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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Aix-Marseille}}
\rfoot{\small{septembre 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Aix-Marseille septembre 1960}}

ENSEIGNEMENT LONG 

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne les deux expressions

\begin{center}$E(x) = \dfrac{9x^2}{3x + 2}$\qquad et \qquad $F(x) = \dfrac{4x}{(x + 1)^2 + 2x^2 - 1}$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression $E(x) - F(x)$.
\item Construire la droite d'équation $y = 3x - 2$.

Si A et B sont les points d'intersection de la droite
avec O$x$ et O$y$, trouver les coordonnées du milieu I de [AB].
\item Calculer les longueurs OI et AB et comparer ces longueurs.

Trouver l'équation de la droite passant par O et I.

Quelle remarque peut-on faire sur les droites (OI) et (AB) ?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un cercle de centre O et deux diamètres perpendiculaires de ce cercle, [AB] et [CD] ; on trace la médiatrice de [O]C, qui coupe -le cercle en P et Q ; on suppose que A et P sont situés dans le même demi-plan limité par la droite portant [CD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle OPC ?; celle du triangle DPQ ?
\item On appelle E l'intersection de (DP) et (OA), F celle des prolongements de [AP] et [CD].

Calculer les angles du triangle OAP.

Montrer que le triangle OEP est isocèle.

Comparer les triangles QPF et OAP.
\item Soit I la projection de E sur (OP) ; en utilisant le triangle OEI, calculer OE et EA en fonction de $R$.

\end{enumerate}
\end{document}