\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Alger septembre 1952},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P. C.}
\lfoot{\small{Alger}}
\rfoot{\small{septembre 1952}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Alger septembre 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Deux automobilistes habitant l'un la ville A, l'autre la ville B distante de $300$~km, vont à la rencontre l'un de l'autre.

La voiture du premier consomme $8$~l aux $100$~km ; la voilure du deuxième consomme $12$ l aux $100$~km.

La rencontre se fait en un point M tel que
AM $ x$ (en km).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ les quantités $y_1$ et $y_2$
d'essence utilisées par chacun d'eux  pour se rendre en M.
\item Étudier les variations des deux fonctions $y_1$ et $y_2$ et tracer avec le même système d'axes de coordonnées le graphique de ces deux fonctions.

On prendra :

axe des $x$ : 1 cm pour $30$~km ; axe des $y$ : 1 cm pour $4$~l.
\item Déterminer graphiquement la position du point M pour que les quantités d'essence utilisées par chacun des automobilistes soient égales.

Vérifier par le calcul.
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. B. -} On admettra que la consommation d'essence est proportionnelle à la distance parcourue.}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

La perpendiculaire en un point H du diamètre [AB] d'un cercle $\mathcal{C}$ coupe ce cercle aux points C et D.

Soit M un point variable sur le petit arc $\widearc{\text{CB}}$.

La droite (CD) coupe (AM) en I et la tangente en M au cercle $\mathcal{C}$ en T.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que [MA) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CMD}}$.
\item Montrer que le triangle TIM est isocèle.
\item Montrer que les triangles IMD et ACM sont semblables et en déduire que
\begin{center} MA $\times $ MI = MC $\times $ MD.\end{center}
\item Montrer que le quadrilatère IHBM est inscriptible dans un cercle, dont on précisera la position du centre O, et dire sur quelle ligne se déplace le point O.
\end{enumerate}
\end{document}