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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Afrique occidentale}
\lfoot{\small juin 1983}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Afrique occidentale juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, telles que

\begin{center}$f(x)= -3x +5$\quad  et \quad $g(x) = 2x-1.$\end{center}

\smallskip

\emph{Les quatre questions suivantes sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f\left(2\sqrt 3 -1\right)$, puis donner un encadrement au dixième près du résultat sachant que $1,732< \sqrt 3< 1,733$.
\item Résoudre, dans $\R$

\[[f(X)]^2 = [g(x)]^2 +5x(x - 2).\]

\item Soit $q$ la relation définie, dans $\R$, par

\[q(x)= \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

$q$ est-elle une application de $\R$ dans $\R$ ? 

Justifier la réponse.
\item Dans un plan rapporté à un repère orthonormé,
représenter graphiquement les applications $f$ et $g$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} on donne les points

\begin{center}A$(- 1~;~6)$, \quad B$(-1~;~1)$\quad et \quad C(3~;~3).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?
\item D est le point défini par $\vect{\text{AD}} = 2\vect{\text{AC}} - \vect{\text{BC}}$.

Quelles sont les coordonnées de D ? 

Démontrer que $\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{AD}}$ sont orthogonaux. 

En déduire la nature du quadrilatère ABDC.
\item Calculer le cosinus de $\widehat{\text{CAD}}$ à l'aide des tables ci-dessous, donner une valeur approchée à une unité par défaut de la mesure en degré de l'angle $\widehat{\text{CAD}}$. ($\sqrt 5$ a pour valeur approchée $2,236$.)
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
Rapports trigonométriques des angles aigus, de degré en degré

(* valeur approchée par excès)
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-5}
Degrés	&$\sin$			&$\tan$ &cotan &$\cos$&\multicolumn{1}{|c}{} \\ \hline
21		&\np{0,3584}*	&\np{0,3839}*	&2,605		&\np{0,9336}*&69 \\ \hline
22		&\np{0,3746}	&\np{0,4040}	&2,475		&\np{0,9272}*& 68 \\ \hline
23		&\np{0,3907}	&\np{0,4245}*	&2,356*		&\np{0,9205}&67 \\ \hline
24		&\np{0,4067}	&\np{0,4452}	&2,246		&\np{0,9135}&66 \\ \hline
25		&\np{0,4226}	&\np{0,4663} 	&2,145*		&\np{0,9063}&65 \\ \hline
26		&\np{0,4384}*	&\np{0,4877}	&2,050 		&\np{0,8988}*&64 \\ \hline
27		&\np{0,4540}* 	&\np{0,5095}	&1,963*		&\np{0,8910}&63 \\ \hline
28		&\np{0,4695}*	&\np{0,5317}	& 1,881*	&\np{0,8829}&62 \\ \hline
29		&\np{0,4848}	&\np{0,5543}	&1,804		&\np{0,8746}&61 \\ \hline
30		&0,5			&\np{0,5774}*	&1,732		&\np{0,8660}&60 \\ \hline
\multicolumn{1}{c|}{}&$\cos$	&cotan		&$\tan$			&$\sin$		&Degrés\\ \cline{2-6}
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}