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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Aix-Marseille}
\lfoot{\small septembre 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-Marseille septembre 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, pour $x = \sqrt 3 - 1$, les expressions suivantes :

\begin{center}$A(x) = x^2 - 4,\qquad B(x) = 2x - x^2$\quad  et \quad $C(x) = \dfrac{1}{B(x)}$.\end{center}

Rendre rationnel le dénominateur du résultat trouvé pour $C(x)$.
\item Calculer la somme suivante:

\[S(x) = \dfrac{4x}{x^2 - 4} + \dfrac{5x}{2x - x^2} + \dfrac{x - 5}{x + 2}.\]

Quelles sont les valeurs de $x$ telles que: 
	\begin{enumerate}
		\item $S(x)$ ait un sens ;
		\item $S(x) = 0$ ;
		\item $S(x) = 1$ ?
	\end{enumerate}
\item Construire sur un mème graphique les droite $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentant respectivement les fonctions

\begin{center}$y = 2x + 1$ \qquad et\qquad $y = \dfrac x2 + 2$.\end{center}

Montrer que $\left(D_1\right)$ est perpendiculaire sur $\left(D_2\right)$ en un point dont on calculera les coordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 6$~cm et un point M de ce demi-cercle se projetant orthogonalement sur (AB) en H, tel que AH $= 4$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les mesures des segments [AM],\: [BM] et [MH].
\item Le prolongement de [AM] coupe en T la tangente au demi-cercle au point B.

Calculer la mesure du segment [BT] et démontrer la similitude des triangle AMH et BMT.
\item On suppose maintenant que AH n'est plus égal à 4 cm.

Comment faut-il choisir AH pour que l'angle $\widehat{\text{BAT}}$ mesure:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $45\degres$&\textbf{b.~~} $60\degres$&\textbf{c.~~} $30\degres$ ?
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}