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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 1995}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Afrique 3}
\lfoot{\small juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Afrique 3 juin 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les nombres 

\[A = \left(\dfrac13 + \dfrac15\right)^2, \quad B = \left(\dfrac13\right)^2 + \left(\dfrac15\right)^2 \quad \text{et}\ A - B\]

Donner les résultats sous forme fractionnaire. 

Vérifier que $A - B = \dfrac{2}{15}$.
\item Écrire le nombre C$ = 3 \sqrt{75} + 2 \sqrt 3 - 2 \sqrt{48}$ sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

On donne $E = x^2 + 2x - 3$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $x = -3$ est solution de l'équation $E = 0$.
\item Vérifier que: $E = (x + 3)(x - 1)$ et résoudre l’équation $E = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

$F = (2 x -5)^2 - (3 x +1)^2$.

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Après avoir remarqué que $F$ est du modèle $a^2 - b^2$, écrire $F$ sous la forme d’un produit de deux facteurs.
\item Calculer $F$ lorsque $x = -1$, puis lorsque $x = 10^{-2}$.
\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $(5 x - 4)(- x - 6) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 2 points}

\medskip

Dans un triangle ABC, l’angle $\widehat{\text{A}}$ est la moitié de l’angle $\widehat{\text{B}}$ . L’angle $\widehat{\text{B}}$ est le tiers de l’angle $\widehat{\text{C}}$.

Quelle est la mesure en degrés de l’angle $\widehat{\text{A}}$ ?

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Le triangle ABC, rectangle en A, est représenté sur la figure 1.

Ce triangle fait un tour complet autour de la droite (AC).

Le résultat de ce déplacement est représenté sur la figure 2.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11.6,6.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,1.6)(3.5,1.6)(0.5,5.6)%ABC
\psframe(0.5,1.6)(0.75,1.85)
\uput[l](0.5,1.6){A} \uput[r](3.5,1.6){B} \uput[l](0.5,5.6){C}

\pspolygon(8,1.6)(11,1.6)(8,5.6)%ABC
\psframe(8,1.6)(8.25,1.85)
\uput[l](8,1.6){A} \uput[r](11,1.6){B} \uput[l](8,5.6){C}
\psellipse[fillstyle=vlines](8,1.6)(3,0.95)
\psline(8,5.6)(5,1.6)
\psline(8,5.6)(6.6,0.8)
\rput(2,0.2){Figure 1}\rput(8,0.2){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}

On donne : AB $= 6$ cm ;\quad  AC $= 8$ cm ;\quad BC $= 10$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le point B décrit un cercle : préciser son centre et son rayon.
		\item Calculer la longueur de ce cercle, arrondie à 0,1 cm près.
	\end{enumerate}	
\item Le segment [AB] engendre un disque.
Calculer l'aire, arrondie au cm$^2$, de ce disque.
\item Le solide engendré par le triangle ABC est un cône de sommet C.

Donner la valeur approchée au cm$^3$ près par défaut de son volume.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

ABCD est un rectangle de centre O.

I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].

AIOL, LOKD, IBJO, OJCK sont alors des rectangles et O le milieu des segments [LJ] et [IK].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.6,-2.2)(3.6,2.2)
\psframe(-3.4,-1.6)(3.4,1.6)%DCBA
\pspolygon(0,-1.6)(3.4,0)(0,1.6)(-3.4,0)%KJIL
\psline(0,-1.6)(0,1.6)%IK
\psline(3.4,0)(-3.4,0)%JL
\uput[ul](-3.6,1.6){A} \uput[ur](3.6,1.6){B} \uput[dr](3.6,-1.6){C}
\uput[dl](-3.6,-1.6){D} \uput[u](0,1.6){I} \uput[r](3.6,0){J}
\uput[d](0,-1.6){K} \uput[l](-3.6,0){L} \uput[ur](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le transformé du triangle AIL par la symétrie d'axe (IK) ? 
		\item Quel est le transformé du triangle AIL par la symétrie de centre O ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Établir les égalités vectorielles : $\vect{\text{AL}} = \vect{\text{IO}}$ ; $\vect{\text{LO}} = \vect{\text{OJ}}$.

En déduire : $\vect{\text{IJ}} = \vect{\text{AO}}$.
		\item Établir les égalités vectorielles : $\vect{\text{AL}} = \vect{\text{LD}}$ ; $\vect{\text{LO}} = \vect{\text{DK}}$.

En déduire: $\vect{\text{AO}} = \vect{\text{LK}}$.
		\item Quel est le transformé du triangle AIL dans la translation de vecteur $\vect{\text{IJ}}$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

%%fig
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
Voici, représenté en perspective cavalière, un parallélépipède rectangle ou pavé droit ABCEFGH.

La face ABCD est un carré de 3 cm de côté. 

On donne HD = 6 cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.2,10.1)
\psframe(1.5,0.3)(5,7.1)%EHDA
\psline(1.5,0.3)(0.3,2.6)(0.3,9.4)(1.5,7.1)%EFBA
\psline(0.3,9.4)(3.8,9.4)(5,7.1)%BCD
\pspolygon(1.5,0.3)(0.3,9.4)(5,7.1)%EBD
\psline[linestyle=dashed](5,0.3)(3.8,2.6)(3.8,9.4)(1.5,0.3)%HGCE
\psline[linestyle=dashed](0.3,2.6)(3.8,2.6)%FG
\uput[l](1.5,7.1){A} \uput[ul](0.3,9.4){B} \uput[ur](3.8,9.4){C} \uput[r](5,7.1){D}
\uput[dl](1.5,0.3){E} \uput[l](0.3,2.6){F} \uput[dl](3.8,2.6){G} \uput[dr](5,0.3){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les longueurs des segments [BD] et [DE].

On donnera les valeurs exactes de ces mesures.
\item Le triangle EDC est rectangle en D. Calculer la longueur exacte de son hypoténuse.
\item On considère la pyramide de sommet E et de base ABCD et de hauteur EA.

Montrer que son volume est 18 cm$^3$.
\item Compléter le patron de la pyramide EABCD représenté à la fin du problème.
\item On fabrique cette pyramide à partir du pavé droit.

Quel est le volume perdu au cours de cette opération ?
\item La pyramide ainsi obtenue est une maquette à l'échelle 1/50 d'une pyramide réelle.

Calculer la hauteur, l'aire de la base et le volume de la pyramide réelle.

\newpage
Voici l'ébauche d'un patron de la pyramide EABCD.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,8.5)
%\psgrid
\pspolygon(5.5,5.6)(5.5,8.4)(0,5.6)
\pspolygon(5.5,5.6)(8.3,5.6)(5.5,0)
\psframe(5.5,5.6)(8.3,8.4)
\uput[d](2.75,5.6){6 cm}\uput[u](7,5.6){3 cm}
\uput[l](5.6,7){3 cm}\uput[l](5.5,2.8){6 cm}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}