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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Aix--Marseille 1980 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre les systèmes suivants:
\[(1)\left\{\begin{array}{l c l}
a + b - 5 &=&0,\\
a - 2b + 4&=&0,
\end{array}\right.\]
\[(2) \left\{\begin{array}{l c l}
11a + 2b + 2&=& 0,\\
\phantom{11}a - 2b + 4&=& 0.
\end{array}\right.\]

\item On considère les trois points suivants : 
\begin{center}A$(x = 1,~y = 5)$, \quad B$\left(x=-\dfrac12, y = 2\right)$,\quad 
C$\left(x= \dfrac{11}{2},~y = -1\right)$.\end{center}

Former les équations des droites AB et BC et en
déduire que le triangle ABC est rectangle.
\item Calculer l'aire de ce triangle rectangle.
\item Déterminer les coordonnées du milieu, I, de [AC] et en déduire que la médiane du triangle ABC relative à l'hypoténuse est parallèle à l'axe des $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit AO $= a$ la distance d'un point A à une droite $D$. 

Deux points, B et C, varient sur la droite $D$ de façon que l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ reste  droit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le produit OB $\cdot$ OC reste constant et calculer sa valeur.
\item On abaisse de O les perpendiculaires OI et OJ, respectivement sur AB et AC.

Montrer que le segment IJ passe par un point fixe et garde une longueur constante.
\item Le cercle $(\mathcal{C})$ passant par les points B, I, C recoupe
AC en J$'$.

Montrer que la puissance du point A par rapport aux cercles $(\mathcal{C})$ est constante.

Calculer celle puissance.

En déduire que les points J et J$'$ sont confondus.
\end{enumerate}
\end{document}