\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Allemagne septembre 1955},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Allemagne}}
\rfoot{\small{septembre  1955}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Allemagne septembre 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simpli fier les expressions
\[A = \dfrac{(2x - 3)\left(16x^2 - 4\right)}{(4x + 2)\left(4x^2 - 9\right)}.\]
\item Montrer que
\[\dfrac{1}{A + B}  = 2x + 3.\]

\item Représenter graphiquement $y = 2x + 3$.
\item Trouver l'équation de la droite qui passe par les deux points
C(1~;~1) et D$(4~;~-1)$ et déterminer les coordonnées du point d'intersection de cette droite avec la droite $y = 2x + 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit un demi-cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB] et de centre O.

On trace le demi-cercle de diamètre [AO] et de centre I intérieur au précédent.

Une sécante issue de A coupe le demi-cercle $\mathcal{C}$ en D et le demi-cercle de centre I en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Définir la position du point C sur le segment [AD].
\item Que peut-on dire des droites (OC) et (DB) d'une part, des droites (IC) et (OD) d'autre part et des triangles IOC et ODB ?
\item Prouver que les tangentes à ces deux demi-cercles aux points C et D sont parallèles.

Si la tangente en D rencontre la droite (AB) au point T, démontrer l'égalité
\begin{center}TA $\cdot$ TB = TO $\cdot$ TH\end{center}

H étant la projection de D sur (AB).
\item Quelle ligne décrit le milieu de [AC] lorsque la sécante (ACD) pivote autour de A ?
\end{enumerate}
\end{document}