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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Aix-Marseille}}
\rfoot{\small{septembre 1955}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Aix-Marseille septembre 1955}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre l'expression suivante sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré:
\[y = (2x + 3)(x + 5) - (2x + 3)(4 - x) + 8x(2x + 3).\]

Pour quelles valeurs de $x$ cette expression s'annule-t- elle ?
\item Représenter graphiquement, en prenant pour unité de longueur le centimètre, la fonction $y = 2x + 3$ par la droite $D_1$.
\item Soient A le point d'intersection de cette droite $D_1$
avec l'axe $x'$O$x$ et B le point d'intersection de cette
droite avec $y'$O$y$.

Trouver l'équation de la hauteur [OH] du triangle OAB et les coordonnées du point H, pied de la hauteur sur [AB].
\item Par l'origine O on mène la droite $D_2$ parallèle à (AB) et l'on construit la perpendiculaire commune aux deux droites $D_1$ et $D_2$ passant par le point B.

Soit M le point d'intersection de cette perpendiculaire avec la droite $D_2$.

Trouver les coordonnées du point M et l'aire du rectangle OHBM.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon $R = 2,5$ cm.

Soit un diamètre [AB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point C qui divise extérieurement [AB] dans le rapport $\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}}= \dfrac38$.

Justifier la construction.
\item Par C, construire une tangente au cercle $\mathcal{C}$.

Soit D le point de contact. Justifier la construction.
\item Calculer la longueur des segments [CA] et [CD].
\item La tangente (CD) coupe les tangentes en A et B au cercle $\mathcal{C}$, respectivement en E et F.

Quelle est la nature du quadrilatère ABPE ?

Calculer son aire.
\end{enumerate}
\end{document}