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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Allemagne}}
\rfoot{\small{septembre 1952}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Allemagne septembre 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On donne les deux équations formant le système:
\[\left\{\begin{array}{r c l r}
3x+4y&=&30,&\qquad  (1)\\
3y&= &4x.&\qquad (2)
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre ce système d'équations.
\item Représenter graphiquement, pour chaque équation, les variations de $y$ en fonction de $x$.

(Prendre deux axes rectangulaires $x'$O$x$ et $y'$O$y$ ; représenter l'unité par 1 cm sur chaque axe ; dire comment le graphique a été construit.)
\item On obtient deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ qui se coupent au point P{}.

Soient A et B les points où la droite $\left(D_1\right)$ rencontre respectivement $xx'$ et $yy'$.

Quelles sont les coordonnées des points P{}, A, B ?

Vérifier que $\overline{\text{OA}}^2  = \overline{\text{OP}}^2 + \overline{\text{PA}}^2$.

Que peut-on en conclure pour la direction de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un triangle AMB rectangle en M.

On suppose dans les deux premières questions que
\begin{center}MA $= 4$~cm \qquad et \qquad MB $= 3$~cm.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le rayon du cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle AMB.
\item La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{AMB}}$ coupe (AB) en I et le cercle $(\mathcal{C})$ au point M et en un deuxième point J.

Comparer les triangles MAJ, MBI et AJI ; en déduire la relation 
\begin{center}MA $\cdot$ MB = MI $\cdot$ MJ.\end{center}
\item On suppose maintenant que les points A, B et le
cercle $(\mathcal{C})$ sont fixes ; lieux géométriques des points P et Q, milieux respectifs de [MA] et de [MB] lorsque M décrit le cercle $(\mathcal{C})$.
\end{enumerate}
\end{document}