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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P. C.}
\lfoot{\small{Allemagne}}
\rfoot{\small{juin 1952}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Allemagne juin 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sus forme de produits de deux facteurs du premier degré en $x$ chacune des expressions suivantes :
\[\begin{array}{l}
4x^2 - 4x + 1 \:;\\
x^2 - 6x + 9 \:;\\
(x- 1)^2 - 4 \:;\\
x^2 - 1 + x(x + 1).
\end{array}\]

\item Simplifier alors la fraction rationnelle :

\[A = \dfrac{\left(4x^2 - 4x + 1\right)\left[(x - 1)^2 - 4\right]}{x^2 - 1 + x(x + 1)}\]

et déterminer la valeur de $x$ pour laquelle A est égal à 1.
\item Construire sur le même graphique les droites $(D)$
et $(D')$ représentant les variations des fonctions 
\begin{center}$y = 2x - 1$\qquad et\qquad  $y = x - 3$.\end{center}

Montrer qu'on peut retrouver graphiquement le dernier résultat du 2.; calculer l'aire de la surface du triangle ayant pour sommets : 

le pointA d'intersection des deux droites $(D)$ et $(D')$ et les points B et C, intersections de ces mêmes droites avec l'axe des abscisses (unité de longueur: le cm).
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} {\footnotesize La 3\up{e} question peut être traitée indépendamment des deux premières.}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$ et un diamètre fixe [AB] tel que AB $= 2R$.

La médiatrice de [AB] coupe le cercle $\mathcal{C}$ en C et D.

Un point M décrit tout le demi-cercle qui ne contient pas D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (MD) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AMB}}$.
\item On mène (DE) et (DF) perpendiculaires à (MA) et (MB).

Quelle est la nature du quadrilatère MEDF ?
\item Lieu du point de concours des diagonales du quadrilatère MEDF.

Construction du lieu.

Donner sa longueur en fonction de $R$.
\item Trouver la position particulière de M pour laquelle l'aire du quadrilatère MEDF est la plus grande possible ?

Justifier.

Calculer l'aire dans ce cas particulier en fonction de $R$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} {\footnotesize Les 3\up{e} et 4\up{e} questions sont indépendantes l'une de l'autre.}
\end{document}