm$^2$, du triangle BIM.

Démontrer que $A(x)=- \dfrac32 x +18$.
		\item On veut représenter graphiquement les variations de l’aire $A(x)$ lorsque la longueur AM varie entre $0$ et $12$.
		
Dessiner, sur papier millimétré, deux axes perpendiculaires. Sur l'axe des abscisses 1 cm représente 1 cm, et sur l'axe des ordonnées 1 cm représente 1 cm$^2$.

Représenter graphiquement la fonction affine qui, à tout nombre x compris entre 0 et 12 fait correspondre $- \dfrac32 x + 18$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Trouver graphiquement la longueur AM telle que l'aire $A(x)$ du triangle BIM soit égale à $4,5$ cm$^2$. 
		
Faire apparaître sur le graphique la méthode utilisée.
		\item Trouver, à l'aide d'une équation, la longueur AM telle que l'aire du triangle ABC soit égale à 4 fois celle du triangle BIM.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}