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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1994}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Aix--Marseille juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne : $A = \dfrac{\dfrac{15}{7} - \dfrac27 \times \dfrac{11}{3}}{3 \times \left(- \dfrac23 + \dfrac15 \right)}$.

Calculer $A$ et écrire le résultat sous forme fractionnaire.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : 

\[F =(x - 5)^2 - 2(x - 5) (x + 3).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $F$.
\item Factoriser $F$.
\item Calculer la valeur numérique de $F$ pour $x = 5 + \sqrt 2$.
\item Résoudre $(x - 5)(x + 11) =0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pour fêter ses 35 ans de mariage, Monsieur Jean veut offrir à sa femme un bouquet de 35 fleurs, composé d'iris et de roses.

Un iris coûte $6$ francs et une rose $9$ francs.

Combien Monsieur Jean a-t-il acheté d'iris et de roses sachant
que son bouquet lui revient à $258$ francs ?

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure ci-dessous est constituée d'un point O, d'un vecteur $\vect{\text{EF}}$ et d'un trapèze ABCD dont les côtés [AB] et [CD] sont parallèles (La reproduire et la compléter).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le quadrilatère A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$ image du trapèze ABCD par la symétrie de centre~O.
\item Construire le quadrilatère A$_2$B$_2$C$_2$D$_2$ image du trapèze
ABCD dans la translation de vecteur $\vect{\text{EF}}$.
\item Comparer les vecteurs $\vect{\text{BB}_2}$ et $\vect{\text{CC}_2}$.

Quelle est la nature du quadrilatère BB$_2$C$_2$C ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(7.5,6)
%\psgrid
\psline{->}(2.8,5.3)(6.8,5.3)\uput[l](2.8,5.3){E}\uput[r](6.8,5.3){F}
\rput{38}(0.8,0.8){\pspolygon(0,0)(5.1,0)(2.7,1.4)(0.6,1.4)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](5,0.2)\uput[r](5,0.2){O}
\uput[l](0.4,2.3){A} \uput[u](2.04,3.6){B} \uput[r](4.8,3.94){C} \uput[d](0.8,0.8){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(9,9.7)
%\psgrid
\psline(0,8.6)(4,9.3)(9.7,8.5)
\psline(4,9.3)(4,6.2)
\psellipticwedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,6.2)(1.7,0.6){195}{345}
\psellipticwedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,5.4)(2.2,0.8){195}{345}
\psline(4,9.3)(2.26,4.93)\psline(4,9.3)(5.73,4.93)
\psline(3,4.7)(4,9.3)(5,4.7)
\psline(2.62,5.83)(4,6.2)(5.38,5.83)
\psline(4,5.6)(4,5.4)
\psline(2.26,4.93)(4,5.4)(5.73,4.93)
\psline(3.8,6.15)(4.03,6.06)(4.23,6.14)
\psline(3.8,5.35)(4.03,5.26)(4.23,5.34)
\uput[u](4,9.3){S} \uput[r](5.4,4.98){A} \uput[r](5.4,5.8){A$'$} \uput[dr](4,5.3){H}
\uput[ur](4,6.2){H$'$} \uput[ul](2.25,4.95){B} \uput[ul](2.6,5.8){B$'$}
\psline(4,4.6)(4,1.8)(0,1.1)
\psline(4,1.8)(9,1.3)
\rput(4,0.8){SOL}\rput(1.8,3.4){Mur gauche}\rput(6.2,3.4){Mur droit}
\end{pspicture}
\end{center}




Dans l'angle d'une pièce se trouve une étagère formée de deux tablettes ayant chacune la forme d'un quart de disque.

Ces deux tablettes sont représentées sur le dessin par les deux surfaces grisées.

Les deux triangles BHA et B$'$H$'$A$'$ sont rectangles isocèles. 

SBAH est un quart de cône de sommet S.

SH détermine la hauteur du cône.

SHA est un triangle rectangle en H.

SH$'$A$'$ est un triangle rectangle en H$'$.

Les plans (HBA) et (H$'$B$'$A$'$) sont parallèles.

Les longueurs sont exprimées en cm et les volumes en cm$^3$. 

On donne HA $= 30$,\,  H$'\text{A}' = 20$, SH $= 120$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer SH$'$.
\item On rappelle que le volume d'un cône est donné par la formule: 

\[\dfrac13 \times h \times A\]

 où $h$ est la hauteur du cône et $A$ l'aire de la base.

Calculer la valeur exacte du volume $V$ du quart de cône SAHB (cette valeur sera exprimée sous la forme $k\pi$, où $k$ est un nombre entier ou fractionnaire).

Calculer de même la valeur exacte du volume $V'$ du quart de cône SA$'$H$'$B$'$.
\item Calculer le rapport $\dfrac{V'}{V}$.

Comment peut-on obtenir ce dernier résultat à partir du
rapport $\dfrac23$ $\left.(\text{qui est la valeur de} \dfrac{\text{H}'\text{A}'}{\text{HA}}\right)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est rapporté au repère (O, I, J) orthonormal L'unité de
longueur est le centimètre. 

La construction sera faite sur une feuille de papier millimétré qui sera jointe à la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer dans le repère (O, I, J) la droite $(D)$ d'équation $y = 5x + 5$.
\item Placer dans le repère (O, I, J) le point B de coordonnées $(-2~;~-5)$.

Par un calcul vérifier que ce point appartient à la droite $(D)$.
\item Vérifier que la droite $(D')$ d'équation $y = - x + 3$ passe par les points C(3~;~0) et F(O~;~3).

Construire la droite (D$'$).
\item Déterminer l'équation de la droite (BC).
\item Calculer les coordonnées du point E milieu du segment (BC].

Placer E sur la figure.
10)
\item Vérifier que le point A de coordonnées $\left(- \dfrac13~;~\dfrac{10}{3}\right)$ est le
point commun aux droites $(D)$ et $(D')$. 

Placer A sur la figure.
\item Établir que les points A, J, E sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}