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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Aix-en-Provence}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Aix-en-Provence ~\decofourright\\[6pt]septembre 1971}\\[7pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\medskip

On donne le polynôme 
\[P(x) = (5x + 1) (2x + 3)+ (5x + 1)(x - 2)- (7x - 4)(5x + 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les calculs indiqués ; réduire et ordonner
ce polynôme suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Factoriser $P(x)$.
\item Résoudre l'équation $P(x) = 0$.
\item On donne la fraction rationnelle

\[F(x) = \dfrac{\left(2x - \dfrac14 \right)^2 - \dfrac{81}{16}}{P(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ est-elle définie ?
		\item Simplifier cette fraction.
		\item Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $F(x) = \dfrac54$ ?
	\end{enumerate}
\item Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $F(x) = - \dfrac{9}{29}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

Le triangle (ABF) est rectangle en A,
avec AB $= 6$~cm et  AF $= 9$~cm.

Soit E le point du segment [AF] tel que AE $= 4$~cm.

On désigne par H le milieu de [EF] et l'on trace la médiatrice de [EF], qui coupe (BE) en I et BF en J.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles (FHJ) et (FAB), puis le triangles (HIE) et (EAB).

Calculer les mesures  HI et HJ, à $0,01$~cm près.
\item Calculer les produits $\overline{\text{HI}} \cdot \overline{\text{HJ}}$ et $\overline{\text{HE}}  \cdot \overline{\text{HF}}$.

En déduire que les quatre points E, F, I et J appartiennent à un même cercle, dont on précisera le centre, O, et la mesure du rayon, à $0,01$ cm près.
\item Calculer les mesures, à 0,01 près, des segments [FB],\: [BE],\: [IB] et [BJ].

Calculer les produits $\overline{\text{BE}} \cdot \overline{\text{BI}}$ et $\overline{\text{BF}} \cdot \overline{\text{BJ}}$
et retrouver les résultats du 2. quant à la disposition des points E, F, I et J.
\item Calculer la mesure du segment [BO], à $0,01$ cm près.
\end{enumerate}
\end{document}