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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix-Marseille juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de deux facteurs l'expression suivante :

\[(x - 2)(2x +5)- (3x - 4)(x- 2) + (x - 2)(2x - 7).\]

Pour quelles valeurs de $x$ le produit obtenu est-il nul ? 
\item Construire les droites $L$ et $L'$ représentant respectivement les fonctions
\begin{center}$y = x - 2$\qquad  et\qquad $y = x + 2$\end{center}
\item Comparer les directions de ces deux droites.
\item La droite $L$ coupe $x'x$ en A et $y'y$ en B et la droite $L'$ coupe $x'x$ en C et $y'y$ en D.

Quelles sont les coordonnées de ces quatre points ?

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
\item Former les équations des côtés [BC] et [AD] ainsi que les équations des médiatrices des cotés du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Dans un cercle de centre O et de rayon $R$, on trace deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].

Une corde issue de A coupe le segment de droite [CD] en P et le cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de l'angle $\widehat{\text{AMB}}$.

En conclure que le quadrilatère OBMP est inscriptible.

Préciser la position du centre I du cercle circonscrit à ce quadrilatère.
\item Démontrer que les triangles AOP et AMB sont semblables.

En déduire la valeur du produit AP $\times$ AM
en fonction de $R$.

\emph{Application} : Calculer les côtés des deux triangles précédents et déterminer le rapport de leurs aires lorsque $R = 4$~cm et OP $= 3$~cm.
\item Le rayon $R$ restant égal à $4$~cm, on suppose que le point P décrit le segment [CD] et l'on demande de déterminer:
	\begin{enumerate}
		\item la plus grande valeur que peut prendre la longueur du  segment [AP] ;
		\item la position et la longueur du segment de droite décrit par le centre I du cercle circonscrit au quadrilatère OBMP{}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} La figure sera faite en prenant $R = 4$~cm.
\end{document}