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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 1995}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Afrique 2}
\lfoot{\small juin 1995}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Afrique 2 juin 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte des nombres suivants (on donnera le résultat sous forme de fraction irréductible) :

\[A = - \dfrac43 + \dfrac12 \times  \dfrac34 \quad;\quad B = \dfrac27 - \dfrac{3}{14} + 1.\]

\item Écrire les nombres suivants sous la forme $p + q \sqrt 7$ où $p$ et $q$ sont des
entiers relatifs :

\[C= \sqrt{49} + \sqrt{28} + \sqrt{63}\quad  ;\quad  D = (2 \sqrt{7} + 1)^2 - (\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} +1).\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

On donne l'expression $E = (2x +7)^2 -(2x + 7)(x - 1).$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(2x + 7)(x + 8) =0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 2 points}

\medskip

Un vaisseau spatial a mis 20 ans pour faire le voyage planète $X$--Terre.

Sachant que la planète $X$ est située à 4,5 années-lumière de la Terre et qu'une année-lumière est égale à $9,5 \times 10^{12}$ km, calculer la vitesse moyenne de ce vaisseau spatial exprimée en km par an. (Donner l'écriture scientifique du résultat.)

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 3 points}

\medskip

Deux frères veulent acheter un lecteur de disques compacts.

L'un d'eux possède les $\dfrac45$ du prix de ce lecteur tandis que l'autre en
possède les $\dfrac23$.

Ils mettent leurs économies en commun pour acheter ce lecteur.

Il leur reste alors $490$ F{}. Quel est le prix de l'appareil ?

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer trois points A, D et C non alignés et construire le point B tel
que $\vect{\text{DB}} = \vect{\text{DA}} + \vect{\text{AC}}$.
\item La parallèle à (AC) passant par B coupe (AD) en E et (DC) en F.

Démontrer que AC = EB et que AC = BF{}.

En déduire que B est le milieu de [EF].
\item On note O le point d'intersection des diagonales du parallélogramme ABCD et O$'$ son symétrique par rapport à B.

Démontrer que EO$' =$ OF{}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Dans un triangle ABC tel que BC $= 6$~cm, M est le milieu du segment [BC].

On désigne par P le point du segment [BC] tel que BP $= 2$~cm.

La parallèle à (AC) passant par P coupe (AM) en Q et (AB) en R.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\dfrac{\text{RP}}{\text{AC}} = \dfrac13$ puis que $\dfrac{\text{PQ}}{\text{AC}} = \dfrac13$.
\item En déduire que P est le milieu du segment [RQ].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ $= 1$ cm, on considère les points 

\[\text{A}(1~;~- 2), \quad \text{B}(2~;~1),\quad \text{C}(5~;~0).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure.
\item Quelle est l'équation de la droite (AB) ?
\item Quelle est l'équation de la droite $\Delta$ perpendiculaire à (AB) passant par C ?

Démontrer que la droite $\Delta$ passe par B.
\item Calculer les distances AB et BC.

En déduire la nature du triangle ABC.
\item On appelle $\mathcal{C}$ le cercle circonscrit au triangle ABC. Calculer les
coordonnées de son centre K et son rayon $r$.
\item Le point D est tel que AC = BD.

Construire D et calculer ses coordonnées.

Démontrer que la droite (BD) est tangente au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}