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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Aix-Marseille}
\lfoot{\small février 1960}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-Marseille février 1960~\decofourright\\[7pt] (remplacement) }}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer l'expression

\[A = (x - 2y) (x + 2y),\]

puis l'expression

\[B = (x  - 2y) \left(x^2 + 4y^2\right) (x + 2y).\]
\item Calculer la valeur numérique de B dans chacun des deux cas suivants:
	\begin{enumerate}
		\item $x = 10,\quad y= 1$; 
		\item $x = 1,\quad y = - \dfrac12$.
	\end{enumerate}
\item On donne la suite des rapports
\[\dfrac{x^2 + 2y^2}{306} = \dfrac{x^2 - 2y^2}{294}.\]

Peut-on trouver un rapport égal aux précédents et ayant pour dénominateur 600 ?

Peut-on trouver un rapport égal aux précédents et ayant pour dénominateur 12 ?

Déduire des résultats trouvés la valeur numérique du
rapport $\dfrac{x^2}{y^2}$.

(Pour cette question 3., on énoncera avec précision les théorèmes appliqués.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un carré ABCD dont la longueur du côté est supposée connue et égale à $a$.

Un point M est situé sur le segment [AB] au tiers de [AB] à partir de B.

Un point N est situé sur le segment [CB] au tiers de [CB] à partir de C.

On trace [MC] et [DN]. Les droites obtenues se coupent en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles BMC et CDN, puis les triangles BMC et INC.
\item Démontrer que (MC) est perpendiculaire à (DN) et que 
\begin{center}CM $\cdot $ CI $= \dfrac{a^2}{3}$.\end{center} 
\item On prend sur le segment [MB] une longueur MN$' = \dfrac a9$.

Quelle est la valeur numérique des rapports $\dfrac{\text{MN}'}{\text{NC}}$ et
$\dfrac{\text{BN}'}{\text{BN}}$
\end{enumerate}
\end{document}