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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1997}
\rfoot{\small Aix--Marseille--Toulouse}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Aix--Marseille--Toulouse juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner la valeur exacte la plus simple des nombres suivants :

\medskip

$A = 36 - 6 \times 4$ \qquad $B = 4\sqrt{75} - 5\sqrt 3$ 

$C = \dfrac{10+5}{10 - 5}$ \qquad $D = \left(2\sqrt 3 - 5\right)\left(2\sqrt 3 + 5\right)$

$E = \sqrt{100} - 64$ \qquad $F = \left(4 - \dfrac23 \right)\left(2 - \dfrac43 \right)$.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $E = (3x -5)^2 - (3x - 5)(x + 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Calculer $E$ pour $x= 2$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation : $(3x - 5)(2x - 7) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Au théâtre, le prix normal d'un billet d'entrée est de $120$~F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Certains spectateurs peuvent bénéficier d'une réduction de 20\,\%. 

Combien paient-ils leur entrée ?
\item Un groupe de 25 personnes va au théâtre, certaines parmi elles paient $120$ F et d'autres $96$~F{}.

Sachant que pour les 25 entrées le groupe a payé \np{2784} F, trouver le nombre de billets à $120$ F et le nombre de billets à $96$ F vendus à ce groupe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (unité : 1 cm).

On donne la droite (D) d'équation $y = 2x - 1$, le point A de
coordonnées (2~;~3) et le point B de coordonnées (0~;~5).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A et B.
\item Montrer que le point A est sur la droite (D).
\item Construire la droite (D).
\item Calculer :

\begin{itemize}
\item les coordonnées du milieu I de [AB] ;
\item la distance AB ;
\item les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\end{itemize}
\item $(\Delta)$ est une droite perpendiculaire à (D). Quel est son coefficient directeur ?
\item $(\Delta)$ est la droite perpendiculaire à (D) qui passe par le point B ; tracer la droite $(\Delta)$ et, sans calcul, donner une équation de $(\Delta)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5, BC = 9, l'unité étant le cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC en vraie grandeur.
\item Calculer la valeur exacte de AC.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ à un degré près par défaut.
\item Le cercle de centre B et de rayon AB coupe le segment [BC] en M. La parallèle à la droite (AC) qui passe par M coupe le segment [AB] en N.

\begin{itemize}
\item Compléter la figure.
\item Calculer la valeur exacte de BN.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans tout le problème, l’unité est le mètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un moulin à vent est constitué d'un cylindre surmonté d'un cône de révolution (figure 1).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(-1.2,-4)(2,3)
\psellipticarc(0,0)(1.2,0.6){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.2,0.6){0}{180}
\psellipticarc(0,-3)(1.2,0.6){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-3)(1.2,0.6){0}{180}
\psline(-1.2,-3)(-1.2,0)(0,3)(1.2,0)(1.2,-3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,0)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(-1.2,0)(0,0) \uput[u](-0.6,0){$R$}
\uput[dr](0,0){O}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.5,-3)(1.5,0)\uput[r](1.5,-1.5){$h$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.5,0)(1.5,3)\uput[r](1.5,1.5){$h$}
\rput(0,-4){figure 1}
\end{pspicture}
\end{center}

 Le cylindre et le cône ont la même hauteur et une base commune de centre O et de rayon $R$.

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le volume du cylindre et du cône en fonction de $R$ et de $h$.
		\item En déduire que le volume du moulin est égal à
$\dfrac{4\pi R^2 h}{3}$.
		\item On donne $R = 3$ et $h = 5$.
		
Calculer la valeur arrondie à 1m$^3$ près de ce volume.
	\end{enumerate}
\item Les ailes du moulin sont représentées par la région des arrondis de la figure 2.

ABCD est un carré de centre O et de 12 mètres de côté.

Les triangles OMN, OPQ, ORS et OUT sont isocèles en O.

On pose MN $= x$.
	\begin{enumerate}
	\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du triangle OMN. En déduire que l'aire des ailes du moulin est égale à $144 - 12 x$.
	\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire des ailes est égale à 36 m$^2$.
	\item On suppose que $x = 9$.
\begin{itemize}
\item Calculer OM.
\item Montrer que le périmètre des ailes du moulin est égal à $72$ m.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $x = 9$.

On a réalisé une maquette de ce moulin au 1/20.

Calculer :
	\begin{enumerate}
		\item le périmètre des ailes de la maquette;
		\item l'aire des ailes de la maquette;
		\item le volume de la maquette du moulin (on utilisera le résultat du
1. c. et on donnera la réponse en m$^3$ arrondie au millième).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(-4,-4.5)(3.5,4)
\def\aile{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.5,3.5)(3.5,3.5)(3.5,1.5)\psline(2.4,3.6)(2.2,3.4)\psline(2.5,3.6)(2.3,3.4)
\psline(3.6,2.6)(3.4,2.4)\psline(3.6,2.5)(3.4,2.3)}
\multido{\n=0+90}{4}{\rput{\n}(0,0){\aile}}
\psframe[linestyle=dashed](-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\psline[linestyle=dashed](-3.5,0)
\uput[d](0,0){O}
\uput[ul](-3.5,3.5){A} \uput[ur](3.5,3.5){B} \uput[d](-1.5,-3.5){U}\uput[dr](3.5,-3.5){C}
\uput[dl](-3.5,-3.5){D} \uput[l](-3.5,0){H} \uput[l](-3.5,-1.5){M}
\uput[l](-3.5,1.5){N} \uput[u](-1.5,3.5){P} \uput[u](1.5,3.5){Q}
\uput[r](3.5,1.5){R} \uput[r](3.5,-1.5){S} \uput[d](1.5,-3.5){T}
\rput(0,-4){figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}