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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Aix-en-Provence}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Aix-en-Provence~\decofourright\\[4pt] juin 1971}}\\[6pt]

Session normale

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

On donne les deux polynômes suivants :

\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (2x + 3)^2 + 4(2x + 3) + 4x^2 - 9 ;\\
B(x) &=& (3x + 2)^2 - (x - 1)^2.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les opérations indiquées, réduire et ordonner
suivant les puissances décroissantes de $x$, chacun de ces polynômes.
\item Factoriser $A(x)$ et $B(x)$.
\item Soit la fraction rationnelle $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Pour quelles valeurs de $x$,\: $F(x)$ est-elle définie ?

Simplifier $F(x)$.

Calculer sa valeur numérique pour $x = 0$, pour $x = -1$.
\item Existe-t-il une valeur numérique de $x$ telle que $F(x) = 0,4$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

Soit D un point du côté [A$x)$ et B un point  du côté [A$y)$ d'un angle droit 
$\widehat{x\text{A}y}$, tels que AD $= 5$~cm et  AB $= 10$~cm.

La bissectrice intérieur de $\widehat{x\text{A}y}$ coupe (BD) en I et la parallèle à (AI) menée par D  coupe la droite (AB) en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier la nature du triangle AMD.

Calculer la valeur numérique du rapport $\dfrac{\text{ID}}{\text{IB}}$ ainsi que la mesure  MD à 0,01~cm près.
\item Calculer à 0,01~cm près les mesures BD, ID, IB, AI.
\item Démontrer que le cercle de centre I tangent en L à (AB) est aussi tangent en K à (AD).

Calculer le rayon de ce cercle à 0,01~cm près ainsi que les mesures  MN et NK, N étant le point où (MK) recoupe le cercle de centre I, de rayon [IL] ou [IK].
\end{enumerate}
\end{document}