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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Alger}
\lfoot{\small février 1960}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Alger février 1960 \decofourright}}

\vspace{1cm}

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $y_1$ et $y_2$ le plus simplement possible : 

\begin{center}$y_1 = \left(x + \dfrac12\right)^2  - \left(x - \dfrac12\right)^2$\quad  et \quad $y_2 =  \left(x + \dfrac12\right)^2  - (x - 2)^2$.\end{center}

\item Les nombres $y_1$ et $y_2$  sont-ils directement proportionnels à $x$ ?

Dans l'affirmative, quel est le coefficient de proportionnalité ?
\item Considérant $y_1$ et $y_2$  comme deux fonctions de la variable $x$, construire sur un même graphique les droites $D_1$ et $D_2$ représentatives de ces fonctions.

La droite $D_1$ d'équation $y_1$ coupe l'axe des $x$ en un point. Mener par ce point la parallèle $D$ à la droite $D_2$ d'équation $y_2$ et en donner son équation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soient un demi-cercle de diamètre [AB] et deux points M et N sur ce demi-cercle (M plus près de A et N plus près de B).

On trace (BN) et (AM), qui se coupent en P.

Les demi-cercles de centre A et de rayon [BP] et de centre B et de rayon [PA], construits dans le demi- plan qui ne contient pas le demi-cercle donné, se coupent en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère PACB ?
\item Montrer que
\begin{center}PB $\times$ AN = PA  $\times$ BM.\end{center}
\item (BM) et (AN) se coupent en I. Montrer que

\begin{center}IM  $\times$ IB = IN  $\times$ IA.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}