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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix-Marseille septembre 1967~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On considère le polynôme en $x$ :
\[P(x) = (m + 1)x^2 + (2m - 1)x + \dfrac14(m + 1),\]
où $m$ est un paramètre, c'est-à-dire un nombre variable supposé connu.

Chaque fois que l'on remplace $m$ par un nombre réel connu, le polynôme devient un polynôme dont les coefficients sont des nombres connus.

\begin{enumerate}
\item On pose
\begin{center}$a = m + 1,\quad b = 2m - 1,\quad c = \dfrac14(m  + 1)$.\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Former l'expression en fonction de $m$ de $b^2 - 4ac$.
		\item Mettre cette expression sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré en $m$.
		\item Pour quelles valeurs de $m$ a-t-on $b^2 - 4ac = 0$ ?
	\end{enumerate}
\item En remplaçant dans $P(x)$ le paramètre $m$ par chacune des valeurs trouvées précédemment, on forme deux polynômes à coefficients numériques.

Résoudre les deux équations obtenues en annulant ces polynômes.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de centre O et de rayon $R$, le cercle étant ici l'ensemble des points M tels que OM $ = R$, désigné par cercle (O), et un diamètre fixe [AB] de ce cercle.

À tout point M du cercle (O) (sauf au point A) on fait correspondre sur la demi-droite [AM) le point M$'$
défini par la relation 
\[\overline{\text{AM}} \cdot \overline{\text{AM}'} = 6R^2.\]

Dans ce qui suit, le point M$'$ sera appelé l'image de M
dans la correspondance considérée , ou, simplement, l'image de M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire l'image B$'$ de B, c'est-à-dire le point B$'$ défini sur la droite AB par la relation
\[\overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AB}'} = 6R^2.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item M étant un point quelconque du cercle (O) et M$'$ étant son image, montrer que les quatre points M, M$'$, B et B$'$ sont sur un même cercle.
		\item Quelle est la position de la droite M$'$B$'$ par rapport à la droite AB ?
		
On désigne la droite (M$'$B$'$) par $(\Delta)$.
		\item Soit N un autre point quelconque du cercle (O) et N$'$ son image.

La droite (AN) rencontre $(\Delta)$ en N$'_1$.

Que peut-on dire du produit $\overline{\text{AN}} \cdot  \overline{\text{AN}'_1}$ ?

Que peut-on dire des points N$'_1$ et N$'$ ?

Quel est l'ensemble des images de tous les points du cercle (A excepté) ?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Comparer les triangles AMN et AM$'$N$'$.
		\item Montrer que l'on a $\dfrac{\text{M}'\text{N}'}{\text{MN}} = \dfrac{\text{AM}'}{\text{AN}}$.

		\item En déduire que l'on a
\[\text{M}'\text{N}' = \text{MN} \times \dfrac{6R^2}{\text{AM} \times \text{AN}}\]
		\item Le point M étant choisi de façon que l'on ait $\widehat{\text{MAB}} = 30\degres$, exprimer en fonction de $R$ la longueur du segment [MB$'$].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}