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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Allemagne juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne un trapèze ABCD ((AB) parallèle à (CD)), dont les côtés mesurent

AB = 1,5~cm,\quad BC = 2~cm, \quad CD = 5,5~cm,\quad  DA = 3~cm.

On prend un point M sur [AD], entre A et D, et l'on pose AM $= x$.

On mène par le point M la parallèle (MN) aux deux bases et par le point A la parallèle au côté [BC] qui coupe (MN) en P et la grande base en Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer MP, NB et le périmètre $y$ du trapèze ABNM en fonction de $x$.
\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle le rapport des périmètres des trapèzes ABNM et ABCD est égal à $\dfrac12$.
\item Étudier les variations du périmètre du trapèze ABNM, lorsque M se déplace de A à D, et faire la représentation graphique.

(Prendre 1 cm pour unité d'abscisses et $0,5$ cm pour unité d'ordonnées.)

Vérifier sur le graphique le résultat de la deuxième question.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Dans un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon $R$ on considère deux diamètres perpendiculaires, [AOB] et [COD].

Du point A on mène une corde variable, [AM]N, qui coupe le cercle en M et le diamètre [CD] en N.

Dans tout le problème on suppose que le point M décrit l'arc $\widearc{\text{BD}}$ seulement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles AOM et ANB sont semblables.

En déduire que le produit AM $\times$ AN reste constant et donner la valeur de cette constante en fonction de $R$.
\item Montrer que le quadrilatère OBMN est inscriptible dans un cercle, dont on construira le centre I avec le compas et la règle.

Sur quelle ligne se déplace le point I lorsque M décrit l'arc $\widearc{\text{BD}}$ ?

Limiter.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur quelle ligne se déplace le milieu, P{}, de la corde [AM] lorsque M décrit l'arc $\widearc{\text{BD}}$ ?
		
Limiter.
		\item Dam le cas où la distance OP est $\dfrac R2$, on calculera
en fonction de $R$ les longueurs  BM, AM, NP{}, ON.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}