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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small L'année 1999}
\lfoot{\small{juin 1999}}
\rfoot{\small{Afrique du Nord}}
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\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Afrique du Nord juin 1999 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1} :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver par des calculs que \np{0,0004} est une écriture décimale du nombre :

\[A = \dfrac{36 \times 10^3 \times 10^{-5}}{ 9  \times 10^2}\]

\item On donne : $B = \sqrt{75} - \sqrt{12}$.

\smallskip

Écrire le nombre $B$ sous la forme $a \sqrt 3$, où $a$ est un nombre entier.
\item On donne : $C = \dfrac57 + \dfrac27 : \dfrac34$.

 Prouver par des calculs que $1 + \dfrac{2}{21}$ 
est aussi une écriture du nombre $C$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 2} :

\medskip

Soit $D$ l'expression définie par : $D = (x - 3)^2 + x(x + 5)$.

 Développer et réduire l'expression $D$.

\bigskip

\textbf{Exercice 3} :

\medskip

Soit $E$ l'expression définie par : $E = 9 - x^2$.

Factoriser l'expression $E$.

\bigskip

\textbf{Exercice 4} :

\medskip

Un commerçant fait une réduction de 20\,\% sur tous ses articles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une veste valait $300$ francs. Quel est son prix après réduction ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x$ le prix d'un article avant réduction, et soit $y$ le prix du même article après réduction.
		
Exprimer $y$ en fonction de $x$.
		\item Un article vaut $188$ francs après réduction. Quel était son prix avant réduction ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5} :

\medskip

\begin{minipage}{0.54\linewidth}
ABCD est un rectangle. AB = 5~cm, AD = 4~cm.

E est le point de [AB] tel que : AE = 1~cm.

F est un point de [BC].

On note $x$ la longueur BF exprimée en centimètres.
\end{minipage}
\hfill \begin{minipage}{0.44\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,5)
\psframe(0.3,0.3)(5.3,4.3)%DCBA
\pspolygon(0.3,0.3)(1.3,4.3)(5.3,3.1)%DEF
\uput[r](5.3,3.7){$x$}
\uput[ul](0.3,4.3){A} \uput[ur](5.3,4.3){B} \uput[dr](5.3,0.3){C}
\uput[dl](0.3,0.3){D} \uput[u](1.3,4.3){E} \uput[r](5.3,3.1){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle AED.
		\item Exprimer l'aire du triangle EBF en fonction de $x$.
		\item Exprimer l'aire du triangle DFC en fonction de $x$.
		\item Démontrer que l'aire du triangle EDF, exprimée en cm$^2$, est
$8 + 0,5x$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation : $8 + 0,5x = 9,5$.
\item Sur la figure ci-après, placer le point F de [BC] tel que l'aire du triangle EDF soit $9,5 ~$cm$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }:

\medskip

\begin{minipage}{0.62\linewidth}
ABCD est un carré.

E est le point de [AD] tel que AE $= \dfrac13$ AD.

F est le point de [AB] tel que AF $= \dfrac13$AB.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que : $\widehat{\text{AEF}} = 45\degres$.
\item Démontrer que les droites (EF) et (DB) sont parallèles.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par quel nombre doit-on multiplier la longueur BD pour obtenir la longueur EF ? Justifier la réponse donnée.
		\item Par quel nombre doit-on multiplier l'aire du triangle ABD pour obtenir l'aire du triangle AEF ? Justifier la réponse donnée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.6,4.6)
\psframe(0.3,0.3)(4.5,4.5)
\psline(0.3,0.3)(4.5,4.5)%DB
\psline(0.3,2.9)(1.9,4.5)%EF
\uput[ul](0.3,4.3){A} \uput[ur](4.5,4.3){B} \uput[dr](4.5,0.3){C}
\uput[dl](0.3,0.3){D} \uput[l](0.3,2.9){E} \uput[u](1.9,4.5){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}:

\medskip

\begin{minipage}{0.57\linewidth}La pyramide SABCD représentée sur la figure ci-contre : 

\begin{itemize}
\item a pour base ABCD, carré de 3~centimètres de côté;
\item a pour hauteur [AS] et AS $= 4$~cm.
\end{itemize}
On admettra que :
\begin{itemize}
\item les faces SAB et SAD sont des triangles rectangles en A ;
\item la face SDC est un triangle rectangle en D.
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,5)
%\psgrid
\psline(0.3,4.8)(0.3,0.3)(3.3,0.3)(4.8,1.1)(0.3,4.8)(3.3,0.3)%SABCSB
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.8,1.1)(0.3,4.8)%ADS
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.1)(4.8,1.1)%DC
\psframe(0.3,0.3)(0.5,0.5)\psline(1.7,1.3)(1.9,1.3)(2,1.1)
\psline(3.1,0.3)(3.35,0.42)(3.55,0.42)
\psline(4.6,1.1)(4.38,1)(4.5,1)\psline(0.55,0.42)(0.73,0.42)(0.5,0.3)
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](3.3,0.3){B} \uput[r](4.8,1.1){C} \uput[l](1.8,1.1){D} \uput[u](0.3,4.8){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sans faire de calculs, tracer avec précision un patron de la pyramide SABCD.
\item En utilisant le patron et en reportant à l'aide du compas les longueurs nécessaires, tracer en vraie grandeur le triangle SBD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 :}

\medskip

Sur le graphique ci-après, on a placé : (O, I, J) repère orthonormal,
A(3~;~4),  B(2~;~2),  C$(1~;~-2)$, E(2~;~0).

(D$_1$) est parallèle à (OJ) et passe par A,  (D$_2$) passe par les points O et B

(D$_3$) est parallèle à (OI) et passe par C, (D$_4$) passe par les points E et J.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-6,-4)(6,4)
\psline(-4,-4)(4,4)\psline(-6,4)(6,-2)
\psline(3,-4)(3,4)\psline(-6,-2)(6,-2)
\psdots(3,4)(1,-2)(2,0)(1,0)(0,1)(2,0)(2,2)
\uput[ur](-5,3.5){(D$_4$)}\uput[u](-5,-2){(D$_3$)}
\uput[dr](-3,-3){(D$_2$)}\uput[r](3,-3.5){(D$_1$)}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){I}\uput[ul](0,1){J}\uput[d](2,0){E}
\uput[r](3,4){A}\uput[d](1,-2){C}\uput[ul](2,2){B}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Lire sur le graphique et donner sans explications une équation de chacune des quatre droites (D$_1$), (D$_2$), (D$_3$), (D$_4$).

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans le repère orthonormal (O, I, J), on considère les points :

A$(-2~;~3)$, B$(1~;~-1)$, C(9~;~5), K$\left(\dfrac72~;~4\right)$

On admettra dans toute la suite du problème que : BC $= 10$, \,  AC $= 5\sqrt5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur du segment [AB].
		\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
		\item Démontrer que K est le milieu de [AC].
		\item Déduire des questions précédentes que : KC = KB.

	\end{enumerate}
\item Placer le point D image du point C par la translation de vecteur
$\vect{\text{KB}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le quadrilatère KCDB est un losange.
		\item Démontrer que les droites (KD) et (AB) sont parallèles.
		\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{KB}}$.
		\item Démontrer que les coordonnées du point D sont $\left(\dfrac{13}{2}~;~0\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit E le point d'intersection des droites (AB) et (CD).
Démontrer que D est le milieu du segment [EC].
\item Démontrer que l'aire du triangle AEC est le double de l'aire du losange KCDB.
\end{enumerate}
\end{document}