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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Alger}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Alger juin 1960}}

\smallskip

ENSEIGNEMENT LONG

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de deux facteurs l'expression
\[E(x) = \left(\dfrac{3x}{4} - \dfrac12 \right)^2 - \left(\dfrac{5x}{4} - \dfrac52 \right)^2.\]

\item Ces deux facteurs sont deux fonctions $y_1$ et $y_2$, de la variable $x$.

Construire dans un même système d'axes de coordonnées perpendiculaires (même unité sur les deux axes) les deux droites représentatives $D_1$ et $D_2$ ; quelles sont coordonnées de leur point commun, S ?
\item Montrer que $D_1$ et $D_2$ sont perpendiculaires.

La droite $D_1$ coupe les axes $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ aux points A et B ; la droite $D_2$ coupe ces mêmes axes en C et D.

Déterminer les coefficients angulaires des droites (BC) et (AD).
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Deux cercles de centres A et B et de rayons $R$ et $2 R$ sont tangents intérieurement au point H.

Du point C diamétralement opposé au point H du cercle B, on mène la tangente CI au cercle A ; elle coupe au point D la tangente commune aux deux cercles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer IC en fonction de $R$.

Comparer les triangles HDC et IAC ; en déduire l'expression de ID en fonction de $R$ et vérifier que IC $= 2$ ID.
\item Soit [IS] le diamètre du cercle A passant par I.

Montrer que les triangles ISC et IDS sont semblables ; en déduire que l'angle $\widehat{\text{CSD}}$ est droit.
\item Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle CSD ; évaluer les rapports $\dfrac{\text{CO}}{\text{CD}}$ et $\dfrac{\text{IO}}{\text{ID}}$.
\end{enumerate}
\end{document}